课时分层评价23 函数的极值-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（北师大版）

课时分层评价23　函数的极值 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (第1－9题，每小题5分，共45分) 1.已知函数f(x)的导函数f'(x)＝x2·，则f(x)的极值点的个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 答案：C 解析：由f'(x)＝0得x1＝x2＝0，x3＝1，x4＝2，x＜0或0＜x＜1时，f'(x)＞0，0不是极值点，0＜x＜1或x＞2时，f'(x)＞0，1＜x＜2时，f'(x)＜0，因此1，2都是极值点.极值点有2个.故选C. 2.函数f(x)＝x＋2cos x在上的极小值点为(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：对于函数f(x)＝x＋2cos x，f'(x)＝1－2sin x，因为x∈，当0≤x＜时，f'(x)＞0，当＜x＜时，f'(x)＜0，当＜x≤π时，f'(x)＞0，所以f(x)在区间上是增函数，在区间上是减函数，在上是增函数.因此，函数f(x)＝x＋2cos x在.故选C. 3.已知函数f(x)＝(x－1)2(2－x)3，则f(x)的极大值点为(　　) A.1 B. C.－1 D.2 答案：B 解析：因为f'(x)＝2(x－1)(2－x)3－3(x－1)2(2－x)2＝(x－1)(2－x)2(7－5x)，所以f(x)在(－∞，1)，上单调递减，在上单调递增，所以f(x)的极大值点为.故选B. 4.(多选题)对于函数f(x)＝x3－3x2，下列说法正确的是(　　) A.f(x)是增函数，无极值 B.f(x)是减函数，无极值 C.f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递减区间为(0，2) D.f(0)＝0是极大值，f(2)＝－4是极小值 答案：CD 解析：f'(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f'(x)＞0，得x＞2或x＜0，令f'(x)＜0，得0＜x＜2，所以f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递减区间为(0，2)，f(0)＝0为极大值，f(2)＝8－3×4＝－4为极小值.故选CD. 5.函数f(x)的导函数为y＝f'(x)，函数g(x)＝f'(x)的图象如图所示，下列说法正确的是(　　) A.x＝2是y＝f(x)的零点 B.x＝2是y＝f(x)的极大值点 C.x＝1是y＝f(x)的极大值点 D.x＝－2是y＝f(x)的极大值点 答案：D 解析：对于A，x＝2不一定为y＝f(x)的零点，故A错误；对于B，在x＝2附近的左侧，f'(x)＜0，故f'(x)＞0，在x＝2附近的右侧，f'(x)＞0，故f'(x)＞0，故x＝2两侧f'(x)＞0，故x＝2不是y＝f(x)的极大值点，故B错误；对于C，因为f'(1)＝0，在x∈(－2，1)时，f'(x)＞0，故f'(x)＜0，在x∈(1，2)时，f'(x)＜0，故f'(x)＞0，故x＝1是y＝f(x)的极小值点，故C错误；对于D，因为f'＝0，在x∈(－2，1)时，f'(x)＞0，故f'(x)＜0，在x＝－2左侧，f'(x)＜0，故f'(x)＞0，故x＝－2是y＝f(x)的极大值点，故D正确.故选D. 6.(多选题)已知函数y＝f(x)，x∈[a，b]的导函数y＝f'(x)的图象如图所示，则(　　) A.f(x)在(x2，0)上单调递增 B.f(x)有4个极值点 C.f(x)在(x3，x4)上单调递减 D.f(x3)＜f(x5) 答案：AC 解析：观察图象知，当a＜x＜x1，0＜x＜x4，x4＜x＜x6时，f'(x)＜0，当x1＜x＜0，x6＜x＜b时，f'(x)＞0，所以函数f(x)在上单调递增，而x2∈，则f(x)在(x2，0)上单调递增，故A正确；f(x)在(0，x4)上单调递减，而x3∈(0，x4)，所以f(x)在(x3，x4)上单调递减，故C正确；函数f(x)在x1，x6处都取得极小值，在0处取得极大值，有3个极值点，故B不正确；因为当0＜x＜x6时，f'(x)≤0，当且仅当x＝x4时取“＝”，即f(x)在(0，x6)上单调递减，而0＜x3＜x5＜x6，则有f(x3)＞f(x5)，故D不正确.故选AC. 7.函数f(x)＝的极小值是　　　　. 答案：0 解析：因为x＞0，且f(x)＝·，所以f'(x)＝2＋＝，令f'(x)＝0，可得x＝或2，列表如下： x 2 f'(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 增 极大值 减 极小值 增 所以函数f(x)的极小值为f(2)＝0. 8.函数f(x)＝xsin x＋cos x－3x2的极值点为　　　　. 答案：0 解析：由已知得f'(x)＝sin x＋xcos x－sin x－6x＝x(cos x－6)，所以当x＜0时，f'(x)＞0，当x＞0时，f'(x)＜0，即函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，所以函数f(x)在x＝0处取得极大值. 9.已知函数f(x)＝x3－3ax＋b的单调递减区间为(－1，1)，其极小值为2，则f(x)的极大值是　　　. 答案：6 解析：依题意知，f(x)的单调递减区间为(－1，1).由f'(x)＝3x2－3a＝3(x－)(x＋)，可得a＝1.由f(x)＝x3－3ax＋b在x＝1处取得极小值2，可得1－3＋b＝2，解得b＝4.所以f(x)＝x3－3x＋4的极大值为f(－1)＝(－1)3－3×(－1)＋4＝6. 10.(13分)(2024·九省适应性测试)已知曲线y＝f(x)＝ln x＋x2＋ax＋2在点处的切线与直线2x＋3y＝0垂直. (1)求a； (2)求f(x)的单调区间和极值. 解：(1)因为 f(x)＝ln x＋x2＋ax＋2， 所以f'(x)＝＋2x＋a， 则f'(2)＝＋2×2＋a＝＋a， 由题意函数f(x)＝ln x＋x2＋ax＋2在点处的切线与直线2x＋3y＝0垂直， 可得×＝－1，解得a＝－3. (2)由a＝－3，得f(x)＝ln x＋x2－3x＋2， 所以f'(x)＝＋2x－3＝ ＝，x＞0， 所以当0＜x＜时，f'(x)＞0，当＜x＜1时，f'(x)＜0，当x＞1时，f'(x)＞0， 故f(x)的单调递增区间为，f(x)的单调递减区间为， 故f(x)有极大值f＝ln ＋－3×＋2＝－ln 2， f(x)有极小值f(1)＝ln 1＋12－3×1＋2＝0. (第11－13题，每小题5分，共15分) 11.设x1，x2是函数f＝x3＋ax2＋x＋1的两个极值点，若x1＋3x2＝－2，则a＝(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 答案：C 解析：由题意得f'＝3x2＋2ax＋1，又x1，x2是函数的两个极值点，则x1，x2是方程3x2＋2ax＋1＝0的两个根，故x1＋x2＝－，x1x2＝，又x1＋3x2＝－2，则x1＝－3x2－2，即x1x2＝(－3x2－2)x2＝，则x2＝－，则x1＝－1，所以x1＋x2＝－1－＝－，解得a＝2，此时Δ＝42－4×3×1＝4＞0，符合题意.故选C. 12.已知函数f(x)＝ax2＋3x＋2a，若不等式f(x)＞0的解集为{x｜1＜x＜2}，则函数y＝xf(x)的极值点的个数为(　　) A.1 B.2 C.0 D.不能判断 答案：B 解析：由题意知解得a＝－1，即f(x)＝－x2＋3x－2.于是y＝xf(x)＝－x3＋3x2－2x，y'＝－3x2＋6x－2.由Δ＞0，得y'＝0有两个相异的实根，故函数y＝xf(x)有两个极值点.故选B. 13.(多选题)已知函数f(x)＝xe2x－x2－x－，则(　　) A.－和0是函数f(x)的极值点 B.f(x)在上单调递增 C.f(x)的极大值为－ D.f(x)的极小值为－ 答案：ACD 解析：由题得f'(x)＝e2x＋2xe2x－2x－1＝e2x(2x＋1)－(2x＋1)＝(2x＋1)(e2x－1)，当x＜－或x＞0时，f'(x)＞0，函数f(x)单调递增；当－＜x＜0时，f'(x)＜0，函数f(x)单调递减.所以－和0分别是函数f(x)的极大值点和极小值点，故A正确；所以f(x)在上单调递减，故B错误；函数的极大值为f(－)＝－×e－1－＋－＝－，故C正确；函数的极小值为f(0)＝－，故D正确.故选ACD. 14.(15分)(开放题)在“①f(－1)＝－4，f'(1)＝0，②f(1)＝0，f'(0)＝1，③f(x)的图象在(－1，f(－1))处的切线方程为y＝8x＋4”这三个条件中任选一个，补充在下面的横线处，并求解. 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx，且　　　　. (1)求函数f(x)的极值； (2)画出函数f(x)的大致图象. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 解：(1)选择①， 因为f(x)＝x3＋ax2＋bx， 所以f'(x)＝3x2＋2ax＋b， 由已知可得 解得 所以f(x)＝x3－2x2＋x，f'(x)＝3x2－4x＋1， 令f'(x)＝0，解得x1＝，x2＝1， 根据x1，x2列表如下，分析f'(x)的符号、f(x)的单调性和极值点. x 1 (1，＋∞) f'(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 因此f(x)的极大值为f＝，f(x)的极小值为f(1)＝0. 选择②， 因为f(x)＝x3＋ax2＋bx， 所以f'(x)＝3x2＋2ax＋b， 由已知可得 下同①. 选择③， 因为f(x)＝x3＋ax2＋bx， 所以f'(x)＝3x2＋2ax＋b， 因为函数f(x)的图象在(－1，f(－1))处的切线方程为y＝8x＋4， 所以 下同①. (2)由(1)可以得到函数f(x)的大致图象如图所示. 15.(5分)(多选题)若函数f(x)＝aln x＋＋(a≠0)既有极大值也有极小值，则(　　) A.bc＞0 B.ab＞0 C.b2＋8ac＞0 D.ac＜0 答案：BCD 解析：函数f(x)＝aln x＋＋的定义域为(0，＋∞)，则f'(x)＝－－＝.因为函数f(x)既有极大值也有极小值，则函数f'(x)在(0，＋∞)上有两个变号零点，而a≠0，因此方程ax2－bx－2c＝0有两个不相等的正实数根x1，x2，于是即有b2＋8ac＞0，ab＞0，ac＜0，显然a2bc＜0，即bc＜0，故A错误，B、C、D正确.故选BCD. 16.(17分)(新定义)材料：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，在现行的高等数学与数学分析教材中，对“初等函数”给出了确切的定义，即由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合步骤所构成的，且能用一个式子表示的函数，如函数f(x)＝xx(x＞0)，我们可以作变形：f(x)＝xx＝()x＝＝et(t＝xln x)，所以f(x)可看作是由函数y＝et和t＝xln x复合而成的，即f(x)＝xx(x＞0)为初等函数. 根据以上材料： (1)直接写出初等函数f(x)＝xx(x＞0)的极值点； (2)求初等函数h(x)＝(x＞0)的极值. 解：(1)极小值点为x＝，无极大值点. (2)h(x)＝＝(eln x＝(x＞0)， 所以h'(x)＝·(·ln x)'＝·(－·ln x＋)＝·(－ln x＋1)， 令h'(x)＝0得x＝e， 当0＜x＜e时，h'(x)＞0， 此时函数h(x)单调递增； 当x＞e时，h'(x)＜0， 此时函数h(x)单调递减. 所以h(x)有极大值且为h(e)＝，无极小值. 学科网（北京）股份有限公司 $