课时分层评价4 等差数列的性质及实际应用-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（北师大版）

课时分层评价4　等差数列的性质及实际应用 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (第1－9题，每小题5分，共45分) 1.已知数列1，a，5是等差数列，则实数a的值为(　　) A.2 B.3 C.4 D. 答案：B 解析：由等差中项的定义知2a＝1＋5＝6，所以a＝3.故选B. 2.等差数列{an}中，am＋n＝α，am－n＝β，则其公差d的值为(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：d＝＝.故选B. 3.在数列{an}中，已知an＋1－an＝an＋2－an＋1，a1 013＝1，则该数列中a1＋a2 025等于(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案：B 解析：因为an＋1－an＝－an＋1，所以2an＋1＝an＋an＋2，所以{an}为等差数列，因为a1 013＝1，所以a1＋a2 025＝2a1 013＝2.故选B. 4.已知数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，那么数列{an＋bn}的第2 027项为(　　) A.0 B.2 027 C.100 D.－2 027 答案：C 解析：设等差数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，则(an＋1＋bn＋1)－(an＋bn)＝(an＋1－an)＋(bn＋1－bn)＝d1＋d2，所以数列{an＋bn}仍然是等差数列.又d1＋d2＝(a2＋b2)－(a1＋b1)＝100－(25＋75)＝0，所以a2 027＋b2 027＝a1＋b1＝100.故选C. 5.(数学文化)“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于我国南北朝时期的数学著作《孙子算经》，1852年，英国传教士伟烈亚力将该解法传至欧洲，1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”，此定理讲的是关于整除的问题，现将1到2 026这2 026个数中，能被2除余1且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则该数列共有(　　) A.144项 B.145项 C.146项 D.147项 答案：B 解析：由已知可得an－1既能被2整除，也能被7整除，故an－1能被14整除，所以an－1＝14(n－1)，n∈N＋，即an＝14n－13，故1≤an≤2 026，即1≤14n－13≤2 026，解得1≤n≤＝145，故共有145项.故选B. 6.(多选题)下列关于公差d＞0的等差数列{an}的说法正确的是(　　) A.数列{an}是递增数列 B.数列{nan}是递增数列 C.数列是递增数列 D.数列{an＋3nd}是递增数列 答案：AD 解析：对于A，因为an＝a1＋(n－1)d，d＞0，所以an＋1－an＝d＞0，故A正确；对于B，nan＝na1＋n(n－1)d，所以nan－(n－1)an－1＝a1＋2(n－1)d(n≥2)与0的大小和a1的取值情况有关，故数列{nan}不一定递增，故B不正确；对于C，＝＋d，所以－＝(n≥2)，当d－a1＞0，即d＞a1时，数列递增，但d＞a1不一定成立，故C不正确；对于D，设bn＝an＋3nd，则bn＋1－bn＝an＋1－an＋3d＝4d＞0，所以数列{an＋3nd}是递增数列，故D正确.故选AD. 7.等差数列{an}中，a5＋a10＋a15＝30，则a22－2a16的值为　　　　. 答案：－10 解析：因为{an}为等差数列，设公差为d，根据等差数列的性质可得a5＋a15＝2a10，所以3a10＝30，解得a10＝10，所以a22－2a16＝a22－(a22＋a10)＝－a10＝－10. 8.已知(1，3)，(3，－1)是等差数列{an}图象上的两点，若a5是ap和aq的等差中项，则ap＋aq的值为　　　　. 答案：－10 解析：法一：设等差数列{an}的通项公式为an＝kn＋b，代入点的坐标，得即an＝－2n＋5.由于a5是ap和aq的等差中项，所以ap＋aq＝2a5＝2×(－10＋5)＝－10. 法二：由题意知(1，3)，(3，－1)，(5，a5)三点共线，所以＝，所以a5＝－5.由于a5是ap和aq的等差中项，所以ap＋aq＝2a5＝－10. 9.设等差数列{an}满足a7＋a8＋a9＞0，a7＋a10＜0，若an＞0，则项数n的最大值是　　　　. 答案：8 解析：由a7＋a8＋a9＝2a7＋a10＝3a8＞0，而a7＋a10＝a8＋a9＜0，所以a7＞0，a8＞0，a9＜0，a10＜0，故等差数列{an}递减，所以对于等差数列{an}，要使an＞0，n的最大值为8. 10.(13分)甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图所示.甲调查表明：从第1年平均每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡.乙调查表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个. 请你根据提供的信息回答问题： (1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数； (2)到第6年这个县的养鸡业规模比第1年是扩大了还是缩小了？请说明理由. 解：由题图可知，从第1年到第6年平均每个养鸡场出产的鸡数成等差数列，记为{an}，公差为d1，且a1＝1，a6＝2； 从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列，记为{bn}，公差为d2，且b1＝30，b6＝10； 从第1年到第6年全县出产鸡的总只数记为数列{cn}，则cn＝anbn. (1)由a1＝1，a6＝2，得 所以得a2＝1.2. 由b1＝30，b6＝10，得 所以得b2＝26. 所以c2＝a2b2＝1.2×26＝31.2， 即第2年养鸡场有26个，全县出产鸡31.2万只. (2)因为c6＝a6b6＝2×10＝20＜c1＝a1b1＝30， 所以到第6年这个县的养鸡业规模比第1年缩小了. (第11－13题，每小题5分，共15分) 11.已知公差不为0的等差数列{an}满足am＋ap＝2a5，则＋的最小值为(　　) A. B.1 C. D.2 答案：A 解析：根据等差数列性质可得m＋p＝10，则(m＋2)＋p＝12，所以＋＝(m＋2＋p)＝≥(5＋2)＝，当且仅当＝，即p＝4，m＝6时，取等号.故选A. 12.(数学文化)(多选题)我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)，二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则下列说法正确的是(　　) A.小寒比大寒的晷长长一尺 B.春分和秋分两个节气的晷长相同 C.小雪的晷长为一丈五寸 D.立春的晷长比立秋的晷长长 答案：ABD 解析：由题意可知，由夏至到冬至的晷长构成等差数列{an}，其中a1＝15，a13＝135，则d＝10，同理可得，由冬至到夏至的晷长构成等差数列{bn}，其中b1＝135，b13＝15，则d'＝－10，因大寒与小寒相邻，所以小寒比大寒的晷长长10寸，即一尺，故A正确；因为春分的晷长为b7，所以b7＝b1＋6d'＝135－60＝75，因为秋分的晷长为a7，所以a7＝a1＋6d＝15＋60＝75，故春分和秋分两个节气的晷长相同，故B正确；因为小雪的晷长为a11，所以a11＝a1＋10d＝15＋100＝115，又115寸即一丈一尺五寸，故小雪的晷长为一丈一尺五寸，故C错误；因为立春的晷长和立秋的晷长分别为b4，a4，所以a4＝a1＋3d＝15＋30＝45，b4＝b1＋3d'＝135－30＝105，所以b4＞a4，故立春的晷长比立秋的晷长长，故D正确.故选ABD. 13.已知数列{an}满足＝－，a1＝1，a5＝，则a100＝　　　　. 答案： 解析：因为＝－，所以＋＝.因为a1＝1，所以＝1，所以数列是以1为首项的等差数列，设其公差为d，因为a5＝，所以＝9，即＝＋4d，9＝1＋4d，得d＝2.因为＝＋99d＝199，所以a100＝. 14.(15分)已知数列{an}，都是等差数列，公差分别为d1，d2，数列满足cn＝2an＋3bn. (1)数列是不是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由； (2)若{an}，{bn}的公差都等于3，a1＝1，b1＝2，求数列的通项公式. 解：(1)数列是等差数列，理由如下： 因为数列{an}，{bn}都是等差数列，公差分别为d1，d2， 所以d1＝an＋1－an，d2＝bn＋1－bn，n∈N＋， 因为cn＝2an＋3bn， 所以cn＋1－cn＝2an＋1＋3bn＋1－＝2＋3＝2d1＋3d2为常数， 所以数列是等差数列. (2)因为a1＝1，b1＝2，所以c1＝2a1＋3b1＝2×1＋3×2＝8， 由(1)可知数列是等差数列，且公差为2d1＋3d2，且d1＝d2＝3， 所以数列的公差为d＝2×3＋3×3＝15， 所以数列的通项公式为cn＝c1＋(n－1)d＝8＋15(n－1)＝15n－7，即cn＝15n－7. 15.(5分)(新定义)(多选题)在数列{an}中，若－＝p(n≥2，n∈N＋，p为常数)，则称{an}为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是(　　) A.若{an}是等差数列，则{an}是等方差数列 B.{(－1)n}是等方差数列 C.若{an}是等方差数列，则{akn}(k∈N＋，k为常数)也是等方差数列 D.若{an}既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列 答案：BCD 解析：对于A，若{an}是等差数列，如an＝n，则－＝n2－(n－1)2＝2n－1不是常数，故{an}不是等方差数列，故A错误；对于B，数列{(－1)n}中，－＝[(－1)n]2－[(－1)n－1]2＝0是常数，所以{(－1)n}是等方差数列，故B正确；对于C，数列{an}中的项列举出来是a1，a2，…，ak，…，a2k，…，数列{akn}中的项列举出来是ak，a2k，a3k，…，因为－＝－＝－＝…＝－＝p，将这k个式子累加得(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＝kp，所以－＝kp，所以－＝kp，所以{akn}(k∈N＋，k为常数)是等方差数列，故C正确；对于D，因为{an}是等差数列，所以an－an－1＝d，则设an＝dn＋m.因为{an}是等方差数列，所以－＝(an＋an－1)d＝(dn＋m＋dn－d＋m)d＝2d2n＋(2m－d)d是常数，故2d2＝0，故d＝0，所以an＝m是常数，故D正确.故选BCD. 16.(17分)(新角度)已知数列a1，a2，…，a30，其中a1，a2，…，a10是首项为1，公差为1的等差数列；a10，a11，…，a20是公差为d(d≠0)的等差数列；a20，a21，…，a30是公差为d2的等差数列. (1)若a20＝40，求d； (2)试写出a30关于d的关系式，并求出a30的取值范围； (3)续写已知数列，使得a30，a31，…，a40是公差为d3的等差数列，以此类推，把已知数列推广为无穷数列. 解：(1)依题意得，a10＝10，a20＝10＋10d＝40， 所以d＝3. (2)a30＝a20＋10d2＝10(1＋d＋d2)(d≠0)， 故a30＝10， 当d∈(－∞，0)∪(0，＋∞)时，a30∈. (3)所给数列可推广为无穷数列{an}，其中a1，a2，…，a10是首项为1，公差为1的等差数列，当n≥1时，a10n，a10n＋1，…，a10(n＋1)是公差为dn的等差数列. 学生用书⬇第17页 学科网（北京）股份有限公司 $