第一章 重点突破2 数列求和(一）-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（北师大版）

重点突破2 数列求和（一） 　 第一章　数列 学习目标 1.熟练掌握等差数列和等比数列的求和公式.　 2.掌握公式法求和、分组法求和、倒序相加法求和、并项法求和等数列求和的方法. 内容索引 题型一　公式法求和 1 题型二　分组法求和 2 题型三　倒序相加法求和 3 课时分层评价 6 题型四　并项法求和 4 随堂评价 5 题型一　公式法求和 返回 已知数列{an}是等差数列，公差为d，Sn为数列{an}的前n项和，a1＋a7＝－2，S3＝15. (1)求数列{an}的通项公式； 解：法一：因为{an}是等差数列，公差为d，且a1＋a7＝－2，S3＝15，所以解得a1＝8，d＝－3， 所以an＝8＋(n－1)×(－3)＝－3n＋11， 所以数列{an}的通项公式为an＝－3n＋11. 典例 1 法二：因为{an}是等差数列，所以2a4＝a1＋a7＝－2，所以a4＝－1. 因为S3＝15，所以3a2＝15，所以a2＝5. 因为a4＝a2＋2d，即－1＝5＋2d，所以d＝－3， 所以an＝5＋(n－2)×(－3)＝－3n＋11. 所以数列{an}的通项公式为an＝－3n＋11. (2)求数列{｜an｜}的前n项和Tn. 解：令an≥0，则－3n＋11≥0，得n≤. 又n∈N*，所以当n≤3时，an＞0； 当n≥4时，an＜0. 因为a1＝8，an＝－3n＋11， 所以当n≤3时，Tn＝｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜an｜＝a1＋a2＋…＋an＝＝； 当n≥4时，Tn＝｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜an｜＝a1＋a2＋a3＋(－a4－…－an)＝2(a1＋a2＋a3)－(a1＋a2＋…＋an)＝2S3－Sn＝2×15－＝. 所以Tn＝ 　　公式法是数列求和最常用的方法之一，针对数列的结构特征确定数列的类型，符合等差或等比数列时，直接利用等差或等比数列相应的求和公式求解. 等差数列前n项和公式： Sn＝na1＋d＝； 等比数列前n项和公式： Sn＝ 规律方法 对点练1.已知正项等比数列{an}满足 a2a16＝16，且＝. (1)求数列{an}的通项公式； 解：设{an}的公比为q. 由 a2a16＝＝16，得a9＝4， 由＝q3＝，得 q＝， 所以 an＝a9qn－9＝4×＝211－n. (2)设 Tn＝a1a2…an，求Tn的最大值. 解：由(1)得， Tn＝a1a2…an＝＝. 因为二次函数 y＝＝－x2＋x的图象的对称轴为直线 x＝，且开口向下， 所以当 n＝10或11时， 取得最大值，即Tn取得最大值，为T10＝T11＝255. 返回 题型二　分组法求和 返回 已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，且a1＋a2＝2，a3＋a4＝32. (1)求数列{an}的通项公式； 解：设等比数列{an}的公比为q(q＞0)， 则an＝a1，且an＞0， 由已知得 化简得 又因为a1＞0，q＞0，所以a1＝1，q＝2. 所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1. 典例 2 (2)设bn＝＋log2an，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：由(1)知bn＝＋log2an＝4n－1＋n－1， 所以Tn＝(1＋4＋42＋…＋4n－1)＋(0＋1＋2＋3＋…＋n－1)＝＋＝＋. 分组转化法求和的应用条件和解题步骤 1.应用条件：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列的通项公式的代数和. 2.解题步骤 规律方法 对点练2.数列{an}满足a1＝1，an是－1与an＋1的等差中项. (1)证明：数列{an＋1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式； 解：证明：由已知可得an＋1－1＝2an， 即an＋1＝2an＋1，可化为an＋1＋1＝2(an＋1)， 故数列{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列. 即有an＋1＝(a1＋1)·2n－1＝2n， 所以an＝2n－1. (2)求数列{an＋2n}的前n项和Sn. 解：由(1)知，数列{an＋2n}的通项为an＋2n＝2n＋2n－1， 所以Sn＝(21＋22＋23＋…＋2n)＋(1＋3＋5＋…＋2n－1)＝＋＝2n＋1＋n2－2. 返回 题型三　倒序相加法求和 返回 德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响.他幼年时就表现出超人的数学天赋，10岁时，他在进行1＋2＋3＋…＋100的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称为高斯算法.已知数列an＝，则a1＋a2＋…＋a98等于 A.96 B.97 C.98 D.99 √ 典例 3 S＝a1＋a2＋…＋a97＋a98＝＋＋…＋＋，S＝a98＋a97＋…＋a2＋a1＝＋＋…＋＋，两式相加得，2S＝＋＝＋＋…＋＋＝98×2，所以S＝98.故选C.   倒序相加法求和适合的题型 　　一般情况下，数列项数较多，且距首末等距离的项之间隐含某种关系，需要结合题意主动发现这种关系，利用推导等差数列前n项和公式的方法，倒序相加求和. 规律方法 对点练3.已知正项数列{an}是公比不为1的等比数列，且lg a1＋lg a2 026＝0，若f(x)＝，则f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a2 026)等于 A.506 B.1 013 C.2 026 D.4 052 √ 因为正项数列{an}是公比不为1的等比数列，且lg a1＋lg a2 026＝0，所以lg(a1a2 026)＝0，即a1a2 026＝1.因为函数f(x)＝，所以f(x)＋f＝＋＝＝2.令T＝f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a2 026)，则T＝f(a2 026)＋ f(a2 025)＋…＋f(a1)，所以2T＝[f(a1)＋f(a2 026)]＋[f(a2)＋f(a2 025)]＋…＋[f(a2 026)＋f(a1)]＝2×2 026，所以T＝2 026.故选C. 返回 题型四　并项法求和 返回 已知数列{an}满足＝an＋1＋2an，a1＝1，a2＝2. (1)求证：数列{an＋1＋an}为等比数列； 解：证明：由题意，＋an＋1＝2(an＋1＋an)，且a1＋a2＝3， 所以数列{an＋1＋an}是以3为首项，2为公比的等比数列. 典例 4 (2)求数列{an}的前n项和Sn. 解：由(1)可得an＋1＋an＝3·2n－1， 当n为偶数时，Sn＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(an－1＋an)＝3·20＋3·22＋…＋3·2n－2＝＝2n－1. 当n为奇数时，Sn＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(an－1＋an)＝1＋3·21＋3·23＋…＋3·2n－2 ＝1＋＝2n－1. 综上，数列{an}的前n项和Sn＝2n－1. 并项转化法求和的解题策略 1.常见题型：数列{an}满足an＝(－1)n－1f(n)型、{an}是周期数列、ak＋ak＋1为定值. 2.注意：在利用并项转化法求和时，一般需要对项数n进行分类讨论，最终的结果往往可以用分段形式来表示. 规律方法 对点练4.已知数列{an}各项均为正数，且a1＝1，－2an＋1＝＋2an. (1)求{an}的通项公式； 解：因为－2an＋1＝＋2an， 所以＝0， 因为{an}是各项均为正数的数列， 所以an＋1＋an＞0，故an＋1－an＝2， 所以数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，则an＝2n－1. (2)设bn＝(－1)nan，求b1＋b2＋b3＋…＋b20. 解：bn＝(－1)nan＝(－1)n·(2n－1)，则bn＋bn＋1＝(－1)n＋1·2， 所以b1＋b2＋b3＋…＋b20＝(b1＋b2)＋(b3＋b4)＋…＋(b19＋b20)＝2×10＝20. 返回 随堂评价 返回 1.数列{1＋2n－1}的前n项和为 A.Sn＝n＋2n B.Sn＝n＋2n－1 C.Sn＝n＋2n－1 D.Sn＝1＋2n－1 √ 因为an＝1＋2n－1，所以Sn＝n＋＝n＋2n－1.故选C. 2.在数列{an}中，已知Sn＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n－1(4n－3)，则S15＋S22－S31的值为 A.13 B.－76 C.46 D.76 √ 因为S15＝(－4)×7＋(－1)14(4×15－3)＝29，S22＝(－4)×11＝－44，S31＝(－4)×15＋(－1)30(4×31－3)＝61，所以S15＋S22－S31＝29－44－61＝－76.故选B. 3.已知an＝(－1)n，数列{an}的前n项和为Sn，则S9与S10的值分别是_________. －1，0 S10＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a9＋a10)＝0，S9＝S10－a10＝－1. 4.若F(x)＝，则F＋F＋…＋F＝________. 500 因为F(x)＋F(1－x)＝＋＝1，所以F＋F＝F＋F()＝…＝1.设F＋F＋…＋F()＝S，则F＋F＋…＋F＝S，所以S＝×2S＝×1 000＝500. 返回 课时分层评价 返回 1.已知数列{bn}为等比数列，且首项b1＝1，公比q＝2，则数列{b2n－1}的前10项的和为 A.×(49－1) B.×(410－1) C.×(49－1) D.×(410－1) √ 数列{b2n－1}中的项是数列{bn}中的所有奇数项，已知数列{bn}为等比数列，故其所有的奇数项也构成等比数列，公比为4，首项为1，则其前10项的和为＝×(410－1).故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.冬春季节是流感多发期，某地医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{an}，已知a1＝1，a2＝2，且满足－an＝1＋(n∈ N＋)，则该医院30天入院治疗流感的共有 A.225人 B.255人 C.365人 D.465人 √ 当n为奇数时，＝an，当n为偶数时，－an＝2，所以a1＝a3＝…＝a29＝1，a2，a4，…，a30是以2为首项，2为公差的等差数列，所以S30＝(a1＋a3＋…＋a29)＋(a2＋a4＋…＋a30)＝15＋15×2＋×2＝255.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.已知数列{an}中，a1＝1，an＋an＋1＝3，Sn为其前n项和，则S2 026等于 A.3 036 B.3 037 C.3 038 D.3 039 √ 由题意a2＝2，a3＝1，a4＝2，…，故奇数项为1，偶数项为2，则S2 026＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a2 023＋a2 024)＋(a2 025＋a2 026)＝3×1 013＝ 3 039.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.(多选题)数列{an}是首项为1的正项数列，an＋1＝2an＋3，Sn是数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是 A.a3＝13 B.数列{an＋3}是等比数列 C.an＝4n－3 D.Sn＝2n＋1－n－2 √ √ 因为an＋1＝2an＋3，所以an＋1＋3＝2(an＋3)，所以数列{an＋3}是公比为2的等比数列.又因为a1＝1，所以an＋3＝(a1＋3)2n－1，所以an＝2n＋1－3，所以a3＝13，所以Sn＝－3n＝2n＋2－3n－4.故选AB. 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 5.已知等差数列{an}中，a3＋a5＝a4＋7，a10＝19，则数列{ancos nπ}的前2 026项和为 A.－2 025 B.2 025 C.2 026 D.－2 026 √ 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 设数列{an}的公差为d，由所以an＝2n－1.设bn＝ancos nπ，所以b1＋b2＝a1cos π＋a2cos 2π＝2，b3＋b4＝a3cos 3π＋a4cos 4π＝2，…，所以数列{ancos nπ}的前2 026项和S2 026＝(b1＋b2)＋(b3＋b4)＋…＋(b2 023＋b2 024)＋(b2 025＋b2 026)＝2×＝2 026.故选C. 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 6.已知数列{an}的通项公式为an＝n－2(n∈N＋)，设f(x)＝x＋log2，则数列{f(an)}的各项之和为 A.36 B.33 C.30 D.27 √ 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 由f(x)＝x＋log2，知＞0，解得－2＜x＜8.所以－2＜an＜8.又因为an＝n－2，所以满足f(an)的an所有的取值为－1，0，1，2，…，7，即a1，a2，…，a9.因为f(6－x)＝6－x＋log2，所以f(x)＋f(6－x)＝6.所以数列{f(an)}的各项之和S＝f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a9)＝f(－1)＋f(0)＋…＋f(7).又S＝f(7)＋f(6)＋…＋f(－1)，所以2S＝[f(－1)＋f(7)]＋[f(0)＋f(6)]＋…＋[f(7)＋f(－1)]＝6×9＝54.所以S＝27.故选D. 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 7.已知数列an＝其前n项和为Sn，则S100＝__________. 5 000 由题意得S100＝a1＋a2＋…＋a99＋a100＝(a1＋a3＋a5＋…＋a99)＋(a2＋a4＋…＋a100)＝(0＋2＋4＋…＋98)＋(2＋4＋6＋…＋100)＝100×50＝ 5 000. 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 5 3 1 2 8.数列{an}的通项公式为an＝1＋n2sin ，前n项和为Sn，则S100＝______. －4 900 因为a1＝1＋12，a2＝1，a3＝1－32，a4＝1，…，又因为y＝sin 的周期为4，所以S100＝100＋12－32＋52－72＋…＋972－992＝100－2×(1＋3＋5＋7＋…＋99)＝100－2×＝－4 900. 6 7 8 4 5 3 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 9.已知数列{an}的各项均为正数，a1＝1，an＋1－an＝，若[x]表示不超过x的最大整数，则[a1]＋[a2]＋…＋[a20]等于______. 54 因为a1＝1，an＋1－an＝，所以－＝1，可得{}是以1为首项，1为公差的等差数列，所以＝1＋(n－1)×1＝n.因为数列{an}的各项均为正数，所以an＝，因为n∈N＋，所以当1≤n＜4时，[]＝1，当4≤n＜9时，[]＝2，当9≤n＜16时，[]＝3，当16≤n≤20时，[]＝4，则[a1]＋[a2]＋…＋[a20]＝3×1＋5×2＋7×3＋5×4＝54. 9 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 1 2 10.(13分)设函数f(x)＝1＋ln，设a1＝1，an＝f＋f＋f＋…＋f(n∈N＋，n≥2). (1)计算f(x)＋f(1－x)的值； 解：f(x)＋f(1－x)＝1＋ln ＋1＋ln ＝2. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 (2)求数列{an}的通项公式. 解：由题知，当n≥2时，an＝f＋f＋f＋…＋f， 又an＝f＋f＋…＋f，两式相加得 2an＝＋［f＋f］＋…＋＝2(n－1)， 所以an＝n－1，n≥2. 又a1＝1不符合an＝n－1， 所以an＝ 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 11.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，当n≥2时，an＋2Sn－1＝n，则S2 026的值为 A.1 011 B.1 012 C.1 013 D.1 014 √ 法一：由题意得a2＋2S1＝2，则a2＝0.又当n≥2时，an＋2Sn－1＝n，所以an＋2(Sn－an)＝n，即2Sn＝an＋n.则当n≥3时，2Sn－1＝an－1＋n－1，所以2an＝an－an－1＋1，即an－1＋an＝1，n≥3.又a1＋a2＝1，所以an－1＋an＝1，n≥2，所以S2 026＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a2 025＋a2 026)＝1 013×1＝1 013.故选C. 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 9 1 2 法二：由题意，当n≥2时，可得Sn－1＝Sn－an，因为an＋2Sn－1＝n，所以an＋2(Sn－an)＝n，即2Sn＝an＋n.当n≥3时，2Sn－1＝an－1＋n－1，两式相减，可得2an＝an－an－1＋1，即an－1＋an＝1，所以a2＋a3＝1，a4＋a5＝1，a6＋a7＝1，…，所以S2 025＝a1＋＋＋…＋ (a2 024＋a2 025)＝1＋×1＝1 013.因为当n≥2时，an＋2Sn－1＝n，所以a2 026＋2S2 025＝2 026，得a2 026＝0，所以S2 026＝S2 025＋a2 026＝1 013.故选C. 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 9 1 2 12.已知数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋an＝n，记数列{2an－n}的前n项和为Sn，则Sn等于 A.2n－－ B.2n－－－1 C.2n＋1－－－2 D.2n－－－2 √ 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 因为a1＋a2＋a3＋…＋an＝n①，所以有a1＝1.当n≥2，n∈N＋时，有a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝n－1②，①－②得，an＝1⇒an＝2n－1，显然当n＝1时，也适合，所以an＝2n－1(n∈N＋).令2an－n＝bn，所以bn＝2n－n，因此有Sn＝(2－1)＋(22－2)＋(23－3)＋…＋(2n－n)＝(2＋22＋23＋…＋2n)－(1＋2＋3＋…＋n)＝－＝2n＋1－2－－＝2n＋1－－－2.故选C. 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 13.已知F(x)＝f－3是R上的奇函数，an＝f(0)＋f＋…＋f＋f(1)，n∈N＋，则数列{an}的通项公式为 A.an＝n＋1 B.an＝3n＋1 C.an＝3n＋3 D.an＝n2－2n＋3 √ 由题意知F(x)＝f－3是R上的奇函数，故F(－x)＝－F(x)，代入得f＋f＝6，所以函数f(x)关于点对称.令t＝－x，则＋x＝1－t，得到f(t)＋f(1－t)＝6.因为an＝f(0)＋f＋…＋f＋f(1)，an＝f(1)＋f＋…＋f＋f(0)，倒序相加可得2an＝6(n＋1)，即an＝3(n＋1)＝3n＋3.故选C. 12 13 11 10 8 6 7 4 5 3 9 14 15 16 1 2 14.(15分)已知等差数列{an}满足a5＝9，a2＋a6＝14. (1)求{an}的通项公式； 解：设数列{an}的公差为d， 则由 所以{an}的通项公式为an＝2n－1. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 (2)若bn＝an＋(q＞0)，求数列{bn}的前n项和Sn. 解：由an＝2n－1得bn＝2n－1＋q2n－1. 当q＞0且q≠1时，Sn＝[1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)]＋(q1＋q3＋q5＋q7＋…＋q2n－1)＝n2＋； 当q＝1时，bn＝2n，则Sn＝n(n＋1). 所以数列{bn}的前n项和Sn＝ 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 15.(5分)(多选题)在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列，将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2；…；第n次得到数列1，x1，x2，x3，…，xk，2.记an＝1＋x1＋x2＋…＋xk＋2，数列的前n项和为Sn，则 A.a3＝42 B.an＋1＝3an－3 C.an＝ D.Sn＝ √ √ √ 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 由题意可知，第1次得到数列1，3，2，此时k＝1，第2次得到数列1，4，3，5，2，此时k＝3，第3次得到数列1，5，4，7，3，8，5，7，2，此时k＝7，第4次得到数列1，6，5，9，4，11，7，10，3，11，8，13，5，12，7，9，2，此时k＝15，第n次得到数列1，x1，x2，x3，…，xk，2，此时k＝2n－1，由此可得a1＝3＋3，a2＝3＋3＋9，a3＝3＋3＋9＋27＝42，故A正确；a4＝3＋3＋9＋27＋81，…，an＝3＋31＋32＋33＋…＋3n＝3＋＝，故C错误；由an＝，可得an＋1＝＝3an－3，故B正确；由Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(32＋33＋34＋…＋3n＋1)＋＝×＋＝(3n＋1＋2n－3)，故D正确.故选ABD. 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 16.(17分)已知等差数列{an}中，a1＝1，且a1，a2，a4＋2成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn； 解：设等差数列{an}的公差为d， 因为a1＝1，且a1，a2，a4＋2成等比数列， 所以＝a1(a4＋2)， 即(1＋d)2＝1×(1＋3d＋2)， 解得d＝2或d＝－1. 当d＝－1时，a2＝0，不符合题意，舍去， 所以d＝2，所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1， Sn＝＝n2. 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 (2)设bn＝，求数列{bn}的前2n项和T2n. 解：因为bn＝＝， 所以当n为偶数时，＝＝16； 当n为奇数时，＝＝. 所以数列{bn}的奇数项是以为首项，为公比的等比数列；偶数项是以8为首项，16为公比的等比数列. 所以数列{bn}的前2n项和T2n＝(b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1)＋(b2＋b4＋b6＋…＋b2n) ＝＋ ＝×. 返回 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 谢 谢 观 看 重点突破2 数列求和（一） 返回 $