单元检测卷(一) 数列-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（北师大版）

单元检测卷(一)　数列 (时间：120分钟　满分：150分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.) 1.已知等比数列满足a2＝2，a2＋a4＋a6＝42，则a6＋a8＋a10＝(　　) A.168 B.210 C.672 D.1 050 答案：C 解析：等比数列满足a2＝2，a2＋a4＋a6＝42，设等比数列的公比为q，所以2(1＋q2＋q4)＝42，解得q2＝4，故a6＋a8＋a10＝q4(a2＋a4＋a6)＝16×42＝672.故选C. 2.等差数列中，已知a3＋a7＝6，则S9＝(　　) A.36 B.27 C.18 D.9 答案：B 解析：由题得S9＝(a1＋a9)＝(a3＋a7)＝×6＝27.故选B. 3.设Sn是公差不为0的等差数列的前n项和，且S7＝5a6，则＝(　　) A.6 B. C.7 D. 答案：B 解析：设数列的公差为d，由题意知，7a1＋d＝5，解得a1＝2d.所以a9＝a1＋8d＝10d，S10＝10a1＋d＝65d，则＝＝.故选B. 4.设等比数列的前n项和为Sn，若S6∶S3＝1∶2，则S9∶S3＝(　　) A.1∶2 B.2∶3 C.3∶4 D.1∶3 答案：C 解析：因为数列为等比数列，则S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，设S3＝m，则S6＝，则S6－S3＝－，故＝＝－，所以S9－S6＝，得到S9＝m，所以＝.故选C. 5.已知等差数列满足a2＋a4＝4，a4＋a10＝8，则S4＝(　　) A.6 B. C.7 D.10 答案：C 解析：设等差数列的公差为d，由题意可得所以S4＝4a1＋d＝4＋3＝7.故选C. 6.已知数列的前n项和为Sn，且对任意正整数n都有an＝Sn＋2，若bn＝log2an，则b1 013＝(　　) A.2 025 B.2 026 C.2 027 D.2 028 答案：C 解析：因为an＝Sn＋2，令n＝1，则a1＝S1＝8，又an＋1＝Sn＋1＋2，故an＋1－an＝(Sn＋1－Sn)，即an＋1＝4an，故数列是等比数列.则an＝8×4n－1＝22n＋1，所以bn＝log2an＝2n＋1，所以b1 013＝2×1 013＋1＝2 027.故选C. 7.“人有悲欢离合，月有阴晴圆缺”，这里的“圆缺”就是指“月相变化”，即地球上所看到的月球被日光照亮部分的不同形象，随着月球与太阳的相对位置的不同，便会呈现出各种形状，如图所示：古代中国的天象监测人员发现并记录了月相变化的一个数列，记为{an}，其中1≤n≤15且n∈N＋，将满月分成240部分，从新月开始，每天的月相数据如下表所示(部分数据)，a1＝5是指每月的第1天可见部分占满月的，a8＝128是指每月的第8天可见部分占满月的，a15＝240是指每月的第15天(即农历十五)会出现满月.已知在月相数列{an}中，前5项构成等比数列，第5项到第15项构成等差数列，则第3天可见部分占满月的(　　) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5 a2 a3 a4 a5 a6 a7 128 a9 a10 a11 a12 a13 a14 240 A. B. C. D. 答案：B 解析：设第5项到第15项构成的等差数列的公差为d，则7d＝a15－a8＝240－128＝112，解得d＝16，所以a5＝a8－3d＝128－48＝80.因为前5项构成等比数列，则＝a1a5＝5×80＝400，又a3＞0，所以a3＝20，所以＝＝，即第3天可见部分占满月的.故选B. 8.已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，即此数列第1项是20，接下来2项是20，21，再接下来3项是20，21，22，…，设Sn是数列的前n项和，则S2 020＝(　　) A.264－50 B.263－50 C.264－26 D.263－26 答案：A 解析：分组：第1组有1项为20；第2组有2项，为20，21；…；第k组有k项，为20，21，…，2k－1.根据等比数列的前n项和公式得每组各项和分别为21－1，22－1，23－1，…，2k－1.因为前63组共有＝2 016(项)，所以S2 020＝20＋＋…＋＋20＋21＋22＋23＝＋＋…＋＋20＋21＋22＋23＝－63＋15＝－48＝264－50.故选A. 二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9.如图给出的是一道典型的数学无字证明问题，各矩形块中填写的数字构成一个无穷数列，所有数字之和等于1.按照图示规律，有同学提出了以下结论，其中正确的是(　　) A.矩形块中所填数字构成的是以1为首项，为公比的等比数列 B.前八个矩形块中所填写的数字之和等于 C.面积由大到小排序的第九个矩形块中应填写的数字为 D.记bn为除了前n块之外的矩形块面积之和，则bn＝ 答案：BD 解析：设每个矩形块中的数字从大到小形成数列{an}，则可得{an}是首项为，公比为的等比数列，故A错误；所以an＝)n－1＝，前八个矩形块中所填写的数字之和等于＝，故B正确；所以由大到小的第九个矩形块中应填写的数字为a9＝＝，故C错误；按照这个规律继续下去，前n块矩形块面积之和为＝1－，故前n块之外的矩形块面积之和为1－(1－)＝，故D正确.故选BD. 10.在等差数列中，首项a1＞0，公差d≠0，前n项和为Sn，则下列命题中正确的有(　　) A.若S7＞S8，则a8＜0 B.若S7＞S8，则S6＞S7 C.若S3＝S11，则S14＝0 D.若S3＝S11，则S7是中的最小项 答案：AC 解析：对于A，因为S7＞S8，所以S8－S7＜0，得a8＜0，故A正确；对于B，因为S7＞S8，所以S8－S7＜0，得a8＜0，因为a1＞0，所以d＜0，所以a7有可能大于零，也有可能小于零，所以S6与S7大小关系不确定，故B错误；对于C，因为S3＝S11，所以a4＋a5＋a6＋…＋a11＝0，所以4(a7＋a8)＝0，所以a7＋a8＝0，所以S14＝＝＝0，故C正确；对于D，因为S3＝S11，可得a7＋a8＝0，因为a1＞0，所以d＜0，a7＞0，a8＜0，所以S7是中的最大项，故D错误.故选AC. 11.设数列的前n项和为Sn，若存在实数A，使得对于任意的n∈N＋，都有＜A，则称数列为“T数列”.则以下数列为“T数列”的是(　　) A.是等差数列，且a1＞0，公差d＜0 B.是等比数列，且公比q满足＜1 C.an＝ D.a1＝1，an＋2＋an＝0 答案：BC 解析：对于A，若是等差数列，a1＞0，公差d＜0，则Sn＝n2＋n，是关于n的二次函数，当n→＋∞时，→＋∞，对于任意的n∈N＋，不存在实数A，使得＜A恒成立，所以数列不是“T数列”；对于B，若是等比数列，且公比q满足＜1，则＝＝≤＋＜2，所以数列是“T数列”；对于C，an＝＝－，所以＝｜－＋－＋…＋－｜＝＜，则数列是“T数列”；对于D，在数列中，a1＝1，an＋2＋an＝0，当n是奇数时，an＋2－an＝0，数列中奇数项构成常数列，且各项均为1；当n是偶数时，an＋2＋an＝0，即任意两个连续偶数项和为0，则对于任意的n∈N＋，S4n＝2n，不存在实数A，使得＜A恒成立，所以数列不是“T数列”.故选BC. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分.) 12.在数列中，a1＝1，an＋1＝则数列的前6项和为　　　　　. 答案：129 解析：数列中，a1＝1，an＋1＝则a2＝2a1＝2×1＝2，a3＝3a2＝3×2＝6，a4＝2a3＝2×6＝12，a5＝3a4＝3×12＝36，a6＝2a5＝2×36＝72，则数列的前6项和为1＋2＋6＋12＋36＋72＝129. 13.数列满足a1＝2，an＋1＝，其前n项积为Tn，则T2 026＝　　　　. 答案：－6 解析：由a1＝2，an＋1＝，可得a2＝－3，a3＝－，a4＝，a5＝2，a6＝－3，…，由此可知数列的项具有周期性，且周期为4，第一周期内的四项之积为1，所以数列的前2 026项之积为1506×2×＝－6. 14.在数列和中，an＋1＝an＋bn＋，bn＋1＝an＋bn－，a1＝1，b1＝1.设cn＝＋，则数列的前2 026项和为　　　　. 答案：4 052 解析：由an＋1＝an＋bn＋，bn＋1＝an＋bn－，得an＋1＋bn＋1＝2.又a1＋b1＝2，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，即an＋bn＝2n，将an＋1＝an＋bn＋，bn＋1＝an＋bn－等式两边分别相乘，得＝2，所以数列是首项为a1b1＝1，公比为2的等比数列，所以anbn＝2n－1，所以cn＝＋＝＝＝2，所以数列的前2 026项和为2×2 026＝4 052. 四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15.(13分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3an－3. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝log3an，cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn. 解：(1)依题意2Sn＝3an－3①， 当n＝1时，2a1＝3a1－3，a1＝3. 当n≥2时，2Sn－1＝3an－1－3②， ①－②得2an＝3an－3an－1，an＝3an－1， 所以是首项为a1＝3，公比为3的等比数列，所以an＝3n. (2)bn＝log33n＝n，cn＝＝－. 所以Tn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝. 16.(15分)等差数列中，a6＋a10＝18，a5＝6. (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和Tn. 解：(1)设等差数列的公差为d， 因为a6＋a10＝18，a5＝6， 所以a1＋7d＝9，a1＋4d＝6， 解得a1＝2，d＝1. 所以an＝a1＋d＝n＋1. (2)由(1)得an·3n＝·3n， 则Tn＝2·31＋3·32＋4·33＋…＋(n＋1)·3n， 所以3Tn＝2·32＋3·33＋4·34＋…＋(n＋1)·3n＋1. 两式相减得－2Tn＝2·31＋32＋33＋…＋3n－(n＋1)·3n＋1 ＝6＋－(n＋1)·3n＋1＝－(n＋)·3n＋1， 所以Tn＝－＋(n＋)·3n＋1. 17.(15分)某企业2026年年初有资金5千万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达到50％，每年年底扣除下一年的消费基金1.5千万元后，剩余资金投入再生产.设从2026年的年底起，每年年底企业扣除消费基金后的剩余资金依次为a1，a2，a3，…. (1)写出a1，a2，a3，并证明数列是等比数列； (2)至少到哪一年的年底，企业的剩余资金会超过21千万元？(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1) 解：(1)a1＝5×－1.5＝6， a2＝6×－1.5＝7.5， a3＝7.5×－1.5＝9.75.证明如下： 因为an＋1＝1.5an－1.5， 所以an＋1－3＝1.5， 又a1－3＝3，所以是首项为3，公比为1.5的等比数列. (2)由(1)得an－3＝3×1.5n－1， 故an＝3＋3×1.5n－1，令3＋3×1.5n－1＞21， 解得n－1＞＝≈4.42， 所以n＞5.42， 故至少到2031年的年底，企业的剩余资金会超过21千万元. 18.(17分)已知数列和中，a1＝2，b1＝0，且2an＋1＝3an＋bn＋2，2bn＋1＝an＋3bn－2. (1)写出a2，a3，b2，b3，猜想数列和的通项公式并证明； (2)若对于任意n∈N＋都有an＋bn＞λ，求实数λ的取值范围. 解：(1)由已知得a2＝4，b2＝0，a3＝7，b3＝1， 猜想an＋bn＝2n，an－bn＝2n， 由题意，得a1＋b1＝2，2an＋1＋2bn＋1＝4an＋4bn， 所以an＋1＋bn＋1＝2(an＋bn)，易知an＋bn≠0，即＝2， 所以{an＋bn}是首项为2，公比为2的等比数列， 故an＋bn＝2n. 由题意，得a1－b1＝2，2an＋1－2bn＋1＝3an＋bn＋2－(an＋3bn－2)， 所以an＋1－bn＋1＝an－bn＋2， 即(an＋1－bn＋1)－(an－bn)＝2， 所以{an－bn}是首项为2，公差为2的等差数列， 所以an－bn＝2n. (2)因为任意n∈N＋，都有an＋bn＞λ(an－bn)2， 即2n＞λ(2n)2，只需要λ＜()min. 记f(n)＝，易知f(n)＞0， 故＝·＝， 当＞1时，n2－2n－1＞0， 解得n＜1－或n＞1＋， 当＜1时，n2－2n－1＜0， 解得1－＜n＜1＋， 因为n∈N＋， 所以f(1)＞f(2)＞f(3)＜f(4)＜f(5)＜…， 所以f(n)min＝f(3)＝， 所以实数λ的取值范围是. 19.(17分)已知数列{an}，{bn}满足：an＋bn＝1，bn＋1＝，且a1，b1是函数f(x)＝16x2－16x＋3的零点(a1＜b1). (1)求a1，b1，b2； (2)设cn＝，求证：数列{cn}是等差数列，并求数列{bn}的通项公式； (3)设Sn＝a1a2＋a2a3＋a3a4＋…＋anan＋1，不等式4aSn＜bn恒成立时，求实数a的取值范围. 解：(1)由16x2－16x＋3＝0解得x1＝，x2＝，所以a1＝，b1＝. 由an＋bn＝1，bn＋1＝得1－an≠0，即bn≠0，所以bn＋1＝＝. 将b1＝代入得b2＝. (2)因为bn＋1－1＝－1，所以＝＝－1， 即cn＋1＝cn－1. 又c1＝＝＝－4， 所以数列是以－4为首项，－1为公差的等差数列. 所以cn＝－4＋×＝－n－3. 由cn＝得bn＝＋1＝1－＝. (3)由题意及(2)知：an＝1－bn＝. 所以Sn＝a1a2＋a2a3＋a3a4＋…＋anan＋1 ＝＋＋…＋ ＝＋＋＋…＋ ＝－＝. 由4aSn－bn＝－ ＝＜0恒成立， 即n2＋n－8＜0恒成立. 设f＝n2＋n－8， ①当a＝1时，f＝－3n－8＜0恒成立； ②当a＞1时，由二次函数的性质f＝n2＋n－8＜0不可能恒成立； ③当a＜1时，由于－ ＝－＜0， 所以f＝n2＋n－8在上单调递减. 由f＝4a－15＜0得a＜. 所以a＜1时，4aSn＜bn恒成立. 综上所述，所求实数a的取值范围是. 学生用书⬇第54页 学科网（北京）股份有限公司 $