课时分层评价8 等比数列的性质及实际应用-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（北师大版）

课时分层评价8　等比数列的性质及实际应用 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (第1－9题，每小题5分，共45分) 1.已知a＝5＋2，c＝5－2，则使得a，b，c成等比数列的充要条件的b值为(　　) A.1 B.±1 C.5 D.±2 答案：B 解析：若a，b，c成等比数列，则b2＝ac，即b＝±＝±＝±1，当b＝±1时，满足b2＝ac，a，b，c成等比数列，故使得a，b，c成等比数列的充要条件的b值为±1.故选B. 2.已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则a2等于(　　) A.2 B.1 C. D. 答案：C 解析：由题意可得a3a5＝＝4(a4－1)，解得a4＝2，所以q3＝＝8，解得q＝2，故a2＝a1q＝.故选C. 3.在单调递减的等比数列{an}中，若a3＝1，a2＋a4＝，则a1＝(　　) A.9 B.3 C. D. 答案：A 解析：设等比数列{an}的公比为q，则由a3＝1，a2＋a4＝，得q＋＝，解得q＝或q＝3，且an＞0，又{an}单调递减，故q＝，a1＝＝9.故选A. 4.通过测量知道，温度每降低6 ℃，某电子元件的电子数目就减少一半.已知在零下34 ℃时，该电子元件的电子数目为3个，则在室温26 ℃时，该元件的电子数目接近(　　) A.860个 B.1 730个 C.3 072个 D.3 900个 答案：C 解析：由题设知，该电子元件在不同温度下的电子数目为等比数列，且a1＝3，公比q＝2.由26－＝60，＝10，得a11＝3×210＝3 072.故选C. 5.(多选题)已知数列{an}为等比数列，则(　　) A.数列a2，a4，a8成等比数列 B.数列a1·a2，a3·a4，a5·a6成等比数列 C.数列a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6成等比数列 D.数列a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9成等比数列 答案：BD 解析：设等比数列{an}的公比为q，对于A，由等比数列的性质知＝q2，＝q4，当q≠±1时，q2≠q4，故A错误；对于B，可知数列a1·a2，a3·a4，a5·a6每项都不为0，且＝＝q4，故B正确；对于C，当数列{an}为1，－1，1，－1，1，…时，a1＋a2＝a3＋a4＝a5＋a6＝0，故C错误；对于D，易知数列a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9的每一项都不为0，且＝＝q3，故D正确.故选BD. 6.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为(　　) A.f B.f C.f D.f 答案：D 解析：因为每一个单音与前一个单音的频率比为，所以第n个单音的频率an＝an－1(n≥2，n∈N＋)，又a1＝f，则a8＝a1q7＝f()7＝f.故选D. 7.公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则a5＝　　　　. 答案：1 解析：法一：a3a11＝16，即a1·22·a1·210＝16，所以a1＝，a5＝a1·24＝1. 法二：由等比数列的性质，知＝a3a11＝16.又数列{an}的各项都是正数，所以a7＝4，a5＝＝＝1. 8.有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1，1，4，13后成等差数列，则这四个数的和是　　　　. 答案：45 解析：设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3，则a－1，aq－1，aq2－4，aq3－13成等差数列. 即解得a＝3，q＝2.因此这四个数分别是3，6，12，24，其和为45. 9.在等比数列{an}中，a6·a12＝6，a4＋a14＝5，则＝　　　　. 答案：或 解析：由a6·a12＝a4·a14＝6，且a4＋a14＝5，解得a4＝2，a14＝3或a4＝3，a14＝2.若a4＝2，a14＝3，则q10＝，故＝(q10)2＝；若a4＝3，a14＝2，则q10＝，故＝(q10)2＝.综上，＝. 10.(13分)王同学入读某大学金融专业，过完年刚好得到红包6 000元，她计划以此作为启动资金进行理财投资，每月月底获得的投资收益是该月月初投入资金的20％，并从中拿出1 000元作为自己的生活费，余款作为资金全部投入下个月，如此继续.设第n个月月底的投资市值为an元. (1)求证：数列{an－5 000}为等比数列； (2)如果王同学想在第二年过年的时候给奶奶买一台全身按摩椅(商场标价为12 899元)，将一年后投资市值全部取出来是否足够？(1.211≈7.43，1.212≈8.92) 解：(1)证明：依题意，第1个月底的投资市值为 a1＝6 000(1＋20％)－1 000＝6 200， an＋1＝an(1＋20％)－1 000＝1.2an－1 000， 则＝＝1.2， 又a1－5 000＝1 200， 所以数列{an－5 000}是首项为1 200，公比为1.2的等比数列. (2)由(1)知an－5 000＝1 200×1.2n－1， 所以a12－5 000＝1 200×1.211≈8 916， 即a12≈8 916＋5 000＝13 916. 因为a12≈13 916＞12 899， 所以王同学将一年后投资市值全部取出来是足够的. (第11－13题，每小题5分，共15分) 11.(新定义)记等比数列{an}的前n项积为􀰒n，若a4·a5＝2，则􀰒8＝(　　) A.256 B.81 C.16 D.1 答案：C 解析：因为数列{an}为等比数列，且前n项积为􀰒n，所以a4·a5＝a3·a6＝a2·a7＝a1·a8＝2，所以􀰒8＝a1·a2·a3·a4·a5·a6·a7·a8＝···＝24＝16.故选C. 12.(多选题)已知数列{an}为等差数列，{bn}为等比数列，{an}的前n项和为Sn，若a1＋a6＋a11＝3π，b1b5b9＝8，则(　　) A.S11＝11π B.sin ＝ C.a3＋a7＋a8＝3π D.b3＋b7≥4 答案：ACD 解析：因为数列{an}为等差数列，{bn}为等比数列，a1＋a6＋a11＝3π，b1b5b9＝8，所以a1＋a6＋a11＝3a6＝3π，即a6＝π，b1b5b9＝＝8，即b5＝2.对于A，S11＝＝11a6＝11π，故A正确；对于B，a2＋a10＝2a6＝2π，b4b6＝＝4，所以sin ＝sin ＝1，故B错误；对于C，设等差数列{an}的公差为d，则a3＋a7＋a8＝a6－3d＋a6＋d＋a6＋2d＝3a6＝3π，故C正确；对于D，由b5＝2，得b3，b7＞0，故b3＋b7≥2＝2＝4，当且仅当b3＝b7＝2时等号成立，故D正确.故选ACD. 13.已知在等差数列{an}中，a2＋a4＝16，a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列，把各项按如图所示排列.则从上到下第10行，从左到右的第11个数值为　　　　. a1 a2　a3　a4 a5　a6　a7　a8　a9 a10　a11　a12　a13　a14　a15　a16 a17　a18　a19　a20　a21　a22　a23　a24　a25 答案：275或8 解析：设公差为d，由a2＋a4＝16，得a1＋2d＝8，由a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列，得(a2＋1)2＝(a1＋1)(a4＋1)，解得d＝3或d＝0，当d＝3时，a1＝2，an＝3n－1.由题图可得第10行第11个数为数列{an}中的第92项，a92＝3×92－1＝275.当d＝0时，an＝8，a92＝8. 14.(15分)数列{an}中，a1＝1，an＋1(an－4)＝an－6. (1)设bn＝1－，求证：数列{bn}是等比数列； (2)设数列的前n项积为Tn，求Tn取得最大值时n的取值. 解：(1)证明：由an＋1(an－4)＝an－6， 得an＋1＝， 故an＋1－2＝－2＝－， 整理得＝－＝－1＋. 又＝1－bn，所以1－bn＋1＝－1＋2(1－bn)， 即bn＋1＝2bn. 又b1＝1－＝2， 故数列{bn}是首项为2，公比为2的等比数列. (2)由(1)得bn＝2n，设cn＝＝， 则cn＋1－cn＝－＝＝， 当n＝1，2时，cn＋1－cn＞0； 当n≥3时，cn＋1－cn＜0， 即c1＜c2＜c3＞c4＞c5＞…. 又c1＝，c2＝1，c3＝，c4＝1，c5＝， 故T1＝T2＝，T3＝T4＝. 当n≥5时，cn＜1，Tn＋1＜Tn. 综上，当n＝3或n＝4时，Tn取得最大值. 15.(5分)(多选题)在等比数列中，公比为q，其前n项积为Tn，并且满足a1＞1，a99·a100－1＞0，＜0，则以下结论正确的是(　　) A.0＜q＜1 B.a99·a101－1＜0 C.T100的值是Tn中最大的 D.使Tn＞1成立的最大自然数n等于197 答案：AB 解析：因为等比数列中，a99·a100＞1，所以a99与a100同号，所以q＞0；又＜0 ⇒ a99与a100一个大于1，一个小于1，再有a1＞1，所以a99＞1，a100＜1.所以数列是各项均为正数的递减的等比数列，所以0＜q＜1，故A正确；因为0＜a100＜1，所以a99·a101－1＝－1＜0，故B正确；因为T100＝T99·a100＜T99，故C错误；因为T198＝· ＝(a99·a100)99 ＞1，T199＝··a100 ＝＜1，所以使Tn＞1成立的最大自然数n等于198.故D错误.故选AB. 16.(17分)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n∈N＋)，Sn为数列{an}的前n项和. (1)求{an}的通项公式； (2)在an，an＋1之间插入n个数，使这n＋2个数组成一个公差为dn的等差数列，在数列{dn}中是否存在3项dm，dk，dp(其中m，k，p成等差数列)成等比数列？若存在，求出这3项；若不存在，请说明理由. 解：(1)当n≥2时，an＋1－an＝(2Sn＋1)－(2Sn－1＋1)＝2an，所以an＋1＝3an. 又a2＝2S1＋1＝3＝3a1， 所以对n∈N＋，有an＋1＝3an， 故数列{an}是以1为首项，3为公比的等比数列，通项公式为an＝3n－1. (2)在数列{dn}中不存在3项dm，dk，dp(其中m，k，p成等差数列)成等比数列. 理由如下： 由已知得dn＝＝＝， 假设在数列{dn}中存在dm，dk，dp(其中m，k，p成等差数列)成等比数列，则＝dmdp， 即＝×，化简得＝， 又因为m，k，p成等差数列，所以m＋p＝2k， 故上式可以化简为(k＋1)2＝(m＋1)(p＋1)， 则k＝m＝p，与已知矛盾. 故在数列{dn}中不存在3项dm，dk，dp(其中m，k，p成等差数列)成等比数列. 学生用书⬇第30页 学科网（北京）股份有限公司 $