第二章 重点突破6 导数中的函数构造问题-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

本高中数学讲义聚焦导数中构造函数的核心知识点，系统梳理直接构造、与x构造、与e^x构造及与sinx, cosx构造等常见形式，通过例题解析与变式探究搭建学习支架，帮助学生掌握构造函数解决比较大小、解不等式等问题的方法。 资料以高考真题为切入点，如2022全国甲卷实例，引导学生用数学眼光发现问题本质，通过构造函数的推理过程培养数学思维，以规范的函数构造语言表达解题思路。课中辅助教师高效授课，课后通过对点练帮助学生查漏补缺，提升解决导数应用问题的能力。

学习目标 1.了解导数中几种常见的构造函数的形式.　2.会根据要求通过构造函数解决一些简单的问题. 题型一　直接构造函数 (2022·全国甲卷)已知9m＝10，a＝10m－11，b＝8m－9，则(　　) A. a＞0＞b B. a＞b＞0 C. b＞a＞0 D. b＞0＞a 答案：A 解析：由9m＝10，所以m∈(1，)，又由已知可以得到9m－9－1＝0，a＝10m－10－1，b＝8m－8－1，令f(x)＝xm－x－1(x≥8)，所以f'(x)＝m－1(x≥8)单调递增，且f'(x)＞0，所以f(x)＝xm－x－1(x≥8)单调递增，所以f(10)＞f(9)＞f(8)，又因为f(9)＝0，所以f(10)＞0＞f(8)，所以a＞0＞b.故选A. 　　变形原等式，直接构造新函数，再运用函数的单调性比较大小或解不等式. 对点练1. 已知a＝1012，b＝1111，c＝1210，则a，b，c的大小关系为(　　) A.b＞c＞a B.b＞a＞c C.a＞c＞b D.a＞b＞c 答案：D 解析：构造f(x)＝ln x，x≥10，f'(x)＝－ln x＋－1，因为f'(x)在上为减函数，且f'＝－ln 10＋－1＝－ln 10＜－ln e2＝－2＜0，所以f'(x)＝－ln x＋－1＜0在上恒成立，故f(x)＝ln x在上单调递减，所以f＞f＞f，即12ln 10＞11ln 11＞10ln 12，所以1012＞1111＞1210，即a＞b＞c.故选D. 题型二　利用f(x)与x构造 已知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f'(x)为f(x)的导函数，且满足f(x)＜－xf'(x)，则不等式f(x＋1)＞(x－1)f(x2－1)的解集是(　　) A.(0，1) B.(2，＋∞) C.(1，2) D.(1，＋∞) 答案：B 解析：构造函数y＝xf(x)，x∈(0，＋∞)，则y'＝f(x)＋xf'(x)＜0，所以函数y＝xf(x)在(0，＋∞)上单调递减.又因为f(x＋1)＞(x－1)f(x2－1)，所以(x＋1)f(x＋1)＞(x2－1)f(x2－1)，所以x＋1＜x2－1，且x2－1＞0，x＋1＞0，解得x＞2或x＜－1(舍去)，所以不等式f(x＋1)＞(x－1)f(x2－1)的解集是(2，＋∞).故选B. [变式探究] 　(变条件，变设问)把本例中的条件“f(x)＜－xf'(x)”换为“f(x)＜xf'(x)”，解不等式(x2＋1)f(2x＋1)＞(2x＋1)f(x2＋1). 解：设g(x)＝，则g'(x)＝， 因为f(x)＜xf'(x)， 所以g'(x)＞0，故g(x)在(0，＋∞)上单调递增. 由(x2＋1)f(2x＋1)＞(2x＋1)f(x2＋1)得，＞， 即g(2x＋1)＞g(x2＋1)， 所以解得0＜x＜2. 即不等式(x2＋1)f(2x＋1)＞(2x＋1)f(x2＋1)的解集为(0，2). 用函数单调性比较大小或解不等式时常构造函数 常见的有：1.对于f'(x)＞g'(x)，构造h(x)＝f(x)－g(x). 2.对于f'(x)＋g'(x)＞0，构造h(x)＝f(x)＋g(x). 3.对于f'(x)＞a，构造h(x)＝f(x)－ax. 4.对于xf'(x)＋f(x)＞0，构造h(x)＝xf(x). 5.对于xf'(x)－f(x)＞0，构造h(x)＝. 学生用书⬇第92页 对点练2.已知函数f(x)是(0，＋∞)上的可导函数，且f'(x)＋＞0，则(　　) A.f(3)＞f(2) B.f(3)＜f(2) C.3f(3)＞2f(2) D.3f(3)＜2f(2) 答案：C 解析：因为f'(x)＋＞0，所以当x＞0时，有xf'(x)＋f(x)＞0.令g(x)＝xf(x)，则当x＞0时，g'(x)＝xf'(x)＋f(x)＞0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以g(3)＞g(2)，即3f(3)＞2f(2)，故选C. 题型三　利用f(x)与ex构造 已知f(x)为R上的可导函数，其导函数为f'(x)，且对于任意的x∈R，均有f(x)＋f'(x)＞0，则(　　) A.e－2 026f(－2 026)＜f(0)，e2 026f(2 026)＞f(0) B.e－2 026f(－2 026)＜f(0)，e2 026f(2 026)＜f(0) C.e－2 026f(－2 026)＞f(0)，e2 026f(2 026)＞f(0) D.e－2 026f(－2 026)＞f(0)，e2 026f(2 026)＜f(0) 答案：A 解析：令h(x)＝exf(x)，则h'(x)＝exf(x)＋exf'(x)＝ex[f(x)＋f'(x)]＞0，所以函数h(x)在R上单调递增，故h(－2 026)＜h(0)，即e－2 026f(－2 026)＜e0f(0)，即e－2 026f(－2 026)＜f(0).同理，h(2 026)＞h(0)，即e2 026f(2 026)＞f(0).故选A. [变式探究] 　(变条件，变设问)把本例中的条件“f(x)＋f'(x)＞0”换为“f'(x)＞f(x)”，比较e2 026·f(－2 026)和f(0)的大小. 解：令g(x)＝，则g'(x)＝.因为对任意的x∈R，都有f'(x)＞f(x)，所以g'(x)＞0，即g(x)在R上单调递增.所以g(－2 026)＜g(0)，即＜，所以e2 026f(－2 026)＜f(0). f(x)与ex构造常见的形式 1.对于f'(x)＋f(x)＞0，构造h(x)＝exf(x). 2.对于f'(x)＞f(x)，构造h(x)＝. 对点练3.(多选题)已知函数f(x)的导函数为f'(x)，且f'(x)＜f(x)对任意的x∈R恒成立，则(　　) A.f(ln 2)＜2f(0) B.f(2)＜e2f(0) C.f(ln 2)＞2f(0) D.f(2)＞e2f(0) 答案：AB 解析：令g(x)＝，则g'(x)＝＜0，所以g(x)在R上单调递减，又ln 2＞0，2＞0，所以g(ln 2)＜g(0)，g(2)＜g(0)，即＜，＜，所以f(ln 2)＜2f(0)，f(2)＜e2f(0).故选AB. 题型四　利用f(x)与sin x，cos x构造 已知偶函数f(x)的定义域为，其导函数为f'(x)，当0＜x＜时，有f'(x)cos x＋f(x)sin x＜0成立，则关于x的不等式f(x)＜2fcos x的解集为(　　) A.∪ 　B. C. 　D. 答案：A 解析：因为偶函数f(x)的定义域为，设g(x)＝，则g(－x)＝＝，即g(x)也是偶函数.当0＜x＜时，根据题意g'(x)＝＜0，则g(x)在上是减函数，而函数g(x)为偶函数，则g(x)在(－，0)上是增函数.于是，f(x)＜2fcos x⇔＜⇔g(x)＜g，所以所以x∈∪.故选A. f(x)与sin x，cos x构造常见的形式 1.对于f'(x)sin x＋f(x)cos x＞0，构造函数h(x)＝f(x)sin x. 2.对于f'(x)sin x－f(x)cos x＞0，构造函数h(x)＝. 3.对于f'(x)cos x－f(x)sin x＞0，构造函数h(x)＝f(x)cos x. 4.对于f'(x)cos x＋f(x)sin x＞0，构造函数h(x)＝. 对点练4.已知函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，函数y＝f(x)对于任意的x∈(0，π)满足f'(x)sin x＞f(x)cos x(其中f'(x)是函数f(x)的导函数)，则下列不等式成立的是(　　) A.f ＞－f B.f ＜－f C.f ＞2f D.f ＜f 答案：C 解析：由已知，得f(x)为奇函数，由函数y＝f(x)对于任意的x∈(0，π)满足f'(x)sin x＞f(x)cos x，得f'(x)·sin x－f(x)cos x＞0，即'＞0，所以构造函数y＝，知y＝在(0，π)上单调递增，又因为y＝为偶函数，所以y＝在(－π，0)上单调递减.对于A，＞，即f()＞f()，所以f(－)＝－f()＜－f()，故A错误；对于B，＞，即f()＞f()＝－f(－)，故B错误；对于C，＜，即f ＞2f ，故C正确；对于D，＞，即f()＞f()，故D错误.故选C. 学生用书⬇第93页 1.已知f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf'(x)＋f(x)≤0，对任意的正数a，b，若a＜b，则必有(　　) A.bf(b)≤af(a) B.bf(a)≤af(b) C.af(a)≤bf(b) D.af(b)≤bf(a) 答案：A 解析：设g(x)＝xf(x)，x∈(0，＋∞)，则g'(x)＝xf'(x)＋f(x)≤0，所以g(x)在区间(0，＋∞)上单调递减或g(x)为常函数.因为a＜b，所以g(a)≥g(b)，即af(a)≥bf(b)，故选A. 2.若asin a－bsin b＜b2－a2，则(　　) A.｜a｜＜｜b｜ B.a＜b C.｜a｜＞｜b｜ D.a＞b 答案：A 解析：由asin a－bsin b＜b2－a2，得asin a＋a2＜bsin b＋b2.令f(x)＝xsin x＋x2，x∈R，则f(a)＜f(b).易知f(x)的定义域关于原点对称，且f(－x)＝xsin x＋x2＝f(x)，所以f(x)是R上的偶函数.易得f'(x)＝2x＋sin x＋xcos x，当x∈时，f'(x)＞0；当x∈时，f'(x)＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增.又因为f(x)是R上的偶函数，所以f(x)在(－∞，0)上单调递减.所以｜a｜＜｜b｜.故选A. 3.设函数f'(x)是定义在(0，π)上的函数f(x)的导函数，有f'(x)cos x－f(x)sin x＞0，若a＝f，b＝0，c＝－f，则a，b，c的大小关系是　　　　. 答案：a＜b＜c 解析：设函数g(x)＝f(x)cos x，则g'(x)＝f'(x)cos x－f(x)sin x.因为f'(x)cos x－f(x)sin x＞0，所以g'(x)＞0，所以g(x)在(0，π)上单调递增.又a＝f＝fcos ＝g，b＝0＝fcos ＝g，c＝－f＝fcos ＝g，所以a＜b＜c. 4.已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f'(x)，且满足f'(x)＜f(x)，f(0)＝，则不等式f(x)－ex≥0的解集为　　　　. 答案：(－∞，0] 解析：因为f'(x)＜f(x)，所以f'(x)－f(x)＜0.令g(x)＝，则g'(x)＝＜0，故g(x)在R上单调递减.又f(0)＝，则不等式f(x)－ex≥0可化为≥＝，即g(x)≥g(0)，所以x≤0，即不等式f(x)－ex≥0的解集为(－∞，0]. 学科网（北京）股份有限公司 $