课时分层评价1 数列的概念-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（北师大版）

课时分层评价1　数列的概念 (时间：60分钟　满分：115分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (第1－8题，每小题5分，共40分) 1.若数列的通项公式为an＝则a2·a3等于(　　) A.70 B.28 C.20 D.8 答案：C 解析：由an＝得a2＝2，a3＝10，所以a2·a3＝20.故选C. 2.(多选题)下列说法不正确的是(　　) A.数列1，3，5，7，…，2n－1可以表示为1，3，5，7，… B.数列1，0，－1，－2与数列－2，－1，0，1是相同的数列 C.数列的第k项为1＋ D.数列0，2，4，6，8，…可记为{2n} 答案：ABD 解析：对于A，数列1，3，5，7，…，2n－1和数列1，3，5，7，…，前者是有限数列，后者是无限数列，所以两个数列不一样，故A错误；对于B，数列1，0，－1，－2与数列－2，－1，0，1的项的顺序不相同，所以不是相同数列，故B错误；对于C，＝1＋，所以数列的第k项为1＋，故C正确；对于D，数列0，2，4，6，8，…可记为，故D错误.故选ABD. 3.已知数列1，，，，…，，…，则3是它的(　　) A.第22项 B.第23项 C.第24项 D.第28项 答案：B 解析：令＝3＝，即2n－1＝45，解得n＝23.故选B. 4.数列，，，，，…的一个通项公式为(　　) A.an＝ B.an＝ C.an＝ D.an＝ 答案：A 解析：因为＝，＝，＝＝，＝，＝，…，所以该数列的一个通项公式为an＝.故选A. 5.如图①所示是第七届国际数学教育大会(简称ICME-7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图②的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图②中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为(　　) A.an＝n，n∈N＋ B.an＝，n∈N＋ C.an＝，n∈N＋ D.an＝n2，n∈N＋ 答案：C 解析：因为OA1＝1，OA2＝，OA3＝，…，OAn＝，…，所以a1＝1，a2＝，a3＝，…，an＝，….故选C. 6.下列不可作为数列1，0，1，0，1，0，…的通项公式的是(　　) A.an＝ B.an＝sin2 C.an＝ D.an＝｜sin nπ｜ 答案：D 解析：对于A，an＝，当n为奇数时，an＝1；当n为偶数时，an＝0，不满足题意；对于B，an＝sin2，当n为奇数时，an＝1；当n为偶数时，an＝0，不满足题意；对于C，an＝，当n为奇数时，an＝1；当n为偶数时，an＝0，不满足题意；对于D，an＝｜sin nπ｜，当n为奇数时，an＝0；当n为偶数时，an＝0，满足题意.故选D. 7.若数列{an}的通项公式为an＝，则－3是此数列的第　　　　项. 答案：9 解析：令＝－3，即－＝－3＝－，所以n＝9. 8.已知数列{an}的通项公式是an＝则a3＋＝　　　　. 答案： 解析：a3＝2－3＝，a4＝＝，所以＝，所以a3＋＝. 9.(10分)根据数列的前几项，写出下面各数列的一个通项公式： (1)－3，0，3，6，9，…； (2)2，0，2，0，2，0，…； (3)，，－，，－，，…. 解：(1)a1＝－3＋0×3，a2＝－3＋1×3，a3 ＝－3＋2×3，a4＝－3＋3×3，…， 所以an＝－3＋(n－1)×3＝3n－6(n∈N＋). (2)a1＝1＋1，a2＝1－1，a3＝1＋1，a4＝1－1，…， 所以an＝1＋(－1)n－1(n∈N＋). (3)a1＝－，a2＝，a3＝－， a4＝，…，所以an＝(－1)n(n∈N＋). 10.(13分)已知数列{an}的通项公式为an＝n(n＋2). (1)求这个数列的第10项、第15项及第21项； (2)判断440是不是这个数列中的项，222呢？如果是，求出是第几项；如果不是，说明理由. 解：(1)由题可知，数列{an}的通项公式为 an＝n(n＋2)， 则数列的第10项为：a10＝10×＝10×12＝120， 第15项为：a15＝15×＝15×17＝255， 第21项为：a21＝21×＝21×23＝483. (2)令an＝440＝n(n＋2)，解得n＝20， 所以440是这个数列中的项，是第20项. 令an＝222＝n(n＋2)，解得n＝－1，不是整数， 故222不是这个数列中的项. (第11－13题，每小题5分，共15分) 11.已知数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…，则该数列的第22项为(　　) A.6 B.7 C.64 D.65 答案：B 解析：由按规律排列的数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…，可知1有1个，2有2个，3有3个，4有4个，5有5个，6有6个，7有7个，因为1＋2＋3＋4＋5＋6＝21，1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28，所以该数列的第22项为7.故选B. 12.(多选题)大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏的世界数学史上第一道数列题，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则(　　) A.此数列的第20项是200 B.此数列的第19项是182 C.此数列的通项公式为an＝ D.84不是此数列中的项 答案：AC 解析：观察此数列，n为偶数时，an＝；n为奇数时，an＝，所以此数列的通项公式为an＝故C正确；a20＝＝200，故A正确；a19＝＝180，故B错误；a13＝＝84，故84是此数列的第13项，故D错误.故选AC. 13.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝－，n∈N＋，则a2 026＝　　　　. 答案：1 解析：根据已知表达式得，a1＝1，a2＝－＝－，a3＝－＝－2，a4＝－＝1，a5＝－＝－，a6＝－＝－2，a7＝－＝1，…，所以数列具有周期性，周期为3，又2 026＝3×675＋1，故a2 026＝1. 14.(15分)已知数列{an}的通项公式为an＝4n－1. (1)8 103是数列{an}的第几项？ (2)135，4m＋19(m∈N＋)是数列{an}中的项吗？为什么？ (3)若am，at(m，t∈N＋)是{an}中的项，那么2am＋3at是数列{an}中的项吗？请说明理由. 解：(1)令4n－1＝8 103，则4n＝8 104， 所以n＝2 026. 即8 103是数列{an}中的第2 026项. (2)令an＝4n－1＝135，得n＝34， 所以135是数列{an}的第34项. 因为4m＋19＝4(m＋5)－1，且m∈N＋， 所以4m＋19是数列{an}的第m＋5项. (3)因为am，at是数列{an}中的项， 所以am＝4m－1，at＝4t－1， 所以2am＋3at＝2(4m－1)＋3(4t－1) ＝4(2m＋3t－1)－1. 因为2m＋3t－1∈N＋， 所以2am＋3at是数列{an}的第2m＋3t－1项. 15.(5分)(开放题)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如： 他们研究过图①中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图②中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数.写出一个既是三角形数又是正方形数的数　　　　.(答案不唯一，写出一个即可) 答案：1 225(答案不唯一) 解析：由图形可得三角形数构成的数列的通项公式为an＝，同理可得正方形数构成的数列的通项公式为bn＝n2，因为1 225＝352＝，故1 225既是三角形数又是正方形数(答案不唯一). 16.(17分)已知数列{an}的通项公式为an＝. (1)判断是不是数列{an}中的项； (2)判断数列{an}中的项是否都在区间(0，1)内； (3)判断在区间内有没有数列{an}中的项. 解：(1)因为an＝＝＝， 所以由an＝＝，解得n＝. 因为不是正整数，所以不是数列{an}中的项. (2)因为an＝＝＝1－，n∈N＋， 0＜＜1，所以0＜an＜1， 所以数列{an}中的项都在区间(0，1)内. (3)令＜an＜，即＜＜， 则＜n＜. 又n∈N＋，所以n＝2. 故在区间内有数列{an}中的项，且只有一项，是第2项，即a2＝. 学科网（北京）股份有限公司 $