课时分层评价19 导数的计算-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（北师大版）

课时分层评价19　导数的计算 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (第1－9题，每小题5分，共45分) 1.函数f(x)＝在x＝1处的导数f'(1)等于(　　) A.－ B. C.1 D.2 答案：B 解析：由f'(x)＝，故f'(1)＝.故选B. 2.下列各式正确的是(　　) A.'＝cos 10° B.'＝sin x C.'＝cos x D.'＝－x－6 答案：C 解析：根据基本初等函数求导公式知，'＝0，故A错误；'＝－sin x，故B错误；'＝cos x，故C正确；'＝－5x－6，故D错误.故选C. 3.某质点的运动方程为s＝(其中s的单位为米，t的单位为秒)，则质点在t＝3秒时的速度为(　　) A.－4×3－4米/秒 B.－3×3－4米/秒 C.－5×3－5米/秒 D.－4×3－5米/秒 答案：D 解析：由s＝得s'＝'＝(t－4)'＝－4t－5，则质点在t＝3秒时的速度为－4×3－5米/秒.故选D. 4.(多选题)已知曲线y＝x3在点P处的切线斜率为k，则当k＝3时的P点坐标为(　　) A.(－1，1) B.(－1，－1) C.(1，1) D.(1，－1) 答案：BC 解析：y'＝3x2，因为k＝3，所以3x2＝3，所以x＝±1，则P点坐标为(－1，－1)或(1，1).故选BC. 5.以正弦曲线y＝sin x上一点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是(　　) A.∪ B.[0，π) C. D.∪ 答案：A 解析：因为y＝sin x，所以y'＝cos x.因为cos x∈[－1，1]，所以切线斜率的范围是[－1，1].所以倾斜角的范围是∪.故选A. 6.(多选题)已知f(x)＝2x的导数为f'(x)，则必有(　　) A.f(x)＞f'(x) B.f(x)≥f'(x)(x≥1) C.f(x)＜f'(x) D.f(x)≤f'(x)(x≤1) 答案：BD 解析：由f(x)＝2x，得f'(x)＝2，所以f(x)－f'(x)＝2，当x≥1时，f(x)≥f'(x)，当x≤1时，f(x)≤f'(x)，所以选项B、D正确.故选BD. 7.若曲线y＝ln x在x＝a处的切线的倾斜角为，则a＝　　　. 答案：1 解析：y'＝，所以y'｜x＝a＝＝tan＝1，所以a＝1. 8.若指数函数f(x)＝ax(a＞0，a≠1)满足f'(1)＝ln 27，则f'(－1)＝　　　　. 答案： 解析：f'(x)＝axln a，f'(1)＝aln a＝3ln 3，所以a＝3，故f'(－1)＝3－1ln 3＝. 9.设b为实数，若直线y＝－x＋b为函数y＝图象的切线，则b的值是　　　　. 答案：2或－2 解析：设切点坐标为(x0，y0)，函数y＝的导数为y'＝－，由直线y＝－x＋b得到斜率为－1，故－＝－1，解得x0＝±1，把x0＝－1代入y＝中解得y0＝－1，把x0＝1代入y＝中解得y0＝1，所以切点坐标是(－1，－1)或(1，1)，当切点坐标是(－1，－1)时，代入直线的方程y＝－x＋b，得b＝－2；当切点坐标是(1，1)时，代入直线的方程y＝－x＋b，得b＝2.综上所述，b＝2或－2. 10.(13分)(开放题)设b为实数，直线y＝x＋b能作为下列函数图象的切线吗？若能，求出切点坐标；若不能，简述理由. (1)f(x)＝； (2)f(x)＝x4； (3)f(x)＝sin x； (4)f(x)＝ex. 解：(1)因为f(x)＝，所以f'(x)＝－＝无解， 所以直线y＝x＋b不能作为函数图象的切线. (2)因为f(x)＝x4，所以f'(x)＝4x3，令f'(x)＝4x3＝，解得x＝，此时y＝， 所以切点坐标为，所以直线y＝x＋b能作为函数图象的切线. (3)因为f(x)＝sin x，所以f'(x)＝cos x， 令f'(x)＝cos x＝，解得x＝2kπ±，k∈Z， 此时y＝±， 所以切点坐标为，k∈Z或(2kπ－，－)，k∈Z， 所以直线y＝x＋b能作为函数图象的切线. (4)因为f(x)＝ex，所以f'(x)＝ex， 令f'(x)＝ex＝，解得x＝ln ，此时y＝， 所以切点坐标为，所以直线y＝x＋b能作为函数图象的切线. (第11－13题，每小题5分，共15分) 11.设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f'0(x)，f2(x)＝f'1(x)，…，fn＋1(x)＝f'n(x)，n∈N，则f2 025(x)＝(　　) A.sin x B.－sin x C.cos x D.－cos x 答案：C 解析：由题意得f0(x)＝sin x，f1(x)＝f'0(x)＝'＝cos x，f2(x)＝f'1(x)＝'＝－sin x，f3(x)＝f'2(x)＝'＝－cos x，f4(x)＝f'3(x)＝'＝sin x，f5(x)＝f'4(x)＝'＝cos x，…，所以fn(x)是周期为4的周期函数，又因为2 025＝4×506＋1，故f2 025(x)＝f1(x)＝cos x.故选C. 12.(多选题)(新定义)已知函数f(x)的导数为f'(x)，若存在x0，使得f(x0)＝f'(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是(　　) A.f(x)＝x2 B.f(x)＝ C.f(x)＝ln x D.f(x)＝tan x 答案：ABC 解析：对于A，f'(x)＝2x，令x2＝2x，得x＝0或x＝2，有“巧值点”；对于B，f'(x)＝－，令＝－，得x＝－1，有“巧值点”；对于C，f'(x)＝，令ln x＝， 结合y＝ln x，y＝的图象，知方程ln x＝有解，有“巧值点”；对于D，f'(x)＝，令tan x＝，即＝，得sin 2x＝2，无解，无“巧值点”.故选ABC. 13.已知A，B，C三点在曲线y＝上，其横坐标依次为1，m，4(1＜m＜4)，则当△ABC的面积最大时，m的值为　　　　. 答案： 解析：如图所示，在△ABC中，边AC是确定的，要使△ABC的面积最大，则点B到直线AC的距离应最大，可以将直线AC作平行移动，显然当直线AC与曲线相切时，距离达到最大，即当过点B的切线平行于直线AC时，△ABC的面积最大.因为y'＝，点A坐标为(1，1)，点C坐标为(4，2)，所以kAC＝＝，所以＝，所以m＝. 14.(15分)(开放题)已知点A，B(2，1)，函数f(x)＝log2x. (1)过坐标原点O作曲线y＝f(x)的切线，求切线方程； (2)在曲线y＝f(x)上是否存在点P，使得在点P处的切线与直线AB平行？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由. 解：(1)设切点为(m，log2m)(m＞0). 因为f(x)＝log2x，所以f'(x)＝， 所以切线的斜率k＝. 又切线的斜率k＝， 所以＝，解得m＝e， 所以k＝，所以切线方程为y＝x， 即x－(eln 2)y＝0. (2)过点A，B(2，1)的直线的斜率为kAB＝. 假设存在点P，使得在点P处的切线与直线AB平行. 设P(n，log2n)，≤n≤2， 则有＝，得n＝. 又＝ln＜ln 2＜ln e＝1， 所以＜＜， 所以在曲线y＝f(x)上存在点P，使得在点P处的切线与直线AB平行，且点P的横坐标为. 15.(5分)(新角度)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是(　　) A.y＝sin x B.y＝ln x C.y＝ex D.y＝x3 答案：A 解析：设函数y＝f(x)的图象上两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则由导数的几何意义可知，点P，Q处切线的斜率分别为k1＝f'(x1)，k2＝f'(x2)，若函数具有T性质，则k1·k2＝f'(x1)·f'(x2)＝－1.对于A，f'(x)＝cos x，显然k1·k2＝cos x1·cos x2＝－1有无数组解，所以该函数具有T性质；对于B，f'(x)＝(x＞0)，显然k1·k2＝·＝－1无解，故该函数不具有T性质；对于C，f'(x)＝ex＞0，显然k1·k2＝·＝－1无解，故该函数不具有T性质；对于D，f'(x)＝3x2≥0，显然k1·k2＝3·3＝－1无解，故该函数不具有T性质.故选A. 16.(17分)求曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝x3的公切线的斜率. 解：曲线C1：y＝x2，则y'＝2x， 曲线C2：y＝x3，则y'＝3x2， 设直线l与曲线C1的切点坐标为(a，a2)，则切线方程为y＝2ax－a2， 设直线l与曲线C2的切点坐标为(m，m3)， 则切线方程为y＝3m2x－2m3， 若曲线C1，C2有公切线，则2a＝3m2，a2＝2m3，得m＝0或m＝，所以曲线C1，C2的公切线的斜率为0或. 学生用书⬇第67页 学科网（北京）股份有限公司 $