课时分层评价13 求数列的通项-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（北师大版）

课时分层评价13　求数列的通项 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (第1－9题，每小题5分，共45分) 1.在数列{an}中，a1＝3，an＋1－2an＝0，数列{bn}的通项满足关系式anbn＝(－1)n(n∈N＋)，则bn等于(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：易知{an}是首项为3，公比为2的等比数列，所以an＝3·2n－1，所以bn＝＝.故选C. 2.已知数列{an}的首项为2，且an＋1－an＝2n＋1，则an＝(　　) A.2n B.2n－1＋1 C.2n－2 D.2n＋1－2 答案：D 解析：由已知得an＋1－an＝2n＋1，a1＝2，则当n≥2时，有an－a1＝(an－an－1)＋(an－1－)＋…＋(a2－a1)＝2n＋2n－1＋…＋22，an＝2n＋2n－1＋…＋22＋a1＝2n＋2n－1＋…＋22＋2＝＝2n＋1－2，经检验当n＝1时也符合该式.所以an＝2n＋1－2.故选D. 3.已知a1＝2，an＝n(an＋1－an)，则数列{an}的通项公式是an＝(　　) A.n B.n＋1 C.2n D. 答案：C 解析：由an＝n(an＋1－an)，得(n＋1)an＝nan＋1，即＝，则n≥2时，＝，＝，＝，…，＝，由累乘法可得＝n，因为a1＝2，所以an＝2n(n≥2)，a1＝2也适合上式，所以an＝2n.故选C. 4.(多选题)已知数列{an}的前n项和满足Sn＝2n＋1－1，则下列说法正确的是(　　) A.a1＝3 B.an＝2n(n≥2) C.an＝2n D.an＝2n(n≥2) 答案：AD 解析：Sn＝2n＋1－1，当n＝1时，a1＝S1＝21＋1－1＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1－1)－(2n－1)＝2n.当n＝1时，不符合上式，故an＝故选AD. 5.已知数列{an}的前n项和为Sn，若3Sn＝2an－3n，则a2 026等于(　　) A.22 026－1 B.－22 026－1 C.－ D.－ 答案：A 解析：由题意可得，3Sn＝2an－3n，3Sn＋1＝2an＋1－3(n＋1)，两式作差可得3an＋1＝2an＋1－2an－3，即an＋1＝－2an－3，an＋1＋1＝－2(an＋1).结合3S1＝2a1－3＝3a1，可得a1＝－3，a1＋1＝－2，则数列{an＋1}是首项为－2，公比为－2的等比数列，故a2 026＋1＝(－2)×(－2)2 025＝22 026，所以a2 026＝22 026－1.故选A. 6.定义：在数列{an}中，若满足－＝d(n∈N＋，d为常数)，则称{an}为“等差比数列”.已知在“等差比数列”{an}中，a1＝a2＝1，a3＝3，则等于(　　) A.4×2 0242－1 B.4×2 0242 C.4×2 0232－1 D.4×2 0232 答案：A 解析：由已知可得，当n＝1时，有－＝2，所以d＝2.所以是以1为首项，2为公差的等差数列，所以＝＋(n－1)d＝1＋2(n－1)＝2n－1，所以＝2×2 024－1，则有a2 025＝(2×2 024－1)a2 024，＝2×2 025－1＝2×2 024＋1，则有a2 026＝(2×2 024＋1)a2 025.所以a2 026＝(2×2 024＋1)×(2×2 024－1)a2 024＝[(2×2 024)2－1]a2 024＝(4×2 0242－1)a2 024.所以＝4×2 0242－1.故选A. 7.若在数列{an}中，a1＝1，an＋1＋an＝2n，则an＝　　　　. 答案：n∈N＋ 解析：因为an＋1＋an＝2n，所以＋an＋1＝2n＋2，故－an＝2.即数列{an}的奇数项与偶数项都是公差为2的等差数列.当n为偶数时，a2＝1，故an＝a2＋2＝n－1.当n为奇数时，n＋1为偶数，则an＋1＝n，因为an＋1＋an＝2n，故an＝n.综上所述，an＝n∈N＋. 8.已知在数列{an}中，a1＝，an＋1＝an＋，则an＝　　　　. 答案：－ 解析：因为a1＝，an＋1＝an＋，所以2n＋1an＋1＝·2nan＋1，整理得2n＋1an＋1－3＝，所以数列是以2a1－3＝－为首项，为公比的等比数列.所以2nan－3＝－×，所以an＝－. 9.(双空题)已知数列{an}满足a1＝1，若an＋1＝，则数列{an}的通项公式an＝　　　　；若an＋1＝，则数列{an}的通项公式an＝　　　　. 答案：　 解析：当an＋1＝时，得＝＋，又a1＝1，所以数列是以1为首项，为公差的等差数列，所以＝(n＋2)，所以数列{an}的通项公式an＝.当an＋1＝时，得＝＋1，所以＋1＝2.又a1＝1，所以＋1＝2，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以＋1＝2×2n－1＝2n，所以数列{an}的通项公式an＝. 10.(13分)已知Sn＝4－an－，求an与Sn. 解：因为Sn＝4－an－， 所以当n≥2时，Sn－1＝4－an－1－， 所以Sn－Sn－1＝an＝an－1－an＋－(n≥2). 所以an＝an－1＋(n≥2). 所以－＝2(n≥2)， 所以2nan－2n－1an－1＝2(n≥2)， 所以{2nan}是等差数列，d＝2，首项为2a1. 因为a1＝S1＝4－a1－＝2－a1， 所以a1＝1，所以2nan＝2＋2(n－1)＝2n. 所以an＝(n∈N＋)， 所以Sn＝4－an－＝4－－＝4－. (第11－13题，每小题5分，共15分) 11.若正项数列{an}满足a1＝2，－3an＋1an－4＝0，则数列{an}的通项公式an等于(　　) A.22n－1 B.2n C.22n＋1 D.22n－3 答案：A 解析：由－3an＋1an－4＝0，得(an＋1－4an)(an＋1＋an)＝0.又{an}是正项数列，所以an＋1－4an＝0，即＝4.所以数列{an}是以2为首项，4为公比的等比数列.所以an＝2×4n－1＝22n－1.故选A. 12.若数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，且对于任意大于1的整数n，点(，)在直线x－y－＝0上，则数列{an}的通项公式为(　　) A.an＝4n－2 B.an＝4n＋2 C.an＝4n D.an＝4n2 答案：A 解析：由题意得－＝，n≥2，所以{}是首项为＝＝，公差为的等差数列.所以＝n，所以Sn＝2n2，所以an＝Sn－Sn－1＝2n2－2(n－1)2＝4n－2，n≥2，a1＝2也适合上式.所以an＝4n－2.故选A. 13.若在数列{an}中，a1＝3且an＋1＝(n是正整数)，则它的通项公式为　　　　　　　　. 答案：an＝ 解析：由题意知an＞0且an≠1，将an＋1＝两边取对数得lg an＋1＝2lg an且lg an≠0，即＝2，所以数列{lg an}是以lg a1＝lg 3为首项，2为公比的等比数列，所以lg an＝(lg 3)·2n－1＝lg ，即an＝. 14.(15分)设数列{an}满足an＋1＝2an＋n－1，a1＝1，求数列{an}的通项公式. 解：已知an＋1＝2an＋n－1， 设an＋1＋An＋B＝2[an＋A(n－1)＋B]， 整理得an＋1＝2an＋An－2A＋B. 与已知an＋1＝2an＋n－1比较， 得 将其代入所设等式， 得an＋1＋n＋1＝2[an＋(n－1)＋1]， 所以数列{an＋(n－1)＋1}为等比数列，公比为q＝2，首项为a1＋(1－1)＋1＝2， 所以an＋(n－1)＋1＝2·2n－1， 整理得an＝2n－n. 15.(5分)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝15，且满足＝＋1，已知n，m∈N＋，n＞m，则Sn－Sm的最小值为(　　) A.－ B.－ C.－14 D.－28 答案：C 解析：因为＝＋1，且＝＝－5，所以数列是以－5为首项，1为公差的等差数列，则＝－5＋(n－1)＝n－6，即an＝(2n－5)(n－6).令an≤0，得≤n≤6.又因为n∈N＋，所以n＝3，4，5，6，则Sn－Sm＝am＋1＋am＋2＋…＋an的最小值为a3＋a4＋a5＋a6＝－3－6－5－0＝－14. 16.(17分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＋1＝4an＋1. (1)求证：数列{an＋1－2an}是等比数列； (2)求证：数列是等差数列； (3)求数列的前n项和Tn. 解：(1)证明：因为Sn＋1＝4an＋1， 所以当n≥2时，Sn＝4an－1＋1， 两式作差得an＋1＝4an－4an－1， 所以an＋1－2an＝2(an－2an－1)， 又n＝1时，S2＝a1＋a2＝4a1＋1， 得a2＝4，a2－2a1＝2≠0， 所以an＋1－2an≠0，即＝2(n≥2)， 所以数列{an＋1－2an}是首项为a2－2a1＝2，公比为2的等比数列. (2)证明：由(1)可知an＋1－2an＝2n， 即－＝， 所以数列＝，公差为的等差数列. (3)由(2)可知＝＋(n－1)×＝， 即an＝n·2n－1， 所以·an＝·n·2n－1＝(n＋1)·2n－1， 则Tn＝2×20＋3×21＋4×22＋…＋n·2n－2＋(n＋1)×2n－1， 所以2Tn＝2×21＋3×22＋4×23＋…＋n·2n－1＋(n＋1)×2n， 两式相减得－Tn＝2×20＋(21＋22＋…＋2n－1)－(n＋1)×2n ＝2＋－(n＋1)×2n， 即－Tn＝－n·2n， 所以Tn＝n·2n. 学生用书⬇第45页 学科网（北京）股份有限公司 $