课时分层评价3 等差数列的概念及其通项公式-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（北师大版）

课时分层评价3　等差数列的概念及其通项公式 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (第1－9题，每小题5分，共45分) 1.(多选题)下列数列中，是等差数列的是(　　) A.1，4，7，10 B.lg 2，lg 4，lg 8，lg 16 C.25，24，23，22 D.10，8，6，4，2 答案：ABD 解析：A，B，D项满足等差数列的定义，是等差数列；对于C，因为24－25≠23－24≠22－23，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列.故选ABD. 2.已知等差数列的前三项依次为a－1，a＋1，2a＋3，则此数列的第n项为(　　) A.2n－5 B.2n－3 C.2n－1 D.2n＋1 答案：B 解析：由题意得，(a＋1)－(a－1)＝(2a＋3)－(a＋1)，解得a＝0，故等差数列{an}的前三项依次为－1，1，3，故数列是以－1为首项，以2为公差的等差数列，故通项公式an＝－1＋(n－1)×2＝2n－3，n∈N＋.故选B. 3.已知在等差数列{an}中，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5等于(　　) A.7 B.15 C.22 D.29 答案：B 解析：设数列{an}的首项为a1，公差为d，根据题意得解得a1＝47，d＝－8.所以a5＝47＋(5－1)×(－8)＝15.故选B. 4.已知公差不为零的等差数列{an}满足：a5＋a8＝a14，则＝(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，因为a5＋a8＝a14，所以a1＋4d＋a1＋7d＝a1＋13d，解得a1＝2d，所以＝＝＝＝.故选C. 5.在数列{an}中，若＝＋，a1＝8，则数列{an}的通项公式为(　　) A.an＝2(n＋1)2 B.an＝4(n＋1) C.an＝8n2 D.an＝4n(n＋1) 答案：A 解析：由题意得－＝，故数列{}是首项为＝2，公差为的等差数列，所以＝2＋(n－1)＝n＋，故an＝2(n＋1)2.故选A. 6.(数学文化)《张丘建算经》有一道题大意为：今有十等人，每等一人，宫赐金，以等次差(即等差)降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给，则每等人比下一等人多得金(　　) A.斤 B.斤 C.斤 D.斤 答案：B 解析：设第十等人得金a1斤，第九等人得金a2斤，依此类推，第一等人得金a10斤，则数列{an}构成等差数列，设公差为d，则每一等人比下一等人多得金d斤，由题意得解得d＝，所以每等人比下一等人多得金斤.故选B. 7.数53为等差数列{an}：－5，－3，－1，1，…中的第　　　　项. 答案：30 解析：由题意可知，等差数列{an}的首项a1＝－5，公差d＝(－3)－(－5)＝2，所以通项an＝－5＋2(n－1)＝2n－7，n∈N＋，令2n－7＝53，解得n＝30，所以53是数列{an}中的第30项. 8.已知等差数列{an}中，a2＝4，a6＝16，若在数列{an}每相邻两项之间插入三个数，使得新数列也是一个等差数列，则新数列的第41项为　　　　. 答案：31 解析：设等差数列{an}的公差为d，则d＝＝＝3.在数列{an}每相邻两项之间插入三个数，则新的等差数列{bn}的公差为＝.又新数列{bn}的首项为4－3＝1，故通项公式为bn＝1＋(n－1)＝n＋，故b41＝×41＋＝31. 9.(开放题)写出同时满足下面两个条件的数列{an}的一个通项公式：an＝　　　　. ①{an}是递增的等差数列；②a1－a3＋2a4＝4. 答案：n－1(答案不唯一) 解析：设公差为d，知d＞0，由a1－a3＋2a4＝4，得a1－(a1＋2d)＋2(a1＋3d)＝4，所以a1＋2d＝2，不妨令d＝1，所以a1＝0，所以an＝n－1.(答案不唯一) 10.(13分)已知等差数列{an}中，a1＝1，a2＋2a3＋a4＝12. (1)求a5＋a7的值； (2)若数列{bn}满足：bn＝a2n－1，证明：数列{bn}是等差数列. 解：(1)因为a1＝1， 所以a2＋2a3＋a4＝(a1＋d)＋2(a1＋2d)＋(a1＋3d)＝4＋8d＝12， 所以d＝1， 所以a5＋a7＝(a1＋4d)＋(a1＋6d) ＝2a1＋10d＝12. (2)证明：由(1)可知an＝1＋(n－1)×1＝n， 所以bn＝a2n－1＝2n－1. 因为bn－bn－1＝(2n－1)－[2(n－1)－1]＝2(n≥2)，所以数列{bn}是等差数列，首项是1，公差是2. (第11－13题，每小题5分，共15分) 11.(多选题)已知数列{an}的通项公式为an＝则(　　) A.a1＝4 B.－2是该数列中的项 C.该数列是递增数列 D.该数列是等差数列 答案：AB 解析：因为an＝对于A，当n＝1时，a1＝3×1＋1＝4，故A正确；对于B，若－2是奇数项，则3n＋1＝－2，解得n＝－1，不满足n∈N＋，舍去；若－2是偶数项，则2－2n＝－2，解得n＝2，满足题意，故－2是{an}中的第2项，故B正确；对于C，当n＝3时，a3＝3×3＋1＝10，故{an}的前三项为4，－2，10，显然{an}不是递增数列，故C错误；对于D，由C易知，a2－a1≠a3－a2，故{an}不是等差数列，故D错误.故选AB. 12.(多选题)设数列{an}满足＝＋2an＋1，且an＞0，若a1＝2，则(　　) A.a2＝5 B.a4＝6 C.a10＝11 D.a2 026＝2 027 答案：CD 解析：＝(an＋1)2，因为an＞0，所以an＋1＝an＋1，所以{an}是首项为2，公差为1的等差数列，所以an＝2＋1×(n－1)＝n＋1，故有a2＝3，a4＝5，a10＝11，a2 026＝2 027，故A、B错误，C、D正确，故选CD. 13.(双空题)如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n个点，相应的图案中点的个数记为an，按此规律，则a6＝　　　　，a100＝　　　　. 答案：15　297 解析：由图可知，a2＝3，a3＝6，a4＝9，a5＝12，因为an符合等差数列的定义且公差为3，所以an＝3(n－1)(n＞1，n∈N＋)，所以a6＝3×5＝15，a100＝3×99＝297. 14.(15分)已知无穷等差数列{an}，首项a1＝3，公差d＝－5，依次取出项的序号被4除余3的项组成数列{bn}. (1)求b1和b2； (2)求数列{bn}的通项公式； (3)数列{bn}中的第110项是数列{an}中的第几项？ 解：(1)由题意得，等差数列{an}的通项公式为 an＝3－5(n－1)＝8－5n， 设数列{bn}的第n项是数列{an}的第m项， 则需满足m＝4n－1，n∈N＋. 所以b1＝a3＝8－5×3＝－7， b2＝a7＝8－5×7＝－27. (2)由(1)知bn＋1－bn＝a4(n＋1)－1－a4n－1＝4d＝－20， 所以数列{bn}也为等差数列， 且首项b1＝－7，公差d'＝－20， 所以bn＝b1＋(n－1)d'＝－7＋(n－1)×(－20)＝13－20n. (3)由(1)知m＝4n－1，n∈N＋， 所以当n＝110时，m＝4×110－1＝439， 所以数列{bn}中的第110项是数列{an}中的第439项. 15.(5分)已知数列{an}中，a1＝1，an－1－an＝anan－1(n≥2，n∈N＋)，则a10＝　　　　. 答案： 解析：易知an≠0，因为数列{an}满足an－1－an＝anan－1(n≥2)，所以－＝1(n≥2)，故数列是等差数列，且公差为1，首项为1，所以＝1＋9＝10，所以a10＝. 16.(17分)(新定义)设数列{an}是等差数列，且公差为d.若数列{an}中任意不同的两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”. (1)若等差数列{an}中，a1＝4，d＝2，求证：数列{an}是“封闭数列”； (2)若an＝2n－7，试判断等差数列{an}是否为“封闭数列”，并说明理由. 解：(1)证明：因为a1＝4，d＝2，所以an＝4＋2(n－1)＝2n＋2，所以对任意的s，t∈N＋，s≠t，有as＋at＝(2s＋2)＋(2t＋2)＝2(s＋t＋1)＋2. 因为s＋t＋1∈N＋，所以as＋at是数列{an}中的项. 所以数列{an}是“封闭数列”. (2)数列{an}不是“封闭数列”.理由如下： 因为an＝2n－7，所以a1＝－5，a2＝－3，所以a1＋a2＝－8. 令an＝－8，即2n－7＝－8，可得n＝－∉N＋， 所以数列{an}不是“封闭数列”. 学生用书⬇第12页 学科网（北京）股份有限公司 $