课时分层评价15 数列求和(二)-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（北师大版）

课时分层评价15　数列求和(二) (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (第1－9题，每小题5分，共45分) 1.数列的前2 026项和为(　　) A. B.2 C. D. 答案：A 解析：因为＝2，所以S2 026＝2×＝2×(1－)＝.故选A. 2.数列，，，…，，…的前n项和为(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：由数列通项公式＝－)，得前n项和Sn＝－＋－＋－＋…＋－)＝＝.故选B. 3.化简Sn＝n＋(n－1)×2＋(n－2)×22＋…＋2×2n－2＋2n－1的结果是(　　) A.2n＋1＋n－2 B.2n＋1－n＋2 C.2n－n－2 D.2n＋1－n－2 答案：D 解析：因为Sn＝n＋(n－1)×2＋(n－2)×22＋…＋2×2n－2＋2n－1①，所以2Sn＝n×2＋(n－1)×22＋(n－2)×23＋…＋2×2n－1＋2n②.所以②－①得，Sn＝－n＋2＋22＋…＋2n－1＋2n＝－n＋＝－n＋2n＋1－2＝2n＋1－n－2.故选D. 4.(多选题)设等差数列{an}满足a2＝5，a6＋a8＝30，则下列说法正确的是(　　) A.an＝2n＋1 B.d＝2 C.＝ D.的前n项和为 答案：ABD 解析：设等差数列{an}的公差为d.因为{an}是等差数列，所以a6＋a8＝30＝2a7，解得a7＝15.又a2＝5，a7－a2＝5d＝10，所以d＝2.所以an＝2n＋1.故A、B正确；所以＝＝，故C错误；所以的前n项和为Sn＝(1－＋－＋…＋－)＝＝，故D正确.故选ABD. 5.(多选题)数列{an}满足a1＝1，且对任意的n∈N＋都有an＋1＝an＋n＋1，则(　　) A.an＝ B.数列的前100项和为 C.数列的前100项和为 D.数列{an}的第100项为50 050 答案：AB 解析：因为an＋1＝an＋n＋1，所以an＋1－an＝n＋1.又因为a1＝1，所以an＝(an－an－1)＋(an－1－)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n＋(n－1)＋…＋2＋1＝，数列{an}的第100项为5 050，故A正确，D错误；所以＝＝2，所以数列的前100项和为2［＋(－)＋…＋］＝2＝，故B正确，C错误.故选AB. 6.已知Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an－1，则数列{nan}的前10项和为(　　) A.9×210－1 B.9×210＋1 C.9×211－1 D.9×211＋1 答案：B 解析：由Sn＝2an－1，得a1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－1－(2an－1－1)＝2(an－an－1)，所以an＝2an－1.所以数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，所以an＝2n－1.所以数列{nan}的前10项和为T＝1×20＋2×2＋3×22＋…＋10×29①，所以2T＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋10×210②.①－②得－T＝1＋2＋22＋…＋29－10×210＝－10×210＝210－1－10×210＝－9×210－1，故T＝9×210＋1.故选B. 7.数列{an}的通项公式an＝，则该数列的前n项和Sn＝　　　　　　. 答案：－ 解析：an＝ ＝ ＝＝－，所以Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an＝(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＋(－)＝－. 8.已知各项均为正数的数列{an}满足a1＝1，－(an－1＋2)an－an－1－3＝0(n≥2)，则＋＋…＋＝　　　　. 答案： 解析：由－(an－1＋2)an－an－1－3＝0，得(an＋1)(an－an－1－3)＝0，因为a1＝1，an＞0，所以an－an－1＝3，所以数列{an}是以1为首项，3为公差的等差数列，所以an＝3n－2.则＝＝－)，所以＋＋…＋＝［(1－)＋(－)＋…＋(－)］＝(1－)＝. 9.设数列{nan}的前n项和为Tn，若nan＝n·，则Tn＝　　　　　　　　. 答案：－· 解析：因为Tn＝1×＋2×＋3×＋…＋n·，所以－Tn＝1×＋2×＋…＋(n－1)·＋n·，两式相减得Tn＝1＋＋＋…＋－n·＝－n·＝－·.所以Tn＝－·. 10.(13分)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对于任意的n∈N＋，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b＞0且b≠1，b，r均为常数)的图象上. (1)求数列{an}的通项公式； (2)当b＝2时，记bn＝(n∈N＋)，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：(1)因为对于任意的n∈N＋，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b＞0且b≠1，b，r均为常数)的图象上，所以Sn＝bn＋r， 当n＝1时，a1＝S1＝b＋r， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝bn＋r－(bn－1＋r)＝bn－bn－1＝(b－1)bn－1. 又因为{an}为等比数列， 所以r＝－1，公比为b， 所以an＝(b－1)bn－1. (2)当b＝2时，an＝(b－1)bn－1＝2n－1， bn＝＝， 则Tn＝＋＋＋…＋， Tn＝＋＋＋…＋＋， 两式相减，得Tn＝＋＋＋＋…＋－＝＋－＝－－， 所以Tn＝－－＝－. (第11－13题，每小题5分，共15分) 11.定义为n个正数p1，p2，…，pn的“均倒数”，若已知数列{an}的前n项的“均倒数”为，又bn＝，则＋＋…＋等于(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：由定义可知a1＋a2＋…＋an＝5n2，所以当n≥2时，a1＋a2＋…＋an－1＝5(n－1)2，两式相减得an＝10n－5(n≥2).当n＝1时，a1＝5也符合上式，所以an＝10n－5，则bn＝2n－1.所以＝＝－)＝，所以＋＋…＋＝＝＝＝. 12.在递减的等差数列{an}中，a1a3＝－4，a1＝13，则数列的前n项和的最大值为(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：设等差数列{an}的公差为d，则d＜0，因为a1a3＝－4，a1＝13，所以13(13＋2d)＝(13＋d)2－4，解得d＝－2或d＝2(舍去)，所以an＝a1＋(n－1)d＝13－2(n－1)＝15－2n.当an＝15－2n≥0时，n≤7.5，所以当n≤7时，an＞0.因为＝＝，所以数列的前n项和Sn＝×＝×，当n＝6时，Sn取得最大值，最大值为×＝.故选D. 13.在数列{an}中，a1＝1，对于任意正整数n，都有an＋1＝an＋n·2n，则a15等于(　　) A.14·215＋2 B.13·214＋2 C.14·215＋3 D.13·215＋3 答案：D 解析：因为an＋1－an＝n·2n，所以a2－a1＝1·21，a3－a2＝2·22，a4－a3＝3·23，…，an－an－1＝(n－1)·2n－1(n≥2)，以上n－1个等式，累加得an－a1＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋(n－1)·2n－1①，又因为2an－2a1＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n－2)·2n－1＋(n－1)·2n②，所以①－②得a1－an＝2＋22＋23＋…＋2n－1－(n－1)·2n＝－(n－1)·2n＝(2－n)·2n－2，所以an＝(n－2)·2n＋3(n≥2)，所以a15＝(15－2)·215＋3＝13·215＋3.故选D. 14.(15分)(新角度)如图，将数列{2n}(n∈N＋)依次从左到右，从上到下排成三角形数阵，其中第n行有n个数. 2　　　　　　　　 ……第1行 4　　6　　　　　　　……第2行 8　　 10　　12　　　　　……第3行 14　　16　　18　　20　　　 ……第4行 …　… (1)求第5行的第2个数； (2)问数32是第几行第几个数？ (3)记第i行的第j个数为(如a3，2表示第3行第2个数，即a3，2＝10)，求＋＋＋＋＋的值. 解：(1)记an＝2n，由数阵可知，第5行的第2个数为a12. 因为an＝2n，所以第5行的第2个数为24. (2)因为an＝32，所以n＝16. 由数阵可知，32是第6行第1个数. (3)由数阵可知a1，1＝2，a2，2＝6，a3，3＝12，a4，4＝20，a5，5＝30，a6，6＝42. 所以＋＋＋＋＋＝＋＋＋…＋＝1－＋－＋－…＋－＝. 15.(5分)设S＝＋＋＋…＋.[S]表示不大于S的最大整数(例如：[2.34]＝2，[－π]＝－4)，则[S]等于(　　) A.2 013 B.2 024 C.2 025 D.2 026 答案：B 解析：因为 ＝＝＝1＋(－)，所以S＝1＋(－)＋1＋(－)＋…＋1＋(－)＝2 025－，所以[S]＝2 024.故选B. 16.(17分)数列{an}是等比数列，公比不为1，a1＝3，且3a1，2a2，a3成等差数列. (1)设数列{nan}的前n项和为Sn，求Sn； (2)设bn＝log3a2n－1，Tn为数列的前n项和，求不超过T2 025的最大整数. 解：(1)由题意得4a2＝3a1＋a3， 设{an}的公比为q(q≠1)，则4a1q＝3a1＋a1q2， 即12q＝9＋3q2，整理得q2－4q＋3＝0，解得q＝3， 所以an＝3n，则nan＝n·3n， 所以Sn＝31＋2×32＋…＋(n－1)×3n－1＋n×3n， 则3Sn＝32＋2×33＋…＋(n－1)×3n＋n×3n＋1， 两式相减得－2Sn＝31＋32＋…＋3n－1＋3n－n×3n＋1＝－n×3n＋1＝·3n＋1－， 所以Sn＝(2n－1)·3n＋1＋. (2)由(1)得bn＝log3a2n－1＝2n－1， 令cn＝， 则cn＝＝1＋＝1＋ ＝1＋2， 所以Tn＝n＋2［(1－)＋(－)＋…＋(－)］＝n＋2(1－)， 所以T2 025＝2 027－∈(2 026，2 027)， 故不超过T2 025的最大整数为2 026. 学生用书⬇第49页 学科网（北京）股份有限公司 $