精品解析：甘肃甘南藏族自治州临潭县第二中学2025-2026学年下学期开学测试卷高二数学

临潭县第二中学2025-2026学年下学期开学测试卷 高二 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.考试范围：湘教版（2019）选择性必修第一册第1-4章+选择性必修第二册第1章 第一部分（选择题 共58分） 一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出直线的斜率，然后根据斜率的定义即可求得倾斜角. 【详解】直线可化为， 则斜率，又倾斜角，满足， 所以倾斜角为. 故选：D 2. 在等差数列中，，则（ ） A. 18 B. 20 C. 22 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列通项公式的基本量运算求得公差，再由通项公式得项． 【详解】设公差为，则由得，解得， 所以， 故选：B． 3. 已知函数，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】求导，即可代入求解. 【详解】由得， 故， 故选：B 4. 已知点在抛物线上，F是抛物线C的焦点．若，则（ ） A. 4 B. 2 C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由抛物线的定义即可求解； 【详解】根据抛物线的定义，得，解得． 将点的坐标代入，得或（舍去） 故选：A 5. 某高校派出5名学生去三家公司实习，每位同学只能前往一家公司实习，并且每个公司至少有一名同学前来实习，已知甲乙两名同学同时去同一家公司实习，则不同的安排方案有（ ） A. 48种 B. 36种 C. 24种 D. 18种 【答案】B 【解析】 【分析】先安排甲乙，共有3种安排，剩下的3人分两类：第一类三个人去三个公司，第二类是三个人去除甲乙去的公司的另外两个公司，然后用分类加法计数原理和分步乘法计数原理即可得解. 【详解】因为甲乙两名同学要求同时去同一家公司实习，先安排甲乙，从三家公司中选一家公司共有3种选法； 剩下的3人分两类：第一类三个人去三个公司，一家公司一个人，共有种安排方法；第二类三个人去除甲乙去的公司的另外两个公司，必有两个人去一家公司，所以共有种安排方法； 所以共有不同的安排方案有种， 故选：B. 6. 设为正项等比数列的前n项和，已知，，则（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用等比数列片段和的性质列方程求. 【详解】由等比数列片段和的性质知，， 所以且，则， 所以，则. 故选：A 7. 已知直线与圆相交于A,B两点，则的周长为（ ） A. 26 B. 18 C. 14 D. 13 【答案】B 【解析】 【分析】先得到圆心和半径，进而求得弦长即可. 【详解】由，得， 所以圆心为,半径， 圆心C到直线l的距离， 所以， 所以的周长为． 故选：B． 8. 若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的导数，再利用给定单调区间及单调性列出列式，分离参数求解即得. 【详解】函数，求导得， 由在上单调递增，得，，而恒有， 则，又时，，在上单调递增， 所以实数a的取值范围是. 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某中学五名高一学生选择甲、乙、丙、丁四个社团进行实践活动，每名学生只能选一个社团，则下列结论中正确的是（ ） A. 所有不同的分派方案共种 B. 若甲社团没人选，乙、丙、丁每个社团至少有一个学生选，则所有不同的分派方案共300种 C. 若每个社团至少派1名志愿者，且志愿者必须到甲社团，则所有不同分派方穼共60种 D. 若每个社团至少有1个学生选，且学生A，B不安排到同一社团，则所有不同分派方案共216种 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据分步乘法计数原理计数可知A正确；对于B，C，按照先分组再分配的方法计数可知B不正确；C正确；对于D，由间接法求解可知D正确. 【详解】对于A，每名学生都有4种安排方案，故共有种不同的分派方案，故A正确； 对于B，先将5个人分成3组，分两类：第一类，一组3人，另2组各一人，有种； 第二类，一组2人，一组2人，一组1人，有种，故共有种分组方法， 再将分好的三组分配到三个社团，共有种分派方案，故B不正确； 对于C，分两类：第一类，甲社团分1人，只能是A，另外4人有种，第二类，甲社团分2人，共有种， 根据分类加法计数原理可得共有种不同的分派方案，故C正确； 对于D，若每个社团至少派1名学生，则有种，其中学生A，B安排到同一社团时，有种， 故若每个社团至少派1名学生，且学生A，B不安排到同一社团时， 共有种不同分派方案，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 取得最小值时当且仅当 D. 数列是等比数列 【答案】AD 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，结合已知可求得，，可求得数列的通项公式，前项和公式，以及前项和的最小值可判断ABC；利用等比数列的定义可判断是等比数列判断D. 【详解】设等差数列的公差为，则，解得，， 所以，， 当或时，有最小值，最小值为，故A正确，B，C错误； 因为，所以数列是公比为4的等比数列，故D正确. 故选：AD. 11. 已知函数为的极大值点，则下列结论正确的有（ ） A. B. 的极小值为 C. 恰有两个零点 D. 直线是的一条切线 【答案】BC 【解析】 【分析】利用函数的极大值点求函数的解析式，再利用导数判断函数的单调性，极值，零点，即可判断ABC，再求导数的范围，根据导数的几何意义，即可判断D. 【详解】对A,，因为为的极大值点，所以，解得，经检验成立,A错误， 对B,，由，得或，令0，得或， 则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以的极小值点为，极小值为，B正确. 对C,因为函数的极大值，且由函数的单调性可知，恰有两个零点，C正确. 对D,因为，直线的斜率为，而，所以D错误. 故选：BC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线的一个方向向量为，则实数的值为____________. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】由方向向量确定直线斜率，即可求解. 【详解】由直线方向向量为， 可得斜率， 即， 故答案为： 13. 二项式的展开式的常数项是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】根据二项展示的通项计算可得第5项为常数项，计算即可. 【详解】设展开式中的第为常数项， 即为常数项， 令，解得； 因此常数项为. 故答案为： 14. 已知正项等比数列的前项和为，公比为，，则_____. 【答案】1 【解析】 【分析】将用表示，由等比数列通项公式代入化简求值. 【详解】因为，所以，即， 因，则得，解得或， 因为，所以，所以不满足条件， 所以. 故答案为：1. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的首项为2，且满足（且），． （1）求的通项公式； （2）设，求的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）因式分解可知为等比数列，然后可解； （2）利用对数运算裂项可解. 【小问1详解】 由得， 因为，所以，所以，即， 又，所以是以2为首项和公比的等比数列，所以． 【小问2详解】 由得， 16. 已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线与圆C相切． （1）求圆C的标准方程． （2）若直线与圆C相交于A，B两点，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设圆C的方程为，利用点到直线的距离公式求出； （2）求出圆心到直线的距离，再利用弦长公式求出. 【小问1详解】 由题意设圆C的方程为， 因圆C与直线相切， 则圆心到直线的距离， 解得或（舍去）， 故圆C的方程为； 【小问2详解】 圆心到直线距离， 所以弦长. 17. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求在区间上的最值． 【答案】（1） （2）最大值为4，最小值为0 【解析】 【分析】（1）直接求导找出切点处斜率，再将代入原函数得到纵坐标从而得到切线； （2）令其导函数大于0，判断函数在的单调性从而确定最值． 【小问1详解】 对函数求导，， ， 所求得的切线方程为， 即； 【小问2详解】 由（1）有， 令，解得：或， 故函数在递增，在递减， 故函数在取最大值， ，， 故函数在的最大值为4，最小值为0． 18. 为提高学生学习的数学的兴趣，南京港师范大学附属中学拟开设《数学史》《微积分先修课程》《数学探究》《数学建模》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学打算在上述四门课程中随机选择一门进行学习，已知三人选择课程时互不影响，且每人选择每一门课程都是等可能的. （1）求三位同学选择的课程互不相同的选课种数； （2）求甲、乙两位同学不能选择同一门课程，求三人共有多少种不同的选课种数； （3）若至少有两位同学选择《数学史》，求三人共有多少种不同的选课种数. 【答案】（1）24 （2）48 （3）10 【解析】 【分析】（1）问题等价于从4个元素中选3个元素的全排列，据此可得答案； （2）选择情况分为两步，先让甲、乙同学选，，随后让丙选择，据此可得答案； （3）选择情况可分为两类，第一类3人都选择《数学史》；第二类，3人中2人选《数学史》，1人选其他课程，据此可得答案. 【小问1详解】 由题可得，三位同学选择的课程互不相同的选课种数为； 【小问2详解】 选择情况分为两步，让甲、乙同学先选，有种可能，随后让丙选择，有4种可能性 由分步计数原理可知，不同的选课种数共有48种； 【小问3详解】 选择情况可分为两类，第一类3人都选《数学史》，有1种方法； 第二类，3人中2人选《数学史》，1人选其他课程，有种方法, 由分类计数原理可知，不同的选课种数共有10种. 19. 已知在平面直角坐标系中，双曲线：过和两点. （1）求双曲线的标准方程； （2）若，为双曲线上不关于坐标轴对称的两点，为中点，且为圆的一条非直径的弦，记斜率为，斜率为，证明：为定值. 【答案】（1） （2） 如图， 设，， 由题知， 相减得， 又， 所以， 由为圆的一条非直径的弦，为中点得，故， 因此为定值. 【解析】 【分析】（1）根据双曲线上两点，代入方程解方程组即可得解； （2）利用“点差法”可得直线斜率与斜率关系，再由圆的性质可得斜率的关系，化简即可得证. 【小问1详解】 代入双曲线上两点得，， 故，解得，， 故双曲线C标准方程为：. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临潭县第二中学2025-2026学年下学期开学测试卷 高二 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.考试范围：湘教版（2019）选择性必修第一册第1-4章+选择性必修第二册第1章 第一部分（选择题 共58分） 一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 在等差数列中，，则（ ） A. 18 B. 20 C. 22 D. 24 3. 已知函数，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4. 已知点在抛物线上，F是抛物线C的焦点．若，则（ ） A. 4 B. 2 C. 8 D. 5. 某高校派出5名学生去三家公司实习，每位同学只能前往一家公司实习，并且每个公司至少有一名同学前来实习，已知甲乙两名同学同时去同一家公司实习，则不同的安排方案有（ ） A. 48种 B. 36种 C. 24种 D. 18种 6. 设为正项等比数列的前n项和，已知，，则（ ） A. B. 4 C. D. 7. 已知直线与圆相交于A,B两点，则的周长为（ ） A. 26 B. 18 C. 14 D. 13 8. 若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某中学五名高一学生选择甲、乙、丙、丁四个社团进行实践活动，每名学生只能选一个社团，则下列结论中正确的是（ ） A. 所有不同的分派方案共种 B. 若甲社团没人选，乙、丙、丁每个社团至少有一个学生选，则所有不同的分派方案共300种 C. 若每个社团至少派1名志愿者，且志愿者必须到甲社团，则所有不同分派方穼共60种 D. 若每个社团至少有1个学生选，且学生A，B不安排到同一社团，则所有不同分派方案共216种 10. 已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 取得最小值时当且仅当 D. 数列是等比数列 11. 已知函数为的极大值点，则下列结论正确的有（ ） A. B. 的极小值为 C. 恰有两个零点 D. 直线是的一条切线 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线的一个方向向量为，则实数的值为____________. 13. 二项式的展开式的常数项是_____． 14. 已知正项等比数列的前项和为，公比为，，则_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的首项为2，且满足（且），． （1）求的通项公式； （2）设，求的前n项和． 16. 已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线与圆C相切． （1）求圆C的标准方程． （2）若直线与圆C相交于A，B两点，求的值． 17. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求在区间上的最值． 18. 为提高学生学习的数学的兴趣，南京港师范大学附属中学拟开设《数学史》《微积分先修课程》《数学探究》《数学建模》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学打算在上述四门课程中随机选择一门进行学习，已知三人选择课程时互不影响，且每人选择每一门课程都是等可能的. （1）求三位同学选择的课程互不相同的选课种数； （2）求甲、乙两位同学不能选择同一门课程，求三人共有多少种不同的选课种数； （3）若至少有两位同学选择《数学史》，求三人共有多少种不同的选课种数. 19. 已知在平面直角坐标系中，双曲线：过和两点. （1）求双曲线的标准方程； （2）若，为双曲线上不关于坐标轴对称的两点，为中点，且为圆的一条非直径的弦，记斜率为，斜率为，证明：为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $