第一章 重点突破3 数列求和(二）-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（北师大版）

重点突破3 数列求和(二） 　 第一章　数列 学习目标 1.掌握错位相减法求和的一般过程和思路.　 2.熟练掌握裂项相消法求和. 内容索引 题型一　错位相减法求和 1 题型二　裂项相消法求和 2 课时分层评价 4 随堂评价 3 题型一　错位相减法求和 返回 (2023·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和，已知a2＝1，2Sn＝nan. (1)求{an}的通项公式； 解：因为2Sn＝nan， 当n＝1时，2a1＝a1，即a1＝0； 当n＝3时，2(1＋a3)＝3a3，即a3＝2， 当n≥2时，2Sn－1＝(n－1)an－1， 所以2(Sn－Sn－1)＝nan－(n－1)an－1＝2an， 化简得(n－2)an＝(n－1)an－1， 当n≥3时，＝＝…＝＝1， 即an＝n－1， 当n＝1，2时都满足上式，所以an＝n－1(n∈N*). 典例 1 (2)求数列的前n项和Tn. 解：因为＝，所以Tn＝1×()1＋2×()2＋3×()3＋…＋n×()n， Tn＝1×()2＋2×()3＋…＋(n－1)×()n＋n×()n＋1， 两式相减得，Tn＝()1＋()2＋()3＋…＋()n－n×()n＋1＝－n×()n＋1＝1－(1＋)()n， 即Tn＝2－(2＋n)()n，n∈N*. 1.一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法. 2.用错位相减法求和时的注意点 (1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形. (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式. 规律方法 对点练1.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋1－3Sn－4＝0，a1＝4. (1)证明：数列{an}是等比数列； 解：证明：因为an＋1－3Sn－4＝0， 所以an＋1＝3Sn＋4， 当n≥2时，an＝3Sn－1＋4， 所以an＋1－an＝3(Sn－Sn－1)＝3an， 即an＋1＝4an(n≥2). 又因为a2＝3S1＋4＝3a1＋4＝16，所以＝4， 所以{an}是以4为首项，4为公比的等比数列. (2)求数列{nan}的前n项和Tn. 解：由(1)知，an＝4×4n－1＝4n. 设bn＝nan，则bn＝n·4n， 因为Tn＝1×4＋2×42＋…＋n·4n，① 所以4Tn＝1×42＋2×43＋…＋n·4n＋1，② 由①－②得，－3Tn＝4＋42＋43＋…＋4n－n·4n＋1 ＝－n·4n＋1＝(－n)·4n＋1－， 所以Tn＝·4n＋1＋. 返回 题型二　裂项相消法求和 返回 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N＋). (1)记bn＝an＋1，证明：数列{bn}为等比数列，并求数列{bn}的通项公式； 解：证明：由an＋1＝2an＋1，可得an＋1＋1＝2(an＋1)， 所以{bn}是首项为a1＋1＝2，公比为2的等比数列， 所以bn＝an＋1＝2n. 典例 2 (2)记数列{bn}的前n项和为Tn，证明：＋＋…＋＜. 解：证明：易得Tn＝＝2(2n－1)， 于是＝＝－ ＝， 所以＋＋…＋ ＝ ＝， 因为＞0， 所以＋＋…＋＜. 1.裂项相消法求和的原理与规律 (1)把数列的每一项拆成两项之差，求和时有些部分可以相互抵消，从而达到求和的目的. (2)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止. (3)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项. 规律方法 2.常见的裂项技巧 (1)＝. (2)＝－). (3)＝. (4)＝. 规律方法 对点练2.已知数列{an}满足a1＝1，且点(，)在直线y＝x－2上. (1)求数列{an}的通项公式； 解：由点(，)在直线y＝x－2上， 得－＝2， 所以数列＝1，公差为2的等差数列. 故＝1＋2(n－1)＝2n－1，即an＝. (2)若数列{anan＋1}的前n项和为Tn，求能使Tn＜3m－12对n∈N＋恒成立的m(m∈Z)的最小值. 解：anan＋1＝＝－)，所以Tn＝(1－)＋－)＋…＋－)， 即Tn＝(1－＋－＋…＋－) ＝(1－). 因为n≥1，n∈N＋，故Tn＜. 故要使Tn＜3m－12对n∈N＋恒成立， 需使3m－12≥，即m≥. 又m∈Z，所以m的最小值为5. 返回 随堂评价 返回 1.数列{an}的前n项和为Sn，若an＝，则S5等于 A.1 B. C. D. √ 因为an＝＝－，所以S5＝＋＋…＋＝1－＝.故选B. 2.已知数列{an}的通项公式为an＝(2n＋1)·2n－1，则其前n项和Sn等于 A.(2n－1)·2n－1 B.(2n－1)·2n＋1 C.(2n＋1)·2n－3 D.(2n－1)·2n＋1－1 √ Sn＝3＋5×2＋7×22＋9×23＋…＋·2n－1①，2Sn＝3×2＋5×22＋7×23＋9×24＋…＋·2n②，①－②得－Sn＝3＋22＋23＋24＋…＋2n－·2n＝3＋－·2n＝－1＋·2n，所以Sn＝·2n＋1.故选B. 3.设数列的前n项和为Sn，则Sn等于 A.－ B.＋ C.－1 D.＋1 √ 因为an＝＝－，所以Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(－)＋(－)＋…＋(－)＝－＝－1.故选C. 4.1＋2a＋3a2＋…＋n＝_______________________. 记Sn＝1＋2a＋3a2＋…＋nan－1，当a＝1时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)；当a≠1时，aSn＝a＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)＋nan，(1－a)Sn＝1＋a＋a2＋a3＋…＋－nan.所以Sn＝－(a≠1)，所以原式＝ 返回 课时分层评价 返回 1.数列的前2 026项和为 A. B.2 C. D. √ 因为＝2，所以S2 026＝2×＝2×(1－)＝.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.数列，，，…，，…的前n项和为 A. B. C. D. √ 由数列通项公式＝－)，得前n项和Sn＝－＋－＋－＋…＋－)＝＝.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.化简Sn＝n＋(n－1)×2＋(n－2)×22＋…＋2×2n－2＋2n－1的结果是 A.2n＋1＋n－2 B.2n＋1－n＋2 C.2n－n－2 D.2n＋1－n－2 √ 因为Sn＝n＋(n－1)×2＋(n－2)×22＋…＋2×2n－2＋2n－1①，所以2Sn＝n×2＋(n－1)×22＋(n－2)×23＋…＋2×2n－1＋2n②.所以②－①得，Sn＝－n＋2＋22＋…＋2n－1＋2n＝－n＋＝－n＋2n＋1－2＝2n＋1－n－2.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.(多选题)设等差数列{an}满足a2＝5，a6＋a8＝30，则下列说法正确的是 A.an＝2n＋1 B.d＝2 C.＝ D.的前n项和为 √ √ √ 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 设等差数列{an}的公差为d.因为{an}是等差数列，所以a6＋a8＝30＝2a7，解得a7＝15.又a2＝5，a7－a2＝5d＝10，所以d＝2.所以an＝2n＋1.故A、B正确；所以＝＝，故C错误；所以的前n项和为Sn＝(1－＋－＋…＋－)＝＝，故D正确.故选ABD. 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 5.(多选题)数列{an}满足a1＝1，且对任意的n∈N＋都有an＋1＝an＋n＋1，则 A.an＝ B.数列的前100项和为 C.数列的前100项和为 D.数列{an}的第100项为50 050 √ √ 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 因为an＋1＝an＋n＋1，所以an＋1－an＝n＋1.又因为a1＝1，所以an＝(an－an－1)＋(an－1－)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n＋(n－1)＋…＋2＋1＝，数列{an}的第100项为5 050，故A正确，D错误；所以＝＝2，所以数列的前100项和为2［＋(－)＋…＋］＝2＝，故B正确，C错误.故选AB. 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 6.已知Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an－1，则数列{nan}的前10项和为 A.9×210－1 B.9×210＋1 C.9×211－1 D.9×211＋1 √ 由Sn＝2an－1，得a1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－1－(2an－1－1)＝2(an－an－1)，所以an＝2an－1.所以数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，所以an＝2n－1.所以数列{nan}的前10项和为T＝1×20＋2×2＋3×22＋…＋10×29①，所以2T＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋10×210②.①－②得－T＝1＋2＋22＋…＋29－10×210＝－10×210＝210－1－10×210＝－9×210－1，故T＝9×210＋1.故选B. 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 7.数列{an}的通项公式an＝，则该数列的前n项和Sn＝_______________. － an＝ ＝ ＝＝－，所以Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an＝(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＋(－)＝－. 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 5 3 1 2 8.已知各项均为正数的数列{an}满足a1＝1，－(an－1＋2)an－an－1－3＝0(n≥2)，则＋＋…＋＝_______. 由－(an－1＋2)an－an－1－3＝0，得(an＋1)(an－an－1－3)＝0，因为a1＝1，an＞0，所以an－an－1＝3，所以数列{an}是以1为首项，3为公差的等差数列，所以an＝3n－2.则＝＝－)，所以＋＋…＋＝［(1－)＋(－)＋…＋(－)］＝(1－)＝. 6 7 8 4 5 3 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 9.设数列{nan}的前n项和为Tn，若nan＝n·，则Tn＝___________________. －· 因为Tn＝1×＋2×＋3×＋…＋n·，所以－Tn＝1×＋2×＋…＋(n－1)·＋n·，两式相减得Tn＝1＋＋＋…＋－n·＝－n·＝－·.所以Tn＝－·. 9 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 1 2 10.(13分)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对于任意的n∈N＋，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b＞0且b≠1，b，r均为常数)的图象上. (1)求数列{an}的通项公式； 解：因为对于任意的n∈N＋，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b＞0且b≠1，b，r均为常数)的图象上，所以Sn＝bn＋r， 当n＝1时，a1＝S1＝b＋r， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝bn＋r－(bn－1＋r)＝bn－bn－1＝(b－1)bn－1. 又因为{an}为等比数列， 所以r＝－1，公比为b， 所以an＝(b－1)bn－1. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 (2)当b＝2时，记bn＝(n∈N＋)，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：当b＝2时，an＝(b－1)bn－1＝2n－1， bn＝＝， 则Tn＝＋＋＋…＋， Tn＝＋＋＋…＋＋， 两式相减，得Tn＝＋＋＋＋…＋－＝＋－＝－－， 所以Tn＝－－＝－. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 11.定义为n个正数p1，p2，…，pn的“均倒数”，若已知数列{an}的前n项的“均倒数”为，又bn＝，则＋＋…＋等于 A. B. C. D. √ 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 9 1 2 由定义可知a1＋a2＋…＋an＝5n2，所以当n≥2时，a1＋a2＋…＋an－1＝5(n－1)2，两式相减得an＝10n－5(n≥2).当n＝1时，a1＝5也符合上式，所以an＝10n－5，则bn＝2n－1.所以＝＝－)＝，所以＋＋…＋＝＝＝＝. 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 9 1 2 12.在递减的等差数列{an}中，a1a3＝－4，a1＝13，则数列的前n项和的最大值为 A. B. C. D. √ 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 设等差数列{an}的公差为d，则d＜0，因为a1a3＝－4，a1＝13，所以13(13＋2d)＝(13＋d)2－4，解得d＝－2或d＝2(舍去)，所以an＝a1＋(n－1)d＝13－2(n－1)＝15－2n.当an＝15－2n≥0时，n≤7.5，所以当n≤7时，an＞0.因为＝＝，所以数列的前n项和Sn＝×＝×，当n＝6时，Sn取得最大值，最大值为× ＝.故选D. 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 13.在数列{an}中，a1＝1，对于任意正整数n，都有an＋1＝an＋n·2n，则a15等于 A.14·215＋2 B.13·214＋2 C.14·215＋3 D.13·215＋3 √ 因为an＋1－an＝n·2n，所以a2－a1＝1·21，a3－a2＝2·22，a4－a3＝3·23，…，an－an－1＝(n－1)·2n－1(n≥2)，以上n－1个等式，累加得an－a1＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋(n－1)·2n－1①，又因为2an－2a1＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n－2)·2n－1＋(n－1)·2n②，所以①－②得a1－an＝2＋22＋23＋…＋2n－1－(n－1)·2n＝－(n－1)·2n＝(2－n)·2n－2，所以an＝(n－2)·2n＋3(n≥2)，所以a15＝(15－2)·215＋3＝13·215＋3.故选D. 12 13 11 10 8 6 7 4 5 3 9 14 15 16 1 2 14.(15分)(新角度)如图，将数列{2n}(n∈N＋)依次从左到右，从上到下排成三角形数阵，其中第n行有n个数. 2　　　　　　　　 ……第1行 4　　6　　　　　　　……第2行 8　　 10　　12　　　　　……第3行 14　　16　　18　　20　　　 ……第4行 …　… (1)求第5行的第2个数； 解：记an＝2n，由数阵可知，第5行的第2个数为a12. 因为an＝2n，所以第5行的第2个数为24. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 (2)问数32是第几行第几个数？ 2　　　　　　　　 ……第1行 4　　6　　　　　　　……第2行 8　　 10　　12　　　　　……第3行 14　　16　　18　　20　　　 ……第4行 …　… 解：因为an＝32，所以n＝16. 由数阵可知，32是第6行第1个数. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 (3)记第i行的第j个数为(如a3，2表示第3行第2个数，即a3，2＝10)，求＋＋＋＋＋的值. 2　　　　　　　　 ……第1行 4　　6　　　　　　　……第2行 8　　 10　　12　　　　　……第3行 14　　16　　18　　20　　　 ……第4行 …　… 解：由数阵可知a1，1＝2，a2，2＝6，a3，3＝12，a4，4＝20，a5，5＝30，a6，6＝42. 所以＋＋＋＋＋＝＋＋＋…＋＝1－＋－＋－…＋－＝. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 15.(5分)设S＝＋＋＋…＋.[S]表示不大于S的最大整数(例如：[2.34]＝2，[－π]＝－4)，则[S]等于 A.2 013 B.2 024 C.2 025 D.2 026 √ 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 因为 ＝＝＝1＋(－)，所以S＝1＋(－)＋1＋(－)＋…＋1＋(－)＝2 025－，所以[S]＝2 024.故选B. 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 16.(17分)数列{an}是等比数列，公比不为1，a1＝3，且3a1，2a2，a3成等差数列. (1)设数列{nan}的前n项和为Sn，求Sn； 解：由题意得4a2＝3a1＋a3， 设{an}的公比为q(q≠1)，则4a1q＝3a1＋a1q2， 即12q＝9＋3q2，整理得q2－4q＋3＝0，解得q＝3， 所以an＝3n，则nan＝n·3n， 所以Sn＝31＋2×32＋…＋(n－1)×3n－1＋n×3n， 则3Sn＝32＋2×33＋…＋(n－1)×3n＋n×3n＋1， 两式相减得－2Sn＝31＋32＋…＋3n－1＋3n－n×3n＋1＝－n×3n＋1＝· 3n＋1－， 所以Sn＝(2n－1)·3n＋1＋. 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 (2)设bn＝log3a2n－1，Tn为数列的前n项和，求不超过T2 025的最大整数. 解：由(1)得bn＝log3a2n－1＝2n－1， 令cn＝， 则cn＝＝1＋＝1＋ ＝1＋2， 所以Tn＝n＋2［(1－)＋(－)＋…＋(－)］＝n＋2(1－)， 所以T2 025＝2 027－∈(2 026，2 027)， 故不超过T2 025的最大整数为2 026. 返回 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 谢 谢 观 看 重点突破3 数列求和(二） 返回 $