2.2.2 导数的几何意义-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（北师大版）

该高中数学课件聚焦“导数的几何意义”，通过问题导思从平均变化率的几何意义（割线斜率）入手，引导学生观察Δx趋于0时割线到切线的转化过程，揭示导数与切线斜率的关系，搭建起导数概念从代数到几何的学习支架。 其亮点在于以问题链驱动探究，结合数形结合思想（如典例1通过图象分析切线斜率）和分层练习（对点练、变式探究），培养直观想象、逻辑推理与数学运算素养。例如通过对比“在某点处的切线”与“过某点的切线”，帮助学生突破易错点，既深化学生对概念的理解，也为教师提供系统的教学资源，助力分层教学实施。

2.2　导数的几何意义 　 第二章　§2　导数的概念及其几何意义 学习目标 1.通过函数图象直观地理解导数的几何意义，培养直观想象的核心素养.　 2.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程及曲线的切线问题，提升数学运算、逻辑推理的核心素养. 内容索引 任务一　导数的几何意义 1 任务二　切线方程 2 任务三　导数几何意义的应用 3 课时分层评价 5 随堂评价 4 任务一　导数的几何意义 返回 问题1.函数y＝f(x)在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为， 你能说出它的几何意义吗？ 提示：表示过A(x0，f(x0))和B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))两点的直 线的斜率，这条直线称为曲线y＝f(x)在点A处的一条割线. 问题2.当Δx变化时，问题1中的直线如何变化？ 提示：直线AB绕点A转动. 问题3.当Δx→0时，问题1中的直线如何变化？ 提示：直线过点A与曲线y＝f(x)相切的位置. 问题导思 1.割线的定义 设函数y＝f(x)的图象是一条光滑的曲线，且函数y＝f(x)在区间[x0，x0＋Δx]的平均变化率为，它是经过A(x0，f(x0))和B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))两点的直线的______.这条直线称为曲线y＝f(x)在点A处的一条割线. 2.切线的定义 如图，当Δx趋于0时，点B将沿着曲线y＝f(x)趋于______， 割线AB将绕点A转动趋于直线l，称直线l为曲线y＝f(x)在 ______处的切线，或称直线l和曲线y＝f(x)在点A处相切. 新知构建 斜率 点A 点A 3.导数的几何意义 函数y＝f(x)在x0处的导数f'(x0)，是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的____________.函数y＝f(x)在x0处____________反映了导数的几何意义. 切线的斜率 切线的斜率 (1)函数f(x)在x0处的导数就是函数的平均变化率在当自变量的改变量趋于0时的极限，若存在，则函数y＝f(x)在x0处就有导数.(2)f'(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在切点(x0，f(x0))处的切线的斜率.(3)函数f(x)表示的曲线在点(x0，f(x0))处有切线，但函数f(x)在该点处不一定可导，如f(x)＝在x＝0处有切线，但不可导. 微提醒 (1)如图，直线l是曲线y＝f(x)在x＝4处的切线，则f'(4)等于 A. B.3 C.4 D.5 √ 典例 1 根据导数的几何意义知f'(4)是曲线y＝f(x)在x＝4处的切线的斜率，则k＝＝，所以f'(4)＝.故选A. (2)已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，设k＝，则下列不等式正确的是 A.k＜f'(x1)＜f'(x2) B.f'(x1)＜k＜f'(x2) C.f'(x2)＜f'(x1)＜k D.f'(x1)＜f'(x2)＜k √ 函数增长的越来越快，所以切线的斜率越来越大，所以f'(x1)＜k＜f'(x2).故选B. 　　导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数大小的问题可以用数形结合思想来解决. 规律方法 对点练1.已知函数y＝f(x)的部分图象如图所示，其中A(x1，f(x1))，B，C(x3，f(x3))为图上三个不同的点，则下列结论正确的是 A.f'＞f'＞f' B.f'＞f'＞f' C.f'＞f'＞f' D.f'＞f'＞f' √ 由题图可知函数在A点的切线斜率小于0，即f'＜0，在B点的切线斜率等于0，即f'＝0，在C点的切线斜率大于0，即f'＞0，所以f'＞f'＞f'.故选B. 返回 任务二　切线方程 返回 问题4.若函数y＝f(x)在x＝x0处的导数为f'(x0)，你能写出y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程吗？ 提示：根据点斜式方程：y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f'(x0)(x－x0). 问题导思 　　函数y＝f(x)在x＝x0处的导数为f'(x0)，则y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为__________________________. 新知构建 y－f(x0)＝f'(x0)(x－x0) 切点(x0，f(x0))在曲线上也在切线上. 微提醒 “在某点处的切线(方程)”与“过一点的切线(方程)”是否相同？ 提示：“在某点处的切线(方程)”与“过一点的切线(方程)”是不同的.“在某点处的切线(方程)”是指以该点为切点的切线(方程)，切线只有一条；切线方程也只有一个，“过一点的切线(方程)”是指曲线的切线(方程)经过这点，这点可能不在曲线上，相应的切线(方程)可能不止一条(一个). 微思考 (链教材P60例5)已知曲线y＝x3＋，求曲线在点P(2，4)处的切线方程. 解：因为点P(2，4)在曲线y＝x3＋上， 所以曲线在点P(2，4)处切线的斜率为 k＝ ＝＝4. 所以曲线在点P(2，4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0. 典例 2 变式探究 (变设问)本例曲线方程不变，求曲线过点P(2，4)的切线方程. 解：设曲线y＝x3＋与过点P(2，4)的切线相切于点A， 则切线的斜率为k＝＝， 所以切线方程为y－＝(x－x0)， 即y＝·x－＋. 因为点P(2，4)在切线上，所以4＝2－＋，即－3＋4＝0. 所以＋－4＋4＝0，所以(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0， 所以(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2. 故曲线过点P(2，4)的切线方程为x－y＋2＝0或4x－y－4＝0. 求曲线在某点处的切线方程的步骤 规律方法 对点练2.求曲线f(x)＝在点(－2，－1)处的切线方程. 解：因为点(－2，－1)在曲线y＝上， 所以曲线f(x)＝在点(－2，－1)处的切线斜率就等于f(x)＝在x＝－2处的导数. 所以k＝f'(－2)＝ ＝＝＝－， 所以曲线f(x)＝在点(－2，－1)处的切线方程为y＋1＝－(x＋2)，整理得x＋2y＋4＝0. 返回 任务三　导数几何意义的应用 返回 已知曲线y＝x2－1在x＝x0处的切线与曲线y＝1－x3在x＝x0处的切线互相平行，求x0的值. 解：对于曲线y＝x2－1，k1＝ ＝＝2x0. 对于曲线y＝1－x3，k2＝ ＝＝－3. 由题意得2x0＝－3，解得x0＝0或－，经检验均符合题意，故x0＝0或 －. 典例 3 变式探究 1.(变条件)若本例条件中的“平行”改为“垂直”，求x0的值. 解：因为k1＝2x0，k2＝－3， 由曲线y＝x2－1与y＝1－x3在x＝x0处的切线互相垂直，知2x0·(－3)＝ －1，解得x0＝. 2.(变设问)若本例条件不变，试求出两条平行的切线方程. 解：由典例3知x0＝0或－. 当x0＝0时，两平行切线方程为y＝－1与y＝1. 当x0＝－时，曲线y＝x2－1的切线方程为12x＋9y＋13＝0， 曲线y＝1－x3的切线方程为36x＋27y－11＝0. 所以所求两平行切线方程为y＝－1与y＝1或12x＋9y＋13＝0与36x＋27y－11＝0.  求切点坐标的步骤 第一步：设出切点坐标； 第二步：利用导数或斜率公式求出斜率； 第三步：利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标； 第四步：把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标. 规律方法 对点练3.(1)设曲线f(x)＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于 A.1 B. C.－ D.－1 √ 因为f'(1)＝＝＝(2a＋aΔx)＝2a，所以2a＝2，所以a＝1(经检验，正确).故选A. (2)已知曲线y＝f(x)＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16，则点P的坐标为_________. (3，30) 设点P(x0，2＋4x0)，则f'(x0)＝＝＝4x0＋4.令4x0＋4＝16得x0＝3，所以P(3，30). 返回 课堂小结 任务 再现 1.导数的几何意义.2.切线方程.3.导数几何意义的应用 方法 提炼 数形结合、待定系数法 易错 警示 混淆“在一点处的切线”和“过一点的切线” 随堂评价 返回 1.曲线y＝－2x2＋1在点(0，1)处的切线的斜率是 A.－4 B.4 C.0 D.不存在 √ k＝＝(－2Δx)＝0.故选C. 2.设函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝4x－3，则等于 A.4 B.2 C.1 D.－3 √ 由导数的定义，得＝f'(1)，根据导数的几何意义，得f'(1)＝4，即＝4.故选A. 3.曲线y＝x2在点(2，1)处的切线方程为 A.x－y－1＝0 B.x＋y－3＝0 C.x－y＋1＝0 D.x＋y－1＝0 √ f'(2)＝＝＝1，所以在点(2，1)处的切线方程为y－1＝1·(x－2)，即x－y－1＝0.故选A. 4.已知函数f(x)＝在x＝x0处的切线的倾斜角为135°，则x0＝_______. ±1 f'(x0)＝＝－＝－.令－＝tan 135°＝ －1，可得x0＝±1. 返回 课时分层评价 返回 1.设函数f(x)在R上可导，f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程为y＝2x＋，那么f'(1)＝ A.2 B.1 C. D. √ 因为函数f(x)的图象在点M处的切线方程为y＝2x＋，所以f'(1)＝2.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.已知曲线y＝2x3上一点A(1，2)，则点A处的切线斜率等于 A.0 B.2 C.4 D.6 √ Δy＝2(1＋Δx)3－2×13＝6Δx＋6(Δx)2＋2(Δx)3，k＝＝ [2(Δx)2＋6Δx＋6]＝6.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.设f'(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线 A.不存在 B.与x轴平行或重合 C.与x轴垂直 D.与x轴斜交 √ 因为f'(x0)＝0，所以曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率为0，即切线与x轴平行或重合.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知y＝f(x)的图象如图，则f'(xA)与f'(xB)的大小关系是 A.f'(xA)＞f'(xB) B.f'(xA)＜f'(xB) C.f'(xA)＝f'(xB) D.不能确定 √ 由题图可知，曲线在点A处的切线的斜率比曲线在点B处的切线的斜率小，结合导数的几何意义知f'(xA)＜f'(xB).故选B. 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 5.若曲线f(x)＝x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为 A.4x－y－4＝0 B.x＋4y－5＝0 C.4x－y＋3＝0 D.x＋4y＋3＝0 √ 设切点为(x0，y0)，因为f'(x0)＝＝(2x0＋Δx)＝2x0.由题意，可知切线斜率k＝4，即f'(x0)＝2x0＝4，所以x0＝2.所以切点坐标为(2，4)，切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.故选A. 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 6.(多选题)下列各点中，在曲线y＝f(x)＝x3－2x上，且在该点处的切线倾斜角为的是 A.(0，0) B.(1，－1) C.(－1，1) D.(1，1) √ √ 设切点坐标为(x0，y0)，则f'(x0)＝＝3－2＝tan ＝1，所以x0＝±1，当x0＝1时，y0＝－1.当x0＝－1时，y0＝1.故选BC. 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 7.已知函数y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝4x－3，则f(1)＋f'(1)＝_____. 5 因为函数y＝f(x)在x＝x0处的切线斜率为f'(x0)，又y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝4x－3，所以f'(1)＝4，因为函数y＝f(x)在x＝1处的切点为(1，f(1))，且切点也在切线上，所以f(1)＝4×1－3＝1，所以f(1)＋f'(1)＝5. 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 5 3 1 2 8.如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0，4)，(2，0)，(6，4)，则 ＝________. －2 由导数的概念和几何意义知，＝f'(1)＝kAB＝＝－2. 6 7 8 4 5 3 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 9.已知函数f(x)＝x3－3ax(a∈R).若直线x＋y＋m＝0对任意的m∈R都不是曲线y＝f(x)的切线，则实数a的取值范围为__________. 假设直线x＋y＋m＝0与曲线y＝f(x)相切，切点为P(x0，y0)，由题意，得f'(x0)＝＝3－3a＝－1无解，即3－3a＋1＝0无解，故3a－1＜0，解得a＜. 9 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 1 2 10.(13分)已知点P(2，－1)在曲线f(x)＝上.求： (1)曲线在点P处的切线斜率； 解：(1)将P(2，－1)的坐标代入f(x)＝，得t＝1，所以f(x)＝. 所以f'(2)＝ ＝＝＝1， 所以曲线在点P处的切线斜率为1. (2)曲线在点P处的切线方程. 解：由(1)知曲线在点P处的切线方程为y－(－1)＝x－2，即x－y－3＝0. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 11.曲线y＝x2在点(1，1)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为 A. B. C.1 D.2 √ f'(1)＝＝＝(2＋Δx)＝2.则曲线在点(1，1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.因为2x－y－1＝0与坐标轴的交点为(0，－1)，，所以所求三角形的面积为S＝×1×＝.故选A. 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 9 1 2 12.设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线的倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围为 A. B.[－1，0] C.[0，1] D. √ 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 设P(x，y)，则曲线C在点P处的切线的斜率k＝＝＝(Δx＋2x＋2)＝2x＋2.又曲线C在点P处的切线的倾斜角的取值范围为，所以其斜率k≥1，即2x＋2≥1，解得x≥－.故选D. 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 13.若抛物线f(x)＝x2－x＋c上一点P的横坐标是－2，抛物线在点P处的切线恰好过坐标原点，则c的值为_______. 4 设在点P处切线的斜率为k，则k＝f'(－2)＝＝－5，所以切线方程为y＝－5x.所以点P的纵坐标为y＝－5×(－2)＝10，将点P(－2，10)代入y＝x2－x＋c，得c＝4. 12 13 11 10 8 6 7 4 5 3 9 14 15 16 1 2 14.(15分)点P在曲线f(x)＝x2＋1上，且曲线在点P处的切线与曲线y＝－2x2－1相切，求点P的坐标. 解：设P(x0，y0)，则y0＝＋1， f'(x0)＝＝2x0， 所以在点P的切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)， 即y＝2x0x＋1－， 而此直线与曲线y＝－2x2－1相切， 所以切线与曲线y＝－2x2－1只有一个公共点， 由 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 得2x2＋2x0x＋2－＝0， 则Δ＝4－8(2－)＝0， 解得x0＝±，则y0＝， 所以点P的坐标为. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 15.(5分)函数y＝在x＝1处的导数为_______. － 作出函数y＝的图象如图. 由导数的几何意义可知，函数y＝在x＝1处的导数 即为半圆在点P(1，)处的切线的斜率.所以kl＝－＝ －＝－. 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 16.(17分)求过点(－1，0)与曲线y＝x2＋x＋1相切的直线方程. 解：设切点为(x0，＋x0＋1)，则切线的斜率为 k＝＝2x0＋1. 又k＝＝， 所以2x0＋1＝，解得x0＝0或x0＝－2. 当x0＝0时，切线斜率k＝1， 过(－1，0)的切线方程为y－0＝x＋1， 即x－y＋1＝0. 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 当x0＝－2时，切线斜率k＝－3， 过(－1，0)的切线方程为y－0＝－3(x＋1)， 即3x＋y＋3＝0. 故所求切线方程为x－y＋1＝0或3x＋y＋3＝0. 返回 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 谢 谢 观 看 2.2　导数的几何意义 返回 $