1.1.1 数列的概念-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（北师大版）

1.1　数列的概念 　 第一章　§1　数列的概念及其函数特性 学习目标 1.了解数列及其有关概念，培养数学抽象的核心素养.　 2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项，培养数学抽象的核心素养.　 3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式，提升数学运算的核心素养. 内容索引 任务一　数列的概念与分类 1 任务二　数列的通项公式 2 任务三　数列通项公式的应用 3 课时分层评价 5 随堂评价 4 任务一　数列的概念与分类 返回 问题1.观察以下几列数： (1)古埃及“阿默斯”画了一个阶梯，上面的数字依次为：7，49，343，2 401，16 807； (2)战国时期庄周引用过一句话：一尺之棰，日取其半，万世不竭.这句话中隐藏着一列数：1，，，，，…； (3)从学号1开始，记下本班的每一个同学参加高考的时间：2 026，2 026，…，2 026； (4)小明为了记住刚设置的手机密码，只听他不停地说：7，0，2，5，7，0，2，5，…； 问题导思 (5)－的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂…依次排成一列数：－，，－，，…. 你能找到上述例子中的共同点和不同点吗？ 提示：共同点：都是按照确定的顺序进行排列的.不同点：从项数上来看：(1)(3)项数有限，(2)(4)(5)项数无限；从项的变化上来看：(1)每一项在依次变大，(2)每一项在依次变小，(3)项没有发生变化，(4)项呈现周期性的变化，(5)项的大小交替变化. 1.数列的概念 (1)按一定次序排列的一列数叫作______，数列中的每一个数叫作这个数列的____. (2)数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，或简记为数列________，其中a1是数列的第1项，也叫数列的______；an是数列的第n项，也叫数列的______. 新知构建 数列 项 {an} 首项 通项 2.数列的分类 项数________数列，称为有穷数列；项数________数列，称为无穷数列. 有限的 无限的 (1)数列概念中“按一定次序排列”是关键，数字相同，排列顺序不同的两列数不是同一数列. (2)有穷数列与无穷数列的分类标准是数列项数是有限还是无限. 微提醒 下列说法正确的是 A.数列1，2，3，4，5，6与数列1，2，5，6，3，4是同一个数列 B.数列1，2，3，4，5，6可以表示为{1，2，3，4，5，6} C.0，2，4，6，8，…，2n是无穷数列 D.1，1，1，1，1，…是一个数列 √ 典例 1 两个数列只有元素相同，排列顺序也相同时，才是同一个数列，故A不正确；数列与集合不同，数列不能表示成集合的形式，故B不正确；当n确定后，数列0，2，4，6，8，…，2n的项数就确定了，所以该数列是有穷数列，故C不正确；根据数列定义知D正确.故选D. 数列概念的三个注意点 1.数列{an}表示数列a1，a2，a3，…，an，…，不是表示一个集合，与集合表示有本质的区别. 2.如果组成数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列. 3.同一个数在数列中可以重复出现. 规律方法 对点练1.下列说法正确的是 A.－4，5，2，，不是数列 B.数列{an}的前4项为1，2，3，4，则第5项一定是5 C.－1，1，3，5，…是数列 D.数列0，2，4，6，8，…是有穷数列 对于A，－4，5，2，，是数列；对于B，数列的第5项不一定为5；对于D，数列应为无穷数列；根据数列定义C显然正确.故选C. √ 返回 任务二　数列的通项公式 返回 问题2.观察下面的数列，能否用一个式子表示数列中的每一项？这个式子是什么？ (1)1，2，3，4，5，…； (2)2，4，6，8，10，…； (3)，，，，，…. 提示：能.(1)an＝n，n∈N＋；(2)an＝2n，n∈N＋；(3)an＝，n∈N＋. 问题导思 数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成__________，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应______的解析式.数列也可以看作定义域为____________(或其子集)的函数. 新知构建 an＝f(n) 函数 正整数集N＋ (1)不是所有的数列都能写出通项公式，若数列有通项公式，形式也不一定是唯一的.(2)数列通项公式的作用：①求数列中的任意一项；②判断某数是不是该数列中的项. 微提醒 (链教材P4例2)写出下列各数列的一个通项公式： (1)－1，，－，，…； 典例 2 解：这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为负，偶数项为正， 所以它的一个通项公式为an＝，n∈N＋. (2)，，，，…； 解：这个数列的前4项的分母都是比序号大1的数，分子都是比序号大1的数的平方减1， 所以它的一个通项公式为an＝，n∈N＋. (3)，2，，8，…； 解：数列中的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：，，，， 所以它的一个通项公式为an＝，n∈N＋. (4)0，1，0，1，…； 解：这个数列中的项是0与1交替出现，奇数项都是0，偶数项都是1，所以通项公式可以写成an＝也可以写成an＝(n∈N＋)或an＝(n∈N＋). (5)9，99，999，9 999，…. 解：各项加1后，变为10，100，1 000，10 000，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an＝10n－1，n∈N＋. 变式探究 (变条件)根据本例中的第(5)题，试解决以下3个问题： 1.试写出前4项为1，11，111，1 111的一个通项公式. 解：由本例的第(5)题可知，每一项除以9即可， 即an＝(10n－1)，n∈N＋. 2.试写出前4项为7，77，777，7 777的一个通项公式. 解：由本例的第(5)题可知，每一项乘即可， 即an＝(10n－1)，n∈N＋. 3.试写出前4项为0.8，0.88，0.888，0.888 8的一个通项公式. 解：原数列前4项可变形为，(1－)，，，故所给数列的一个通项公式为an＝，n∈N＋. 根据数列的前几项求通项公式的解题思路 1.先统一项的结构，如都化成分数、根式等. 2.分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式. 3.对于正负交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)n或 (－1)n＋1处理符号. 4.对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等. 规律方法 对点练2.写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)，，，； 解：4个项都是分数，它们的分子依次为2，22，23，24，分母是正奇数，依次为2×1＋1，2×2＋1，2×3＋1，2×4＋1，所以给定4项都满足的一个通项公式为an＝. (2)－，，－，； 解：4个项按先负数，后正数，正负相间排列，其绝对值的分子依次为1，2，3，4，分母比对应分子多1，所以给定4项都满足的一个通项公式为an＝(－1)n. (3)3，4，3，4； 解：4个项是第1，3项均为3，第2，4项均为4，所以给定4项都满足的一个通项公式为an＝(k∈N＋). (4)6，66，666，6 666. 解：4个项都是由数字6组成的正整数，其中6的个数与对应项数一致，依次可写为6＝(10－1)，66＝(102－1)，666＝(103－1)，6 666＝(104－1)，所以给定4项都满足的一个通项公式为an＝(10n－1). 返回 任务三　数列通项公式的应用 返回 已知数列{an}的通项公式为an＝，n∈N＋. (1)求a10； 解：a10＝＝. 典例 3 (2)是不是这个数列中的项？ 解：令＝，得n＝100，故是这个数列中的项. (3)这个数列中有多少项是整数？ 解：易知an＝1＋，若an是整数，则n＝1，2，3，6，故这个数列中共有4项是整数. (4)该数列中是否有等于项数的项？若有，求出该项；若没有，说明理由. 解：令＝n，得n2－n－6＝0，解得n＝3或n＝－2(舍去). 故该数列中有等于项数的项，该项为a3＝3. 通项公式应用的常见题型及其解法 1.由通项公式写出数列的某项.就是把n的值代入通项公式进行计算，相当于函数中，已知函数解析式和自变量求函数值. 2.判断一个数是否为该数列中的项.由an等于这个数解出n，根据n是否为正整数便可确定这个数是否为数列中的项. 规律方法 对点练3.已知数列{an}的通项公式为an＝. (1)计算a3＋a4的值； 解：因为an＝， 所以a3＝＝，a4＝＝， 所以a3＋a4＝＋＝. (2)是不是该数列中的项？若是，应为第几项？若不是，说明理由. 解：若为数列{an}中的项， 则＝， 所以n(n＋2)＝120，所以n2＋2n－120＝0， 所以n＝10或n＝－12(舍)， 即是数列{an}的第10项. 返回 课堂小结 任务 再现 1.数列及其有关概念.2.数列的分类.3.数列的通项公式及应用 方法 提炼 观察归纳猜想、方程思想 易错 警示 归纳法求数列的通项公式时归纳不全面；不注意用(－1)n进行调节，不注意分子、分母间的联系 随堂评价 返回 1.下列说法中，正确的是 A.数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7} B.1，－1，1，－1，1，－1，…是有穷数列 C.数列中的项可以相等 D.数列a，b，c和数列c，b，a一定不是同一数列 对于A，{1，3，5，7}不表示数列，故A错误；对于B，数列1，－1，1，－1，1，－1，…是无穷数列，故B错误；对于C，数列中的项可以相等，故C正确；对于D，当a＝c时，数列a，b，c和数列c，b，a表示同一数列，故D错误.故选C. √ 2.已知数列{n(n－2)}，那么下列各数中是该数列的项的是 A.1 B.36 C.－48 D.－1 分别令n(n－2)＝1，36，－48，－1进行验证.当n(n－2)＝－1时，n＝1.其他均不合适.故选D. √ 3.数列，，，1，，，…的一个通项公式为an＝　　　　. 将原数列变形为，，，，，，…，所以an＝. 4.观察数列的特点，用一个适当的数填空：1，，，，　　　　，，…. 由于数列的前几项中根号下的数都是由小到大的奇数，所以需要填空的数为＝3. 返回 课时分层评价 返回 1.若数列的通项公式为an＝则a2·a3等于 A.70 B.28 C.20 D.8 √ 由an＝得a2＝2，a3＝10，所以a2·a3＝20.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.(多选题)下列说法不正确的是 A.数列1，3，5，7，…，2n－1可以表示为1，3，5，7，… B.数列1，0，－1，－2与数列－2，－1，0，1是相同的数列 C.数列的第k项为1＋ D.数列0，2，4，6，8，…可记为{2n} √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，数列1，3，5，7，…，2n－1和数列1，3，5，7，…，前者是有限数列，后者是无限数列，所以两个数列不一样，故A错误；对于B，数列1，0，－1，－2与数列－2，－1，0，1的项的顺序不相同，所以不是相同数列，故B错误；对于C，＝1＋，所以数列的第k项为1＋，故C正确；对于D，数列0，2，4，6，8，…可记为，故D错误.故选ABD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.已知数列1，，，，…，，…，则3是它的 A.第22项 B.第23项 C.第24项 D.第28项 √ 令＝3＝，即2n－1＝45，解得n＝23.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.数列，，，，，…的一个通项公式为 A.an＝ B.an＝ C.an＝ D.an＝ √ 因为＝，＝，＝＝，＝，＝，…，所以该数列的一个通项公式为an＝.故选A. 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 5.如图①所示是第七届国际数学教育大会(简称ICME-7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图②的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图②中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为 A.an＝n，n∈N＋ B.an＝，n∈N＋ C.an＝，n∈N＋ D.an＝n2，n∈N＋ √ 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 因为OA1＝1，OA2＝，OA3＝，…，OAn＝，…，所以a1＝1，a2＝，a3＝，…，an＝，….故选C. 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 6.下列不可作为数列1，0，1，0，1，0，…的通项公式的是 A.an＝ B.an＝sin2 C.an＝ D.an＝｜sin nπ｜ √ 对于A，an＝，当n为奇数时，an＝1；当n为偶数时，an＝0，不满足题意；对于B，an＝sin2，当n为奇数时，an＝1；当n为偶数时，an＝0，不满足题意；对于C，an＝，当n为奇数时，an＝1；当n为偶数时，an＝0，不满足题意；对于D，an＝｜sin nπ｜，当n为奇数时，an＝0；当n为偶数时，an＝0，满足题意.故选D. 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 7.若数列{an}的通项公式为an＝，则－3是此数列的第____项. 令＝－3，即－＝－3＝－，所以n＝9. 9 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 5 3 1 2 8.已知数列{an}的通项公式是an＝则a3＋＝______. a3＝2－3＝，a4＝＝，所以＝，所以a3＋＝. 6 7 8 4 5 3 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 9.(10分)根据数列的前几项，写出下面各数列的一个通项公式： (1)－3，0，3，6，9，…； 解：a1＝－3＋0×3，a2＝－3＋1×3，a3 ＝－3＋2×3，a4＝－3＋3×3，…， 所以an＝－3＋(n－1)×3＝3n－6(n∈N＋). (2)2，0，2，0，2，0，…； 解：a1＝1＋1，a2＝1－1，a3＝1＋1，a4＝1－1，…， 所以an＝1＋(－1)n－1(n∈N＋). 9 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 1 2 (3)，，－，，－，，…. 解：a1＝－，a2＝，a3＝－， a4＝，…，所以an＝(－1)n(n∈N＋). 9 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 1 2 10.(13分)已知数列{an}的通项公式为an＝n(n＋2). (1)求这个数列的第10项、第15项及第21项； 解：由题可知，数列{an}的通项公式为 an＝n(n＋2)， 则数列的第10项为：a10＝10×＝10×12＝120， 第15项为：a15＝15×＝15×17＝255， 第21项为：a21＝21×＝21×23＝483. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 (2)判断440是不是这个数列中的项，222呢？如果是，求出是第几项；如果不是，说明理由. 解：令an＝440＝n(n＋2)，解得n＝20， 所以440是这个数列中的项，是第20项. 令an＝222＝n(n＋2)，解得n＝－1，不是整数， 故222不是这个数列中的项. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 11.已知数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…，则该数列的第22项为 A.6 B.7 C.64 D.65 √ 由按规律排列的数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…，可知1有1个，2有2个，3有3个，4有4个，5有5个，6有6个，7有7个，因为1＋2＋3＋4＋5＋6＝21，1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28，所以该数列的第22项为7.故选B. 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 9 1 2 12.(多选题)大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏的世界数学史上第一道数列题，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则 A.此数列的第20项是200 B.此数列的第19项是182 C.此数列的通项公式为an＝ D.84不是此数列中的项 √ √ 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 观察此数列，n为偶数时，an＝；n为奇数时，an＝，所以此数列的通项公式为an＝故C正确；a20＝＝200，故A正确；a19＝＝180，故B错误；a13＝＝84，故84是此数列的第13项，故D错误.故选AC. 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 13.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝－，n∈N＋，则a2 026＝_______. 1 根据已知表达式得，a1＝1，a2＝－＝－，a3＝－＝－2，a4＝－＝1，a5＝－＝－，a6＝－＝－2，a7＝－＝1，…，所以数列具有周期性，周期为3，又2 026＝3×675＋1，故a2 026＝1. 12 13 11 10 8 6 7 4 5 3 9 14 15 16 1 2 14.(15分)已知数列{an}的通项公式为an＝4n－1. (1)8 103是数列{an}的第几项？ 解：令4n－1＝8 103，则4n＝8 104， 所以n＝2 026. 即8 103是数列{an}中的第2 026项. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 (2)135，4m＋19(m∈N＋)是数列{an}中的项吗？为什么？ 解：令an＝4n－1＝135，得n＝34， 所以135是数列{an}的第34项. 因为4m＋19＝4(m＋5)－1，且m∈N＋， 所以4m＋19是数列{an}的第m＋5项. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 (3)若am，at(m，t∈N＋)是{an}中的项，那么2am＋3at是数列{an}中的项吗？请说明理由. 解：因为am，at是数列{an}中的项， 所以am＝4m－1，at＝4t－1， 所以2am＋3at＝2(4m－1)＋3(4t－1) ＝4(2m＋3t－1)－1. 因为2m＋3t－1∈N＋， 所以2am＋3at是数列{an}的第2m＋3t－1项. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 15.(5分)(开放题)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如： 他们研究过图①中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图②中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数.写出一个既是三角形数又是正方形数的数__________.(答案不唯一，写出一个即可) 1 225 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 由图形可得三角形数构成的数列的通项公式为an＝，同理可得正方形数构成的数列的通项公式为bn＝n2，因为1 225＝352＝，故 1 225既是三角形数又是正方形数(答案不唯一). 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 16.(17分)已知数列{an}的通项公式为an＝. (1)判断是不是数列{an}中的项； 解：因为an＝＝＝， 所以由an＝＝，解得n＝. 因为不是正整数，所以不是数列{an}中的项. 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 (2)判断数列{an}中的项是否都在区间(0，1)内； 解：因为an＝＝＝1－，n∈N＋， 0＜＜1，所以0＜an＜1， 所以数列{an}中的项都在区间(0，1)内. 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 (3)判断在区间内有没有数列{an}中的项. 解：令＜an＜，即＜＜， 则＜n＜. 又n∈N＋，所以n＝2. 故在区间内有数列{an}中的项，且只有一项，是第2项，即a2＝. 返回 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 谢 谢 观 看 1.1　数列的概念 返回 $