1.2.1 第2课时 等差数列的性质及实际应用-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

第2课时　等差数列的性质及实际应用 学习目标 1.了解等差中项的概念，并能用等差中项解决问题，培养数学抽象的核心素养.　2.能从函数的角度研究等差数列，能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质，提升逻辑推理的核心素养.　3.能运用等差数列的性质解决简单的实际问题，提升数学运算的核心素养. 任务一　等差数列与一次函数的关系 问题1.我们已经了解到数列是一种特殊的函数，根据等差数列的通项公式，你认为它与哪一类函数有关？ 提示：一次函数.由于an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，故an是函数f(x)＝dx＋(a1－d)当x＝n时的函数值，即an＝f(n)，点(n，an)则是函数f(x)＝dx＋(a1－d)图象上的均匀分布的孤立的点，而d是直线f(x)＝dx＋(a1－d)的斜率. 1.等差数列的函数特征 对于an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，可将an记作f(n)，它是定义在正整数集(或其子集)上的函数.其图象是直线y＝dx＋(a1－d)上的一些等间隔的点，这些点的横坐标是正整数，其中公差d是该直线的斜率，即自变量每增加1，函数值增加d. 2.等差数列的增减性 对于an＝dn＋(a1－d)， (1)当d＞0时，数列{an}为递增数列，如图①所示； (2)当d＜0时，数列{an}为递减数列，如图②所示； (3)当d＝0时，数列{an}为常数列，如图③所示. [微提醒]　(1)等差数列的图象是直线y＝dx＋(a1－d)上均匀分布的一群孤立的点.(2)通项法判定等差数列：当d≠0时，an为n的一次函数⇔{an}为等差数列. 已知等差数列{an}的通项公式为an＝3n＋1. (1)求首项a1和公差d，并作出它的图象； (2)判断数列{an}的增减性. 解：(1)因为an＝3n＋1， 所以a1＝3＋1＝4，a2＝3×2＋1＝7，d＝a2－a1＝3. 数列{an}的图象是直线y＝3x＋1上一些等间隔的点，如图所示： (2)由(1)知d＞0，所以数列{an}是递增数列. 利用一次函数的性质解答等差数列问题的思路 1.等差数列的图象是同一条直线上的一系列孤立的点，因此涉及到等差数列中的项、等差数列的公差及数列的增减性的问题，利用多点共线可快速求解. 2.若a，b，c成等差数列，公差为d(d≠0)，且(a，l)，(b，m)，(c，n)三点共线，则＝＝k(k为常数)，所以m－l＝n－m＝kd，那么l，m，n成等差数列.反之，若a，b，c和l，m，n两组数都成等差数列，则(a，l)，(b，m)，(c，n)三点必共线. 对点练1.(多选题)下列判断正确的是(　　) A.等差数列{an}中，a3＝4，a4＝2，则数列{an}是递增数列 B.若an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N＋)，则数列{an}是等差数列 C.等差数列的公差相当于图象法表示数列时直线的斜率 D.若数列{an}是等差数列，且an＝kn2－n，则k＝0 答案：BCD 解析：对于A，公差d＝a4－a3＝－2＜0，所以数列{an}是递减数列；因为等差数列的通项公式是关于n的一次函数，公差是一次函数图象的斜率，所以B、C、D均正确.故选BCD. 学生用书⬇第13页 任务二　等差中项 问题2.某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径为40 mm，满盘时直径为100 mm.已知卫生纸的厚度为0.2 mm，将绕在盘上的卫生纸近似地看作是一组同心圆，则从最内层到最外层卫生纸所在圆的半径分别为20.2 mm，20.4 mm，20.6 mm，20.8 mm，21.0 mm，…，50.0 mm.观察上面这个数列，其任意连续三项之间有什么样的关系？ 提示：前一项与后一项的和是中间项的2倍. 　　如果在a与b之间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫作a与b的等差中项.如果A是a与b的等差中项，那么A－a＝b－A，所以A＝.显然，在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项. [微提醒]　(1)任意两个实数都有等差中项，且唯一.(2)等差中项的几何意义是两个实数的平均数，即A＝. 若m和2n的等差中项为4，2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项. 解：由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8. 又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10. 两式相加，得3m＋3n＝18，即m＋n＝6. 所以m和n的等差中项为＝3. 等差中项的常见结论 在等差数列{an}中： 1.an是an－1与an＋1(n≥2，n∈N＋)的等差中项，即an＝(n≥2，n∈N＋). 2.当m＋n＝2p(m，n，p∈N＋)时，ap是am与an的等差中项. 对点练2.在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列. 解：因为－1，a，b，c，7成等差数列， 所以b是－1与7的等差中项，所以b＝＝3. 又a是－1与3的等差中项，所以a＝＝1. 又c是3与7的等差中项，所以c＝＝5. 所以该数列为－1，1，3，5，7. 任务三　等差数列的性质 问题3.已知an，am是等差数列{an}中的任意两项，你能利用通项公式建立两者之间的关系吗？ 提示：由an＝a1＋(n－1)d，am＝a1＋(m－1)d两式相减得an－am＝(n－m)d，即an＝am＋(n－m)d. 问题4.在等差数列{an}中，如果p＋q＝m＋n(m，n，p，q∈N＋)，那么ap＋aq与am＋an有何数量关系？ 提示：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则ap＝a1＋(p－1)d，aq＝a1＋(q－1)d，am＝a1＋(m－1)d，an＝a1＋(n－1)d，所以ap＋aq＝2a1＋(p＋q－2)d，am＋an＝2a1＋(m＋n－2)d，因为p＋q＝m＋n，所以ap＋aq＝am＋an. 学生用书⬇第14页 等差数列的性质 1.如果{an}是等差数列，而且正整数s，t，p，q满足s＋t＝p＋q，则as＋at＝ap＋aq. (1)特别地，当p＋q＝2s时，ap＋aq＝2as；此时，as为ap，aq的等差中项； (2)对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋＝…. 2.若{an}是公差为d的等差数列，则 (1){c＋an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列； (2){can}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列； (3){an＋}(k为常数，k∈N＋)是公差为2d的等差数列； (4)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列. [微提醒]　(1)推广：若m＋n＋p＝x＋y＋z，则am＋an＋ap＝ax＋ay＋az.(2)由am＋an＝ap＋aq不能得到m＋n＝p＋q，如常数列. (1)已知等差数列{an}，{bn}的公差分别为d1＝2，d2＝1，则数列{2an－3bn}的公差为(　　) A.7 B.5 C.3 D.1 答案：D 解析：因为{an}，{bn}为等差数列，所以数列{2an－3bn}的公差d＝(2an＋1－3bn＋1)－(2an－3bn)＝2(an＋1－an)－3(bn＋1－bn)＝2d1－3d2＝1.故选D. (2)①若{an}为等差数列，且a12＝8，a48＝20，求a60； ②若{an}为等差数列，且a1－a3＋a9－a15＋a17＝117，求a3＋a15的值. 解：①法一：由已知条件， 得a12＝a1＋11d＝8，a48＝a1＋47d＝20. 由上述两式解得a1＝，d＝， 故a60＝a1＋59d＝＋59×＝24. 法二：因为{an}为等差数列， 所以a12，a24，a36，a48，a60也成等差数列. 设新的等差数列的公差为d1，则a48＝a12＋3d1＝8＋3d1＝20， 解得d1＝4，故a60＝a48＋d1＝24. ②因为{an}是等差数列， 所以a1＋a17＝a3＋a15＝2a9. 又因为a1－a3＋a9－a15＋a17＝117，所以a9＝117， 所以a3＋a15＝2a9＝234. [变式探究] 　(变条件，变设问)本例(2)②若改为等差数列{an}中，首项a1＝0，公差d≠0.若ak＝a1＋a2＋a3＋…＋a7，试求k的值. 解：因为数列{an}为等差数列，首项a1＝0，公差d≠0， 所以ak＝a1＋(k－1)d＝a1＋a2＋a3＋…＋a7＝7a4＝21d，解得k＝22. 等差数列运算的两种常用思路 1.根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量. 2.灵活运用等差数列的性质. 对点练3.已知数列{an}为等差数列，且公差为d. (1)若a15＝8，a60＝20，求a105的值； (2)若a2＋a3＋a8＋a9＝36，a3·a8＝56，求公差d. 解：(1)法一：由题意得 故a105＝a1＋104d＝＋104×＝32. 法二：因为{an}为等差数列，所以d＝＝. 所以a105＝a60＋45×＝32. 法三：因为{an}为等差数列，所以a15，a60，a105也成等差数列，则2a60＝a15＋a105， 所以a105＝2×20－8＝32. (2)由a2＋a3＋a8＋a9＝36，得2(a3＋a8)＝36， 所以a3＋a8＝18.由 解得 所以d＝＝＝2， 或d＝＝＝－2. 综上，公差d为2或－2. 学生用书⬇第15页 任务四　综合应用 应用1　等差数列的公共项问题 等差数列{an}：2，5，8，…与等差数列{bn}：1，5，9，…均为40项，求它们的公共项构成的数列{cn}的通项公式. 解：法一(观察归纳法)：{an}：2，5，8，…的公差为3；{bn}：1，5，9，…的公差为4； 观察归纳可知它们的相同项是以5为首项，12为公差(3，4的最小公倍数)的等差数列， 所以cn＝5＋12(n－1)＝12n－7，a40＝119，b40＝157，cn≤119⇒n≤10， 所以{cn}的通项公式为cn＝12n－7(n≤10且n∈N＋). 法二(引入参变量法)：an＝3n－1(n≤40且n∈N＋)；bm＝4m－3(m≤40且m∈N＋)； 令an＝bm⇔3n＝2(2m－1)，2m－1必为3的倍数(或n必为2的倍数)，设2m－1＝3k(因为左边为奇数，k必为奇数)，再设k＝2t－1，则m＝3t－1，n＝4t－2(引入参变量t)，⇒⇒≤t≤10，即t＝1，2，3，…，10. ct＝a4t－2＝b3t－1＝12t－7(t≤10且t∈N＋)， 即cn＝12n－7(n≤10且n∈N＋). 求解两个等差数列公共项的方法 1.观察归纳法：通过观察归纳得到公共项的首项和公差，进而可得出公共项的通项公式，然后用通项公式求解. 2.引入参变量法：(1)分别写出两个等差数列的通项公式(变量分别用m，n表示)； (2)由两个通项相等得到m，n之间的关系式； (3)由m，n的关系式得到m或n的特点(如是2的倍数，3的倍数)； (4)依据m或n的特点引入参变量k； (5)依据k的特点再引入参变量求解. 对点练4.已知一个等差数列的首项是8，公差是3，另一个等差数列的首项是12，公差是4，这两个数列有公共项吗？如果有，求出最小的公共项，并指出它分别是原等差数列的第几项？ 解：设an＝8＋3(n－1)＝5＋3n，bm＝12＋4(m－1)＝8＋4m，n，m∈N＋. 令an＝bm，即5＋3n＝8＋4m，则3(n－1)＝4m， 所以n＝4k＋1，m＝3k(k∈N＋). 公共项ck＝an＝5＋3n＝12k＋8，k∈N＋， 当k＝1时，c1＝20，令an＝5＋3n＝20，则n＝5， 令bm＝8＋4m＝20，则m＝3， 所以这两个数列有公共项，最小公共项为20，其是首项为8，公差为3的等差数列的第5项；是首项为12，公差为4的等差数列的第3项. 应用2　等差数列的实际应用 某公司经销一种数码产品，第一年可获利200万元，从第二年起由于市场竞争方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？ 解：设从第一年起，第n年的利润为an万元， 则a1＝200，an＋1－an＝－20(n∈N＋)， 所以每年的利润构成一个等差数列{an}， 从而an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20)＝220－20n. 若an＜0，则该公司经销这一产品将亏损. 所以由an＝220－20n＜0，得n＞11， 即从第12年起，该公司经销此产品将亏损. 学生用书⬇第16页 解决等差数列实际问题的基本步骤 注意：在解决与等差数列有关的实际问题时，一定要弄清首项、项数等关键量. 对点练5.在通常情况下，从地面到10 km高空，高度每增加1 km，气温就下降某一个固定数值.如果1 km高度的气温是8.5 ℃，5 km高度的气温是－17.5 ℃，求2 km，4 km，8 km高度的气温. 解：由题意可知，自下而上各高度气温组成等差数列，记为{an}，公差为d， 则a1＝8.5，a5＝－17.5. 由a5＝a1＋4d＝8.5＋4d＝－17.5， 解得d＝－6.5， 所以an＝15－6.5n(1≤n≤10，n∈N＋). 所以a2＝2，a4＝－11，a8＝－37， 即2 km，4 km，8 km高度的气温分别为2 ℃，－11 ℃，－37 ℃. 任务 再现 1.等差数列与一次函数的关系.2.等差中项.3.等差数列的性质.4.等差数列的实际应用 方法 提炼 函数法、列方程组法、转化法、整体代换法 易错 警示 对等差数列的性质不理解而致错；不注意运用性质而出错或解法繁琐 1.若a＝，b＝，则a，b的等差中项为(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：由题意知a，b的等差中项为＋)＝－＋＋)＝.故选A. 2.(多选题)已知各项均为正数的等差数列{an}单调递增，且a5＝2，则(　　) A.公差d的取值范围是 B.2a7＝a9＋2 C.a8＋a4＞a6＋a5 D.a1＋a9＝4 答案：BCD 解析：由题意得d＞0，a1＞0，a5＝2，所以a1＝2－4d＞0，解得d＜，所以d∈，故A错误；由2a7－a9＝(a5＋a9)－a9＝a5＝2，故B正确；由a8＋a4－(a6＋a5)＝a8－a6－(a5－a4)＝2d－d＝d＞0，故a8＋a4＞a6＋a5，故C正确；由等差数列性质，a1＋a9＝2a5＝4，故D正确.故选BCD. 3.有两个等差数列2，6，10，…，190和2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的项数为(　　) A.15 B.16 C.17 D.18 答案：B 解析：由题意知，第一个数列的公差为4，第二个数列的公差为6，故新数列的公差为具有相同首项的两个数列公差的最小公倍数，其公差为12，首项为2，所以通项公式为an＝12n－10，所以12n－10≤190，解得n≤，而n∈N＋，所以n的最大值为16.故选B. 4.诺沃尔(Knowall)在1740年发现了一颗彗星，并推算出在1823年、1906年、1989年……人类都可以看到这颗彗星，即彗星每隔83年出现一次.从发现那次算起，彗星第10次出现的年份是　　　　. 答案：2487 解析：由题意可知，彗星出现的年份构成一个公差为d＝83，首项为a1＝1 740的等差数列，所以an＝a1＋(n－1)d＝1 740＋83(n－1)＝83n＋1 657，当n＝10时，a10＝83×10＋1 657＝2 487，所以彗星第10次出现的年份是2487. 学科网（北京）股份有限公司 $