课时分层评价9 等比数列的前n项和公式-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（北师大版）

课时分层评价9　等比数列的前n项和公式 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (第1－9题，每小题5分，共45分) 1.在等比数列{an}中，a1＝2，a2＝1，则S100等于(　　) A.4－2100 B.4＋2100 C.4－2－98 D.4－2－100 答案：C 解析：q＝＝.S100＝＝＝4×(1－2－100)＝4－2－98.故选C. 2.(数学文化)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯(　　) A.1盏 B.3盏 C.5盏 D.9盏 答案：B 解析：设塔的顶层的灯数为a1，七层塔的总灯数为S7，公比为q，则由题意知S7＝381，q＝2.所以S7＝＝＝381，解得a1＝3.故选B. 3.若等比数列{an}的前n项和Sn＝a·3n－2，则a2＝(　　) A.4 B.12 C.24 D.36 答案：B 解析：因为等比数列的前n项和为Sn＝a·3n－2，所以a＝2，所以a2＝S2－S1＝12.故选B. 4.已知数列{an}是首项为1的等比数列，Sn是数列{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和为(　　) A.或5 B.或5 C. D. 答案：C 解析：由9S3＝S6，得q≠1，且＝，即1＋q3＝9，解得q＝2，所以数列是首项为1，公比为的等比数列，则数列的前5项和为＝.故选C. 5.(多选题)已知等比数列{an}是单调数列，设Sn是其前n项和，若a1＝243，a5＝3，则下列结论正确的是(　　) A.a3＝±27 B.an＝36－n C.Sn＝ D.a1a2…an＝a1a2…a11－n 答案：BD 解析：设等比数列{an}的公比为q，则有解得q＝或－，当q＝－时，数列{an}不是单调数列，所以q＝，所以a3＝a1q2＝27，故A错误；an＝a1＝35×＝36－n，故B正确；Sn＝＝＝，故C错误；a1a2…an＝35×34×…×36－n＝，a1a2…a11－n＝35×34×…×3－5＋n＝＝，所以a1a2…an＝a1a2…a11－n成立，故D正确.故选BD. 6.(数学文化)中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？此问题中1斗为10升，则牛主人应偿还多少升粟？(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：5斗＝50升，设羊、马、牛的主人应偿还粟的量分别为a1，a2，a3，由题意可知a1，a2，a3构成公比为2的等比数列，且S3＝50，则＝50，解得a1＝，所以牛主人应偿还粟的量为a3＝22a1＝.故选D. 7.等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋3S2＝0，则公比q＝　　　　. 答案：－2 解析：S3＋3S2＝a1＋a2＋a3＋3a1＋3a2＝4a1＋4a2＋a3＝a1(4＋4q＋q2)＝a1(2＋q)2＝0，故q＝－2. 8.已知数列{an}是公比为q的等比数列，若a1＝，q＝，则＋＋…＋＝　　　　. 答案： 解析：由题意an＝×()n－1，则＝＝×2n－1，故{}是首项为，公比为2的等比数列，故＋＋…＋＝＝. 9.等比数列{an}的公比为q，前n项和Sn＞0(n＝1，2，3，…)，则q的取值范围是　　　　　　　　. 答案：(－1，0)∪(0，＋∞) 解析：因为数列{an}为等比数列，Sn＞0，所以a1＝S1＞0，q≠0.当q＝1时，Sn＝na1＞0；当q≠1时，Sn＝＞0，即＞0，所以所以－1＜q＜0或0＜q＜1或q＞1.综上，q的取值范围为(－1，0)∪(0，＋∞). 10.(13分)已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝，anbn＋1＋bn＋1＝nbn. (1)求{an}的通项公式； (2)求{bn}的前n项和. 解：(1)由已知，a1b2＋b2＝b1，b1＝1，b2＝，得a1＝2. 所以数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列， 通项公式为an＝3n－1，n∈N＋. (2)由(1)和anbn＋1＋bn＋1＝nbn得＝， 因此{bn}是首项为1，公比为的等比数列. 设{bn}的前n项和为Sn， 则Sn＝＝－. (第11－13题，每小题5分，共15分) 11.在数列{an}中，a1＝2，＝aman，若＋＋…＋＝215－25，则k等于(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 答案：C 解析：a1＝2，＝aman，令m＝1，则an＋1＝a1an＝2an，所以{an}是以2为首项，公比为2的等比数列，所以an＝2×2n－1＝2n.又因为＋＋…＋＝215－25，所以＝215－25，即2k＋1(210－1)＝25(210－1)，所以2k＋1＝25，所以k＋1＝5，所以k＝4.故选C. 12.已知等比数列{an}的首项为8，Sn是其前n项的和，某同学经计算得S1＝8，S2＝20，S3＝36，S4＝65，后来该同学发现其中一个数算错了，则该数为　　　　. 答案：S3 解析：由题意知S1正确；若S4错误，则S2，S3正确，于是a1＝8，a2＝S2－S1＝12，a3＝S3－S2＝16，与{an}为等比数列矛盾，故S4＝65；若S3错误，则S2正确，此时，a1＝8，a2＝12.所以q＝，所以S4＝＝＝65，符合题意. 13.(双空题)如图，该图形称之为毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理作出的一个可以无限重复的图形.图①是边长为1的正方形，以正方形的一边为斜边作直角三角形，再以直角三角形的两个直角边为边分别作正方形得到图②，重复以上作图得到图③，④，…，记图①中正方形的个数为a1，图②中正方形的个数为a2，图③中正方形的个数为a3，图④中正方形的个数为a4，依此类推，第n个图形中的正方形个数为an，则a6＝　　　　　；若记Sn是数列{an}的前n项和，则S11＝　　　　. 答案：63　4 083 解析：由题图易知，a1＝1＝21－1，a2＝3＝22－1，a3＝7＝23－1，a4＝15＝24－1，猜想可知，an＝2n－1，所以a6＝26－1＝64－1＝63，S11＝(21＋22＋23＋…＋211)－11＝－11＝4 083. 14.(15分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且6，2Sn，an成等差数列. (1)求an； (2)是否存在m∈N＋，使得a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＞6am对任意n∈N＋恒成立？若存在，求m的所有取值；否则，请说明理由. 解：(1)因为6，2Sn，an成等差数列， 所以4Sn＝an＋6， 因此有4Sn－1＝an－1＋6(n≥2)， 两式相减，得4an＝an－an－1， 即an＝－an－1(n≥2)， 当n＝1时，4S1＝a1＋6，所以a1＝2，故{an}是以2为首项，－为公比的等比数列， 所以an＝2×(－)n－1. (2)存在.因为anan＋1＝4×(－)2n－1， 所以题中不等式等价于4［(－)1＋(－)3＋…＋(－)2n－1］＞12×(－)m－1， 即＞3·(－)m－1， 即(1－)＜(－)m－2对∀n∈N＋恒成立. 因为1－＜1，且当n→＋∞时，1－→1，所以(－)m－2≥，显然m为偶数，当m＝2时不等式成立； 当m≥4时，(－)m－2≤，此时≥无解. 综上，存在m∈N＋满足题意，m＝2. 15.(5分)有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点，已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形几何体的表面积(不含最底层正方体的下底面面积)超过34，则该塔形几何体中正方体的个数至少是(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 答案：B 解析：设从最底层开始的第n层的正方体棱长为an，a1＝2，a2＝×＝，a3＝×＝1，则{an}是以2为首项，以为公比的等比数列，所以是以4为首项，以为公比的等比数列.所以塔形几何体的表面积Sn＝4＋4＋4＋…＋4＋＝4×＋4＝36－，令36－＞34，解得n＞4，所以该塔形几何体中正方体的个数至少为5个.故选B. 16.(17分)已知数列{an}中，a1＝1，an·an＋1＝，记T2n为{an}的前2n项的和，bn＝a2n＋a2n－1，n∈N＋. (1)判断数列{bn}是否为等比数列，并求出bn； (2)求T2n. 解：(1)因为an·an＋1＝， 所以an＋1·＝， 所以＝，即＝an， 因为bn＝a2n＋a2n－1， 所以＝＝＝，所以{bn}是公比为的等比数列. 因为a1＝1，a1·a2＝，所以a2＝⇒b1＝a2＋a1＝，所以bn＝×＝. (2)由(1)可知，T2n＝a1＋a2＋…＋a2n－1＋a2n＝b1＋b2＋…＋bn＝＝3－. 学科网（北京）股份有限公司 $