第一章 重点突破1 求数列的通项-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（北师大版）

重点突破1 求数列的通项 　 第一章　数列 学习目标 1.解求数列通项公式的常见方法.　 2.掌握利用递推公式求通项公式的方法.　 3.掌握利用前n项和Sn与an的关系求通项公式的方法. 内容索引 题型一　累加、累乘法求通项公式 1 题型二　构造法求通项公式 2 课时分层评价 5 随堂评价 4 题型三　由Sn与an的关系求通项公式 3 题型一　累加、累乘法求通项公式 返回 (1)数列{an}满足a1＝1，对任意的n∈N＋都有an＋1＝a1＋an＋n，求通项公式； 解：因为an＋1＝an＋n＋1， 所以an＋1－an＝n＋1， 即a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)， 等式两边同时相加得an－a1＝2＋3＋4＋…＋n， 即an＝a1＋2＋3＋4＋…＋n＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝(n≥2). 当n＝1时，也满足上式， 所以通项公式为an＝，n∈N＋. 典例 1 (2)已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝an，求an. 解：由条件知＝，分别令n＝1，2，3，…，n－1， 代入上式得(n－1)个等式累乘， 即···…·＝×××…×(n≥2)，所以＝(n≥2)， 又因为a1＝，所以an＝(n≥2). 又当n＝1时，a1＝满足上式，所以an＝，n∈N＋. 累加、累乘法的应用模型 1.累加法：形如an＋1－an＝f(n)型. 2.累乘法：形如＝f(n)型. 规律方法 对点练1.(1)在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋，则通项公式an＝________. 4－ 原递推公式可化为an＋1－an＝－，则a2－a1＝－，a3－a2＝－，a4－a3＝－，…，an－an－1＝－(n≥2)，逐项相加得an－a1＝1－，故an＝4－(n≥2)，经验证a1＝3也符合上式，所以an＝4－. (2)已知数列{an}满足a1＝1，ln an－ln an－1＝1(n≥2)，则an＝_______. en－1 因为ln an－ln an－1＝1，所以ln ＝1，即＝e(n≥2).所以an＝··…··a1 ＝·1＝en－1(n≥2)，又a1＝1也符合上式，所以an＝en－1. 返回 题型二　构造法求通项公式 返回 模型1　形如an＋1＝pan＋q(其中p，q为常数，且pq(p－1)≠0)的递推关系求通项公式 已知数列{an}满足a1＝－2，an＋1＝2an＋4.求数列{an}的通项公式. 解：令an＋1＋t＝2(an＋t)，所以an＋1＝2an＋t， 又因为an＋1＝2an＋4，所以t＝4， 所以an＋1＋4＝2(an＋4)， 所以＝2， 因为a1＝－2，所以a1＋4＝2. 所以{an＋4}是以2为首项，2为公比的等比数列. 所以an＋4＝2×2n－1＝2n，即an＝2n－4. 典例 2 用待定系数法解决此类问题的一般步骤 第一步：假设递推公式可改写为an＋1＋t＝p(an＋t)； 第二步：由待定系数法，解得t＝； 第三步：写出数列的通项公式； 第四步：写出数列{an}的通项公式. 注意：形如an＋1＝pan＋qn＋r的模型，可以利用待定系数法构造等比数列求解. 规律方法 对点练2.(1)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋4.则数列{an}的通项公式为__________. an＝3n－2 令an＋1＋t＝3(an＋t)，所以an＋1＝3an＋2t.又因为an＋1＝3an＋4，所以2t＝4，即t＝2，所以an＋1＋2＝3(an＋2)，所以＝3.因为a1＝1，所以a1＋2＝3.所以{an＋2}是以3为首项，3为公比的等比数列.所以an＋2＝3×3n－1＝3n，即an＝3n－2. (2)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n－1.证明数列{an＋2n＋1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式. 解：因为an＋1＝2an＋2n－1，所以an＋1＋2(n＋1)＋1＝2(an＋2n＋1)， 即＝2，所以数列{an＋2n＋1}是以4为首项，2为公比的等比数列， 所以an＋2n＋1＝4×2n－1，所以an＝2n＋1－2n－1. 模型2　形如an＝p＋tqn(p≠1)的递推关系求通项公式 已知数列{an}中，a1＝2，an＋1－4an＝2n＋1，n∈N＋.求{an}的通项公式. 解：法一：因为an＋1＝2n＋1＋4an，所以an＋1＋2n＋1＝4an＋2n＋2＝4， 因为a1＋2＝4，故数列是以4为首项，4为公比的等比数列， 所以an＋2n＝4×4n－1＝4n，即an＝4n－2n. 法二：因为an＋1＝2n＋1＋4an， 所以＝2·＋1， 两边再同时加1，得＋1＝2， 所以数列成等比数列，且首项为2，公比为2，则＋1＝2n，所以an＝4n－2n. 典例 3 用同除法解决此类问题的一般步骤 第一步：等式两边同除以qn，不管这一项是qn－1或，都同除以qn，为的是数列的下标和q的指数对应起来； 第二步：写出数列an与qn构造的式子； 第三步：写出数列{an}的通项公式. 注意：形如＝pan＋qan的模型，可以利用同除法构造等比数列求解. 规律方法 对点练3.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋4n.则数列{an}的通项公式为______________. an＝4n－3n 因为an＋1＝3an＋4n，等式两边同时除以4n，得＝＋1，即－1＝－1)，所以数列是首项为－，公比为的等比数列，即－1＝(－)·()n－1＝－()n，所以an＝4n－3n. 模型3　形如＝(p，q，r≠0)的递推关系求通项公式 在数列{an}中，a1＝－1，an＋1＝，n∈N＋，求{an}的通项公式. 解：对递推式an＋1＝的两边同时取倒数， 得＝，即＝2·＋3， 因此＋3＝2(＋3)，＋3＝2， 故是以2为首项，2为公比的等比数列， 于是＋3＝2·2n－1，可得an＝，n∈N＋. 典例 4 用取倒数法解决此类问题的一般步骤 第一步：等式两边同时取倒数； 第二步：变形构造出线性递推式an＝Aan－1＋B(n≥2，A，B是常数)； 第三步：利用待定系数法求出原数列的通项. 规律方法 对点练4.已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝(n∈N＋)，则数列{an}的通项公式为 A.an＝ B.an＝ C.an＝ D.an＝ √ 因为an＋1＝(n∈N＋)，所以＝＝＋，即－＝.因为a1＝1，所以数列是以1为首项，为公差的等差数列，所以＝1＋(n－1)＝，所以an＝.故选A. 返回 题型三　由Sn与an的关系求通项公式 返回 数列{an}的前n项和为Sn，已知an＝5Sn－3(n∈N＋)，求an的通项公式. 解：当n＝1时，a1＝5S1－3＝5a1－3，得a1＝. 当n≥2时，由an＝5Sn－3， 得an－1＝5Sn－1－3， 两式作差得an－an－1＝5(Sn－Sn－1)＝5an， 所以an＝－an－1， 所以数列{an}是首项为a1＝，公比为q＝－的等比数列， 所以an＝a1·＝×. 典例 5 　　若已知条件中给出的是Sn与an的关系式，一般要利用先求出a1，若计算出的an中a1适合时可合并为一个关系式，若不适合则要分段，若能判断数列是等差数列或等比数列，则直接用相应公式求解. 规律方法 对点练5.数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n(n＋1). (1)求数列{an}的通项公式； 解：因为Sn＝n(n＋1)， 所以当n＝1时，a1＝S1＝2； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n(n＋1)－(n－1)n＝2n， 经检验a1＝2满足an＝2n， 所以数列{an}的通项公式为an＝2n. (2)若数列{bn}满足：an＝＋＋＋…＋，求数列{bn}的通项公式. 解：因为an＝＋＋＋…＋， 所以an＋1＝＋＋＋…＋＋， 两式相减得＝an＋1－an＝2， 则bn＋1＝2，故bn＝2， 而a1＝＝2，即b1＝8，满足bn＝2， 故bn＝2. 返回 返回 随堂评价 返回 1.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n，则a2＋a18等于 A.36 B.35 C.34 D.33 √ 当n＝1时，a1＝S1＝－1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－2n－[(n－1)2－2(n－1)]＝2n－3.当n＝1时，a1＝－1符合上式，所以an＝2n－3，则a2＝1，a18＝33，故a2＋a18＝34.故选C. 2.数列{an}满足an＋1＝λan－1(n∈N＋，λ∈R且λ≠0)，若数列{an－1}是等比数列，则λ的值为 A.1 B.－1 C. D.2 √ 由an＋1＝λan－1，得an＋1－1＝λan－2＝λ.因为数列{an－1}是等比数列，所以＝1，即λ＝2. 3.若数列{an}满足关系an＋1＝1＋，a8＝，则a5＝_____. 由题意得，a8＝1＋＝，则a7＝；a7＝1＋＝，则a6＝；a6＝1＋＝，则a5＝. 4.已知数列{an}满足a1＝1，an－an＋1＝nanan＋1(n∈N＋)，则an＝_______. 由an－an＋1＝nanan＋1，得－＝n，则由累加法得－＝1＋2＋…＋(n－1)＝(n≥2).又因为a1＝1，所以＝＋1＝.当n＝1时满足上式，所以an＝. 返回 课时分层评价 返回 1.在数列{an}中，a1＝3，an＋1－2an＝0，数列{bn}的通项满足关系式anbn＝(－1)n(n∈N＋)，则bn等于 A. B. C. D. √ 易知{an}是首项为3，公比为2的等比数列，所以an＝3·2n－1，所以bn＝＝.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.已知数列{an}的首项为2，且an＋1－an＝2n＋1，则an＝ A.2n B.2n－1＋1 C.2n－2 D.2n＋1－2 √ 由已知得an＋1－an＝2n＋1，a1＝2，则当n≥2时，有an－a1＝(an－an－1)＋(an－1－)＋…＋(a2－a1)＝2n＋2n－1＋…＋22，an＝2n＋2n－1＋…＋22＋a1＝2n＋2n－1＋…＋22＋2＝＝2n＋1－2，经检验当n＝1时也符合该式.所以an＝2n＋1－2.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.已知a1＝2，an＝n(an＋1－an)，则数列{an}的通项公式是an＝ A.n B.n＋1 C.2n D. √ 由an＝n(an＋1－an)，得(n＋1)an＝nan＋1，即＝，则n≥2时，＝，＝，＝，…，＝，由累乘法可得＝n，因为a1＝2，所以an＝2n(n≥2)，a1＝2也适合上式，所以an＝2n.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.(多选题)已知数列{an}的前n项和满足Sn＝2n＋1－1，则下列说法正确的是 A.a1＝3 B.an＝2n(n≥2) C.an＝2n D.an＝2n(n≥2) √ √ Sn＝2n＋1－1，当n＝1时，a1＝S1＝21＋1－1＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1－1)－(2n－1)＝2n.当n＝1时，不符合上式，故an＝故选AD. 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 5.已知数列{an}的前n项和为Sn，若3Sn＝2an－3n，则a2 026等于 A.22 026－1 B.－22 026－1 C.－ D.－ √ 由题意可得，3Sn＝2an－3n，3Sn＋1＝2an＋1－3(n＋1)，两式作差可得3an＋1＝2an＋1－2an－3，即an＋1＝－2an－3，an＋1＋1＝－2(an＋1).结合3S1＝2a1－3＝3a1，可得a1＝－3，a1＋1＝－2，则数列{an＋1}是首项为－2，公比为－2的等比数列，故a2 026＋1＝(－2)×(－2)2 025＝22 026，所以a2 026＝22 026－1.故选A. 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 6.定义：在数列{an}中，若满足－＝d(n∈N＋，d为常数)，则称{an}为“等差比数列”.已知在“等差比数列”{an}中，a1＝a2＝1，a3＝3，则等于 A.4×2 0242－1 B.4×2 0242 C.4×2 0232－1 D.4×2 0232 √ 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 由已知可得，当n＝1时，有－＝2，所以d＝2.所以是以1为首项，2为公差的等差数列，所以＝＋(n－1)d＝1＋2(n－1)＝2n－1，所以＝2×2 024－1，则有a2 025＝(2×2 024－1)a2 024，＝2×2 025－1＝2×2 024＋1，则有a2 026＝(2×2 024＋1)a2 025.所以a2 026＝(2×2 024＋1)×(2×2 024－1)a2 024＝[(2×2 024)2－1]a2 024＝(4×2 0242－1)a2 024.所以＝4×2 0242－1.故选A. 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 7.若在数列{an}中，a1＝1，an＋1＋an＝2n，则an＝____________________. n∈N＋ 因为an＋1＋an＝2n，所以＋an＋1＝2n＋2，故－an＝2.即数列{an}的奇数项与偶数项都是公差为2的等差数列.当n为偶数时，a2＝1，故an＝a2＋2＝n－1.当n为奇数时，n＋1为偶数，则an＋1＝n，因为an＋1＋an＝2n，故an＝n.综上所述，an＝n∈N＋. 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 5 3 1 2 8.已知在数列{an}中，a1＝，an＋1＝an＋，则an＝________. － 因为a1＝，an＋1＝an＋，所以2n＋1an＋1＝·2nan＋1，整理得2n＋1an＋1－3＝，所以数列是以2a1－3＝－为首项，为公比的等比数列.所以2nan－3＝－×，所以an＝－. 6 7 8 4 5 3 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 9.(双空题)已知数列{an}满足a1＝1，若an＋1＝，则数列{an}的通项公式an＝_______；若an＋1＝，则数列{an}的通项公式an＝________. 当an＋1＝时，得＝＋，又a1＝1，所以数列是以1为首项，为公差的等差数列，所以＝(n＋2)，所以数列{an}的通项公式an＝.当an＋1＝时，得＝＋1，所以＋1＝2.又a1＝1，所以＋1＝2，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以＋1＝2×2n－1＝2n，所以数列{an}的通项公式an＝. 9 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 1 2 10.(13分)已知Sn＝4－an－，求an与Sn. 解：因为Sn＝4－an－， 所以当n≥2时，Sn－1＝4－an－1－， 所以Sn－Sn－1＝an＝an－1－an＋－(n≥2). 所以an＝an－1＋(n≥2). 所以－＝2(n≥2)， 所以2nan－2n－1an－1＝2(n≥2)， 所以{2nan}是等差数列，d＝2，首项为2a1. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 因为a1＝S1＝4－a1－＝2－a1， 所以a1＝1，所以2nan＝2＋2(n－1)＝2n. 所以an＝(n∈N＋)， 所以Sn＝4－an－＝4－－＝4－. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 11.若正项数列{an}满足a1＝2，－3an＋1an－4＝0，则数列{an}的通项公式an等于 A.22n－1 B.2n C.22n＋1 D.22n－3 √ 由－3an＋1an－4＝0，得(an＋1－4an)(an＋1＋an)＝0.又{an}是正项数列，所以an＋1－4an＝0，即＝4.所以数列{an}是以2为首项，4为公比的等比数列.所以an＝2×4n－1＝22n－1.故选A. 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 9 1 2 12.若数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，且对于任意大于1的整数n，点(，)在直线x－y－＝0上，则数列{an}的通项公式为 A.an＝4n－2 B.an＝4n＋2 C.an＝4n D.an＝4n2 √ 由题意得－＝，n≥2，所以{}是首项为＝＝，公差为的等差数列.所以＝n，所以Sn＝2n2，所以an＝Sn－Sn－1＝2n2－2(n－1)2＝4n－2，n≥2，a1＝2也适合上式.所以an＝4n－2.故选A. 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 13.若在数列{an}中，a1＝3且an＋1＝(n是正整数)，则它的通项公式为______________. an＝ 由题意知an＞0且an≠1，将an＋1＝两边取对数得lg an＋1＝2lg an且lg an≠0，即＝2，所以数列{lg an}是以lg a1＝lg 3为首项，2为公比的等比数列，所以lg an＝(lg 3)·2n－1＝lg ，即an＝. 12 13 11 10 8 6 7 4 5 3 9 14 15 16 1 2 14.(15分)设数列{an}满足an＋1＝2an＋n－1，a1＝1，求数列{an}的通项公式. 解：已知an＋1＝2an＋n－1， 设an＋1＋An＋B＝2[an＋A(n－1)＋B]， 整理得an＋1＝2an＋An－2A＋B. 与已知an＋1＝2an＋n－1比较， 得 将其代入所设等式， 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 得an＋1＋n＋1＝2[an＋(n－1)＋1]， 所以数列{an＋(n－1)＋1}为等比数列，公比为q＝2，首项为a1＋(1－1)＋1＝2， 所以an＋(n－1)＋1＝2·2n－1， 整理得an＝2n－n. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 15.(5分)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝15，且满足＝＋1，已知n，m∈N＋，n＞m，则Sn－Sm的最小值为 A.－ B.－ C.－14 D.－28 √ 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 因为＝＋1，且＝＝－5，所以数列是以－5为首项，1为公差的等差数列，则＝－5＋(n－1)＝n－6，即an＝(2n－5)(n－6).令an≤0，得≤n≤6.又因为n∈N＋，所以n＝3，4，5，6，则Sn－Sm＝am＋1＋am＋2＋…＋an的最小值为a3＋a4＋a5＋a6＝－3－6－5－0＝－14. 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 16.(17分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＋1＝4an＋1. (1)求证：数列{an＋1－2an}是等比数列； 解：证明：因为Sn＋1＝4an＋1， 所以当n≥2时，Sn＝4an－1＋1， 两式作差得an＋1＝4an－4an－1， 所以an＋1－2an＝2(an－2an－1)， 又n＝1时，S2＝a1＋a2＝4a1＋1， 得a2＝4，a2－2a1＝2≠0， 所以an＋1－2an≠0，即＝2(n≥2)， 所以数列{an＋1－2an}是首项为a2－2a1＝2，公比为2的等比数列. 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 (2)求证：数列是等差数列； 解：证明：由(1)可知an＋1－2an＝2n， 即－＝， 所以数列＝，公差为的等差数列. 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 (3)求数列的前n项和Tn. 解：由(2)可知＝＋(n－1)×＝， 即an＝n·2n－1， 所以·an＝·n·2n－1＝(n＋1)·2n－1， 则Tn＝2×20＋3×21＋4×22＋…＋n·2n－2＋(n＋1)×2n－1， 所以2Tn＝2×21＋3×22＋4×23＋…＋n·2n－1＋(n＋1)×2n， 两式相减得－Tn＝2×20＋(21＋22＋…＋2n－1)－(n＋1)×2n ＝2＋－(n＋1)×2n， 即－Tn＝－n·2n， 所以Tn＝n·2n. 返回 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 谢 谢 观 看 重点突破1 求数列的通项 返回 $