1.2.1 第1课时 等差数列的概念及其通项公式-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

§2　等差数列 2.1　等差数列的概念及其通项公式 第1课时　等差数列的概念及其通项公式 学习目标 1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义，培养数学抽象的核心素养.　2.体会等差数列与一元一次函数的关系，培养数学抽象的核心素养.　3.掌握等差数列的通项公式、等差数列的判断与证明方法，提升数学运算的核心素养. 任务一　等差数列的概念 问题1.观察下面的3个数列，它们有什么共同特征？ (1)我国有用十二生肖纪年的习惯，例如，2026年是马年，从2017年开始，马年的年份为2026，2038，2050，2062，2074，2086，…； (2)我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示，常用确定鞋号的脚长值按从大到小的顺序可排列为275，270，265，260，255，250，…； (3)第25届冬奥会将在2026年2月在意大利举办，从第19届到第25届冬奥会举办的年份依次为2002，2006，2010，2014，2018，2022，2026. 提示：(1)2038－2026＝2050－2038＝2062－2050＝…＝2086－2074＝12； (2)270－275＝265－270＝260－265＝…＝250－255＝－5； (3)2006－2002＝2010－2006＝2014－2010＝2018－2014＝2022－2018＝2026－2022＝4. 即都满足从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数. 等差数列的定义 文字 语言 对于一个数列，如果从第2项起，每一项与它的前一项的差都是同一个常数，那么称这样的数列为等差数列，称这个常数为等差数列的公差，通常用字母d表示 符号 语言 an＋1－an＝d(n∈N＋)或an－an－1＝d(n≥2，n∈N＋) [微提醒]　(1)“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合.(2)“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去它的前项”，强调了：①作差的顺序；②这两项必须相邻.(3)定义中的“同一个常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列. (多选题)(链教材P12例1)下列说法中正确的是(　　) A.数列6，4，2，0是公差为2的等差数列 B.数列a，a－1，a－2，a－3是公差为－1的等差数列 C.数列{2n＋1}是等差数列 D.数列{an}中，a1＝a2＝1，an＝an－1＋2(n≥3)，则数列{an}是等差数列 答案：BC 解析：对于A，数列是公差为－2的等差数列；对于B，a－1－a＝a－2－(a－1)＝a－3－(a－2)＝－1，是公差为－1的等差数列；对于C，an＋1－an＝2(n＋1)＋1－2n－1＝2为常数，是等差数列；对于D，a2－a1＝0，an－an－1＝2(n≥3)，数列{an}不是等差数列.故选BC. 学生用书⬇第9页 　　判断一个数列是不是等差数列，就是判断该数列从第2项起，每一项减去前一项的差是否为同一个常数，即验证an＋1－an(n∈N＋)是不是一个与n无关的常数. 对点练1.(1)(多选题)下列数列是等差数列的是(　　) A.1，1，1，1，1 B.4，7，10，13，16 C.，，1，， D.－3，－2，－1，1，2 (2)若数列{an}满足3an＋1＝3an＋1，则数列{an}(　　) A.是公差为1的等差数列 B.是公差为的等差数列 C.是公差为－的等差数列 D.不是等差数列 答案：(1)ABC　(2)B 解析：(1)由等差数列的定义得，对于A，d＝0，故是等差数列；对于B，d＝3，故是等差数列；对于C，d＝，故是等差数列；对于D，每一项与前一项的差不是同一个常数，故不是等差数列.故选ABC. (2)由3an＋1＝3an＋1，得3an＋1－3an＝1，即an＋1－an＝，所以数列{an}是公差为的等差数列.故选B. 任务二　等差数列的通项公式 问题2.根据等差数列的定义，你能推导它的通项公式吗？ 提示：设一个等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由等差数列的定义可知，an－an－1＝d(n≥2)， 法一(迭代法)：an＝an－1＋d，故有a2＝a1＋d，a3＝a2＋d＝a1＋2d，a4＝a3＋d＝a1＋3d，… 归纳可得，an＝a1＋(n－1)d(n≥2).当n＝1时上式成立，故an＝a1＋(n－1)d(n∈N＋). 法二(累加法)：a2－a1＝d，a3－a2＝d，a4－a3＝d，…，an－an－1＝d， 左右两边分别相加可得，an－a1＝(n－1)d，即an＝a1＋(n－1)d(n≥2).当n＝1时上式成立，故an＝a1＋(n－1)d(n∈N＋). 等差数列的通项公式 若首项是a1，公差是d，则等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d. [微提醒]　(1)等差数列的通项公式是关于三个基本量a1，d，n的表达式，所以由首项a1和公差d可以求出数列中的任意一项.(2)等差数列的通项公式可以推广为an＝am＋(n－m)d，它阐明了等差数列中任意两项的关系；也可以变形为d＝(n≠m)，知道等差数列中任意两项，可以求公差d. 角度1　等差数列的基本运算 (链教材P12例2)在等差数列{an}中，公差为d. (1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13； (2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2a5＝52，求公差d. 解：(1)由题意得(a1＋d)＋(a1＋2d)＋(a1＋22d)＋(a1＋23d)＝48， 即4(a1＋12d)＝48， 所以4a13＝48，所以a13＝12. (2)由题意得 解得 所以d＝3或d＝－3. 角度2　求通项公式 (链教材P13例3)已知在等差数列{an}中，a5＝－20，a20＝－35.试求出数列的通项公式. 解：设{an}的通项公式是an＝a1＋(n－1)d， 由已知得 解得 故数列{an}的通项公式为an＝－16＋(n－1)(－1)＝－15－n. 学生用书⬇第10页 [变式探究] (变条件、变设问)本例若改为等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试判断2 025是不是这个数列的项，如果是，是第几项？ 解：设首项为a1，公差为d，则an＝a1＋(n－1)d，n∈N＋， 由已知得 所以an＝－23＋(n－1)×4＝4n－27，n∈N＋， 令an＝2 025，即4n－27＝2 025，解得n＝513∈N＋， 所以2 025是所给数列的第513项. 等差数列的通项公式及其应用 1.已知an，a1，n，d中的任意三个量，可求出第四个量. 2.由等差数列的通项公式可以求出该数列中的任意项，也可以判断某一个数是不是该数列中的项. 3.根据等差数列的两个已知条件建立关于“基本量”a1和d的方程组，求出a1和d，从而确定通项公式，求得所要求的项. 对点练2.在等差数列{an}中， (1)若a5＝15，a17＝39，试判断91是否为此数列中的项； (2)若a2＝11，a8＝5，求a10. 解：(1)因为 所以an＝7＋2(n－1)＝2n＋5，n∈N＋. 令2n＋5＝91，得n＝43. 因为43为正整数，所以91是此数列的第43项. (2)设{an}的公差为d， 则 所以an＝12＋(n－1)×(－1)＝13－n，n∈N＋， 所以a10＝13－10＝3. 任务三　综合应用 应用1　等差数列的判定与证明 已知数列{an}满足an＋1＝，且a1＝3(n∈N＋). (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列{an}的通项公式. 解：(1)证明：因为an＋1＝，所以＝＝＝＝＝＋， 得－＝，n∈N＋， 故数列是等差数列. (2)由(1)知＝＋(n－1)×＝， 所以an＝，n∈N＋. 　　证明一个数列是等差数列的基本方法是定义法，即证明an－an－1＝d(n∈N＋，n≥2，d为常数)或an＋1－an＝d(n∈N＋，d为常数)；若证明一个数列不是等差数列，则只需举出反例即可. 对点练3.已知数列{an}满足a1＝2，若an＋1＝2an＋2n＋1. (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列{an}的通项公式. 解：(1)证明：由于an＋1＝2an＋2n＋1， 所以－＝－＝1， 所以＝1为首项，1为公差的等差数列. (2)由(1)知，＝1＋(n－1)×1＝n， 所以an＝n·2n. 学生用书⬇第11页 应用2　等差数列中常见的设元技巧 (1)三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数； (2)四个数成等差数列且公差d＞0，中间两项的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数. 解：(1)设这三个数依次为a－d，a，a＋d， 由题意，知 所以这三个数为4，3，2. (2)法一：设这四个数为a－3d1，a－d1，a＋d1，a＋3d1(公差为2d1)， 依题意，2a＝2，且(a－3d1)(a＋3d1)＝－8，即a＝1，a2－9＝－8， 所以＝1，所以d1＝1或d1＝－1. 又因为d＞0，所以2d1＝d＞0， 所以d1＝1，故所求的四个数为－2，0，2，4. 法二：设这四个数为a，a＋d，a＋2d，a＋3d(公差为d)， 依题意， 解得(舍去). 故所求的四个数为－2，0，2，4. 等差数列中常见的设元技巧 1.某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为a－d，a＋d，公差为2d. 2.三个数成等差数列且知其和，常设此三数为a－d，a，a＋d，公差为d. 3.四个数成等差数列且知其和，常设成a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，公差为2d. 对点练4.已知四个数成等差数列，四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数. 解：设这四个数依次为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d).由题意知， 解得 故这四个数为2，5，8，11或11，8，5，2. 任务 再现 1.等差数列的概念、判定.2.等差数列的通项公式.3.利用定义判断或证明一个数列是等差数列.4.等差数列中常见的设元技巧 方法 提炼 定义法、列方程组法、迭代法、构造法 易错 警示 n的范围把握不清晰 1.在等差数列{an}中，a3＝5，a6＝8，则公差d等于(　　) A. B.－ C.1 D.－1 答案：C 解析：因为a3＝5，a6＝8，所以d＝＝1.故选C. 2.若数列{an}的通项公式为an＝2n＋5，则此数列(　　) A.是公差为2的等差数列 B.是公差为5的等差数列 C.是首项为5的等差数列 D.是公差为n的等差数列 答案：A 解析：因为an＋1－an＝2(n＋1)＋5－(2n＋5)＝2，所以{an}是公差为2的等差数列.故选A. 3.等差数列－3，－7，－11，…的通项公式an＝　　　　　　　. 答案：－4n＋1 解析：a1＝－3，d＝a2－a1＝－7－(－3)＝－4，所以an＝a1＋(n－1)d＝－4n＋1. 4.设{an}是等差数列，且a1＝3，a2＋a4＝14，若am＝37，则m＝　　　. 答案：18 解析：设该等差数列的公差为d，因为a1＝3，所以由a2＋a4＝14，得3＋d＋3＋3d＝14，所以d＝2.故由am＝37，得3＋(m－1)×2＝37，所以m＝18. 学科网（北京）股份有限公司 $