1.2.1 第1课时 等差数列的概念及其通项公式-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（北师大版）

第1课时　等差数列的概念及其通项公式 　 第一章　§2　2.1　等差数列的概念及其通项公式 学习目标 1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义，培养数学抽象的核心素养.　 2.体会等差数列与一元一次函数的关系，培养数学抽象的核心素养.　 3.掌握等差数列的通项公式、等差数列的判断与证明方法，提升数学运算的核心素养. 内容索引 任务一　等差数列的概念 1 任务二　等差数列的通项公式 2 任务三　综合应用 3 课时分层评价 5 随堂评价 4 任务一　等差数列的概念 返回 问题1.观察下面的3个数列，它们有什么共同特征？ (1)我国有用十二生肖纪年的习惯，例如，2026年是马年，从2017年开始，马年的年份为2026，2038，2050，2062，2074，2086，…； 提示：2038－2026＝2050－2038＝2062－2050＝…＝2086－2074＝12； 问题导思 (2)我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示，常用确定鞋号的脚长值按从大到小的顺序可排列为275，270，265，260，255，250，…； 提示：270－275＝265－270＝260－265＝…＝250－255＝－5； (3)第25届冬奥会将在2026年2月在意大利举办，从第19届到第25届冬奥会举办的年份依次为2002，2006，2010，2014，2018，2022，2026. 提示：2006－2002＝2010－2006＝2014－2010＝2018－2014＝2022－2018＝2026－2022＝4. 即都满足从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数. 等差数列的定义 新知构建 文字 语言 对于一个数列，如果从第___项起，每一项与它的________的差都是同一个______，那么称这样的数列为等差数列，称这个常数为等差数列的______，通常用字母d表示 符号 语言 an＋1－an＝d(n∈N＋)或an－an－1＝d(n≥2，n∈N＋) 2 前一项 常数 公差 (1)“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合.(2)“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去它的前项”，强调了：①作差的顺序；②这两项必须相邻.(3)定义中的“同一个常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列. 微提醒 (多选题)(链教材P12例1)下列说法中正确的是 A.数列6，4，2，0是公差为2的等差数列 B.数列a，a－1，a－2，a－3是公差为－1的等差数列 C.数列{2n＋1}是等差数列 D.数列{an}中，a1＝a2＝1，an＝an－1＋2(n≥3)，则数列{an}是等差数列 √ 典例 1 √ 对于A，数列是公差为－2的等差数列；对于B，a－1－a＝a－2－(a－1)＝a－3－(a－2)＝－1，是公差为－1的等差数列；对于C，an＋1－an＝2(n＋1)＋1－2n－1＝2为常数，是等差数列；对于D，a2－a1＝0，an－an－1＝2(n≥3)，数列{an}不是等差数列.故选BC. 　　判断一个数列是不是等差数列，就是判断该数列从第2项起，每一项减去前一项的差是否为同一个常数，即验证an＋1－an(n∈N＋)是不是一个与n无关的常数. 规律方法 对点练1.(1)(多选题)下列数列是等差数列的是 A.1，1，1，1，1 B.4，7，10，13，16 C.，，1，， D.－3，－2，－1，1，2 由等差数列的定义得，对于A，d＝0，故是等差数列；对于B，d＝3，故是等差数列；对于C，d＝，故是等差数列；对于D，每一项与前一项的差不是同一个常数，故不是等差数列.故选ABC. √ √ √ (2)若数列{an}满足3an＋1＝3an＋1，则数列{an} A.是公差为1的等差数列 B.是公差为的等差数列 C.是公差为－的等差数列 D.不是等差数列 √ 由3an＋1＝3an＋1，得3an＋1－3an＝1，即an＋1－an＝，所以数列{an}是公差为的等差数列.故选B. 返回 任务二　等差数列的通项公式 返回 问题2.根据等差数列的定义，你能推导它的通项公式吗？ 提示：设一个等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由等差数列的定义可知，an－an－1＝d(n≥2)， 法一(迭代法)：an＝an－1＋d，故有a2＝a1＋d，a3＝a2＋d＝a1＋2d，a4＝a3＋d＝a1＋3d，… 归纳可得，an＝a1＋(n－1)d(n≥2).当n＝1时上式成立，故an＝a1＋(n－1)d(n∈N＋). 法二(累加法)：a2－a1＝d，a3－a2＝d，a4－a3＝d，…，an－an－1＝d， 左右两边分别相加可得，an－a1＝(n－1)d，即an＝a1＋(n－1)d(n≥2).当n＝1时上式成立，故an＝a1＋(n－1)d(n∈N＋). 问题导思 等差数列的通项公式 若首项是a1，公差是d，则等差数列{an}的通项公式为_________________. 新知构建 an＝a1＋(n－1)d (1)等差数列的通项公式是关于三个基本量a1，d，n的表达式，所以由首项a1和公差d可以求出数列中的任意一项.(2)等差数列的通项公式可以推广为an＝am＋(n－m)d，它阐明了等差数列中任意两项的关系；也可以变形为d＝(n≠m)，知道等差数列中任意两项，可以求公差d. 微提醒 角度1　等差数列的基本运算 (链教材P12例2)在等差数列{an}中，公差为d. (1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13； 解：由题意得(a1＋d)＋(a1＋2d)＋(a1＋22d)＋(a1＋23d)＝48， 即4(a1＋12d)＝48， 所以4a13＝48，所以a13＝12. 典例 2 (2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2a5＝52，求公差d. 解：由题意得 解得 所以d＝3或d＝－3. 角度2　求通项公式 (链教材P13例3)已知在等差数列{an}中，a5＝－20，a20＝－35.试求出数列的通项公式. 解：设{an}的通项公式是an＝a1＋(n－1)d， 由已知得 解得 故数列{an}的通项公式为an＝－16＋(n－1)(－1)＝－15－n. 典例 3 变式探究 (变条件、变设问)本例若改为等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试判断2 025是不是这个数列的项，如果是，是第几项？ 解：设首项为a1，公差为d，则an＝a1＋(n－1)d，n∈N＋， 由已知得 所以an＝－23＋(n－1)×4＝4n－27，n∈N＋， 令an＝2 025，即4n－27＝2 025，解得n＝513∈N＋， 所以2 025是所给数列的第513项. 等差数列的通项公式及其应用 1.已知an，a1，n，d中的任意三个量，可求出第四个量. 2.由等差数列的通项公式可以求出该数列中的任意项，也可以判断某一个数是不是该数列中的项. 3.根据等差数列的两个已知条件建立关于“基本量”a1和d的方程组，求出a1和d，从而确定通项公式，求得所要求的项. 规律方法 对点练2.在等差数列{an}中， (1)若a5＝15，a17＝39，试判断91是否为此数列中的项； 解：因为 所以an＝7＋2(n－1)＝2n＋5，n∈N＋. 令2n＋5＝91，得n＝43. 因为43为正整数，所以91是此数列的第43项. (2)若a2＝11，a8＝5，求a10. 解：设{an}的公差为d， 则 所以an＝12＋(n－1)×(－1)＝13－n，n∈N＋， 所以a10＝13－10＝3. 返回 任务三　综合应用 返回 应用1　等差数列的判定与证明 已知数列{an}满足an＋1＝，且a1＝3(n∈N＋). (1)证明：数列是等差数列； 解：证明：因为an＋1＝，所以＝＝＝＝＝＋， 得－＝，n∈N＋， 故数列是等差数列. 典例 4 (2)求数列{an}的通项公式. 解：由(1)知＝＋(n－1)×＝， 所以an＝，n∈N＋. 　　证明一个数列是等差数列的基本方法是定义法，即证明an－an－1＝d(n∈N＋，n≥2，d为常数)或an＋1－an＝d(n∈N＋，d为常数)；若证明一个数列不是等差数列，则只需举出反例即可. 规律方法 对点练3.已知数列{an}满足a1＝2，若an＋1＝2an＋2n＋1. (1)证明：数列为等差数列； 解：证明：由于an＋1＝2an＋2n＋1， 所以－＝－＝1， 所以＝1为首项，1为公差的等差数列. (2)求数列{an}的通项公式. 解：由(1)知，＝1＋(n－1)×1＝n， 所以an＝n·2n. 应用2　等差数列中常见的设元技巧 (1)三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数； 解：设这三个数依次为a－d，a，a＋d， 由题意，知 所以这三个数为4，3，2. 典例 5 (2)四个数成等差数列且公差d＞0，中间两项的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数. 解：法一：设这四个数为a－3d1，a－d1，a＋d1，a＋3d1(公差为2d1)， 依题意，2a＝2，且(a－3d1)(a＋3d1)＝－8，即a＝1，a2－9＝－8， 所以＝1，所以d1＝1或d1＝－1. 又因为d＞0，所以2d1＝d＞0， 所以d1＝1，故所求的四个数为－2，0，2，4. 法二：设这四个数为a，a＋d，a＋2d，a＋3d(公差为d)， 依题意， 解得(舍去). 故所求的四个数为－2，0，2，4. 等差数列中常见的设元技巧 1.某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为a－d，a＋d，公差为2d. 2.三个数成等差数列且知其和，常设此三数为a－d，a，a＋d，公差为d. 3.四个数成等差数列且知其和，常设成a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，公差为2d. 规律方法 对点练4.已知四个数成等差数列，四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数. 解：设这四个数依次为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d).由题意知， 解得 故这四个数为2，5，8，11或11，8，5，2. 返回 课堂小结 任务再现 1.等差数列的概念、判定.2.等差数列的通项公式.3.利用定义判断或证明一个数列是等差数列.4.等差数列中常见的设元技巧 方法提炼 定义法、列方程组法、迭代法、构造法 易错警示 n的范围把握不清晰 随堂评价 返回 1.在等差数列{an}中，a3＝5，a6＝8，则公差d等于 A. B.－ C.1 D.－1 √ 因为a3＝5，a6＝8，所以d＝＝1.故选C. 2.若数列{an}的通项公式为an＝2n＋5，则此数列 A.是公差为2的等差数列 B.是公差为5的等差数列 C.是首项为5的等差数列 D.是公差为n的等差数列 √ 因为an＋1－an＝2(n＋1)＋5－(2n＋5)＝2，所以{an}是公差为2的等差数列.故选A. 3.等差数列－3，－7，－11，…的通项公式an＝___________. －4n＋1 a1＝－3，d＝a2－a1＝－7－(－3)＝－4，所以an＝a1＋(n－1)d＝－4n ＋1. 4.设{an}是等差数列，且a1＝3，a2＋a4＝14，若am＝37，则m＝______. 18 设该等差数列的公差为d，因为a1＝3，所以由a2＋a4＝14，得3＋d＋3＋3d＝14，所以d＝2.故由am＝37，得3＋(m－1)×2＝37，所以m＝18. 返回 课时分层评价 返回 1.(多选题)下列数列中，是等差数列的是 A.1，4，7，10 B.lg 2，lg 4，lg 8，lg 16 C.25，24，23，22 D.10，8，6，4，2 √ √ √ A，B，D项满足等差数列的定义，是等差数列；对于C，因为24－25≠23－24≠22－23，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列.故选ABD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.已知等差数列的前三项依次为a－1，a＋1，2a＋3，则此数列的第n项为 A.2n－5 B.2n－3 C.2n－1 D.2n＋1 √ 由题意得，(a＋1)－(a－1)＝(2a＋3)－(a＋1)，解得a＝0，故等差数列{an}的前三项依次为－1，1，3，故数列是以－1为首项，以2为公差的等差数列，故通项公式an＝－1＋(n－1)×2＝2n－3，n∈N＋.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.已知在等差数列{an}中，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5等于 A.7 B.15 C.22 D.29 √ 设数列{an}的首项为a1，公差为d，根据题意得 解得a1＝47，d＝－8.所以a5＝47＋(5－1)×(－8)＝15.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知公差不为零的等差数列{an}满足：a5＋a8＝a14，则＝ A. B. C. D. √ 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，因为a5＋a8＝a14，所以a1＋4d＋a1＋7d＝a1＋13d，解得a1＝2d，所以＝＝＝＝.故选C. 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 5.在数列{an}中，若＝＋，a1＝8，则数列{an}的通项公式为 A.an＝2(n＋1)2 B.an＝4(n＋1) C.an＝8n2 D.an＝4n(n＋1) √ 由题意得－＝，故数列{}是首项为＝2，公差为的等差数列，所以＝2＋(n－1)＝n＋，故an＝2(n＋1)2.故选A. 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 6.(数学文化)《张丘建算经》有一道题大意为：今有十等人，每等一人，宫赐金，以等次差(即等差)降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给，则每等人比下一等人多得金 A.斤 B.斤 C.斤 D.斤 √ 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 设第十等人得金a1斤，第九等人得金a2斤，依此类推，第一等人得金a10斤，则数列{an}构成等差数列，设公差为d，则每一等人比下一等人多得金d斤，由题意得解得d＝，所以每等人比下一等人多得金斤.故选B. 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 7.数53为等差数列{an}：－5，－3，－1，1，…中的第_____项. 30 由题意可知，等差数列{an}的首项a1＝－5，公差d＝(－3)－(－5)＝2，所以通项an＝－5＋2(n－1)＝2n－7，n∈N＋，令2n－7＝53，解得n＝30，所以53是数列{an}中的第30项. 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 5 3 1 2 8.已知等差数列{an}中，a2＝4，a6＝16，若在数列{an}每相邻两项之间插入三个数，使得新数列也是一个等差数列，则新数列的第41项为______. 31 设等差数列{an}的公差为d，则d＝＝＝3.在数列{an}每相邻两项之间插入三个数，则新的等差数列{bn}的公差为＝.又新数列{bn}的首项为4－3＝1，故通项公式为bn＝1＋(n－1)＝n＋，故b41＝×41＋＝31. 6 7 8 4 5 3 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 9.(开放题)写出同时满足下面两个条件的数列{an}的一个通项公式：an＝____________________. ①{an}是递增的等差数列；②a1－a3＋2a4＝4. n－1(答案不唯一) 设公差为d，知d＞0，由a1－a3＋2a4＝4，得a1－(a1＋2d)＋2(a1＋3d)＝4，所以a1＋2d＝2，不妨令d＝1，所以a1＝0，所以an＝n－1.(答案不唯一) 9 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 1 2 10.(13分)已知等差数列{an}中，a1＝1，a2＋2a3＋a4＝12. (1)求a5＋a7的值； 解：因为a1＝1， 所以a2＋2a3＋a4＝(a1＋d)＋2(a1＋2d)＋(a1＋3d)＝4＋8d＝12， 所以d＝1， 所以a5＋a7＝(a1＋4d)＋(a1＋6d) ＝2a1＋10d＝12. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 (2)若数列{bn}满足：bn＝a2n－1，证明：数列{bn}是等差数列. 解：证明：由(1)可知an＝1＋(n－1)×1＝n， 所以bn＝a2n－1＝2n－1. 因为bn－bn－1＝(2n－1)－[2(n－1)－1]＝2(n≥2)，所以数列{bn}是等差数列，首项是1，公差是2. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 11.(多选题)已知数列{an}的通项公式为an＝则 A.a1＝4 B.－2是该数列中的项 C.该数列是递增数列 D.该数列是等差数列 √ √ 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 9 1 2 因为an＝对于A，当n＝1时，a1＝3×1＋1＝4，故A正确；对于B，若－2是奇数项，则3n＋1＝－2，解得n＝－1，不满足n∈N＋，舍去；若－2是偶数项，则2－2n＝－2，解得n＝2，满足题意，故－2是{an}中的第2项，故B正确；对于C，当n＝3时，a3＝3×3＋1＝10，故{an}的前三项为4，－2，10，显然{an}不是递增数列，故C错误；对于D，由C易知，a2－a1≠a3－a2，故{an}不是等差数列，故D错误.故选AB. 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 9 1 2 12.(多选题)设数列{an}满足＝＋2an＋1，且an＞0，若a1＝2，则 A.a2＝5 B.a4＝6 C.a10＝11 D.a2 026＝2 027 √ √ ＝(an＋1)2，因为an＞0，所以an＋1＝an＋1，所以{an}是首项为2，公差为1的等差数列，所以an＝2＋1×(n－1)＝n＋1，故有a2＝3，a4＝5，a10＝11，a2 026＝2 027，故A、B错误，C、D正确，故选CD. 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 13.(双空题)如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n个点，相应的图案中点的个数记为an，按此规律，则a6＝______，a100＝_______. 15 297 由图可知，a2＝3，a3＝6，a4＝9，a5＝12，因为an符合等差数列的定义且公差为3，所以an＝3(n－1)(n＞1，n∈N＋)，所以a6＝3×5＝15，a100＝3×99＝297. 12 13 11 10 8 6 7 4 5 3 9 14 15 16 1 2 14.(15分)已知无穷等差数列{an}，首项a1＝3，公差d＝－5，依次取出项的序号被4除余3的项组成数列{bn}. (1)求b1和b2； 解：由题意得，等差数列{an}的通项公式为 an＝3－5(n－1)＝8－5n， 设数列{bn}的第n项是数列{an}的第m项， 则需满足m＝4n－1，n∈N＋. 所以b1＝a3＝8－5×3＝－7， b2＝a7＝8－5×7＝－27. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 (2)求数列{bn}的通项公式； 解：由(1)知bn＋1－bn＝a4(n＋1)－1－a4n－1＝4d＝－20， 所以数列{bn}也为等差数列， 且首项b1＝－7，公差d'＝－20， 所以bn＝b1＋(n－1)d'＝－7＋(n－1)×(－20)＝13－20n. (3)数列{bn}中的第110项是数列{an}中的第几项？ 解：由(1)知m＝4n－1，n∈N＋， 所以当n＝110时，m＝4×110－1＝439， 所以数列{bn}中的第110项是数列{an}中的第439项. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 15.(5分)已知数列{an}中，a1＝1，an－1－an＝anan－1(n≥2，n∈N＋)，则a10＝______. 易知an≠0，因为数列{an}满足an－1－an＝anan－1(n≥2)，所以－＝1(n≥2)，故数列是等差数列，且公差为1，首项为1，所以＝1＋9＝10，所以a10＝. 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 16.(17分)(新定义)设数列{an}是等差数列，且公差为d.若数列{an}中任意不同的两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”. (1)若等差数列{an}中，a1＝4，d＝2，求证：数列{an}是“封闭数列”； 解：证明：因为a1＝4，d＝2，所以an＝4＋2(n－1)＝2n＋2，所以对任意的s，t∈N＋，s≠t，有as＋at＝(2s＋2)＋(2t＋2)＝2(s＋t＋1)＋2. 因为s＋t＋1∈N＋，所以as＋at是数列{an}中的项. 所以数列{an}是“封闭数列”. 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 (2)若an＝2n－7，试判断等差数列{an}是否为“封闭数列”，并说明理由. 解：数列{an}不是“封闭数列”.理由如下： 因为an＝2n－7，所以a1＝－5，a2＝－3，所以a1＋a2＝－8. 令an＝－8，即2n－7＝－8，可得n＝－∉N＋， 所以数列{an}不是“封闭数列”. 返回 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 谢 谢 观 看 第1课时　等差数列的概念及其通项公式 返回 $