1.1.1 数列的概念-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

§1　数列的概念及其函数特性 1.1　数列的概念 学习目标 1.了解数列及其有关概念，培养数学抽象的核心素养.　2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项，培养数学抽象的核心素养.　3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式，提升数学运算的核心素养. 任务一　数列的概念与分类 问题1.观察以下几列数： (1)古埃及“阿默斯”画了一个阶梯，上面的数字依次为：7，49，343，2 401，16 807； (2)战国时期庄周引用过一句话：一尺之棰，日取其半，万世不竭.这句话中隐藏着一列数：1，，，，，…； (3)从学号1开始，记下本班的每一个同学参加高考的时间：2 026，2 026，…，2 026； (4)小明为了记住刚设置的手机密码，只听他不停地说：7，0，2，5，7，0，2，5，…； (5)－的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂…依次排成一列数：－，，－，，…. 你能找到上述例子中的共同点和不同点吗？ 提示：共同点：都是按照确定的顺序进行排列的.不同点：从项数上来看：(1)(3)项数有限，(2)(4)(5)项数无限；从项的变化上来看：(1)每一项在依次变大，(2)每一项在依次变小，(3)项没有发生变化，(4)项呈现周期性的变化，(5)项的大小交替变化. 1.数列的概念 (1)按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项. (2)数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，或简记为数列{an}，其中a1是数列的第1项，也叫数列的首项；an是数列的第n项，也叫数列的通项. 2.数列的分类 项数有限的数列，称为有穷数列；项数无限的数列，称为无穷数列. [微提醒]　(1)数列概念中“按一定次序排列”是关键，数字相同，排列顺序不同的两列数不是同一数列. (2)有穷数列与无穷数列的分类标准是数列项数是有限还是无限. 下列说法正确的是(　　) A.数列1，2，3，4，5，6与数列1，2，5，6，3，4是同一个数列 B.数列1，2，3，4，5，6可以表示为{1，2，3，4，5，6} C.0，2，4，6，8，…，2n是无穷数列 D.1，1，1，1，1，…是一个数列 答案：D 解析：两个数列只有元素相同，排列顺序也相同时，才是同一个数列，故A不正确；数列与集合不同，数列不能表示成集合的形式，故B不正确；当n确定后，数列0，2，4，6，8，…，2n的项数就确定了，所以该数列是有穷数列，故C不正确；根据数列定义知D正确.故选D. 学生用书⬇第2页 数列概念的三个注意点 1.数列{an}表示数列a1，a2，a3，…，an，…，不是表示一个集合，与集合表示有本质的区别. 2.如果组成数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列. 3.同一个数在数列中可以重复出现. 对点练1.下列说法正确的是(　　) A.－4，5，2，，不是数列 B.数列{an}的前4项为1，2，3，4，则第5项一定是5 C.－1，1，3，5，…是数列 D.数列0，2，4，6，8，…是有穷数列 答案：C 解析：对于A，－4，5，2，，是数列；对于B，数列的第5项不一定为5；对于D，数列应为无穷数列；根据数列定义C显然正确.故选C. 任务二　数列的通项公式 问题2.观察下面的数列，能否用一个式子表示数列中的每一项？这个式子是什么？ (1)1，2，3，4，5，…； (2)2，4，6，8，10，…； (3)，，，，，…. 提示：能.(1)an＝n，n∈N＋；(2)an＝2n，n∈N＋；(3)an＝，n∈N＋. 数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成an＝f(n)，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式.数列也可以看作定义域为正整数集N＋(或其子集)的函数. [微提醒]　(1)不是所有的数列都能写出通项公式，若数列有通项公式，形式也不一定是唯一的.(2)数列通项公式的作用：①求数列中的任意一项；②判断某数是不是该数列中的项. (链教材P4例2)写出下列各数列的一个通项公式： (1)－1，，－，，…； (2)，，，，…； (3)，2，，8，…； (4)0，1，0，1，…； (5)9，99，999，9 999，…. 解：(1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为负，偶数项为正， 所以它的一个通项公式为an＝，n∈N＋. (2)这个数列的前4项的分母都是比序号大1的数，分子都是比序号大1的数的平方减1， 所以它的一个通项公式为an＝，n∈N＋. (3)数列中的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：，，，， 所以它的一个通项公式为an＝，n∈N＋. (4)这个数列中的项是0与1交替出现，奇数项都是0，偶数项都是1，所以通项公式可以写成an＝也可以写成an＝(n∈N＋)或an＝(n∈N＋). (5)各项加1后，变为10，100，1 000，10 000，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an＝10n－1，n∈N＋. [变式探究] (变条件)根据本例中的第(5)题，试解决以下3个问题： 1.试写出前4项为1，11，111，1 111的一个通项公式. 解：由本例的第(5)题可知，每一项除以9即可， 即an＝(10n－1)，n∈N＋. 2.试写出前4项为7，77，777，7 777的一个通项公式. 解：由本例的第(5)题可知，每一项乘即可， 即an＝(10n－1)，n∈N＋. 3.试写出前4项为0.8，0.88，0.888，0.888 8的一个通项公式. 解：原数列前4项可变形为，(1－)，，，故所给数列的一个通项公式为an＝，n∈N＋. 学生用书⬇第3页 根据数列的前几项求通项公式的解题思路 1.先统一项的结构，如都化成分数、根式等. 2.分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式. 3.对于正负交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)n或(－1)n＋1处理符号. 4.对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等. 对点练2.写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)，，，； (2)－，，－，； (3)3，4，3，4； (4)6，66，666，6 666. 解：(1)4个项都是分数，它们的分子依次为2，22，23，24，分母是正奇数，依次为2×1＋1，2×2＋1，2×3＋1，2×4＋1，所以给定4项都满足的一个通项公式为an＝. (2)4个项按先负数，后正数，正负相间排列，其绝对值的分子依次为1，2，3，4，分母比对应分子多1，所以给定4项都满足的一个通项公式为an＝(－1)n. (3)4个项是第1，3项均为3，第2，4项均为4，所以给定4项都满足的一个通项公式为an＝(k∈N＋). (4)4个项都是由数字6组成的正整数，其中6的个数与对应项数一致，依次可写为6＝(10－1)，66＝(102－1)，666＝(103－1)，6 666＝(104－1)，所以给定4项都满足的一个通项公式为an＝(10n－1). 任务三　数列通项公式的应用 已知数列{an}的通项公式为an＝，n∈N＋. (1)求a10； (2)是不是这个数列中的项？ (3)这个数列中有多少项是整数？ (4)该数列中是否有等于项数的项？若有，求出该项；若没有，说明理由. 解：(1)a10＝＝. (2)令＝，得n＝100，故是这个数列中的项. (3)易知an＝1＋，若an是整数，则n＝1，2，3，6，故这个数列中共有4项是整数. (4)令＝n，得n2－n－6＝0，解得n＝3或n＝－2(舍去). 故该数列中有等于项数的项，该项为a3＝3. 通项公式应用的常见题型及其解法 1.由通项公式写出数列的某项.就是把n的值代入通项公式进行计算，相当于函数中，已知函数解析式和自变量求函数值. 2.判断一个数是否为该数列中的项.由an等于这个数解出n，根据n是否为正整数便可确定这个数是否为数列中的项. 对点练3.已知数列{an}的通项公式为an＝. (1)计算a3＋a4的值； (2)是不是该数列中的项？若是，应为第几项？若不是，说明理由. 解：(1)因为an＝， 所以a3＝＝，a4＝＝， 所以a3＋a4＝＋＝. (2)若为数列{an}中的项， 则＝， 所以n(n＋2)＝120，所以n2＋2n－120＝0， 所以n＝10或n＝－12(舍)， 即是数列{an}的第10项. 任务 再现 1.数列及其有关概念.2.数列的分类.3.数列的通项公式及应用 方法 提炼 观察归纳猜想、方程思想 易错 警示 归纳法求数列的通项公式时归纳不全面；不注意用(－1)n进行调节，不注意分子、分母间的联系 学生用书⬇第4页 1.下列说法中，正确的是(　　) A.数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7} B.1，－1，1，－1，1，－1，…是有穷数列 C.数列中的项可以相等 D.数列a，b，c和数列c，b，a一定不是同一数列 答案：C 解析：对于A，{1，3，5，7}不表示数列，故A错误；对于B，数列1，－1，1，－1，1，－1，…是无穷数列，故B错误；对于C，数列中的项可以相等，故C正确；对于D，当a＝c时，数列a，b，c和数列c，b，a表示同一数列，故D错误.故选C. 2.已知数列{n(n－2)}，那么下列各数中是该数列的项的是(　　) A.1 B.36 C.－48 D.－1 答案：D 解析：分别令n(n－2)＝1，36，－48，－1进行验证.当n(n－2)＝－1时，n＝1.其他均不合适.故选D. 3.数列，，，1，，，…的一个通项公式为an＝　　　　. 答案： 解析：将原数列变形为，，，，，，…，所以an＝. 4.观察数列的特点，用一个适当的数填空：1，，，，　　　　，，…. 答案：3 解析：由于数列的前几项中根号下的数都是由小到大的奇数，所以需要填空的数为＝3. 学科网（北京）股份有限公司 $