“8+3+3”小题强化训练（4）-2026届高三数学二轮复习《8+3+3》小题强化训练（新高考地区专用）

2026届高三二轮复习“8+3+3”小题部分章节融合强化训练(4) 一、小题知识归纳 单选1：一元二次不等式与交集的融合 单选2：复数运算与几何意义融合 单选3：常用逻辑用语与立体几何的融合 单选4：统计 单选5：向量数量积与投影向量的融合 单选6：余弦定理与面积公式、二倍角公式的融合 单选7：圆与椭圆的融合 单选8：立体几何线面垂直以及球截平面交线问题融合 多选9：比较大小 多选10：条件概率与全概率 多选11：抽象函数综合性质应用 填空12：利用二项式定理求项的系数 填空13：外接球与内切球问题 填空14：抛物线与等比数列的融合 二、小题强化训练 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】解不等式，得到，从而求出交集. 【解析】因为，. 所以 故选：C. 2．已知复数，在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【分析】首先化简，再根据复数代数形式的除法运算化简，最后根据复数的几何意义判断即可. 【解析】因为， 所以， 所以在复平面内对应的点为，位于第三象限. 故选：C. 3．已知直线与平面.命题：在平面外，命题：，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】判断命题能否推出命题，以及命题能否推出命题，进而确定是的什么条件. 【解析】判断充分性:在平面外，直线在平面外包含两种情况: 直线与平面平行或直线与平面相交,当直线与平面相交时，不满足， 即由不能必然推出，所以充分性不成立; 判断必要性:直线与平面平行属于直线在平面外的一种情况， 所以当时，一定有平面外，即由可以推出，所以必要性成立; 所以是的必要不充分条件. 故选:B 4．某公司50名员工的月工资统计表如下： 工资/元 3600 4000 4400 5000 6000 7000 人数/名 5 10 20 7 5 3 记这50名员工月工资的平均数为元，中位数为元，众数为元，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】利用平均数，中位数，众数的意义分别求得平均数，中位数，众数即可. 【解析】这50名员工月工资的平均数为元； 从小到大排列后第25和第26个数均为4400，所以中位数为元； 显然4400出现次数最多为20次，所以众数为元 故. 故选：B. 5．已知平面向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据向量模，求出，然后利用向量数量积和运算律计算，最后根据投影向量求解的方法求解即可. 【解析】因为，， 所以，即， 也即， 解得：， 所以， 由向量在向量上的投影向量为： ， 故选：A. 6．已知的内角的对边分别为，且面积满足，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【分析】根据题意，结合余弦定理与面积公式得，再根据二倍角公式化简整理即可得答案. 【解析】因为，所以， 又因为，， 所以，即， 所以， 所以，即， 因为， 所以，即. 故选：A 7．过作直线交圆于另一点，连接和的直线交椭圆于另一点，设直线、的斜率分别为、，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】由题意可得，然后利用点F在椭圆上结合两点斜率公式求得，进而可得结论. 【解析】设的斜率为，因为，， 所以为圆的直径，所以， 设的坐标为，所以， 所以，故. 故选：A. 8．已知四棱锥中，平面，，点到直线的距离为2．以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】利用空间垂直关系证明线面垂直，再利用球被平面所截得到一个圆，然后利用已知条件计算交线长即可. 【解析】 在梯形中，因为， 所以，则，即， 因为平面平面所以， 又因为平面，所以平面， 又因为平面，所以， 由点到直线的距离为2，可得， 再过点作，垂足为，则， 又因为平面，所以平面， 由，，可得， 则以为球心，为半径的球面与侧面的交线是以为圆心的圆弧， 其半径为：， 又由，可得 则在直角中，由点到的距离等于， 所以直线与这个以为圆心的圆弧相离， 即与侧面的交线是以为圆心的圆弧长为， 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【分析】利用不等式性质判断A；举反例判断B；根据比较式子的结构构造函数，利用导数研究函数的单调性，利用单调性比较大小判断CD. 【解析】对于A，因为，所以，即，正确； 对于B，当时，，错误； 对于C，设， 因为和为上的增函数， 所以函数在上递增， 因为，所以，所以， 即，正确； 对于D，设，则， 所以函数在上单调递减， 因为，所以， 所以， 即，正确. 故选：ACD 10．设，，是同一概率空间中的随机事件，满足，，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【分析】利用条件概率公式计算判断选项A，D；利用全概率公式计算判断选项B；利用加法公式计算判断选项C． 【解析】已知，，，，， 选项A：由条件概率公式， 得，故A错误； 选项B：由全概率公式， 得，故B正确； 选项C：由加法公式， 得，故C正确； 选项D：由条件概率公式， 得，故D错误． 故选：BC． 11．已知函数的定义域为，对任意正实数，函数在上单调递增，则（ ） A. B. C. 若，则 D. 【答案】BCD 【分析】用特值法判断A,B；用赋值法，结合函数单调性的定义，判断C；根据单调性列不等式，判断D. 【解析】对于A，令，， 则在上单调递增， 此时，所以不一定成立，所以A错误； 对于B，令，因为函数在上单调递增， 所以， 即，所以B正确； 对于C，令，因为是增函数， 所以， 所以 ， 所以，所以， 所以C正确； 对于D，令，因为是增函数， 所以， 所以； 令，因为是增函数， 所以， 所以； 令，因为是增函数， 所以， 所以； …… 令，因为是增函数， 所以， 所以， 所以， 所以D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在的展开式中，含项的系数为______． 【答案】19 【分析】根据二项式展开式的通项公式逐一进行求解. 【解析】在的展开式中， 含项的系数为， 故答案为：19. 13.在三棱锥中，对棱，，，则该三棱锥的外接球体积为________，内切球表面积为________. 【答案】①. ②. ## 【分析】将三棱锥补成长方体，计算出长方体长、宽、高的值，可计算出该三棱锥的外接球半径，计算出的表面积与体积，利用等体积法可求得该三棱锥内切球的半径，利用球体的体积和表面积公式可求得结果. 【解析】因为三棱锥每组对棱棱长相等，所以可以把三棱锥放入长方体中， 设长方体的长、宽、高分别为、、，如下图所示： 则，，，解得，， 外接球直径，其半径为， 三棱锥的体积， 在中，，，取的中点，连接，如下图所示： 则，且，所以，， 因为三棱锥的每个面的三边分别为、、， 所以，三棱锥的表面积为， 设三棱锥的内切球半径为，则，可得， 所以该三棱锥的外接球体积为，内切球表面积为. 故答案为：；. 14.过抛物线一条弦的中点作垂直于准线的直线交抛物线于一点，以该点及弦的端点为顶点的三角形称为这条弦的衍生三角形．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与抛物线交于两点，弦的衍生三角形是．记为弦的一阶衍生三角形；弦的衍生三角形为弦的二阶衍生三角形；弦的衍生三角形为弦的三阶衍生三角形；⋯，由此进行下去，记所有的弦的阶衍生三角形的面积之和为，若对任意，，则正整数的最大值为______． 【答案】8 【分析】直线和抛物线联立方程组，由直线和抛物线相交得到，利用根与系数的关系写出，求出，求出，从而可以求出，继而求出，从而得到是等比数列，利用无穷等比数列的前项和求出，利用求出的范围，从而得到正整数的最大值. 【解析】将代入，得到，即， ，， 设，则， ，，， ， ， ， ， ， 这说明弦的阶衍生三角形都可以生成阶中的两个衍生三角形， 且后者的面积之和是前者面积的，故数列是以为首项， 以为公比的等比数列， ， 对任意，， ，， ，，， ，， 正整数的最大值为. 故答案为：8. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三二轮复习“8+3+3”小题部分章节融合强化训练(4) 一、小题知识归纳 单选1：一元二次不等式与交集的融合 单选2：复数运算与几何意义融合 单选3：常用逻辑用语与立体几何的融合 单选4：统计 单选5：向量数量积与投影向量的融合 单选6：余弦定理与面积公式、二倍角公式的融合 单选7：圆与椭圆的融合 单选8：立体几何线面垂直以及球截平面交线问题融合 多选9：比较大小 多选10：条件概率与全概率 多选11：抽象函数综合性质应用 填空12：利用二项式定理求项的系数 填空13：外接球与内切球问题 填空14：抛物线与等比数列的融合 二、小题强化训练 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2．已知复数，在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3．已知直线与平面.命题：在平面外，命题：，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 4．某公司50名员工的月工资统计表如下： 工资/元 3600 4000 4400 5000 6000 7000 人数/名 5 10 20 7 5 3 记这50名员工月工资的平均数为元，中位数为元，众数为元，则（ ） A. B. C. D. 5．已知平面向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6．已知的内角的对边分别为，且面积满足，则（ ） A. B. C. D. 2 7．过作直线交圆于另一点，连接和的直线交椭圆于另一点，设直线、的斜率分别为、，则（ ） A. B. C. D. 8．已知四棱锥中，平面，，点到直线的距离为2．以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，则（ ） A. B. C. D. 10．设，，是同一概率空间中的随机事件，满足，，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11．已知函数的定义域为，对任意正实数，函数在上单调递增，则（ ） A. B. C. 若，则 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在的展开式中，含项的系数为______． 13.在三棱锥中，对棱，，，则该三棱锥的外接球体积为________，内切球表面积为________. 14.过抛物线一条弦的中点作垂直于准线的直线交抛物线于一点，以该点及弦的端点为顶点的三角形称为这条弦的衍生三角形．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与抛物线交于两点，弦的衍生三角形是．记为弦的一阶衍生三角形；弦的衍生三角形为弦的二阶衍生三角形；弦的衍生三角形为弦的三阶衍生三角形；⋯，由此进行下去，记所有的弦的阶衍生三角形的面积之和为，若对任意，，则正整数的最大值为______． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $