2.2.1 导数的概念-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（北师大版）

该高中数学课件聚焦“导数的概念”，通过质点运动平均速度与瞬时速度、函数平均变化率等问题导思，衔接平均变化率知识，构建从具体实例到抽象概念的学习支架，帮助学生理解导数的瞬时变化率本质及定义。 其亮点在于以问题驱动培养数学眼光，通过典例分层训练数学思维，结合细菌数量变化、铁板膨胀等实际案例渗透数学语言表达，如典例3用导数分析细菌数量瞬时变化率，培养抽象、运算、建模素养。学生能提升核心能力，教师可借助系统任务设计与分层评价优化教学。

2.1　导数的概念 　 第二章　§2　导数的概念及其几何意义 学习目标 1.了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，理解导数的概念，体会导数的内涵与思想，培养数学抽象的核心素养.　 2.会利用导数的定义求函数在某点处的导数，提升数学运算、逻辑推理的核心素养.　 3.理解导数的实际意义，提升数学建模的核心素养. 内容索引 任务一　导数的概念 1 任务二　函数在某点处的导数及意义 2 任务三　导数在实际问题中的意义 3 课时分层评价 5 随堂评价 4 任务一　导数的概念 返回 问题1.一质点按规律s＝2t2＋2t做直线运动(位移单位：m，时间单位：s).质点在前3 s内的平均速度是多少？在3 s时的瞬时速度是多少？ 提示：8 m/s，14 m/s. 问题2.对于函数y＝f(x)，当x从x0变到x0＋Δx时，y关于x的平均变化率是多少？当Δx趋于0时，平均变化率趋于一个常数吗？ 提示：＝，当Δx趋于0时，平均变化率趋于一个常数. 问题导思 导数的概念 新知构建 条件 设函数y＝f(x)，当自变量x从x0变到x1时，函数值y从f(x0)变到f(x1)，函数值y关于 x的平均变化率为＝______________＝___________________.当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个__________ 结论 这个值就是函数y＝f(x)在点x0的____________.在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在点x0处的______ 记法 函数y＝f(x)在点x0处的导数，通常用符号f'(x0)表示，记作f'(x0)＝ ＝ 固定的值 瞬时变化率 导数 (1)函数应在x0的附近有定义，否则导数不存在.(2)导数是一个局部概念，它只与函数y＝f(x)在x＝x0及其附近的函数值有关，与Δx无关.(3)导数的实质是一个极限值. 微提醒 设f(x)在x0可导，则 等于 A.－4f'(x0) B.f'(x0) C.f'(x0) D.4f'(x0) √ 典例 1 ＝4＝4f'(x0).故选D. 　　利用导数定义解题时，要充分体会导数定义的实质，虽然表达式不同，但表达的实质可能相同. 规律方法 对点练1.已知＝1，则f'(x0)等于 A.2 B.1 C. D.0 √ 因为＝1，所以2＝2f'(x0)＝1，所以f'(x0)＝.故选C. 返回 任务二　函数在某点处的导数及意义 返回 问题3.一质点的运动位移s(单位：m)是关于时间t(单位：s)的函数：s＝s(t)＝－2t＋3.根据导数的定义你能求出s'(1)，并解释它的实际意义吗？ 提示：＝ ＝＝－2 m/s.当Δt趋于0时，趋于－2，则s'(1)＝ －2 m/s.导数s'(1)＝－2 m/s表示该质点在t＝1时的瞬时速度. 问题导思 　　对于函数f(x)，f'(x0)的意义就是函数f(x)在x＝x0处的____________. 新知构建 瞬时变化率 (1)已知函数y＝f(x)＝2x2＋1，求函数f(x)在x＝2处的瞬时变化率. 解：Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝2(2＋Δx)2＋1－(2×22＋1)＝2(Δx)2＋8Δx. 所以＝2Δx＋8. 所以函数f(x)在x＝2处的瞬时变化率为＝(2Δx＋8)＝8. 典例 2 (2)利用导数的定义，求函数f(x)＝在x＝1处的导数. 解：Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝－＝－， 所以＝. 所以f'(1)＝＝ ＝＝. 求一个函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的步骤 第一步：求函数值的变化量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； 第二步：求平均变化率＝； 第三步：取极限，得导数f'(x0)＝. 规律方法 对点练2.(1)函数f(x)＝在x＝2处的导数为 A.2 B. C. D.－ √ ＝＝ ＝＝－，所以函数f(x)在x＝2处的导数为－.故选D. (2)已知函数f(x)＝－，则函数f(x)在x＝1处的瞬时变化率是______. 6 函数f(x)在x＝1处的瞬时变化率为＝＝＝＝6. 返回 任务三　导数在实际问题中的意义 返回 已知在使用某种杀菌剂t小时后室内的细菌数量为f＝105＋104t－103t2. (1)求f'； 解：由函数f＝105＋104t－103t2， 当h≠0时，在使用杀菌剂10小时附近的时间段内， 可得细菌数量关于时间的平均变化率为 ＝ ＝＝－104－103h， 当h趋近于0，就得到f'＝(－104－103h)＝－104＝－10 000. 典例 3 (2)f'的实际意义是什么？ 解：f'的实际意义是细菌数量在t＝10时的瞬时变化率，它表明在t＝10附近，细菌数量大约以每小时104的速率减少. 　　首先要理解导数与平均变化率的概念，才能根据实际问题体会到导数的实际意义. 规律方法 对点练3.有一边长为10 cm的正方形铁板(此时铁板温度为0 ℃)，加热后铁板会膨胀，已知铁板温度为t ℃(t＞0)时，其边长膨胀为10cm，其中a为常数，求铁板面积对温度t的瞬时膨胀率. 解：设温度的增量为Δt，则铁板面积的增量为ΔS＝100[1＋a(t＋Δt)]2－100(1＋at)2 ＝200Δt＋100a2(Δt)2， 则＝＝200(a＋a2t)＋100a2Δt. 当Δt→0时，S'(t)＝＝200a(1＋at). 故铁板面积对温度t的瞬时膨胀率为200a(1＋at). 返回 课堂小结 任务 再现 1.导数的概念.2.函数在某点处的导数及意义.3.导数在实际问题中的意义 方法 提炼 定义法、极限思想 易错 警示 对函数的平均变化率、瞬时变化率理解不到位 随堂评价 返回 1.f(x)＝x2在x＝1处的导数为 A.2x B.2 C.2＋Δx D.1 √ f'(1)＝ ＝＝(2＋Δx)＝2.故选B. 2.函数在某一点的导数是 A.在该点的函数值的改变量与自变量的改变量的比 B.一个函数 C.一个常数，不是变数 D.函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率 √ 由导数的定义可知，函数在某点的导数是平均变化率的极限值，是个常数.故选C. 3.设函数y＝f(x)在R上可导，则等于 A.f'(1) B.f'(1) C.3f'(1) D.以上都不对 √ ＝＝f'(1).故选B. 4.已知函数y＝f(x)＝2ax＋4，若f'(1)＝2，则a＝_____. 1 Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2a(1＋Δx)＋4－2a－4＝2aΔx，＝2a，所以＝2a，所以a＝f'(1)＝1. 返回 课时分层评价 返回 1.(多选题)设函数f(x)在x＝x0处可导，以下有关的值的说法中不正确的是 A.与x0，h都有关 B.仅与x0有关而与h无关 C.仅与h有关而与x0无关 D.与x0，h均无关 √ √ √ 导数是一个局部概念，它只与函数y＝f(x)在x0及其附近的函数值有关，与h无关.故选ACD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.汽车在笔直的公路上行驶，如果v(t)表示t时刻的速度，则当Δt趋于0时，的意义是 A.表示当t＝t0时汽车的加速度 B.表示当t＝t0时汽车的瞬时速度 C.表示当t＝t0时汽车的路程变化率 D.表示当t＝t0时汽车与起点的距离 √ 由于v(t)表示t时刻的速度，则当Δt趋于0时，＝表示当t＝t0时汽车的加速度.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.函数y＝x2＋3x在x＝1处的导数为 A.3 B.4 C.5 D.6 √ y＝f(x)＝x2＋3x在x＝1处的导数为f'(1)＝ ＝＝(5＋Δx)＝5.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知物体做直线运动对应的函数为S＝S(t)，其中S表示路程，t表示时间.则S'(4)＝10表示的意义是 A.经过4 s后物体向前走了10 m B.物体在前4 s内的平均速度为10 m/s C.物体在第4 s内向前走了10 m D.物体在第4 s时的瞬时速度为10 m/s √ 因为物体做直线运动的方程为S＝S(t)，根据导数的物理意义可知，S(t)函数的导数是t时刻的瞬时速度，所以S'(4)＝10表示的意义是物体在第4 s时的瞬时速度为10 m/s.故选D. 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 5.若f'(x0)＝－3，则 等于 A.－3 B.－6 C.－9 D.－12 √ ＝4＝4f'(x0)＝4×＝－12.故选D. 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 6.(多选题)设f(x)在x0处可导，下列式子中与f'(x0)相等的是 A. B. C. D. √ √ 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 对于A，＝＝f'(x0)，故A满足；对于B，＝2＝2f'(x0)，故B不满足；对于C，＝f'(x0)，故C满足；对于D，＝3＝3f'(x0)，故D不满足.故选AC. 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 7.设函数f(x)＝ax＋3，若f'(1)＝3，则a＝_____. 3 因为f'(1)＝＝＝a.又f'(1)＝3，所以a＝3. 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 5 3 1 2 8.函数y＝f(x)＝2x2＋4x在x＝3处的导数为_______. 16 因为Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)＝2(Δx)2＋16Δx，所以＝＝2Δx＋16，故f'(3)＝＝ (2Δx＋16)＝16. 6 7 8 4 5 3 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 9.已知函数y＝f(x)＝2x2＋1在x＝x0处的导数为－8，则f(x0)＝______. 9 由题知＝＝ (2Δx＋4x0)＝4x0＝ －8，得x0＝－2，所以f(x0)＝f(－2)＝2×(－2)2＋1＝9. 9 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 1 2 10.(13分)一条水管中流过的水量y(单位：m3)与时间t(单位：s)之间的函数关系为y＝f(t)＝3t.求函数y＝f(t)在t＝2处的导数f'(2)，并解释它的实际 意义. 解：因为＝＝＝3， 所以f'(2)＝＝3. f'(2)的实际意义：水流在t＝2时的瞬时流速为3 m3/s. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 11.若函数f(x)可导，则等于 A.－2f'(1) B.f'(1) C.－f'(1) D.f' √ ＝－＝－f'(1).故选C. 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 9 1 2 12.(多选题)设函数f(x)在x＝2处的导数存在，则－f'(2)＝ A. B. C. D. √ √ 因为函数f(x)在x＝2处的导数存在，所以＝－＝－f'(2)，故B正确；又因为＝－＝－f'(2)，所以C正确.故选BC. 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 13.(双空题)在受到制动后的t s内飞轮转过的角度(单位：rad)满足函数φ(t)＝4t－0.3t2.则 (1)当t＝2 s时，飞轮转过的角度为______ rad； 6.8 当t＝2 s时，飞轮转过的角度φ(2)＝8－1.2＝6.8(rad). 12 13 11 10 8 6 7 4 5 3 9 14 15 16 1 2 (2)飞轮停止旋转的时刻为_____ s. φ'(t)＝ ＝ ＝＝ (4－0.3Δt－0.6t)＝4－0.6t， 飞轮停止旋转时，瞬时角速度为0.所以令4－0.6t＝0，得t＝， 所以在t＝ s时，飞轮停止旋转. 12 13 11 10 8 6 7 4 5 3 9 14 15 16 1 2 14.(15分)已知某产品的总成本函数为C＝Q2＋2Q(单位：元)，其中Q为产量，总成本函数在Q0处的导数称为在Q0处的边际成本，用MC(Q0)表示.求边际成本MC(500)，并说明它的实际意义. 解：设Q＝500时，产量的改变量为ΔQ， ＝ ＝ΔQ＋1 002， 则MC(500)＝(ΔQ＋1 002)＝1 002， 即产量为500时的边际成本为1 002， 其实际意义是：此时多生产1单位产品，成本要增加1 002元. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 15.(5分)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，f'(0)＞0，且对于任意实数x，有f(x)≥0，则的最小值为_______. 2 由导数的定义，得f'(0)＝＝＝(aΔx＋b)＝b＞0.又所以ac≥，所以c＞0.所以＝≥≥＝2，当且仅当a＝c＝时等号成立.所以的最小值为2. 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 16.(17分)(新角度)已知函数f(x)＝x(x＋1)(x＋2)…(x＋2 024)，求其在x＝0处的导数.(注：1×2×3×…×n＝n！(n∈N＋)). 解：Δy＝f(0＋Δx)－f(0)＝Δx(Δx＋1)(Δx＋2)…(Δx＋2 024)， ＝＝(Δx＋1)(Δx＋2)…(Δx＋2 024)， f'(0)＝(Δx＋1)(Δx＋2)…(Δx＋2 024)＝1×2×3×…×2 024＝2 024！. 返回 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 谢 谢 观 看 2.1　导数的概念 返回 $