1.2.2 第1课时 等差数列的前n项和公式-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

2.2　等差数列的前n项和 第1课时　等差数列的前n项和公式 学习目标 1.探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系，提升数学运算、逻辑推理的核心素养.　2.能利用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的计算问题，提升数学运算的核心素养.　3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的实际问题，提升数学建模的核心素养. 任务一　等差数列的前n项和公式 问题1.请同学们欣赏唐代诗人张南史的《花》并回答下面的问题： 花，　　　　　　 花. 深浅，　　　　　　芬葩. 凝为雪，　　　　 错为霞. 莺和蝶到，　　　 苑占宫遮. 已迷金谷路，　　 频驻玉人车. 芳草欲陵芳树，　 东家半落西家. 愿得春风相伴去， 一攀一折向天涯. 从数学的角度来看，这首诗有什么特点？这首诗的内容一共有多少个字？ 提示：诗中文字有对称性；S＝2＋4＋6＋8＋10＋12＋14＝2×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)，根据对称性，可先取其一半来研究.其数的个数较少，大家很容易求出答案. 问题2.网络时代与唐代不同的是，宝塔诗的句数不受限制，如图，从第1行到第n行一共有多少个字？(图中黑点代表字) 提示：法一：对项数分奇数、偶数讨论，认清当项数为奇数时，通过“落单”中间一项或最后一项，转化成项数为偶数来研究.通过计算发现，无论项数是奇数还是偶数，结果都是S＝，可见，结果与项数的奇偶无关. 法二：(如图)在原式的基础上，再加一遍1＋2＋3＋…＋n， 即S＝1＋2＋3＋…＋n，S＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋1， 避免了分类讨论，我们把这种求和的方法称为“倒序相加法”，其本质还是配对，将2n个数重新分组配对求和. 问题3.对于一般的等差数列{an}，设其首项为a1，公差为d.如何求其前n项和Sn？ 提示：倒序相加法 ⇒ 两式相加可得2Sn＝n(a1＋an)，即Sn＝，上述过程实际上用到了等差数列性质里面的首末“等距离”的两项的和相等. 等差数列前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 选用公式 Sn＝ Sn＝na1＋d [微提醒]　(1)第一个公式反映了等差数列的性质，任意第k项与倒数第k项的和都等于首末两项之和.(2)由第二个公式知，当d＝0时，Sn＝na1；当d≠0时，等差数列的前n项和Sn是关于n的没有常数项的“二次函数”.(3)公式里的n表示的是所求等差数列的项数. 在等差数列{an}中，公差为d，前n项和为Sn. (1)已知a1＝，S4＝20，求S6； (2)已知a3＝16，S20＝20，求S10； (3)已知a1＝，d＝－，Sn＝－15，求n及a12； (4)已知a14＝10，求S27. 解：(1)S4＝4a1＋d＝4a1＋6d＝2＋6d＝20，所以d＝3. 故S6＝6a1＋d＝6a1＋15d＝3＋45＝48. (2)由题意得 解得 所以S10＝10×20＋＝200－90＝110. (3)因为Sn＝n·＋·＝－15， 整理得n2－7n－60＝0， 解得n＝12或n＝－5(舍去)， 所以a12＝＋(12－1)×＝－4. (4)因为a14＝10，a1＋a27＝2a14， 所以S27＝＝27a14＝270. 学生用书⬇第18页 等差数列前n项和公式应用的关注点 1.在运用等差数列的前n项和公式来求和时，一般地，若已知首项a1及末项an用公式Sn＝较简便；若已知首项a1及公差d用公式Sn＝na1＋d较好. 2.在运用公式Sn＝求和时，要注意性质“m，n，p，q∈N＋且m＋n＝p＋q⇒am＋an＝ap＋aq”的运用. 3.构成等差数列前n项和公式的元素有a1，d，n，an，Sn，知其三能求余二. 对点练1.在等差数列{an}中： (1)已知a3＝6，S20＝－180，求S10； (2)已知a1＋a2＋a3＋a4＝40，＋＋an－1＋an＝80，Sn＝210，求项数n. 解：(1)设等差数列{an}的公差为d， 则 所以S10＝10×10＋＝100－90＝10. (2)因为a1＋a2＋a3＋a4＝40，＋＋an－1＋an＝80， 所以4(a1＋an)＝40＋80，即a1＋an＝30. 又因为Sn＝＝210， 所以n＝＝14. 任务二　Sn与an的关系 问题4.等差数列(公差不为0)的前n项和Sn能写成关于n的二次函数吗？ 提示：可以；Sn＝na1＋＝n2＋n. 问题5.数列{an}的前n项和为Sn，那么Sn与Sn－1(n≥2)有何关系呢？ 提示：an＝Sn－Sn－1(n≥2). 数列中an与Sn的关系 对于一般数列{an}，设其前n项和为Sn，则有an＝. [微提醒]　(1)上述关系对任何数列都适用.(2)若在由an＝Sn－Sn－1(n≥2)求得的通项公式中，令n＝1求得a1与利用a1＝S1求得的a1相同，则说明an＝Sn－Sn－1(n≥2)所得通项公式也适合n＝1的情况，数列的通项公式用an＝Sn－Sn－1表示.若在由an＝Sn－Sn－1(n≥2)求得的通项公式中，令n＝1求得的a1与利用a1＝S1求得的a1不相同，则说明an＝Sn－Sn－1(n≥2)所得通项公式不适合n＝1的情况，则数列的通项公式采用分段形式. 学生用书⬇第19页 若数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n－1，求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是否是等差数列.若是，请证明；若不是，请说明理由. 解：因为Sn＝2n2－3n－1，① 当n＝1时，a1＝S1＝2－3－1＝－2， 当n≥2时，Sn－1＝2－3－1，② ①－②得an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－1－[2－3－1]＝4n－5， 经检验，当n＝1时，an＝4n－5不成立. 故an＝ 故数列{an}不是等差数列，数列{an}是从第二项起以4为公差的等差数列. [变式探究] (变条件，变设问)本例若把数列{an}的前n项和变为Sn＝2n2＋3n，求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？ 解：当n＝1时，a1＝S1＝5， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋3n)－[2(n－1)2＋3(n－1)]＝4n＋1. 又a1＝5适合上式， 所以an＝4n＋1，n∈N＋. 故数列{an}是等差数列，它的首项是a1＝5，公差是d＝4. 　　在等差数列{an}中，若d≠0，则Sn可写成关于n的二次函数形式，反之，若Sn＝An2＋Bn，那么数列{an}一定是等差数列. 对点练2.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足log2(Sn＋1)＝n＋1，求数列{an}的通项公式. 解：由已知条件，可得Sn＋1＝2n＋1， 则Sn＝2n＋1－1. 当n＝1时，a1＝S1＝3， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1－1)－(2n－1)＝2n. 又当n＝1时，3≠21， 故an＝ 任务三　等差数列前n项和的实际应用 一支车队有15辆车，某天下午依次出发执行运输任务.第一辆车于14时出发，以后每间隔10分钟发出一辆车.假设所有的司机都连续开车，并都在18时停下来休息. (1)截止到18时，最后一辆车行驶了多长时间？ (2)如果每辆车行驶的速度都是60千米/时，这个车队当天一共行驶了多少千米？ 解：(1)第一辆车出发时间为14时，每辆车的间隔时间为10分钟，即为小时， 所以每辆车出发的时间成等差数列{an}，且首项a1＝14，公差d＝， 则第15辆车出发的时间为a15＝a1＋(15－1)×＝14＋＝， 所以第15辆车行驶的时间为18－＝小时， 即1小时40分钟. (2)设每辆车行驶的时间构成等差数列，设为{bn}， 由题意可得{bn}构成首项为b1＝4，公差为d＝－的等差数列， 则15辆车行驶的时间的和为S15＝15×4＋×＝小时， 所以行驶的总里程为S＝×60＝2 550千米. 即车队当天一共行驶了2 550千米. 应用等差数列解决实际问题的一般思路 对点练3.某地为了防止水土流失，植树造林，绿化荒沙地，每年比上一年多植相同公顷数的林木，但由于自然环境和人为因素的影响，每年都有相同公顷数的土地沙化，具体情况如下表所示： 2021年 2022年 2023年 新植公顷数 1 000 1 400 1 800 沙地公顷数 25 200 24 000 22 400 学生用书⬇第20页 而一旦植完，则不会被沙化. (1)每年沙化的土地公顷数为多少？ (2)到哪一年可绿化完全部荒沙地？ 解：(1)依题意，每年比上一年多造林400公顷，其中2022年新植1 400公顷， 故当年沙地为25 200－1 400＝23 800(公顷)， 而实际沙地面积为24 000公顷， 所以2022年沙化土地面积为24 000－23 800＝200(公顷)， 同理可得2023年沙化土地面积也为200公顷， 所以每年沙化的土地面积为200公顷. (2)设2023年及其以后各年的造林面积分别为a1，a2，a3，…，an， 则an＝1 800＋(n－1)×400＝400n＋1 400， 所以n年造林的面积总和为Sn＝1 800n＋×400. 由(1)知，每年林木的“有效面积”应比实际面积少200公顷， 依题意可得Sn－200n≥24 000， 化简得n2＋7n－120≥0， 又n∈N＋，故解得n≥8， 即到2030年可绿化完全部荒沙地. [教材拓展2]　倒序相加法求和(源于教材P16－抽象概括) (1)在推导等差数列前n项和的过程中，我们使用了倒序相加的方法，类比可以求得sin21°＋sin22°＋…＋sin289°＝　　　　. (2)德国数学家高斯被认为是世界上最重要的数学家之一，享有“数学王子”的美誉.他幼年时就表现出超人的数学天赋，10岁时，他在进行1＋2＋…＋100的求和运算时，就提出了倒序相加的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成.已知某数列通项an＝，则a1＋a2＋…＋a2 025＝　　　　　　. 答案：(1)　(2)2 025 解析：(1)令S＝sin21°＋sin22°＋…＋sin289°，则S＝sin289°＋sin288°＋…＋sin21°，两式相加可得2S＝＋＋…＋＝＋(sin22°＋cos22°)＋…＋＝89，所以S＝，即sin21°＋sin22°＋…＋sin289°＝. (2)因为an＋a2 026－n＝＋＝＝2，所以a1＋a2 025＝a2＋a2 024＝…＝a1 012＋a1 014＝2a1 013＝2，因此a1＋a2＋…＋a2 025＝1 012×2＋1＝2 025. 任务 再现 1.等差数列前n项和及其计算公式.2.由Sn与an的关系求an.3.等差数列前n项和在实际问题中的应用 方法 提炼 函数与方程思想、倒序相加法、整体思想 易错 警示 由Sn求通项公式时忽略对n＝1的讨论 1.若等差数列{an}的前5项和S5＝25，且a2＝3，则a7等于(　　) A.12 B.13 C.14 D.15 答案：B 解析：因为S5＝＝5a3＝25，所以a3＝5，所以d＝a3－a2＝5－3＝2，所以a7＝a2＋5d＝3＋10＝13.故选B. 2.(2023·全国甲卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a2＋a6＝10，a4a8＝45，则S5＝(　　) A.25 B.22 C.20 D.15 答案：C 解析：法一：设等差数列{an}的公差为d，首项为a1，依题意可得，a2＋a6＝a1＋d＋a1＋5d＝10，即a1＋3d＝5，又a4a8＝(a1＋3d)(a1＋7d)＝45，解得d＝1，a1＝2，所以S5＝5a1＋×d＝5×2＋10＝20.故选C. 法二：a2＋a6＝2a4＝10，a4a8＝45，所以a4＝5，a8＝9，从而d＝＝1，于是a3＝a4－d＝5－1＝4，所以S5＝5a3＝20.故选C. 3.(数学文化)朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如象招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人.”其大意为“官府陆续派遣1 864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人.”在该问题中的1 864人全部派遣到位需要的天数为(　　) A.9 B.16 C.18 D.20 答案：B 解析：根据题意设每天派出的人数组成数列{an}，分析可得数列是首项a1＝64，公差d＝7的等差数列，设该问题中的1 864人全部派遣到位的天数为n，则64n＋×7≥1 864，且n为满足条件的最小正整数.依次将选项中的n值代入检验得，n＝16满足题意.故选B. 4.已知数列{an}满足前n项和Sn＝n2－3n＋3，则{an}的通项公式为　　　　　　. 答案：an＝ 解析：根据已知条件知，当n＝1时，a1＝S1＝1－3＋3＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－3n＋3－(n－1)2＋3(n－1)－3＝2n－4(n＝1不适合).综上，an＝ 学科网（北京）股份有限公司 $