课时分层评价14 数列求和(一)-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（北师大版）

课时分层评价14　数列求和(一) (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (第1－9题，每小题5分，共45分) 1.已知数列{bn}为等比数列，且首项b1＝1，公比q＝2，则数列{b2n－1}的前10项的和为(　　) A.×(49－1) B.×(410－1) C.×(49－1) D.×(410－1) 答案：D 解析：数列{b2n－1}中的项是数列{bn}中的所有奇数项，已知数列{bn}为等比数列，故其所有的奇数项也构成等比数列，公比为4，首项为1，则其前10项的和为＝×(410－1).故选D. 2.冬春季节是流感多发期，某地医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{an}，已知a1＝1，a2＝2，且满足－an＝1＋(n∈N＋)，则该医院30天入院治疗流感的共有(　　) A.225人 B.255人 C.365人 D.465人 答案：B 解析：当n为奇数时，＝an，当n为偶数时，－an＝2，所以a1＝a3＝…＝a29＝1，a2，a4，…，a30是以2为首项，2为公差的等差数列，所以S30＝(a1＋a3＋…＋a29)＋(a2＋a4＋…＋a30)＝15＋15×2＋×2＝255.故选B. 3.已知数列{an}中，a1＝1，an＋an＋1＝3，Sn为其前n项和，则S2 026等于(　　) A.3 036 B.3 037 C.3 038 D.3 039 答案：D 解析：由题意a2＝2，a3＝1，a4＝2，…，故奇数项为1，偶数项为2，则S2 026＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a2 023＋a2 024)＋(a2 025＋a2 026)＝3×1 013＝3 039.故选D. 4.(多选题)数列{an}是首项为1的正项数列，an＋1＝2an＋3，Sn是数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是(　　) A.a3＝13 B.数列{an＋3}是等比数列 C.an＝4n－3 D.Sn＝2n＋1－n－2 答案：AB 解析：因为an＋1＝2an＋3，所以an＋1＋3＝2(an＋3)，所以数列{an＋3}是公比为2的等比数列.又因为a1＝1，所以an＋3＝(a1＋3)2n－1，所以an＝2n＋1－3，所以a3＝13，所以Sn＝－3n＝2n＋2－3n－4.故选AB. 5.已知等差数列{an}中，a3＋a5＝a4＋7，a10＝19，则数列{ancos nπ}的前2 026项和为(　　) A.－2 025 B.2 025 C.2 026 D.－2 026 答案：C 解析：设数列{an}的公差为d，由所以an＝2n－1.设bn＝ancos nπ，所以b1＋b2＝a1cos π＋a2cos 2π＝2，b3＋b4＝a3cos 3π＋a4cos 4π＝2，…，所以数列{ancos nπ}的前2 026项和S2 026＝(b1＋b2)＋(b3＋b4)＋…＋(b2 023＋b2 024)＋(b2 025＋b2 026)＝2×＝2 026.故选C. 6.已知数列{an}的通项公式为an＝n－2(n∈N＋)，设f(x)＝x＋log2，则数列{f(an)}的各项之和为(　　) A.36 B.33 C.30 D.27 答案：D 解析：由f(x)＝x＋log2，知＞0，解得－2＜x＜8.所以－2＜an＜8.又因为an＝n－2，所以满足f(an)的an所有的取值为－1，0，1，2，…，7，即a1，a2，…，a9.因为f(6－x)＝6－x＋log2，所以f(x)＋f(6－x)＝6.所以数列{f(an)}的各项之和S＝f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a9)＝f(－1)＋f(0)＋…＋f(7).又S＝f(7)＋f(6)＋…＋f(－1)，所以2S＝[f(－1)＋f(7)]＋[f(0)＋f(6)]＋…＋[f(7)＋f(－1)]＝6×9＝54.所以S＝27.故选D. 7.已知数列an＝其前n项和为Sn，则S100＝　　　　. 答案：5 000 解析：由题意得S100＝a1＋a2＋…＋a99＋a100＝(a1＋a3＋a5＋…＋a99)＋(a2＋a4＋…＋a100)＝(0＋2＋4＋…＋98)＋(2＋4＋6＋…＋100)＝100×50＝5 000. 8.数列{an}的通项公式为an＝1＋n2sin ，前n项和为Sn，则S100＝　　　　. 答案：－4 900 解析：因为a1＝1＋12，a2＝1，a3＝1－32，a4＝1，…，又因为y＝sin 的周期为4，所以S100＝100＋12－32＋52－72＋…＋972－992＝100－2×(1＋3＋5＋7＋…＋99)＝100－2×＝－4 900. 9.已知数列{an}的各项均为正数，a1＝1，an＋1－an＝，若[x]表示不超过x的最大整数，则[a1]＋[a2]＋…＋[a20]等于　　　　. 答案：54 解析：因为a1＝1，an＋1－an＝，所以－＝1，可得{}是以1为首项，1为公差的等差数列，所以＝1＋(n－1)×1＝n.因为数列{an}的各项均为正数，所以an＝，因为n∈N＋，所以当1≤n＜4时，[]＝1，当4≤n＜9时，[]＝2，当9≤n＜16时，[]＝3，当16≤n≤20时，[]＝4，则[a1]＋[a2]＋…＋[a20]＝3×1＋5×2＋7×3＋5×4＝54. 10.(13分)设函数f(x)＝1＋ln，设a1＝1，an＝f＋f＋f＋…＋f(n∈N＋，n≥2). (1)计算f(x)＋f(1－x)的值； (2)求数列{an}的通项公式. 解：(1)f(x)＋f(1－x)＝1＋ln ＋1＋ln ＝2. (2)由题知，当n≥2时，an＝f＋f＋f＋…＋f， 又an＝f＋f＋…＋f，两式相加得 2an＝＋［f＋f］＋…＋＝2(n－1)， 所以an＝n－1，n≥2. 又a1＝1不符合an＝n－1， 所以an＝ (第11－13题，每小题5分，共15分) 11.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，当n≥2时，an＋2Sn－1＝n，则S2 026的值为(　　) A.1 011 B.1 012 C.1 013 D.1 014 答案：C 解析：法一：由题意得a2＋2S1＝2，则a2＝0.又当n≥2时，an＋2Sn－1＝n，所以an＋2(Sn－an)＝n，即2Sn＝an＋n.则当n≥3时，2Sn－1＝an－1＋n－1，所以2an＝an－an－1＋1，即an－1＋an＝1，n≥3.又a1＋a2＝1，所以an－1＋an＝1，n≥2，所以S2 026＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a2 025＋a2 026)＝1 013×1＝1 013.故选C. 法二：由题意，当n≥2时，可得Sn－1＝Sn－an，因为an＋2Sn－1＝n，所以an＋2(Sn－an)＝n，即2Sn＝an＋n.当n≥3时，2Sn－1＝an－1＋n－1，两式相减，可得2an＝an－an－1＋1，即an－1＋an＝1，所以a2＋a3＝1，a4＋a5＝1，a6＋a7＝1，…，所以S2 025＝a1＋＋＋…＋(a2 024＋a2 025)＝1＋×1＝1 013.因为当n≥2时，an＋2Sn－1＝n，所以a2 026＋2S2 025＝2 026，得a2 026＝0，所以S2 026＝S2 025＋a2 026＝1 013.故选C. 12.已知数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋an＝n，记数列{2an－n}的前n项和为Sn，则Sn等于(　　) A.2n－－ B.2n－－－1 C.2n＋1－－－2 D.2n－－－2 答案：C 解析：因为a1＋a2＋a3＋…＋an＝n①，所以有a1＝1.当n≥2，n∈N＋时，有a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝n－1②，①－②得，an＝1⇒an＝2n－1，显然当n＝1时，也适合，所以an＝2n－1(n∈N＋).令2an－n＝bn，所以bn＝2n－n，因此有Sn＝(2－1)＋(22－2)＋(23－3)＋…＋(2n－n)＝(2＋22＋23＋…＋2n)－(1＋2＋3＋…＋n)＝－＝2n＋1－2－－＝2n＋1－－－2.故选C. 13.已知F(x)＝f－3是R上的奇函数，an＝f(0)＋f＋…＋f＋f(1)，n∈N＋，则数列{an}的通项公式为(　　) A.an＝n＋1 B.an＝3n＋1 C.an＝3n＋3 D.an＝n2－2n＋3 答案：C 解析：由题意知F(x)＝f－3是R上的奇函数，故F(－x)＝－F(x)，代入得f＋f＝6，所以函数f(x)关于点对称.令t＝－x，则＋x＝1－t，得到f(t)＋f(1－t)＝6.因为an＝f(0)＋f＋…＋f＋f(1)，an＝f(1)＋f＋…＋f＋f(0)，倒序相加可得2an＝6(n＋1)，即an＝3(n＋1)＝3n＋3.故选C. 14.(15分)已知等差数列{an}满足a5＝9，a2＋a6＝14. (1)求{an}的通项公式； (2)若bn＝an＋(q＞0)，求数列{bn}的前n项和Sn. 解：(1)设数列{an}的公差为d， 则由 所以{an}的通项公式为an＝2n－1. (2)由an＝2n－1得bn＝2n－1＋q2n－1. 当q＞0且q≠1时，Sn＝[1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)]＋(q1＋q3＋q5＋q7＋…＋q2n－1)＝n2＋； 当q＝1时，bn＝2n，则Sn＝n(n＋1). 所以数列{bn}的前n项和Sn＝ 15.(5分)(多选题)在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列，将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2；…；第n次得到数列1，x1，x2，x3，…，xk，2.记an＝1＋x1＋x2＋…＋xk＋2，数列的前n项和为Sn，则(　　) A.a3＝42 B.an＋1＝3an－3 C.an＝ D.Sn＝ 答案：ABD 解析：由题意可知，第1次得到数列1，3，2，此时k＝1，第2次得到数列1，4，3，5，2，此时k＝3，第3次得到数列1，5，4，7，3，8，5，7，2，此时k＝7，第4次得到数列1，6，5，9，4，11，7，10，3，11，8，13，5，12，7，9，2，此时k＝15，第n次得到数列1，x1，x2，x3，…，xk，2，此时k＝2n－1，由此可得a1＝3＋3，a2＝3＋3＋9，a3＝3＋3＋9＋27＝42，故A正确；a4＝3＋3＋9＋27＋81，…，an＝3＋31＋32＋33＋…＋3n＝3＋＝，故C错误；由an＝，可得an＋1＝＝3an－3，故B正确；由Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(32＋33＋34＋…＋3n＋1)＋＝×＋＝(3n＋1＋2n－3)，故D正确.故选ABD. 16.(17分)已知等差数列{an}中，a1＝1，且a1，a2，a4＋2成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn； (2)设bn＝，求数列{bn}的前2n项和T2n. 解：(1)设等差数列{an}的公差为d， 因为a1＝1，且a1，a2，a4＋2成等比数列， 所以＝a1(a4＋2)， 即(1＋d)2＝1×(1＋3d＋2)， 解得d＝2或d＝－1. 当d＝－1时，a2＝0，不符合题意，舍去， 所以d＝2，所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1， Sn＝＝n2. (2)因为bn＝＝， 所以当n为偶数时，＝＝16； 当n为奇数时，＝＝. 所以数列{bn}的奇数项是以为首项，为公比的等比数列；偶数项是以8为首项，16为公比的等比数列. 所以数列{bn}的前2n项和T2n＝(b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1)＋(b2＋b4＋b6＋…＋b2n) ＝＋ ＝×. 学科网（北京）股份有限公司 $