精品解析：甘肃天水市第一中学2025-2026学年高二下学期开学检测数学试卷

高二级2025-2026学年度第二学期开学检测 数学试题 命题：胡悦 张瑞阳 审核：马小军 （考试时间：60分钟 满分：100分） 一､单选题（每题5分，共40分） 1. 过点且垂直于直线的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线互相垂直得到斜率，再结合直线经过点，写出直线的点斜式，再转化为一般式即可. 【详解】由题可知，直线的斜率为，故与其垂直的直线斜率为， 又因为直线过点，故可设点斜式，整理得， 故选：A. 2. 已知数列为等比数列，，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列的性质求出，再由得出即可. 【详解】，， 又，. 故选：B． 3. 记为双曲线的右焦点，则的渐近线方程为（ ） A. B. C D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据焦点坐标即可求解，进而根据渐近线方程求解. 【详解】由于为双曲线的右焦点，故，所以， 故渐近线方程为， 故选：B 4. 设为抛物线：的焦点，过且斜率为1的直线交抛物线于，两点，则（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意依次求得与直线的方程，联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理与抛物线的焦点弦公式即可得解. 【详解】因为为抛物线：的焦点，则，， 又直线过且斜率为1，交抛物线于，两点，所以直线的方程为， 联立，消去，得， 显然，所以， 则. 故选：B. 5. 若为等差数列的前项和，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列的前项和公式可得，再结合等差数列的性质判断的符号，即可得出答案. 【详解】由，得， 又，则，所以公差， 故当时，，当时，， 所以当时，最小. 故选：A 6. 已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（ ） A （） B. （） C. （） D. （） 【答案】A 【解析】 【分析】设点，由题意，根据中点的坐标表示可得，代入圆的方程即可求解. 【详解】设点，则， 因为为的中点，所以，即， 又在圆上， 所以，即， 即点的轨迹方程为. 故选：A 7. 有2位老师和4名学生排成一队照相，老师既不能分开也不排在首尾，则不同的排法有（ ）. A. 32种 B. 64种 C. 96种 D. 144种 【答案】D 【解析】 【分析】特殊元素优先排，先利用捆绑法把2位老师看成一个整体，有种排法，再给2位老师选5个位置中中间3个， 剩下4名学生在4个位置全排列，再由分步乘法计数原理即可算出不同的排法总数. 【详解】2位老师不能分开，即将他们捆绑为一个整体，2位老师的顺序可交换，有种排法， 老师不排在首尾，由于将2位老师看成一个整体了，与4名学生一共是5个位置在排列， 2位老师不能选首尾的2个的位置，只能选中间的3个位置中的一个，2位老师选定后，剩下4名学生在4个位置全排列， 所以有种排法， 根据分步乘法计数原理，不同的排法一共有种. 故选：D. 8. 双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（ ） A. 2 B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用抛物线与双曲线的定义与性质得出，根据勾股定理从而确定P的坐标，利用点在双曲线上构造齐次方程计算即可. 【详解】根据题意可设，双曲线的半焦距为，，则， 过作轴的垂线l，过作l的垂线，垂足为A，显然直线为抛物线的准线， 则， 由双曲线的定义及已知条件可知，则， 由勾股定理可知， 易知，即， 整理得，∴，即离心率为2. 故选： 二､多选题（每题6分，共12分） 9. 已知等比数列的公比为q，前n项和为，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】利用等比数列的基本量运算判断A，利用等比数列前n项和公式判断B，利用等比数列的性质判断C，利用等比数列的性质并结合等差数列的求和公式判断D即可. 【详解】对于A，由题意得，则，故A正确； 对于B，由，可得，解得， 由等比数列前项和公式得， 得到，故B正确； 对于C，由等比数列性质得，，成等比数列， 且，，得到， 即，故C错误； 对于D，由等比数列性质得， 则，故D错误. 故选：AB． 10. 圆和圆的交点为，，则（ ） A. 直线的方程为 B. 线段的垂直平分线方程为 C. 弦的长为 D. 为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A选项：两圆方程作差即可求出公共弦方程；对于B选项：线段的垂直平分线即为两圆圆心的连线，利用点斜式求解即可；对于C选项：求出圆的圆心到公共弦的距离，利用弦长公式计算即可；对于D选项：求出圆的圆心到公共弦的距离，加上半径即可求出最大值． 【详解】对于A选项：圆和圆， 将两圆的方程作差得，即， 所以直线的方程为，故A正确； 对于B选项：圆即，圆心，半径， 圆即，圆心， 直线的斜率为，即线段的垂直平分线的斜率为， 所以线段的垂直平分线方程为，即，故B正确； 对于C选项：到直线的距离， 可得弦的长为，故C错误； 对于D选项：P到直线的距离的最大值为，故D正确． 故选：ABD． 三､填空题（每题5分，共10分） 11. 若圆与抛物线的准线相切，则______． 【答案】 【解析】 【分析】求解圆心，根据点到直线的距离公式即可求解. 【详解】可化为， 则圆M的圆心坐标为，半径为， 抛物线的准线方程为， 所以，即． 故答案为： 12. 将甲，乙，丙，丁，戊五名志愿者分配到四个特殊家庭开展帮扶，每个家庭至少安排一名志愿者，则志愿者甲恰好被安排在家庭的不同安排方法数有__________种. 【答案】 【解析】 【分析】按照家庭被分配到一人或两人，进行分类讨论. 【详解】由题可分以下两种情形： ①家庭只有志愿者甲，另外人分配到其他的个特殊家庭，每个家庭至少安排一名志愿者，此时有种； ②家庭除了甲还有另一名志愿者，另外人分配到其他的个特殊家庭，每个家庭至少安排一名志愿者，此时有种. 故志愿者甲恰好被安排在家庭共有种不同安排方法. 故答案为：. 四､解答题（共38分） 13. 记为数列的前项和，已知． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用退位法可求的通项公式． （2）利用错位相减法可求. 【小问1详解】 当时，，解得． 当时，，所以即， 而，故，故， ∴数列是以4为首项，为公比的等比数列， 所以 【小问2详解】 , 所以 故 所以 ， . 14. 已知椭圆离心率为，长轴长为4． （1）求C的方程； （2）过点的直线l交C于两点，为坐标原点.若的面积为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据长轴长和离心率求出基本量后可得椭圆方程； （2）设出直线方程并联立椭圆方程后结合韦达定理用参数表示面积后可求的值，从而可求弦长. 【小问1详解】 因为长轴长为4，故，而离心率为，故， 故，故椭圆方程为：. 【小问2详解】 由题设直线的斜率不为0，故设直线，， 由可得， 故即， 且， 故， 解得， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二级2025-2026学年度第二学期开学检测 数学试题 命题：胡悦 张瑞阳 审核：马小军 （考试时间：60分钟 满分：100分） 一､单选题（每题5分，共40分） 1. 过点且垂直于直线的直线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列等比数列，，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 3. 记为双曲线的右焦点，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 设为抛物线：的焦点，过且斜率为1的直线交抛物线于，两点，则（ ） A 10 B. 8 C. 6 D. 5. 若为等差数列前项和，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（ ） A. （） B. （） C. （） D. （） 7. 有2位老师和4名学生排成一队照相，老师既不能分开也不排在首尾，则不同的排法有（ ）. A. 32种 B. 64种 C. 96种 D. 144种 8. 双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（ ） A. 2 B. 5 C. D. 二､多选题（每题6分，共12分） 9. 已知等比数列的公比为q，前n项和为，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C D. 10. 圆和圆的交点为，，则（ ） A. 直线的方程为 B. 线段的垂直平分线方程为 C. 弦的长为 D. 为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 三､填空题（每题5分，共10分） 11. 若圆与抛物线的准线相切，则______． 12. 将甲，乙，丙，丁，戊五名志愿者分配到四个特殊家庭开展帮扶，每个家庭至少安排一名志愿者，则志愿者甲恰好被安排在家庭不同安排方法数有__________种. 四､解答题（共38分） 13. 记为数列的前项和，已知． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 14. 已知椭圆的离心率为，长轴长为4． （1）求C的方程； （2）过点的直线l交C于两点，为坐标原点.若的面积为，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $