2.3 导数的计算-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（北师大版）

该高中数学课件聚焦“导数的计算”，涵盖导函数定义、基本初等函数导数公式及应用，通过问题链（如推导1/x的导数）衔接导数定义，以“问题-探究-总结”支架引导学生从具体函数到一般导函数，构建知识脉络。 其亮点在于问题驱动与分层设计，通过定义推导（如展开函数求导）培养数学抽象，切线问题分类（切点与非切点）提升逻辑推理和数学运算，随堂与分层评价巩固知识。学生提升核心素养，教师获得系统教学资源。

§3　导数的计算 　 第二章　导数及其应用 学习目标 1.理解导函数的定义.　 2.能根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝ ，y＝ 的导数，提升数学运算、逻辑推理的核心素养.　 3.掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用，提升数学运算的核心素养. 内容索引 任务一　导函数 1 任务二　基本初等函数的导数 2 任务三　导数公式的应用 3 课时分层评价 5 随堂评价 4 任务一　导函数 返回 问题1.如何利用导数的定义求函数f(x)＝＋x在x＝x0处的导数？ 提示：Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝＋(x0＋Δx)－＝－＋Δx. ＝－＋1. 当Δx趋于0时，得到导数f'(x0)＝＝＝－＋1. 问题2.当x0在定义域内任意取值时，问题1中的f'(x0)的值如何？ 提示：对于定义域中的每一个自变量的取值x0，都有唯一一个导数值f'(x0)＝－＋1与之对应，所以f'(x)＝－＋1是x的函数. 问题导思 导函数 一般地，如果一个函数y＝f(x)在区间(a，b)的每一点x处都有导数f'(x)＝ _______________，那么f'(x)是关于x的函数，称________为y＝f(x)的导函数，也简称为______，有时也将导数记作y'. 新知构建 f'(x) 导数 f'(x)是函数f(x)的导函数，简称导数，它是一个确定的函数，是对一个区间而言的；f'(x0)表示的是函数f(x)在x＝x0处的导数，它是一个确定的值，是函数f'(x)的一个函数值. 微提醒 (链教材P64例3)求函数f(x)＝(2x＋1)·(3x－1)在下列各点处的导数： (1)x＝1； 解：因为f(x)＝(2x＋1)(3x－1)＝6x2＋x－1， 所以f'(x)＝ ＝ ＝(12x＋6Δx＋1)＝12x＋1， 所以(1)f'(1)＝12×1＋1＝13， 典例 1 (2)x＝x0. 解：因为f(x)＝(2x＋1)(3x－1)＝6x2＋x－1， 所以f'(x)＝ ＝ ＝(12x＋6Δx＋1)＝12x＋1， 所以 (2)f'(x0)＝12x0＋1. 利用定义求函数y＝f(x)的导函数的一般步骤 第一步：确定函数y＝f(x)在其对应区间上每一点是否都有导数； 第二步：计算Δy＝f(x＋Δx)－f(x)； 第三步：当Δx趋于0时，得到导函数f'(x) ＝. 规律方法 对点练1.求函数f(x)＝x2＋5x在x＝3处的导数和它的导函数. 解：f'(x)＝＝ ＝(2x＋Δx＋5)＝2x＋5， 所以f'(3)＝2×3＋5＝11. 返回 任务二　基本初等函数的导数 返回 问题3.下面是某同学利用导数的定义求出的几个幂函数的导数： f(x)＝x⇒f'(x)＝1＝1×x1－1； f(x)＝x2⇒f'(x)＝2x＝2x2－1； f(x)＝x3⇒f'(x)＝3x2＝3x3－1； f(x)＝＝x－1⇒f'(x)＝－x－2＝－x－1－1； f(x)＝＝⇒f'(x)＝＝. 你认为幂函数的导数有什么特点？能总结一下规律吗？ 提示：通过观察，我们发现这几个幂函数的导数有规律，即(xα)'＝α. 问题导思 基本初等函数的导数公式 新知构建 函数 导数 y＝c(c是常数) y'＝___ y＝xα(α是实数) y'＝α y＝ax(a＞0，a≠1) y'＝________，特别地(ex)'＝____ y＝logax(a＞0，a≠1) y'＝______，特别地(ln x)'＝___ y＝sin x y'＝_______ y＝cos x y'＝_________ y＝tan x y'＝ 0 axln a ex cos x －sin x 对于根式f(x)＝，要先转化为f(x)＝，所以f'(x)＝. 微提醒 求下列函数的导数： (1)y＝2 026； 解：y'＝0. (2)y＝； 解： y'＝ln ＝－ln 3. (3)y＝lg x； 解： y'＝. 典例 2 (4)y＝； 解：因为y＝＝， 所以y'＝()'＝＝. (5)y＝2cos2()－1. 解：因为y＝2cos2()－1＝cos x， 所以y'＝(cos x)'＝－sin x. 1.若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求导. 2.若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导. 规律方法 对点练2. 求下列函数的导数： (1)y＝sin ； 解：y'＝0. (2)y＝； 解：因为y＝＝， 所以y'＝－＝－. (3)y＝4x； 解：因为y＝4x，所以y'＝4xln 4. (4)y＝log3x. 解：因为y＝log3x，所以y'＝. 返回 任务三　导数公式的应用 返回 已知曲线y＝ln x，点P(e，1)是曲线上一点，求曲线在点P处的切线方程. 解：因为y'＝，所以切线的斜率k＝， 所以切线方程为y－1＝(x－e)，即x－ey＝0. 典例 3 变式探究 1.(变设问)求曲线y＝ln x的斜率等于4的切线方程. 解：设切点坐标为(x0，y0). 因为y'＝，曲线y＝ln x在点(x0，y0)处的切线的斜率等于4， 所以＝4，得x0＝， 所以y0＝－ln 4，所以切点为， 所以所求切线方程为y＋ln 4＝4， 即4x－y－1－ln 4＝0. 2.(变条件，变设问)求曲线y＝ln x过点M(0，1)的切线方程. 解：因为M(0，1)不在曲线y＝ln x上， 所以设切点为Q(x0，y0)，则切线的斜率k＝. 又切线的斜率k＝＝， 所以＝，即ln x0－1＝1， 所以x0＝e2，所以k＝， 所以切线方程为y－1＝(x－0)， 即x－e2y＋e2＝0. 利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 1.若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数. 2.如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解. 规律方法 对点练3.求过曲线y＝cos x上的一点P且与这点的切线垂直的直线方程. 解：因为y＝cos x，所以y'＝－sin x， 曲线在点P处的切线斜率是 k＝－sin ＝－. 所以过点P且与切线垂直的直线的斜率为， 所以所求的直线方程为y－＝， 即2x－y－＋＝0. 返回 课堂小结 任务 再现 1.导函数.2.基本初等函数的导数.3.导数公式的应用 方法 提炼 公式法、待定系数法 易错 警示 公式记混用错；不化简成基本初等函数 随堂评价 返回 1.若f(x)＝sin x，则f'＝ A.－ B.－ C. D. √ f'(x)＝cos x，f'＝cos ＝.故选D. 2.(多选题)下列结论正确的是 A.若y＝ln 2，则y'＝ B.若f(x)＝，则f'(3)＝－ C.若y＝2x，则y'＝x·2x－1 D.若y＝log2x，则y'＝，x＞0 √ √ 对于A，由y＝ln 2得y'＝0，故A错误；对于B，f'(x)＝－，故f'(3)＝－，故B正确；对于C，y'＝2xln 2，故C错误；对于D，y'＝，x＞0，故D正确.故选BD. 3.已知f(x)＝x2，g(x)＝x.若m满足f'(m)＋g'(m)＝3，则m的值为_____. 1 因为f'(x)＋g'(x)＝2x＋1，所以f'(m)＋g'(m)＝2m＋1＝3，故m＝1. 4.已知函数f(x)＝x3，则曲线y＝f(x)在点(1，1)处的切线的方程为________________. 3x－y－2＝0 f'(x)＝3x2，则f'(1)＝3，所以曲线y＝f(x)在点(1，1)处的切线的方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0. 返回 课时分层评价 返回 1.函数f(x)＝在x＝1处的导数f'(1)等于 A.－ B. C.1 D.2 √ 由f'(x)＝，故f'(1)＝.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.下列各式正确的是 A.'＝cos 10° B.'＝sin x C.'＝cos x D.'＝－x－6 √ 根据基本初等函数求导公式知，'＝0，故A错误；'＝ －sin x，故B错误；'＝cos x，故C正确；'＝－5x－6，故D错误.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.某质点的运动方程为s＝(其中s的单位为米，t的单位为秒)，则质点在t＝3秒时的速度为 A.－4×3－4米/秒 B.－3×3－4米/秒 C.－5×3－5米/秒 D.－4×3－5米/秒 √ 由s＝得s'＝'＝(t－4)'＝－4t－5，则质点在t＝3秒时的速度为－4× 3－5米/秒.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.(多选题)已知曲线y＝x3在点P处的切线斜率为k，则当k＝3时的P点坐标为 A.(－1，1) B.(－1，－1) C.(1，1) D.(1，－1) √ √ y'＝3x2，因为k＝3，所以3x2＝3，所以x＝±1，则P点坐标为(－1，－1)或(1，1).故选BC. 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 5.以正弦曲线y＝sin x上一点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是 A.∪ B.[0，π) C. D.∪ √ 因为y＝sin x，所以y'＝cos x.因为cos x∈[－1，1]，所以切线斜率的范围是[－1，1].所以倾斜角的范围是∪.故选A. 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 6.(多选题)已知f(x)＝2x的导数为f'(x)，则必有 A.f(x)＞f'(x) B.f(x)≥f'(x)(x≥1) C.f(x)＜f'(x) D.f(x)≤f'(x)(x≤1) √ √ 由f(x)＝2x，得f'(x)＝2，所以f(x)－f'(x)＝2，当x≥1时，f(x)≥f'(x)，当x≤1时，f(x)≤f'(x)，所以选项B、D正确.故选BD. 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 7.若曲线y＝ln x在x＝a处的切线的倾斜角为，则a＝______. 1 y'＝，所以y'｜x＝a＝＝tan＝1，所以a＝1. 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 5 3 1 2 8.若指数函数f(x)＝ax(a＞0，a≠1)满足f'(1)＝ln 27，则f'(－1)＝_______. f'(x)＝axln a，f'(1)＝aln a＝3ln 3，所以a＝3，故f'(－1)＝3－1ln 3＝. 6 7 8 4 5 3 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 9.设b为实数，若直线y＝－x＋b为函数y＝图象的切线，则b的值是__________. 2或－2 设切点坐标为(x0，y0)，函数y＝的导数为y'＝－，由直线y＝－x＋b得到斜率为－1，故－＝－1，解得x0＝±1，把x0＝－1代入y＝中解得y0＝－1，把x0＝1代入y＝中解得y0＝1，所以切点坐标是(－1，－1)或(1，1)，当切点坐标是(－1，－1)时，代入直线的方程y＝－x＋b，得b＝－2；当切点坐标是(1，1)时，代入直线的方程y＝－x＋b，得b＝2.综上所述，b＝2或－2. 9 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 1 2 10.(13分)(开放题)设b为实数，直线y＝x＋b能作为下列函数图象的切线吗？若能，求出切点坐标；若不能，简述理由. (1)f(x)＝； 解：因为f(x)＝，所以f'(x)＝－＝无解， 所以直线y＝x＋b不能作为函数图象的切线. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 (2)f(x)＝x4； 解：因为f(x)＝x4，所以f'(x)＝4x3，令f'(x)＝4x3＝，解得x＝，此时y＝， 所以切点坐标为，所以直线y＝x＋b能作为函数图象的切线. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 (3)f(x)＝sin x； 解：因为f(x)＝sin x，所以f'(x)＝cos x， 令f'(x)＝cos x＝，解得x＝2kπ±，k∈Z， 此时y＝±， 所以切点坐标为，k∈Z或(2kπ－，－)，k∈Z， 所以直线y＝x＋b能作为函数图象的切线. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 (4)f(x)＝ex. 解：因为f(x)＝ex，所以f'(x)＝ex， 令f'(x)＝ex＝，解得x＝ln ，此时y＝， 所以切点坐标为，所以直线y＝x＋b能作为函数图象的切线. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 11.设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f'0(x)，f2(x)＝f'1(x)，…，fn＋1(x)＝f'n(x)，n∈N，则f2 025(x)＝ A.sin x B.－sin x C.cos x D.－cos x √ 由题意得f0(x)＝sin x，f1(x)＝f'0(x)＝'＝cos x，f2(x)＝f'1(x)＝'＝－sin x，f3(x)＝f'2(x)＝'＝－cos x，f4(x)＝f'3(x)＝'＝sin x，f5(x)＝f'4(x)＝'＝cos x，…，所以fn(x)是周期为4的周期函数，又因为2 025＝4×506＋1，故f2 025(x)＝f1(x)＝cos x.故选C. 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 9 1 2 12.(多选题)(新定义)已知函数f(x)的导数为f'(x)，若存在x0，使得f(x0)＝f'(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是 A.f(x)＝x2 B.f(x)＝ C.f(x)＝ln x D.f(x)＝tan x √ √ √ 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 对于A，f'(x)＝2x，令x2＝2x，得x＝0或x＝2，有“巧 值点”；对于B，f'(x)＝－，令＝－，得x＝－1， 有“巧值点”；对于C，f'(x)＝，令ln x＝， 结合y＝ln x，y＝的图象，知方程ln x＝有解，有“巧值点”；对于D，f'(x)＝，令tan x＝，即＝，得sin 2x＝2，无解，无“巧值点”.故选ABC. 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 13.已知A，B，C三点在曲线y＝上，其横坐标依次为1，m，4(1＜m＜4)，则当△ABC的面积最大时，m的值为_____. 如图所示，在△ABC中，边AC是确定的，要使△ABC 的面积最大，则点B到直线AC的距离应最大，可以将 直线AC作平行移动，显然当直线AC与曲线相切时， 距离达到最大，即当过点B的切线平行于直线AC时，△ABC的面积最大.因为y'＝，点A坐标为(1，1)，点C坐标为(4，2)，所以kAC＝＝，所以＝，所以m＝. 12 13 11 10 8 6 7 4 5 3 9 14 15 16 1 2 14.(15分)(开放题)已知点A，B(2，1)，函数f(x)＝log2x. (1)过坐标原点O作曲线y＝f(x)的切线，求切线方程； 解：设切点为(m，log2m)(m＞0). 因为f(x)＝log2x，所以f'(x)＝， 所以切线的斜率k＝. 又切线的斜率k＝， 所以＝，解得m＝e， 所以k＝，所以切线方程为y＝x， 即x－(eln 2)y＝0. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 (2)在曲线y＝f(x)上是否存在点P，使得在点P处的切线与直线AB平行？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由. 解：过点A，B(2，1)的直线的斜率为kAB＝. 假设存在点P，使得在点P处的切线与直线AB平行. 设P(n，log2n)，≤n≤2， 则有＝，得n＝. 又＝ln＜ln 2＜ln e＝1， 所以＜＜， 所以在曲线y＝f(x)上存在点P，使得在点P处的切线与直线AB平行，且点P的横坐标为. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 15.(5分)(新角度)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是 A.y＝sin x B.y＝ln x C.y＝ex D.y＝x3 √ 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 设函数y＝f(x)的图象上两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则由导数的几何意义可知，点P，Q处切线的斜率分别为k1＝f'(x1)，k2＝f'(x2)，若函数具有T性质，则k1·k2＝f'(x1)·f'(x2)＝－1.对于A，f'(x)＝cos x，显然k1·k2＝cos x1·cos x2＝－1有无数组解，所以该函数具有T性质；对于B，f'(x)＝(x＞0)，显然k1·k2＝·＝－1无解，故该函数不具有T性质；对于C，f'(x)＝ex＞0，显然k1·k2＝·＝－1无解，故该函数不具有T性质；对于D，f'(x)＝3x2≥0，显然k1·k2＝3·3＝－1无解，故该函数不具有T性质.故选A. 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 16.(17分)求曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝x3的公切线的斜率. 解：曲线C1：y＝x2，则y'＝2x， 曲线C2：y＝x3，则y'＝3x2， 设直线l与曲线C1的切点坐标为(a，a2)，则切线方程为y＝2ax－a2， 设直线l与曲线C2的切点坐标为(m，m3)， 则切线方程为y＝3m2x－2m3， 若曲线C1，C2有公切线，则2a＝3m2，a2＝2m3，得m＝0或m＝，所以曲线C1，C2的公切线的斜率为0或. 返回 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 谢 谢 观 看 §3　导数的计算 返回 $