1.2.1 第2课时 等差数列的性质及实际应用-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（北师大版）

第2课时　等差数列的性质及实际应用 　 第一章　§2　2.1　等差数列的概念及其通项公式 学习目标 1.了解等差中项的概念，并能用等差中项解决问题，培养数学抽象的核心素养.　 2.能从函数的角度研究等差数列，能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质，提升逻辑推理的核心素养.　 3.能运用等差数列的性质解决简单的实际问题，提升数学运算的核心素养. 内容索引 任务一　等差数列与一次函数的关系 1 任务二　等差中项 2 任务三　等差数列的性质 3 课时分层评价 6 任务四　综合应用 4 随堂评价 5 任务一　等差数列与一次函数的关系 返回 问题1.我们已经了解到数列是一种特殊的函数，根据等差数列的通项公式，你认为它与哪一类函数有关？ 提示：一次函数.由于an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，故an是函数f(x)＝dx＋(a1－d)当x＝n时的函数值，即an＝f(n)，点(n，an)则是函数f(x)＝dx＋(a1－d)图象上的均匀分布的孤立的点，而d是直线f(x)＝dx＋(a1－d)的斜率. 问题导思 1.等差数列的函数特征 对于an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，可将an记作f(n)，它是定义在____________________上的函数.其图象是直线y＝dx＋(a1－d)上的一些________的点，这些点的横坐标是________，其中_______是该直线的斜率，即自变量每增加1，函数值增加___. 新知构建 正整数集(或其子集) 等间隔 正整数 公差d d 2.等差数列的增减性 对于an＝dn＋(a1－d)， (1)当d＞0时，数列{an}为______数列，如图①所示； (2)当d＜0时，数列{an}为______数列，如图②所示； (3)当d＝0时，数列{an}为____数列，如图③所示. 递增 递减 常 (1)等差数列的图象是直线y＝dx＋(a1－d)上均匀分布的一群孤立的点.(2)通项法判定等差数列：当d≠0时，an为n的一次函数⇔{an}为等差数列. 微提醒 已知等差数列{an}的通项公式为an＝3n＋1. (1)求首项a1和公差d，并作出它的图象； 解：因为an＝3n＋1， 所以a1＝3＋1＝4，a2＝3×2＋1＝7，d＝a2－a1＝3. 数列{an}的图象是直线y＝3x＋1上一些等间隔的点，如图所示： 典例 1 (2)判断数列{an}的增减性. 解：由(1)知d＞0，所以数列{an}是递增数列. 利用一次函数的性质解答等差数列问题的思路 1.等差数列的图象是同一条直线上的一系列孤立的点，因此涉及到等差数列中的项、等差数列的公差及数列的增减性的问题，利用多点共线可快速求解. 2.若a，b，c成等差数列，公差为d(d≠0)，且(a，l)，(b，m)，(c，n)三点共线，则＝＝k(k为常数)，所以m－l＝n－m＝kd，那么l，m，n成等差数列.反之，若a，b，c和l，m，n两组数都成等差数列，则(a，l)，(b，m)，(c，n)三点必共线. 规律方法 对点练1.(多选题)下列判断正确的是 A.等差数列{an}中，a3＝4，a4＝2，则数列{an}是递增数列 B.若an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N＋)，则数列{an}是等差数列 C.等差数列的公差相当于图象法表示数列时直线的斜率 D.若数列{an}是等差数列，且an＝kn2－n，则k＝0 √ √ √ 对于A，公差d＝a4－a3＝－2＜0，所以数列{an}是递减数列；因为等差数列的通项公式是关于n的一次函数，公差是一次函数图象的斜率，所以B、C、D均正确.故选BCD. 返回 任务二　等差中项 返回 问题2.某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径为40 mm，满盘时直径为100 mm.已知卫生纸的厚度为0.2 mm，将绕在盘上的卫生纸近似地看作是一组同心圆，则从最内层到最外层卫生纸所在圆的半径分别为 20.2 mm，20.4 mm，20.6 mm，20.8 mm，21.0 mm，…，50.0 mm.观察上面这个数列，其任意连续三项之间有什么样的关系？ 提示：前一项与后一项的和是中间项的2倍. 问题导思 　　如果在a与b之间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫作a与b的__________.如果A是a与b的等差中项，那么A－a＝b－A，所以A＝ _______.显然，在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项. 新知构建 等差中项 (1)任意两个实数都有等差中项，且唯一.(2)等差中项的几何意义是两个实数的平均数，即A＝. 微提醒 若m和2n的等差中项为4，2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项. 解：由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8. 又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10. 两式相加，得3m＋3n＝18，即m＋n＝6. 所以m和n的等差中项为＝3. 典例 2 等差中项的常见结论 在等差数列{an}中： 1.an是an－1与an＋1(n≥2，n∈N＋)的等差中项，即an＝(n≥2， n∈N＋). 2.当m＋n＝2p(m，n，p∈N＋)时，ap是am与an的等差中项. 规律方法 对点练2.在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列. 解：因为－1，a，b，c，7成等差数列， 所以b是－1与7的等差中项，所以b＝＝3. 又a是－1与3的等差中项，所以a＝＝1. 又c是3与7的等差中项，所以c＝＝5. 所以该数列为－1，1，3，5，7. 返回 任务三　等差数列的性质 返回 问题3.已知an，am是等差数列{an}中的任意两项，你能利用通项公式建立两者之间的关系吗？ 提示：由an＝a1＋(n－1)d，am＝a1＋(m－1)d两式相减得an－am＝(n－m)d，即an＝am＋(n－m)d. 问题4.在等差数列{an}中，如果p＋q＝m＋n(m，n，p，q∈N＋)，那么ap＋aq与am＋an有何数量关系？ 提示：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则ap＝a1＋(p－1)d，aq＝a1＋(q－1)d，am＝a1＋(m－1)d，an＝a1＋(n－1)d，所以ap＋aq＝2a1＋(p＋q－2)d，am＋an＝2a1＋(m＋n－2)d，因为p＋q＝m＋n，所以ap＋aq＝am＋an. 问题导思 等差数列的性质 1.如果{an}是等差数列，而且正整数s，t，p，q满足s＋t＝p＋q，则as＋at＝ap＋aq. (1)特别地，当p＋q＝2s时，ap＋aq＝2as；此时，as为ap，aq的等差中项； (2)对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋＝…. 新知构建 2.若{an}是公差为d的等差数列，则 (1){c＋an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列； (2){can}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列； (3){an＋}(k为常数，k∈N＋)是公差为2d的等差数列； (4)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列. (1)推广：若m＋n＋p＝x＋y＋z，则am＋an＋ap＝ax＋ay＋az.(2)由am＋an＝ap＋aq不能得到m＋n＝p＋q，如常数列. 微提醒 (1)已知等差数列{an}，{bn}的公差分别为d1＝2，d2＝1，则数列{2an－3bn}的公差为 A.7 B.5 C.3 D.1 √ 典例 3 因为{an}，{bn}为等差数列，所以数列{2an－3bn}的公差d＝(2an＋1－ 3bn＋1)－(2an－3bn)＝2(an＋1－an)－3(bn＋1－bn)＝2d1－3d2＝1.故选D. (2)①若{an}为等差数列，且a12＝8，a48＝20，求a60； 解：法一：由已知条件， 得a12＝a1＋11d＝8，a48＝a1＋47d＝20. 由上述两式解得a1＝，d＝， 故a60＝a1＋59d＝＋59×＝24. 法二：因为{an}为等差数列， 所以a12，a24，a36，a48，a60也成等差数列. 设新的等差数列的公差为d1，则a48＝a12＋3d1＝8＋3d1＝20， 解得d1＝4，故a60＝a48＋d1＝24. ②若{an}为等差数列，且a1－a3＋a9－a15＋a17＝117，求a3＋a15的值. 解：因为{an}是等差数列， 所以a1＋a17＝a3＋a15＝2a9. 又因为a1－a3＋a9－a15＋a17＝117，所以a9＝117， 所以a3＋a15＝2a9＝234. 变式探究 (变条件，变设问)本例(2)②若改为等差数列{an}中，首项a1＝0，公差d≠0.若ak＝a1＋a2＋a3＋…＋a7，试求k的值. 解：因为数列{an}为等差数列，首项a1＝0，公差d≠0， 所以ak＝a1＋(k－1)d＝a1＋a2＋a3＋…＋a7＝7a4＝21d，解得k＝22. 等差数列运算的两种常用思路 1.根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量. 2.灵活运用等差数列的性质. 规律方法 对点练3.已知数列{an}为等差数列，且公差为d. (1)若a15＝8，a60＝20，求a105的值； 解：法一：由题意得 故a105＝a1＋104d＝＋104×＝32. 法二：因为{an}为等差数列，所以d＝＝. 所以a105＝a60＋45×＝32. 法三：因为{an}为等差数列，所以a15，a60，a105也成等差数列，则2a60＝a15＋a105， 所以a105＝2×20－8＝32. (2)若a2＋a3＋a8＋a9＝36，a3·a8＝56，求公差d. 解：由a2＋a3＋a8＋a9＝36，得2(a3＋a8)＝36， 所以a3＋a8＝18.由 解得 所以d＝＝＝2， 或d＝＝＝－2. 综上，公差d为2或－2. 返回 任务四　综合应用 返回 应用1　等差数列的公共项问题 等差数列{an}：2，5，8，…与等差数列{bn}：1，5，9，…均为40项，求它们的公共项构成的数列{cn}的通项公式. 解：法一(观察归纳法)：{an}：2，5，8，…的公差为3；{bn}：1，5，9，…的公差为4； 观察归纳可知它们的相同项是以5为首项，12为公差(3，4的最小公倍数)的等差数列， 所以cn＝5＋12(n－1)＝12n－7，a40＝119，b40＝157，cn≤119⇒n≤10， 所以{cn}的通项公式为cn＝12n－7(n≤10且n∈N＋). 典例 4 法二(引入参变量法)：an＝3n－1(n≤40且n∈N＋)；bm＝4m－3(m≤40且m∈N＋)； 令an＝bm⇔3n＝2(2m－1)，2m－1必为3的倍数(或n必为2的倍数)，设2m－1＝3k(因为左边为奇数，k必为奇数)，再设k＝2t－1，则m＝3t－1，n＝4t－2(引入参变量t)，⇒⇒≤t≤10，即t＝1，2，3，…，10. ct＝a4t－2＝b3t－1＝12t－7(t≤10且t∈N＋)， 即cn＝12n－7(n≤10且n∈N＋). 求解两个等差数列公共项的方法 1.观察归纳法：通过观察归纳得到公共项的首项和公差，进而可得出公共项的通项公式，然后用通项公式求解. 2.引入参变量法：(1)分别写出两个等差数列的通项公式(变量分别用m，n表示)； (2)由两个通项相等得到m，n之间的关系式； (3)由m，n的关系式得到m或n的特点(如是2的倍数，3的倍数)； (4)依据m或n的特点引入参变量k； (5)依据k的特点再引入参变量求解. 规律方法 对点练4.已知一个等差数列的首项是8，公差是3，另一个等差数列的首项是12，公差是4，这两个数列有公共项吗？如果有，求出最小的公共项，并指出它分别是原等差数列的第几项？ 解：设an＝8＋3(n－1)＝5＋3n，bm＝12＋4(m－1)＝8＋4m，n，m∈N＋. 令an＝bm，即5＋3n＝8＋4m，则3(n－1)＝4m， 所以n＝4k＋1，m＝3k(k∈N＋). 公共项ck＝an＝5＋3n＝12k＋8，k∈N＋， 当k＝1时，c1＝20，令an＝5＋3n＝20，则n＝5， 令bm＝8＋4m＝20，则m＝3， 所以这两个数列有公共项，最小公共项为20，其是首项为8，公差为3的等差数列的第5项；是首项为12，公差为4的等差数列的第3项. 应用2　等差数列的实际应用 某公司经销一种数码产品，第一年可获利200万元，从第二年起由于市场竞争方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？ 解：设从第一年起，第n年的利润为an万元， 则a1＝200，an＋1－an＝－20(n∈N＋)， 所以每年的利润构成一个等差数列{an}， 从而an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20)＝220－20n. 若an＜0，则该公司经销这一产品将亏损. 所以由an＝220－20n＜0，得n＞11， 即从第12年起，该公司经销此产品将亏损. 典例 5 解决等差数列实际问题的基本步骤 注意：在解决与等差数列有关的实际问题时，一定要弄清首项、项数等关键量. 规律方法 对点练5.在通常情况下，从地面到10 km高空，高度每增加1 km，气温就下降某一个固定数值.如果1 km高度的气温是8.5 ℃，5 km高度的气温是 －17.5 ℃，求2 km，4 km，8 km高度的气温. 解：由题意可知，自下而上各高度气温组成等差数列，记为{an}，公差为d， 则a1＝8.5，a5＝－17.5. 由a5＝a1＋4d＝8.5＋4d＝－17.5， 解得d＝－6.5， 所以an＝15－6.5n(1≤n≤10，n∈N＋). 所以a2＝2，a4＝－11，a8＝－37， 即2 km，4 km，8 km高度的气温分别为2 ℃，－11 ℃，－37 ℃. 返回 课堂小结 任务 再现 1.等差数列与一次函数的关系.2.等差中项.3.等差数列的性质.4.等差数列的实际应用 方法 提炼 函数法、列方程组法、转化法、整体代换法 易错 警示 对等差数列的性质不理解而致错；不注意运用性质而出错或解法繁琐 随堂评价 返回 1.若a＝，b＝，则a，b的等差中项为 A. B. C. D. √ 由题意知a，b的等差中项为＋)＝－＋＋)＝.故选A. 2.(多选题)已知各项均为正数的等差数列{an}单调递增，且a5＝2，则 A.公差d的取值范围是 B.2a7＝a9＋2 C.a8＋a4＞a6＋a5 D.a1＋a9＝4 √ √ √ 由题意得d＞0，a1＞0，a5＝2，所以a1＝2－4d＞0，解得d＜，所以d∈，故A错误；由2a7－a9＝(a5＋a9)－a9＝a5＝2，故B正确；由a8＋a4－(a6＋a5)＝a8－a6－(a5－a4)＝2d－d＝d＞0，故a8＋a4＞a6＋a5，故C正确；由等差数列性质，a1＋a9＝2a5＝4，故D正确.故选BCD. 3.有两个等差数列2，6，10，…，190和2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的项数为 A.15 B.16 C.17 D.18 √ 由题意知，第一个数列的公差为4，第二个数列的公差为6，故新数列的公差为具有相同首项的两个数列公差的最小公倍数，其公差为12，首项为2，所以通项公式为an＝12n－10，所以12n－10≤190，解得n≤，而n∈N＋，所以n的最大值为16.故选B. 4.诺沃尔(Knowall)在1740年发现了一颗彗星，并推算出在1823年、1906年、1989年……人类都可以看到这颗彗星，即彗星每隔83年出现一次.从发现那次算起，彗星第10次出现的年份是_______. 2487 由题意可知，彗星出现的年份构成一个公差为d＝83，首项为a1＝1 740的等差数列，所以an＝a1＋(n－1)d＝1 740＋83(n－1)＝83n＋1 657，当n＝10时，a10＝83×10＋1 657＝2 487，所以彗星第10次出现的年份是2487. 返回 课时分层评价 返回 1.已知数列1，a，5是等差数列，则实数a的值为 A.2 B.3 C.4 D. √ 由等差中项的定义知2a＝1＋5＝6，所以a＝3.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.等差数列{an}中，am＋n＝α，am－n＝β，则其公差d的值为 A. B. C. D. √ d＝＝.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.在数列{an}中，已知an＋1－an＝an＋2－an＋1，a1 013＝1，则该数列中a1＋a2 025等于 A.1 B.2 C.3 D.4 √ 因为an＋1－an＝－an＋1，所以2an＋1＝an＋an＋2，所以{an}为等差数列，因为a1 013＝1，所以a1＋a2 025＝2a1 013＝2.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，那么数列{an＋bn}的第2 027项为 A.0 B.2 027 C.100 D.－2 027 √ 设等差数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，则(an＋1＋bn＋1)－(an＋bn)＝(an＋1－an)＋(bn＋1－bn)＝d1＋d2，所以数列{an＋bn}仍然是等差数列.又d1＋d2＝(a2＋b2)－(a1＋b1)＝100－(25＋75)＝0，所以a2 027＋b2 027＝a1＋b1＝100.故选C. 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 5.(数学文化)“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于我国南北朝时期的数学著作《孙子算经》，1852年，英国传教士伟烈亚力将该解法传至欧洲，1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”，此定理讲的是关于整除的问题，现将1到2 026这2 026个数中，能被2除余1且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则该数列共有 A.144项 B.145项 C.146项 D.147项 √ 由已知可得an－1既能被2整除，也能被7整除，故an－1能被14整除，所以an－1＝14(n－1)，n∈N＋，即an＝14n－13，故1≤an≤2 026，即1≤14n－13≤2 026，解得1≤n≤＝145，故共有145项.故选B. 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 6.(多选题)下列关于公差d＞0的等差数列{an}的说法正确的是 A.数列{an}是递增数列 B.数列{nan}是递增数列 C.数列是递增数列 D.数列{an＋3nd}是递增数列 √ √ 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 对于A，因为an＝a1＋(n－1)d，d＞0，所以an＋1－an＝d＞0，故A正确；对于B，nan＝na1＋n(n－1)d，所以nan－(n－1)an－1＝a1＋2(n－1)d(n≥2)与0的大小和a1的取值情况有关，故数列{nan}不一定递增，故B不正确；对于C，＝＋d，所以－＝(n≥2)，当d－a1＞0，即d＞a1时，数列递增，但d＞a1不一定成立，故C不正确；对于D，设bn＝an＋3nd，则bn＋1－bn＝an＋1－an＋3d＝4d＞0，所以数列{an＋3nd}是递增数列，故D正确.故选AD. 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 7.等差数列{an}中，a5＋a10＋a15＝30，则a22－2a16的值为_______. －10 因为{an}为等差数列，设公差为d，根据等差数列的性质可得a5＋a15＝2a10，所以3a10＝30，解得a10＝10，所以a22－2a16＝a22－(a22＋a10)＝ －a10＝－10. 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 5 3 1 2 8.已知(1，3)，(3，－1)是等差数列{an}图象上的两点，若a5是ap和aq的等差中项，则ap＋aq的值为_______. －10 法一：设等差数列{an}的通项公式为an＝kn＋b，代入点的坐标，得即an＝－2n＋5.由于a5是ap和aq的等差中项，所以ap＋aq＝2a5＝2×(－10＋5)＝－10. 法二：由题意知(1，3)，(3，－1)，(5，a5)三点共线，所以＝，所以a5＝－5.由于a5是ap和aq的等差中项，所以ap＋aq＝2a5＝－10. 6 7 8 4 5 3 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 9.设等差数列{an}满足a7＋a8＋a9＞0，a7＋a10＜0，若an＞0，则项数n的最大值是______. 8 由a7＋a8＋a9＝2a7＋a10＝3a8＞0，而a7＋a10＝a8＋a9＜0，所以a7＞0，a8＞0，a9＜0，a10＜0，故等差数列{an}递减，所以对于等差数列{an}，要使an＞0，n的最大值为8. 9 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 1 2 10.(13分)甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图所示.甲调查表明：从第1年平均每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡.乙调查表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个. 请你根据提供的信息回答问题： (1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数； 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 解：由题图可知，从第1年到第6年平均每个养鸡场出产的鸡数成等差数列，记为{an}，公差为d1，且a1＝1，a6＝2； 从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列， 记为{bn}，公差为d2，且b1＝30，b6＝10； 从第1年到第6年全县出产鸡的总只数记为 数列{cn}，则cn＝anbn. 由a1＝1，a6＝2，得 所以得a2＝1.2. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 由b1＝30，b6＝10，得 所以得b2＝26. 所以c2＝a2b2＝1.2×26＝31.2， 即第2年养鸡场有26个，全县出产鸡31.2万只. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 (2)到第6年这个县的养鸡业规模比第1年是扩大了还是缩小了？请说明理由. 解：由题图可知，从第1年到第6年平均每个养鸡场出产的鸡数成等差数列，记为{an}，公差为d1，且a1＝1，a6＝2； 从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列，记为{bn}，公差为d2，且b1＝30，b6＝10； 从第1年到第6年全县出产鸡的总只数记为数列{cn}，则cn＝anbn. 因为c6＝a6b6＝2×10＝20＜c1＝a1b1＝30， 所以到第6年这个县的养鸡业规模比第1年缩小了. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 11.已知公差不为0的等差数列{an}满足am＋ap＝2a5，则＋的最小值为 A. B.1 C. D.2 √ 根据等差数列性质可得m＋p＝10，则(m＋2)＋p＝12，所以＋＝(m＋2＋p)＝≥(5＋2)＝，当且仅当＝，即p＝4，m＝6时，取等号.故选A. 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 9 1 2 12.(数学文化)(多选题)我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)，二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则下列说法正确的是 A.小寒比大寒的晷长长一尺 B.春分和秋分两个节气的晷长相同 C.小雪的晷长为一丈五寸 D.立春的晷长比立秋的晷长长 √ √ √ 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 由题意可知，由夏至到冬至的晷长构成等差数列{an}，其中 a1＝15，a13＝135，则d＝10，同理可得，由冬至到夏至的晷 长构成等差数列{bn}，其中b1＝135，b13＝15，则d'＝－10， 因大寒与小寒相邻，所以小寒比大寒的晷长长10寸，即一尺， 故A正确；因为春分的晷长为b7，所以b7＝b1＋6d'＝135－60 ＝75，因为秋分的晷长为a7，所以a7＝a1＋6d＝15＋60＝75， 故春分和秋分两个节气的晷长相同，故B正确；因为小雪的晷长为a11，所以a11＝a1＋10d＝15＋100＝115，又115寸即一丈一尺五寸，故小雪的晷长为一丈一尺五寸，故C错误；因为立春的晷长和立秋的晷长分别为b4，a4，所以a4＝a1＋3d＝15＋30＝45，b4＝b1＋3d'＝135－30＝105，所以b4＞a4，故立春的晷长比立秋的晷长长，故D正确.故选ABD. 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 13.已知数列{an}满足＝－，a1＝1，a5＝，则a100＝________. 因为＝－，所以＋＝.因为a1＝1，所以＝1，所以数列是以1为首项的等差数列，设其公差为d，因为a5＝，所以＝9，即＝＋4d，9＝1＋4d，得d＝2.因为＝＋99d＝199，所以a100＝. 12 13 11 10 8 6 7 4 5 3 9 14 15 16 1 2 14.(15分)已知数列{an}，都是等差数列，公差分别为d1，d2，数列满足cn＝2an＋3bn. (1)数列是不是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由； 解：数列是等差数列，理由如下： 因为数列{an}，{bn}都是等差数列，公差分别为d1，d2， 所以d1＝an＋1－an，d2＝bn＋1－bn，n∈N＋， 因为cn＝2an＋3bn， 所以cn＋1－cn＝2an＋1＋3bn＋1－＝2＋3＝2d1＋3d2为常数， 所以数列是等差数列. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 (2)若{an}，{bn}的公差都等于3，a1＝1，b1＝2，求数列的通项公式. 解：因为a1＝1，b1＝2，所以c1＝2a1＋3b1＝2×1＋3×2＝8， 由(1)可知数列是等差数列，且公差为2d1＋3d2，且d1＝d2＝3， 所以数列的公差为d＝2×3＋3×3＝15， 所以数列的通项公式为cn＝c1＋(n－1)d＝8＋15(n－1)＝15n－7，即cn＝15n－7. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 15.(5分)(新定义)(多选题)在数列{an}中，若－＝p(n≥2，n∈N＋，p为常数)，则称{an}为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是 A.若{an}是等差数列，则{an}是等方差数列 B.{(－1)n}是等方差数列 C.若{an}是等方差数列，则{akn}(k∈N＋，k为常数)也是等方差数列 D.若{an}既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列 √ √ √ 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 对于A，若{an}是等差数列，如an＝n，则－＝n2－(n－1)2＝2n－1不是常数，故{an}不是等方差数列，故A错误；对于B，数列{(－1)n}中，－＝ [(－1)n]2－[(－1)n－1]2＝0是常数，所以{(－1)n}是等方差数列，故B正确；对于C，数列{an}中的项列举出来是a1，a2，…，ak，…，a2k，…，数列{akn}中的项列举出来是ak，a2k，a3k，…，因为－＝－＝－＝…＝－＝p，将这k个式子累加得(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＝kp，所以－＝kp，所以－＝kp，所以{akn}(k∈ N＋，k为常数)是等方差数列，故C正确；对于D，因为{an}是等差数列，所以an－ an－1＝d，则设an＝dn＋m.因为{an}是等方差数列，所以－＝(an＋an－1)d＝(dn＋m＋dn－d＋m)d＝2d2n＋(2m－d)d是常数，故2d2＝0，故d＝0，所以an＝m是常数，故D正确.故选BCD. 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 16.(17分)(新角度)已知数列a1，a2，…，a30，其中a1，a2，…，a10是首项为1，公差为1的等差数列；a10，a11，…，a20是公差为d(d≠0)的等差数列；a20，a21，…，a30是公差为d2的等差数列. (1)若a20＝40，求d； 解：依题意得，a10＝10，a20＝10＋10d＝40， 所以d＝3. (2)试写出a30关于d的关系式，并求出a30的取值范围； 解：a30＝a20＋10d2＝10(1＋d＋d2)(d≠0)， 故a30＝10， 当d∈(－∞，0)∪(0，＋∞)时，a30∈. 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 (3)续写已知数列，使得a30，a31，…，a40是公差为d3的等差数列，以此类推，把已知数列推广为无穷数列. 解：所给数列可推广为无穷数列{an}，其中a1，a2，…，a10是首项为1，公差为1的等差数列，当n≥1时，a10n，a10n＋1，…，a10(n＋1)是公差为dn的等差数列. 返回 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 谢 谢 观 看 第2课时　等差数列的性质及实际应用 返回 $