1.3.1 第1课时 等比数列的概念及其通项公式-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（北师大版）

第1课时　等比数列的概念及其通项公式 　 第一章　§3　3.1　等比数列的概念及其通项公式 学习目标 1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念并掌握等比数列的判定方法，培养数学抽象、逻辑推理的核心素养.　 2.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程.　 3.能解决与等比数列的通项公式有关的问题，提升数学运算的核心素养. 内容索引 任务一　等比数列的概念 1 任务二　等比数列的通项公式 2 任务三　等比数列的判定与证明 3 课时分层评价 5 随堂评价 4 任务一　等比数列的概念 返回 问题1.观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题. (1)我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何？”构成数列：9，92，93，94，95，96，97，98； (2)《庄子·杂篇·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，这句话中隐藏着一列数： ，，，，，…； 问题导思 (3)－的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂……，依次排成一列数：－，，－，，…. 类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？ 提示：我们可以通过除法运算探究以上数列的取值规律.对于(1)，我们发现＝9，＝9，＝9，…，也就是说从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于9；对于(2)，＝，…；对于(3)，＝－，…；也有相同的取值规律(从第2项开始，后一项与它的前一项的比都等于同一个常数). 等比数列的定义 新知构建 文字 语言 从第___项起，每一项与它的前一项的比值都是____________，这样的数列就叫作等比数列 符号 语言 若_____________________________，则数列{an}为等比数列 2 同一个常数 ＝q(n≥2，n∈N＋，q≠0) (1)等比数列定义的符号语言也可以表示为：＝q(q为常数且q≠0，n∈N＋).(2)定义中“比值是同一个常数”，不能理解成“比值是一个常数”.(3)公比可以是正数，也可以是负数，但是不能为0. 微提醒 (链教材P23例1)判断下列数列是否是等比数列，如果是，写出它的公比. (1)1，，，，，…； 解：不是等比数列； (2)10，10，10，10，10，…； 解：是等比数列，公比为1； (3)，，，，…； 解：是等比数列，公比为； (4)1，0，1，0，1，0，…； 解：不是等比数列； (5)1，－4，16，－64，256，…. 解：是等比数列，公比为－4. 典例 1 等比数列定义的理解 1.由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能为零，因此q也不可能为零. 2.要判定一个数列是否为等比数列，只需看的值是否为不为零的同一个常数，要注意分子、分母次序不能颠倒. 规律方法 对点练1.(1)(多选题)下列各组数成等比数列的是 A.1，－2，4，－8 B.－，2，－2，4 C.x，x2，x3，x4 D.a－1，a－2，a－3，a－4 √ √ √ 对于A，由＝＝＝－2，得数列是以－2为公比的等比数列；对于B，由＝＝＝－，得数列是以－为公比的等比数列；对于C，当x＝0时，不是等比数列；对于D，由＝＝＝a－1，得数列是以a－1为公比的等比数列.故选ABD. (2)以下数列中是等比数列的有_______.(填序号) ①数列1，2，6，18，…； ②数列{an}中，已知＝2，＝2； ③常数列a，a，a，…，a，…； ④数列{an}中，＝q(q≠0). ④ 在数列①中，≠，所以①不是等比数列；在数列②中，不一定都满足＝2；在数列③中，a若为0，则不是等比数列；④中数列是等比 数列. 返回 任务二　等比数列的通项公式 返回 问题2.类比等差数列，你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？ 提示：设一个等比数列的首项是a1，公比是q，则由定义可知＝q(n∈N＋且n≥2). 法一：an＝××…×××a1＝q×q×…×q×q×a1＝a1，当n＝1时，上式也成立. 法二：a2＝a1q，a3＝a2q＝(a1q)q＝a1q2，a4＝a3q＝(a1q2)q＝a1q3，…，由此可得an＝a1，当n＝1时，上式也成立. 问题导思 等比数列的通项公式 若首项是a1，公比是q，则等比数列{an}的通项公式为an＝_______(a1≠0， q≠0). 新知构建 a1 (1)用函数的观点看等比数列的通项：等比数列{an}的图象是函数y＝·qx的图象上的一群孤立的点.(2)等比数列通项公式的变形：an＝am(m，n∈N＋). 微提醒 (链教材P24例2)在等比数列{an}中： (1)已知a2＝4，a5＝－，求an； 解：法一：设等比数列的公比为q， 则 所以an＝a1＝(－8)×＝. 法二：设等比数列的公比为q，则＝q3， 即q3＝－，解得q＝－. 所以an＝a5＝×＝. 典例 2 (2)已知a5－a1＝15，a4－a2＝6，an＝64，求n； 解：根据题意，有 易知q≠±1，方程两边分别相除，得＝. 整理得2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝. 当q＝2时，a1＝1；当q＝时，a1＝－16(此时an＜0，舍去). 由an＝a1＝64，得2n－1＝64，解得n＝7. (3)(2023·全国乙卷改编)a2a4a5＝a3a6，a9a10＝－8，求a7. 解：设{an}的公比为q(q≠0)，则a2a4a5＝a3a6＝a2q·a5q，显然an≠0，则a4＝q2，即a1q3＝q2，则a1q＝1，因为a9a10＝－8，则a1q8·a1q9＝－8，则q15＝(q5)3＝－8＝(－2)3，则q5＝－2，则a7＝a1q·q5＝q5＝－2. 变式探究 (变条件，变设问)本例(1)若改为等比数列{an}中，已知a2＝18，a4＝8，求q与a5. 解：由已知得 解得 所以q＝±，a5＝a4q＝±. 关于等比数列基本量的运算 1.公式法：等比数列的通项公式an＝a1·中有四个量a1，q，n，an，根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法.一般来说，涉及列出方程组的问题，大多采用两式相比，消掉首项a1. 2.整体代换法：充分利用各项之间的关系，直接求出q或qn整体后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算. [占领思想高点]　基本量的计算主要是方程思想的应用，根据已知条件列出方程或者方程组，通过解方程或者方程组求出基本量，在解题中注意准确运用公式，注意公式运用的合理性和准确性. 规律方法 对点练2.在等比数列{an}中： (1)已知a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝，求n； 解：设等比数列{an}的公比为q. 由得q＝. 再由a3＋a6＝a3·(1＋q3)＝36得a3＝32， 则an＝a3·＝32×＝，又an＝，所以n－8＝1，所以n＝9. (2)已知a5＝8，a7＝2，an＞0，求an. 解：设等比数列{an}的公比为q. 由a7＝a5·q2得q2＝. 因为an＞0，所以q＝， 所以an＝a5·＝8×＝. 返回 任务三　等比数列的判定与证明 返回 已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋n－1. (1)求证：数列{an＋n}为等比数列； 解：证明：因为an＋1＝2an＋n－1， 所以an＋1＋(n＋1)＝2an＋(n－1)＋(n＋1)， 即an＋1＋(n＋1)＝2(an＋n). 因为an＋n≠0， 所以＝2，且a1＋1＝2， 所以数列{an＋n}是首项为2，公比为2的等比数列. 典例 3 (2)求数列{an}的通项公式. 解：由(1)知an＋n＝2·2n－1＝2n， 所以an＝2n－n. 变式探究 (变条件，变设问)本例已知变为：a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，求证：数列{an－n}是等比数列. 证明：由an＋1＝4an－3n＋1， 得an＋1－(n＋1)＝4(an－n)， 又a1－1＝1≠0，所以an－n≠0， 所以＝4， 所以数列{an－n}是首项为1，公比为4的等比数列. 判断或证明数列为等比数列的常用方法 1.定义法：＝q(q为常数且q≠0)等价于数列{an}是等比数列. 2.通项公式法：an＝a1(a1≠0且q≠0)等价于数列{an}是等比数列. 规律方法 对点练3.已知数列{an}满足a1＝1，2nan＋1＝(n＋1)an，设bn＝. (1)求b1，b2，b3； 解：因为数列{an}满足a1＝1， 2nan＋1＝(n＋1)an，可得a2＝1，a3＝. 又因为bn＝，可得b1＝＝1，b2＝＝， b3＝＝. (2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由； 解：数列{bn}为等比数列.理由如下：由数列{an}满足a1＝1，且2nan＋1＝(n＋1)an， 可得＝×. 又因为bn＝，可得bn＋1＝bn. 因为b1＝1，所以数列{bn}是以1为首项，为公比的等比数列. (3)求{an}的通项公式. 解：由(2)得bn＝1×＝. 因为bn＝，可得an＝nbn＝. 所以{an}的通项公式为an＝. 返回 课堂小结 任务 再现 1.等比数列的概念及判断.2.等比数列的通项公式.3.利用定义判断或证明一个数列是等比数列 方法 提炼 方程(组)思想、构造法、整体代换法、定义法、通项公式法 易错 警示 未考虑首项的非零及比值为非零常数 随堂评价 返回 1.正项等比数列{an}满足a1＝2，a3＝8，则其通项公式an＝ A.2n－1 B.2n C.2n＋1 D.2n＋2 √ 因为{an}是正项等比数列，所以q＞0，又因为a1＝2，a3＝8，所以q2＝＝4，故q＝2，所以an＝a1＝2×2n－1＝2n.故选B. 2.若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为 A.4 B.8 C.6 D.32 √ 由等比数列的通项公式得，128＝4×2n－1，即2n－1＝32，所以n＝6.故 选C. 3.(多选题)下列说法正确的有 A.等比数列中的项不能为0 B.等比数列的公比的取值范围是R C.若一个常数列是等比数列，则公比为1 D.22，42，62，82，…成等比数列 √ √ A显然正确；等比数列的公比不能为0，故B错误；C显然正确；由于≠，故不是等比数列，所以D错误.故选AC. 4.等比数列x，3x＋3，6x＋6，…的第4项为_______. －24 由x，3x＋3，6x＋6成等比数列，得＝＝2，所以x＝－3.所以第4项为－3×23＝－24. 返回 课时分层评价 返回 1.在等比数列{an}中，a4＝4，则a2·a6等于 A.4 B.8 C.16 D.32 √ 因为a4＝a1q3＝4，所以a2·a6＝a1q·a1q5＝q6＝(a1q3)2＝42＝16.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.设{an}是等比数列，且a1＋a2＝1，a2＋a3＝2，则a4＋a5＝ A.4 B.8 C.16 D.32 √ 由题意可得，故a4＋a5＝a1q3(1＋q)＝×23×3＝8.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.在数列{an}中，若an＋1＝3an，a1＝2，则a4等于 A.108 B.54 C.36 D.18 √ 因为an＋1＝3an且an≠0，所以数列{an}是公比为3的等比数列，则a4＝33a1＝54.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知a，b，c∈R，如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么 A.b＝3，ac＝9 B.b＝3，ac＝－9 C.b＝－3，ac＝9 D.b＝－3，ac＝－9 √ 因为＝，即b2＝(－1)×(－9)＝9且b与首项－1同号，所以b＝－3，且a，c必同号，所以由＝得ac＝b2＝9.故选C. 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 5.(新角度)音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的，得到“商”；…….依次损益交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶.据此可推得 A.“宫、商、角”的频率成等比数列 B.“宫、徵、商”的频率成等比数列 C.“商、羽、角”的频率成等比数列 D.“徵、商、羽”的频率成等比数列 √ 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 设“宫”的频率为a，由题意经过一次“损”，可得“徵”的频率为a，“徵”经过一次“益”，可得“商”的频率为a，“商”经过一次“损”，可得“羽”的频率为a，最后“羽”经过一次“益”，可得“角”的频率是a，由于a，a，a成等比数列，所以“宫、商、角”的频率成等比数列.故选A. 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 6.(多选题)已知数列{an}是等比数列，下列结论正确的有 A.若a2 025＞0，则a1a2＞0 B.若a1a2＞0，则a2a3＞0 C.若a2＞a1＞0，则a1＋a3＞2a2 D.若a1a2＜0，则＜0 √ √ 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 设等比数列{an}的公比为q，对于A，a2 025＝a1＞0，有q＞0或q＜0，当q＜0时，a1a2＝q＜0，故A不正确；对于B，a1a2＝q＞0，即q＞0，则a2a3＝q3＞0，故B正确；对于C，由a2＞a1＞0，即a1q＞a1＞0，得a1＞0，q＞1，则a1＋a3－2a2＝a1(1－q)2＞0，故C正确；对于D，因为a1a2＜0，则q＜0，(a2－a1)(a2－a3)＝a1(q－1)·a2(1－q)＝－a1a2(q－1)2＞0，故D不正确.故选BC. 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 7.(易错题)在等比数列a，2a＋2，3a＋3，…中，a＝______. －4 由＝，得＝a，解得a＝－4或a＝－1，当a＝－1时，2a＋2＝0，3a＋3＝0，不满足条件.当a＝－4时，等比数列为 －4，－6，－9，…，满足条件. 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 5 3 1 2 8.(开放题)等比数列{an}满足如下条件：①a1＞0；②{an}单调递增，试写出满足上述所有条件的数列的一个通项公式an＝______________. 2n(答案不唯一) 满足题述所有条件的数列的一个通项公式an＝2n. 6 7 8 4 5 3 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 9.(开放题)已知数列{an}是首项为负数，公比为q的等比数列，若对任意的正整数n，2a2n－1＋a2n＞0恒成立，则q的值可以是_____________________ _________.(只需写出一个) －3(答案不唯一，q＜ 由2a2n－1＋a2n＞0可得，2a1q2n－2＋a1q2n－1＝a1q2n－2(2＋q)＞0恒成立，因为q≠0，显然有q2n－2＝()2＞0，又a1＜0，所以q＋2＜0，q＜－2，q可以是－3. －2即可) 9 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 1 2 10.(13分)已知数列{an}，{bn}满足：a1＝1，b1＝0，4bn＋1＝an＋4＋3bn，4an＋1 ＝3an＋4＋bn，证明数列{an＋bn}是等差数列，数列{an－bn}为等比数列. 证明：将4an＋1＝3an＋4＋bn，4bn＋1＝an＋4＋3bn两式相加得 4(an＋1＋bn＋1)＝4(an＋bn)＋8， 所以(an＋1＋bn＋1)－(an＋bn)＝2， 所以数列{an＋bn}是以2为公差的等差数列. 将4an＋1＝3an＋4＋bn，4bn＋1＝an＋4＋3bn两式相减得4(an＋1－bn＋1)＝2(an－bn). 因为a1－b1＝1≠0， 所以an－bn≠0，＝， 所以数列{an－bn}是以为公比的等比数列. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 11.等比数列{an}的公比｜q｜＞1，{an}中有连续四项在集合{－54，－24，－18，36，81}中，则q等于 A.－ B. C.－ D. √ 因为{an}中的项必然有正有负，所以q＜0.又｜q｜＞1，所以q＜－1.由此可得{an}的连续四项为－24，36，－54，81.所以q＝－.故选C. 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 9 1 2 12.(多选题)若数列{an}对任意n≥2(n∈N＋)满足(an－an－1－1)(an－2an－1)＝0，则下列关于数列{an}的命题正确的是 A.{an}可以是等差数列 B.{an}可以是等比数列 C.{an}可以既是等差又是等比数列 D.{an}可以既不是等差又不是等比数列 √ √ √ 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 因为＝0，故可得an＝an－1＋1或an＝ 2an－1；若an＝an－1＋1，则数列{an}是等差数列；若an＝2an－1，且an≠0，则数列{an}是等比数列；若an＝2an－1，且an＝0，则数列{an}是等差数列；故A、B正确；由＝0，得不出数列{an}是非零常数列，故不可以既是等差又是等比数列，故C错误；数列{an}可以既不是等差数列又不是等比数列，例如：0，1，2，4，8，16，32，…，满足题意，故D正确.故选ABD. 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 13.如下表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a＋b＋c的值为_____. 1   2     0.5   1         a           b           c 1 12 13 11 10 8 6 7 4 5 3 9 14 15 16 1 2 因为每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，所以根据第三列，得＝，即2×a＝12，可得a＝.在第一列中，公比q＝，第3个数为＝，第4个数为＝，第三列中，公比q＝，第4个数为2×＝，所以第四行中的公差d＝×＝，所以第四行中第4个数b＝＋＝，同理c＝，所以a＋b＋c＝＋＋＝1. 1   2     0.5   1         a           b           c 12 13 11 10 8 6 7 4 5 3 9 14 15 16 1 2 14.(15分)(新设问)在“①a3＝5，a2＋a5＝6b2；②b2＝2，a3＋a4＝3b3；③S3＝9，a4＋a5＝8b2”这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答. 已知等差数列{an}的公差为d(d＞1)，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，且a1＝b1，d＝q，__________，求数列{an}，{bn}的通项公式. 解：选条件①： 因为a3＝5，所以a1＋2d＝5， 因为a2＋a5＝6b2，a1＝b1，d＝q， 所以2a1＋5d＝6a1d， 联立 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 解得(舍去)， 则a1＝b1＝1，d＝q＝2， 故an＝a1＋(n－1)d＝2n－1， bn＝b1＝2n－1. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 选条件②： 因为b2＝2，a1＝b1，d＝q，所以a1d＝2， 因为a3＋a4＝3b3，所以2a1＋5d＝3a1d2， 联立 解得(舍去)， 则a1＝b1＝1，d＝q＝2， 故an＝a1＋(n－1)d＝2n－1， bn＝b1＝2n－1. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 选条件③： 因为S3＝9，所以3a1＋3d＝9， 因为a4＋a5＝8b2，a1＝b1，d＝q， 所以2a1＋7d＝8a1d， 联立 解得(舍去)， 则a1＝b1＝1，d＝q＝2， 故an＝a1＋(n－1)d＝2n－1， bn＝b1＝2n－1. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 15.(5分)(多选题)在数列{an}中，如果对任意n∈N＋都有＝k(k为常数)，则称{an}为等差比数列，k称为公差比，下列说法正确的是 A.等比数列一定是等差比数列 B.等差比数列的公差比一定不为0 C.若an＝－3n＋2，则数列{an}是等差比数列 D.若等差数列是等差比数列，则其公差比可能为2 √ √ 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 对于数列{an}，考虑an＝1，则an＋1＝1，＝1，无意义，故A错误；若等差比数列的公差比为0，＝0，则－an＋1＝0，则在中分母为0，无意义，故公差比一定不为0，故B正确；若an＝－3n＋2，＝＝＝3，数列{an}是等差比数列，故C正确；若等差数列是等差比数列，对于an＝a1＋(n－1)d，则－an＋1＝d，an＋1－an＝d，d≠0，＝＝1，故D错误.故选BC. 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 16.(17分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝，S4＝2a3＋a5，等比数列{bn}各项均为正数，b1＝，2b2＋b3＝b4. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； 解：设等差数列{an}的公差为d，由a2＝，可得a1＋d＝　①， 由S4＝2a3＋a5，可得a1－2d＝0　②， 由①②得a1＝1，d＝，故an＝1＋(n－1)×＝n＋. 设等比数列{bn}的公比为q，由2b2＋b3＝b4，可得2q＋q2＝q3，故q＝2，bn＝2n－3. 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 (2)求使得bn＞2an的n的最小值. 解：若bn＞2an，即2n－3＞2×＝n＋1， 当n＝1时，＜2，当n＝2时，＜3，当n＝3时，1＜4，当n＝4时，2＜5，当n＝5时，4＜6，当n＝6时，8＞7，所以n的最小值为6. 返回 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 谢 谢 观 看 第1课时　等比数列的概念及其通项公式 返回 $