课时分层评价31 利用导数研究函数的零点问题-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（北师大版）

课时分层评价31　利用导数研究函数的零点问题 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (第1－9题，每小题5分，共45分) 1.已知函数f(x)的定义域为[－1，4]，部分对应值如下表： x －1 0 2 3 4 f(x) 1 2 0 2 0 f(x)的导函数y＝f'(x)的图象如图所示.当1＜a＜2时，函数y＝f(x)－a的零点的个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案：D 解析：根据导函数图象，知2是函数的极小值点，函数y＝f(x)的大致图象如图所示.由于f(0)＝f(3)＝2，1＜a＜2，所以y＝f(x)－a的零点个数为4.故选D. 2.函数f(x)＝x3－12x－16的零点个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 答案：C 解析：由题意得f'(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2).令f'(x)＞0，得x＞2或x＜－2；令f'(x)＜0，得－2＜x＜2，所以函数的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)，单调递减区间为(－2，2)，所以函数的极大值为f(－2)＝0，极小值为f(2)＝－32，当x→－∞时，f(x)＜0；当x→＋∞时，f(x)＞0，所以函数的零点个数为2.故选C. 3.已知函数f(x)＝ex－x－a，若函数y＝f(x)有零点，则实数a的取值范围是(　　) A.(1，＋∞) B.[1，＋∞) C.(－∞，1) D.(－∞，1] 答案：B 解析：函数y＝f(x)有零点等价于方程ex－x＝a有解.令g(x)＝ex－x，则g'(x)＝ex－1，当x＞0时，g'(x)＞0，函数g(x)单调递增；当x＜0时，g'(x)＜0，函数g(x)单调递减，所以函数g(x)的最小值为g(0)＝1，所以a≥1.故选B. 4.若函数f(x)＝x2ex－a恰有3个零点，则实数a的取值范围是(　　) A. B.(0，＋∞) C.(0，4e2) D. 答案：D 解析：令g(x)＝x2ex，则g'(x)＝2xex＋x2ex＝xex(x＋2).令g'(x)＝0，得x＝0或x＝－2，所以g(x)在(－2，0)上单调递减，在(－∞，－2)，(0，＋∞)上单调递增，所以g(x)极大值＝g(－2)＝，g(x)极小值＝g(0)＝0，又f(x)＝x2ex－a恰有3个零点，则0＜a＜.故选D. 5.(多选题)已知函数f(x)＝，则下列结论正确的是(　　) A.函数f(x)存在两个不同的零点 B.函数f(x)既存在极大值又存在极小值 C.当－e＜k＜0时，方程f(x)＝k有且只有两个实根 D.若x∈[t，＋∞)时，f(x)max＝，则t的最小值为2 答案：ABC 解析：对于A，由f(x)＝0，得x2＋x－1＝0，解得x＝，所以A正确；对于B，f'(x)＝－＝－，当f'(x)＞0时，－1＜x＜2；当f'(x)＜0时，x＜－1或x＞2，所以函数的单调递减区间为(－∞，－1)，(2，＋∞)，函数的单调递增区间为(－1，2)，所以f(－1)是函数的极小值，f(2)是函数的极大值，所以B正确；对于C，当x趋向于＋∞时，f(x)趋向于0，根据B项可知，函数的最小值是f(－1)＝－e，再根据单调性可知，当－e＜k＜0时，方程f(x)＝k有且只有两个实根，所以C正确；对于D，f(2)＝，由图象可知，t的最大值是2，所以D不正确.故选ABC. 6.(多选题)已知函数f(x)＝(1－x)ln x－ax，a∈R，下列正确的是(　　) A.若函数f(x)有且只有一个零点x0，则a＝0，x0＝1 B.若函数f(x)有两个零点，则a＞0 C.若函数f(x)有且只有一个零点x0，则a＝1，x0＝1 D.若函数f(x)有两个零点，则a＜0 答案：AD 解析：由f(x)＝(1－x)ln x－ax＝0，可得a＝－ln x，令g(x)＝－ln x(x＞0)，则g'(x)＝，当0＜x＜1时，g'(x)＞0，函数g(x)单调递增；当x＞1时，g'(x)＜0，函数g(x)单调递减，故g(x)max＝g(1)＝0，函数g(x)的图象如图所示：当a＞0时，直线y＝a与函数g(x)的图象没有交点，所以函数f(x)没有零点，当a＝0时，直线y＝a与函数g(x)的图象只有一个交点，所以此时函数f(x)只有一个零点，且f(1)＝0，故A正确，C不正确；当a＜0时，直线y＝a与函数g(x)的图象有两个交点，所以此时函数f(x)有两个零点，故B不正确，D正确.故选AD. 7.已知函数f(x)＝x3－x2＋2x＋3a＋b恰有3个不同的零点，则f(0)的取值范围是　　　　. 答案： 解析：因为f(x)＝x3－x2＋2x＋3a＋b，所以f'(x)＝x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)，由f'(x)＞0，得x＞2或x＜1，此时函数单调递增；由f'(x)＜0，得1＜x＜2，此时函数单调递减，故当x＝1时，函数取得极大值f(1)＝－＋2＋3a＋b＝＋3a＋b，当x＝2时，函数取得极小值f(2)＝－6＋4＋3a＋b＝＋3a＋b.若函数f(x)＝x3－x2＋2x＋3a＋b恰有3个不同的零点，则f(1)＝＋3a＋b＞0，且f(2)＝＋3a＋b＜0，则－＜3a＋b＜－，又f(0)＝3a＋b，故f(0)的取值范围是(－，－). 8.一般地，对于一元三次函数f(x)，若f ″(x0)＝0(f ″(x)为f'(x)的导数)，则(x0，f(x0))为三次函数f(x)的对称中心.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋1图象的对称中心的横坐标为x0(x0＞0)，且f(x)有3个零点，则实数a的取值范围是　　　　. 答案： 解析：由题意，得x∈R，f'(x)＝3x2＋2ax，f ″(x)＝6x＋2a，令f ″(x)＝0，解得x0＝－＞0，则有a＜0，又f'(x)＝3x，令f'(x)＞0，解得x＜0或x＞－，令f'(x)＜0，解得0＜x＜－，所以函数f(x)在(－∞，0)，上单调递增，在上单调递减，所以f(x)的极大值为f(0)＝1，f(x)的极小值为f＝＋1，又三次函数f(x)有3个零点，即函数y＝f(x)的图象与x轴有3个公共点，所以解得a＜－，所以实数a的取值范围是(－∞，－). 9.已知函数f(x)＝若方程f(x)＝m恰有一个实根，则实数m的取值范围是　　　　　　　. 答案：(－∞，0)∪ 解析：当x≤0时，f(x)＝－x3＋x2，f'(x)＝－3x2＋2x＝x(－3x＋2)≤0，故f(x)＝－x3＋x2在(－∞，0]上单调递减，且f(0)＝0.当x＞0时，f(x)＝，f'(x)＝＝，当0＜x＜e时，f'(x)＞0，f(x)单调递增，当x＞e时，f'(x)＜0，f(x)单调递减，故f(x)＝在x＝e处取得极大值，也是最大值，f(e)＝＝，且当x＞1时，f(x)＞0恒成立，画出f(x)＝的图象如图所示： 方程f(x)＝m恰有一个实根，则m＜0或m＞，则实数m的取值范围是(－∞，0)∪. 10.(13分)已知函数f(x)＝e2x－ex－x，判断f(x)的零点个数. 解：因为f(x)＝e2x－ex－x， 所以f'(x)＝e2x－ex－1＝(2ex＋1)(ex－2). 令f'(x)＞0，解得x＞ln 2， 令f'(x)＜0，解得x＜ln 2， 故f(x)在(－∞，ln 2)上单调递减，在(ln 2，＋∞)上单调递增，故f(x)min＝f(ln 2)＝－1－ln 2＜0. 又x→－∞时，f(x)→＋∞；x→＋∞时，f(x)→＋∞. 画出草图如图所示： 故f(x)有2个零点. (第11－13题，每小题5分，共15分) 11.(新定义)若函数f(x)和g(x)的图象上恰好有两对关于x轴对称的点，则函数f(x)和g(x)为“对偶函数”.已知f(x)＝1－ex，g(x)＝ax＋xln x是“对偶函数”，则实数a的取值范围为(　　) A.(e－1，＋∞) B. C. D.(－∞，e－1) 答案：A 解析：因为f(x)＝1－ex，g(x)＝ax＋xln x是“对偶函数”，所以函数f(x)与g(x)的图象上恰好有两对关于x轴对称的点，所以－f(x)＝g(x)，即ex－1＝ax＋xln x有两个不相等的实数解，则a＝有两个不相等的实数解.令h(x)＝，则h'(x)＝，所以当x∈(0，1)时，h'(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，h'(x)＞0，所以函数h(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以h(x)在x＝1 处取得极小值，且x→0，h(x)→＋∞，x→＋∞，h(x)→＋∞，又h(1)＝e－1，所以a＞e－1，故实数a的取值范围为(e－1，＋∞).故选A. 12.(多选题)已知f(x)＝，则(　　) A.曲线y＝f(x)在x＝e处的切线平行于x轴 B.f(x)的单调递减区间为(0，e) C.f(x)的极小值为e D.方程f(x)＝－1没有实数解 答案：AC 解析：因为f(x)＝，所以f(x)的定义域为{x｜x＞0，且x≠1}，f'(x)＝，所以f'(e)＝0，又f(e)＝e≠0，所以曲线y＝f(x)在x＝e处的切线平行于x轴，故A正确；令f'(x)＞0，得x＞e，令f'(x)＜0，得0＜x＜1或1＜x＜e，所以f(x)在(e，＋∞)上单调递增，在(0，1)和(1，e)上单调递减，所以f(x)的极小值为f(e)＝e，故B错误，C正确；因为当0＜x＜1时，f(x)的图象与直线y＝－1有一个交点，所以方程f(x)＝－1有一个实数解，故D错误.故选AC. 13.已知函数f(x)＝ex－ax2(x＞0)无零点，则实数a的取值范围为　　　　　. 答案： 解析：因为函数f(x)＝ex－ax2(x＞0)无零点，所以方程ex－ax2＝0在x∈(0，＋∞)上无解，即a＝在x∈(0，＋∞)上无解，令g(x)＝(x＞0)，则g'(x)＝，当x＞2时，g'(x)＞0，函数g(x)单调递增；当0＜x＜2时，g'(x)＜0，函数g(x)单调递减，所以当x＝2时，函数g(x)有唯一的极小值，也是最小值.又g(2)＝，所以g(x)≥.所以若a＝无解，则a＜. 14.(15分)已知函数f(x)＝aex－x，a∈R. (1)当a＝时，证明：f(x)－ln x＋x－1≥0在(0，＋∞)上恒成立； (2)若f(x)有2个零点，求a的取值范围. 解：(1)证明：当a＝时，设g(x)＝f(x)－ln x＋x－1＝ex－1－ln x－1，则g'(x)＝ex－1－(x＞0). 由函数y＝ex－1和y＝－均在(0，＋∞)上单调递增，知g'(x)在(0，＋∞)上单调递增，且g'(1)＝e0－1＝0， 所以当x∈(0，1)时，g'(x)＜0，即g(x)在(0，1)上单调递减，当x∈(1，＋∞)时，g'(x)＞0，即g(x)在(1，＋∞)上单调递增， 所以g(x)min＝g(1)＝0，即f(x)－ln x＋x－1≥0在(0，＋∞)上恒成立. (2)由f(x)＝aex－x＝0，得a＝. 令h(x)＝，则f(x)有2个零点等价于函数h(x)的图象与直线y＝a有2个交点. 令h'(x)＝＝0，得x＝1， 当x∈(－∞，1)时，h'(x) ＞0，当x∈(1，＋∞)时，h'(x)＜0，即函数h(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 故h(x)max＝h(1)＝，且当x＜0时，h(x)＜0， 当x趋向于正无穷时，h(x)趋向于0. 作出函数h(x)的大致图象，如图所示. 结合图象可知，当0＜a＜时，函数h(x)的图象与直线y＝a有2个交点，即f(x)有2个零点，故a的取值范围是. 15.(5分)(新定义)设I是函数y＝f(x)的定义域，若存在x0∈I，使f(x0)＝－x0，则称x0是f(x)的一个“次不动点”，也称f(x)在区间I上存在“次不动点”.若函数f(x)＝ax3－3x2－x＋1在R上存在三个“次不动点x0”，则实数a的取值范围是(　　) A.(－2，0)∪(0，2) B.(－2，2) C.(－1，0)∪(0，1) D.[－1，1] 答案：A 解析：因为函数f(x)＝ax3－3x2－x＋1在R上存在三个“次不动点x0”，所以a－3－x0＋1＝－x0在R上有三个解，即a－3＋1＝0在R上有三个解，设g(x)＝ax3－3x2＋1，则g'(x)＝3ax2－6x，由已知a≠0，令g'(x)＝0，即3ax2－6x＝0，解得x＝0或x＝.若a＞0，则当x＞或x＜0时，g'(x)＞0；当0＜x＜时，g'(x)＜0，所以g(x)的极大值为g(0)＝1，g(x)的极小值为g＝1－，要使g(x)＝ax3－3x2＋1有三个零点，则g＜0，即a2＜4，解得0＜a＜2.若a＜0，则当x＜或x＞0时，g'(x)＜0；当＜x＜0时，g'(x)＞0，所以g(x)的极小值为g＝1－，g(x)的极大值为g(0)＝1，要使g(x)＝ax3－3x2＋1有三个零点，则g＜0，即a2＜4，解得－2＜a＜0.综上可得，实数a的取值范围是(－2，0)∪(0，2).故选A. 16.(17分)已知函数f(x)＝aln x－，a≠0. (1)讨论f(x)的单调性； (2)若函数f(x)有两个不同的零点，求实数a的取值范围. 解：(1)因为f(x)＝aln x－，a≠0， 所以f'(x)＝＋＝(x＞0)， 当a＞0时，f'(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)上为增函数； 当a＜0时，令f'(x)＞0，得0＜x＜－， 令f'(x)＜0，得x＞－， 即f(x)在上为增函数， 在上为减函数. 综上，当a＞0时，f(x)在(0，＋∞)上为增函数； 当a＜0时，f(x)在上为增函数，在(－，＋∞)上为减函数. (2)f(x)＝aln x－有两个不同的零点，等价于方程aln x－＝0有两个不等的实数根， 即＝xln x有两个不等的实数根， 即y＝与y＝xln x的图象有两个不同的交点. 令g(x)＝xln x(x＞0)，则g'(x)＝1＋ln x， 令g'(x)＜0，得0＜x＜， 令g'(x)＞0，得x＞， 所以g(x)在上为减函数，在上为增函数， 所以g(x)的最小值为g＝－， g(x)的大致图象如图： 又x＞0，x→0时，g(x)＜0，g(x)→0， x→＋∞时，g(x)→＋∞， 所以要使得y＝与y＝xln x的图象有两个不同的交点， 需有－＜＜0，解得a＜－e， 此时f(x)＝aln x－有两个不同的零点， 所以实数a的取值范围为(－∞，－e). 学生用书⬇第98页 学科网（北京）股份有限公司 $