第1章 2.1 第1课时 等差数列的概念及其通项公式(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（北师大版）

§2　等差数列 2.1　等差数列的概念及其通项公式 第一课时　等差数列的概念及其通项公式 1.B　∵an＋1－an＝2，∴数列{an}是公差为2的等差数列，又a1＝－2，∴a5＝a1＋4d＝－2＋2×4＝6.故选B. 2.A　由题意知，{an}是公差为1的等差数列，a25＝a1＋（25－1）×1＝22，解得a1＝－2.故选A. 3.B　因为当n≥2时，－＝，所以是以＝为首项，为公差的等差数列，故＝＋15×＝，故a16＝. 4.B　依题意，金棰由粗到细各尺质量构成一个等差数列，设首项为a1＝4，则a5＝2，设公差为d，则2＝4＋4d，解得d＝－，所以a2＝4－＝. 5.AC　an＝－＋（n－1）d，∵从第6项开始为正数，∴a6＝－＋5d＞0，a5＝－＋4d≤0，解得＜d≤，故选A、C. 6.BC　由an－an＋2＝2得a3＝a1－2＝8，由于a2－a1≠a3－a2，所以{an}不是等差数列，A不正确；由an－an＋2＝2，知{an}的偶数项，奇数项分别构成等差数列，公差都为－2，当n＝2k（k∈N＋）时，a2k＝a2＋（k－1）×（－2）＝7－2k，当n＝2k－1（k∈N＋）时，a2k－1＝a1＋（k－1）×（－2）＝12－2k，故B、C都正确；当n＝2时，a2＋a3＝5＋8＝13不满足an＋an＋1＝18－3n，故D错误. 7.　解析：∵an＋1＝an＋，∴an＋1－an＝（n∈N＋），∴数列{an}是以2为首项，为公差的等差数列. 8.1　2 024　解析：由等差数列{an}的前3项依次为x，2x，2x＋1，得2x－x＝2x＋1－2x＝1，解得x＝1，故公差d＝1，所以an＝n，所以a2 024＝2 024. 9.5　解析：an＝2＋（n－1）×3＝3n－1，bn＝－2＋（n－1）×4＝4n－6， 令an＝bn，得3n－1＝4n－6，∴n＝5. 10.解：（1）因为解得 所以an＝7＋2（n－1）＝2n＋5. 令2n＋5＝91，得n＝43. 因为43为正整数，所以91是此数列中的项. （2）设{an}的公差为d，则解得 所以an＝12＋（n－1）×（－1）＝13－n， 所以a10＝13－10＝3. 11.B　由已知可得an－1既能被2整除，也能被5整除，故an－1能被10整除，所以an－1＝10（n－1），n∈N＋，即an＝10n－9，故1≤an≤2 024，即1≤10n－9≤2 024，解得1≤n≤203.3，故共203项，故选B. 12.ACD　设等差数列{an}的公差为d.对于A，（an＋an＋1）－（an－1＋an）＝（an－an－1）＋（an＋1－an）＝2d（n≥2），所以{an＋an＋1}是以2d为公差的等差数列；对于B，－＝（an＋1－an）·（an＋an＋1）＝d（an＋an＋1）≠常数，所以{}不是等差数列；对于C，因为an＋1－an＝d，所以{an＋1－an}为等差数列；对于D，因为2an＋1－2an＝2d，所以{2an}为等差数列. 13.n2（n∈N＋）　解析：由题设可得－＋1＝0，即－＝1，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，故通项公式为＝n，所以an＝n2（n∈N＋）. 14.解：（1）证明：由＝＝＝＝ ＝＋， 得－＝，n∈N＋，故数列{}是等差数列. （2）由（1）知＝＋（n－1）×＝， 所以an＝，n∈N＋. 15.A　由题意，将圆x2＋y2＝10x化为（x－5）2＋y2＝25，可得圆心坐标为C（5，0），半径r＝5.设A（5，3），可得｜AC｜＝3，由圆的弦长公式，可得a1＝2＝8，an＝10，设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋（n－1）d，即8＋（n－1）·d＝10，所以n＝＋1.因为≤d≤，所以5≤＋1≤7，即5≤n≤7，结合选项可得n的取值不可能是4.故选A. 16.解：（1）证明：因为an＋an＋1＝2n（n∈N＋），① 所以an＋1＋an＋2＝2（n＋1），② ②－①得an＋2－an＝2（n∈N＋），所以数列{an}是公差为2的准等差数列. （2）因为a1＝a，an＋an＋1＝2n（n∈N＋），所以a1＋a2＝2×1，即a2＝2－a. 因为a1，a3，a5，…是以a为首项，2为公差的等差数列， a2，a4，a6，…是以2－a为首项，2为公差的等差数列， 所以当n为偶数时，an＝2－a＋（ －1）×2＝n－a，当n为奇数时，an＝a＋（ －1）×2＝n＋a－1.所以an＝ 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一课时　等差数列的概念及其通项公式 1.在数列{an}中，a1＝－2，an＋1－an＝2.则a5＝（　　） A.－6　 B.6 C.－10 D.10 2.（2025·武汉期末）数列{an}中，a25＝22，an＋1－an＝1，则a1＝（　　） A.－2 B.－1 C.1 D.2 3.在数列{an}中，已知a1＝3，当n≥2时，－＝，则a16＝（　　） A. B. C. D. 4.《九章算术》中有如下问题：“今有金棰，长五尺.斩本一尺，重四斤.斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何？”意思是：“现在有一根金棰，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下一尺，重4斤；在细的一端截下一尺，重2斤，问各尺依次重多少？”按这一问题的题设，假设金棰由粗到细各尺质量依次成等差数列，则从粗端开始的第二尺的质量是（　　） A.斤 B.斤 C.斤 D.3斤 5.〔多选〕已知等差数列{an}的首项为－，若{an}从第6项起出现正数，则公差d的值可能为（　　） A. B. C. D. 6.〔多选〕已知数列{an}满足：a1＝10，a2＝5，an－an＋2＝2（n∈N＋），则下列说法正确的有（　　） A.数列{an}是等差数列 B.a2k＝7－2k（k∈N＋） C.a2k－1＝12－2k（k∈N＋） D.an＋an＋1＝18－3n 7.在等差数列{an}中，a1＝2，2an＋1＝2an＋1（n∈N＋），则该数列的公差为　　　　. 8.已知等差数列{an}的前3项依次为x，2x，2x＋1，则x＝　　　　，a2 024＝　　　　. 9.数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，数列{bn}是首项为－2，公差为4的等差数列.若an＝bn，则n的值为　　　　. 10.在等差数列{an}中： （1）若a5＝15，a17＝39，试判断91是否为此数列中的项； （2）若a2＝11，a8＝5，求a10. 11.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于我国南北朝时期的数学著作《孙子算经》.1852年，传至欧洲，1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.此定理讲的是关于整除的问题，现将1到2 024这2 024个数中，能被2除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则该数列共有（　　） A.202项 B.203项 C.204项 D.205项 12.〔多选〕若{an}是等差数列，则下列数列为等差数列的有（　　） A.{an＋an＋1} B.{} C.{an＋1－an} D.{2an} 13.已知数列{an}满足a1＝1，若点在直线x－y＋1＝0上，则an＝　　　　. 14.已知数列{an}满足an＋1＝，且a1＝3（n∈N＋）. （1）证明：数列{}是等差数列； （2）求数列{an}的通项公式. 15.以过圆x2＋y2＝10x内一点（5，3）的最短弦长为等差数列{an}的首项a1，最长弦长为其末项an，若等差数列{an}的公差d∈［，］，则项数n的取值不可能是（　　） A.4 B.5 C.6 D.7 16.若数列{bn}对于n∈N＋，都有bn＋2－bn＝d（d为常数），则称数列{bn}是公差为d的准等差数列.例如cn＝则数列{cn}是公差为8的准等差数列.设数列{an}满足：a1＝a，对于n∈N＋，都有an＋an＋1＝2n. （1）求证：数列{an}为准等差数列； （2）求数列{an}的通项公式. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $