课时分层评价7 等比数列的概念及其通项公式-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（北师大版）

课时分层评价7　等比数列的概念及其通项公式 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (第1－9题，每小题5分，共45分) 1.在等比数列{an}中，a4＝4，则a2·a6等于(　　) A.4 B.8 C.16 D.32 答案：C 解析：因为a4＝a1q3＝4，所以a2·a6＝a1q·a1q5＝q6＝(a1q3)2＝42＝16.故选C. 2.设{an}是等比数列，且a1＋a2＝1，a2＋a3＝2，则a4＋a5＝(　　) A.4 B.8 C.16 D.32 答案：B 解析：由题意可得，故a4＋a5＝a1q3(1＋q)＝×23×3＝8.故选B. 3.在数列{an}中，若an＋1＝3an，a1＝2，则a4等于(　　) A.108 B.54 C.36 D.18 答案：B 解析：因为an＋1＝3an且an≠0，所以数列{an}是公比为3的等比数列，则a4＝33a1＝54.故选B. 4.已知a，b，c∈R，如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么(　　) A.b＝3，ac＝9 B.b＝3，ac＝－9 C.b＝－3，ac＝9 D.b＝－3，ac＝－9 答案：C 解析：因为＝，即b2＝(－1)×(－9)＝9且b与首项－1同号，所以b＝－3，且a，c必同号，所以由＝得ac＝b2＝9.故选C. 5.(新角度)音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的，得到“商”；…….依次损益交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶.据此可推得(　　) A.“宫、商、角”的频率成等比数列 B.“宫、徵、商”的频率成等比数列 C.“商、羽、角”的频率成等比数列 D.“徵、商、羽”的频率成等比数列 答案：A 解析：设“宫”的频率为a，由题意经过一次“损”，可得“徵”的频率为a，“徵”经过一次“益”，可得“商”的频率为a，“商”经过一次“损”，可得“羽”的频率为a，最后“羽”经过一次“益”，可得“角”的频率是a，由于a，a，a成等比数列，所以“宫、商、角”的频率成等比数列.故选A. 6.(多选题)已知数列{an}是等比数列，下列结论正确的有(　　) A.若a2 025＞0，则a1a2＞0 B.若a1a2＞0，则a2a3＞0 C.若a2＞a1＞0，则a1＋a3＞2a2 D.若a1a2＜0，则＜0 答案：BC 解析：设等比数列{an}的公比为q，对于A，a2 025＝a1＞0，有q＞0或q＜0，当q＜0时，a1a2＝q＜0，故A不正确；对于B，a1a2＝q＞0，即q＞0，则a2a3＝q3＞0，故B正确；对于C，由a2＞a1＞0，即a1q＞a1＞0，得a1＞0，q＞1，则a1＋a3－2a2＝a1(1－q)2＞0，故C正确；对于D，因为a1a2＜0，则q＜0，(a2－a1)(a2－a3)＝a1(q－1)·a2(1－q)＝－a1a2(q－1)2＞0，故D不正确.故选BC. 7.(易错题)在等比数列a，2a＋2，3a＋3，…中，a＝　　　　. 答案：－4 解析：由＝，得＝a，解得a＝－4或a＝－1，当a＝－1时，2a＋2＝0，3a＋3＝0，不满足条件.当a＝－4时，等比数列为－4，－6，－9，…，满足条件. 8.(开放题)等比数列{an}满足如下条件：①a1＞0；②{an}单调递增，试写出满足上述所有条件的数列的一个通项公式an＝　　　　. 答案：2n(答案不唯一) 解析：满足题述所有条件的数列的一个通项公式an＝2n. 9.(开放题)已知数列{an}是首项为负数，公比为q的等比数列，若对任意的正整数n，2a2n－1＋a2n＞0恒成立，则q的值可以是　　　　.(只需写出一个) 答案：－3(答案不唯一，q＜－2即可) 解析：由2a2n－1＋a2n＞0可得，2a1q2n－2＋a1q2n－1＝a1q2n－2(2＋q)＞0恒成立，因为q≠0，显然有q2n－2＝()2＞0，又a1＜0，所以q＋2＜0，q＜－2，q可以是－3. 10.(13分)已知数列{an}，{bn}满足：a1＝1，b1＝0，4bn＋1＝an＋4＋3bn，4an＋1＝3an＋4＋bn，证明数列{an＋bn}是等差数列，数列{an－bn}为等比数列. 证明：将4an＋1＝3an＋4＋bn，4bn＋1＝an＋4＋3bn两式相加得 4(an＋1＋bn＋1)＝4(an＋bn)＋8， 所以(an＋1＋bn＋1)－(an＋bn)＝2， 所以数列{an＋bn}是以2为公差的等差数列. 将4an＋1＝3an＋4＋bn，4bn＋1＝an＋4＋3bn两式相减得4(an＋1－bn＋1)＝2(an－bn). 因为a1－b1＝1≠0， 所以an－bn≠0，＝， 所以数列{an－bn}是以为公比的等比数列. (第11－13题，每小题5分，共15分) 11.等比数列{an}的公比｜q｜＞1，{an}中有连续四项在集合{－54，－24，－18，36，81}中，则q等于(　　) A.－ B. C.－ D. 答案：C 解析：因为{an}中的项必然有正有负，所以q＜0.又｜q｜＞1，所以q＜－1.由此可得{an}的连续四项为－24，36，－54，81.所以q＝－.故选C. 12.(多选题)若数列{an}对任意n≥2(n∈N＋)满足(an－an－1－1)(an－2an－1)＝0，则下列关于数列{an}的命题正确的是(　　) A.{an}可以是等差数列 B.{an}可以是等比数列 C.{an}可以既是等差又是等比数列 D.{an}可以既不是等差又不是等比数列 答案：ABD 解析：因为＝0，故可得an＝an－1＋1或an＝2an－1；若an＝an－1＋1，则数列{an}是等差数列；若an＝2an－1，且an≠0，则数列{an}是等比数列；若an＝2an－1，且an＝0，则数列{an}是等差数列；故A、B正确；由＝0，得不出数列{an}是非零常数列，故不可以既是等差又是等比数列，故C错误；数列{an}可以既不是等差数列又不是等比数列，例如：0，1，2，4，8，16，32，…，满足题意，故D正确.故选ABD. 13.如下表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a＋b＋c的值为　　　　. 1 2 0.5 1 a b c 答案：1 解析：因为每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，所以根据第三列，得＝，即2×a＝12，可得a＝.在第一列中，公比q＝，第3个数为＝，第4个数为＝，第三列中，公比q＝，第4个数为2×＝，所以第四行中的公差d＝×＝，所以第四行中第4个数b＝＋＝，同理c＝，所以a＋b＋c＝＋＋＝1. 14.(15分)(新设问)在“①a3＝5，a2＋a5＝6b2；②b2＝2，a3＋a4＝3b3；③S3＝9，a4＋a5＝8b2”这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答. 已知等差数列{an}的公差为d(d＞1)，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，且a1＝b1，d＝q，　　　　，求数列{an}，{bn}的通项公式. 解：选条件①： 因为a3＝5，所以a1＋2d＝5， 因为a2＋a5＝6b2，a1＝b1，d＝q， 所以2a1＋5d＝6a1d， 联立 解得(舍去)， 则a1＝b1＝1，d＝q＝2， 故an＝a1＋(n－1)d＝2n－1， bn＝b1＝2n－1. 选条件②： 因为b2＝2，a1＝b1，d＝q，所以a1d＝2， 因为a3＋a4＝3b3，所以2a1＋5d＝3a1d2， 联立 解得(舍去)， 则a1＝b1＝1，d＝q＝2， 故an＝a1＋(n－1)d＝2n－1， bn＝b1＝2n－1. 选条件③： 因为S3＝9，所以3a1＋3d＝9， 因为a4＋a5＝8b2，a1＝b1，d＝q， 所以2a1＋7d＝8a1d， 联立 解得(舍去)， 则a1＝b1＝1，d＝q＝2， 故an＝a1＋(n－1)d＝2n－1， bn＝b1＝2n－1. 15.(5分)(多选题)在数列{an}中，如果对任意n∈N＋都有＝k(k为常数)，则称{an}为等差比数列，k称为公差比，下列说法正确的是(　　) A.等比数列一定是等差比数列 B.等差比数列的公差比一定不为0 C.若an＝－3n＋2，则数列{an}是等差比数列 D.若等差数列是等差比数列，则其公差比可能为2 答案：BC 解析：对于数列{an}，考虑an＝1，则an＋1＝1，＝1，无意义，故A错误；若等差比数列的公差比为0，＝0，则－an＋1＝0，则在中分母为0，无意义，故公差比一定不为0，故B正确；若an＝－3n＋2，＝＝＝3，数列{an}是等差比数列，故C正确；若等差数列是等差比数列，对于an＝a1＋(n－1)d，则－an＋1＝d，an＋1－an＝d，d≠0，＝＝1，故D错误.故选BC. 16.(17分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝，S4＝2a3＋a5，等比数列{bn}各项均为正数，b1＝，2b2＋b3＝b4. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)求使得bn＞2an的n的最小值. 解：(1)设等差数列{an}的公差为d，由a2＝，可得a1＋d＝　①， 由S4＝2a3＋a5，可得a1－2d＝0　②， 由①②得a1＝1，d＝，故an＝1＋(n－1)×＝n＋. 设等比数列{bn}的公比为q，由2b2＋b3＝b4，可得2q＋q2＝q3，故q＝2，bn＝2n－3. (2)若bn＞2an，即2n－3＞2×＝n＋1， 当n＝1时，＜2，当n＝2时，＜3，当n＝3时，1＜4，当n＝4时，2＜5，当n＝5时，4＜6，当n＝6时，8＞7，所以n的最小值为6. 学生用书⬇第27页 学科网（北京）股份有限公司 $