专题05平行四边形 （知识梳理+题型精析+新课预习讲义）2025-2026学年苏科版八年级数学下册

专题05平行四边形 【题型01 数图形中平行四边形的个数】.............................3 【题型02 利用平行四边形的性质求解】.............................5 【题型03 利用平行四边形的性质证明】.............................7 【题型04 平行四边形性质的其他应用】............................10 【题型05 证明四边形是平行四边形】..............................13 【题型06 判断能否构成平行四边形】..............................15 【题型07 添一个条件成为平行四边形】............................17 【题型08 求与已知三点组成平行四边形的点的个数】................20 【题型09 利用平行四边形的判断与性质求解】......................23 【题型10 平行四边形性质和判断的应用】..........................26 【题型11 解答题4题】..........................................29 知识梳理 知识点01:核心概念 1. 定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 几何语言：在四边形ABCD中，若AB∥CD且AD∥BC，则四边形ABCD是平行四边形。 符号表示：记作□ABCD，读作 “平行四边形ABCD”，顶点需按顺时针或逆时针顺序排列。 2. 相关元素 对边：AB与CD，AD与BC（无公共顶点的边） 对角：∠A与∠C，∠B与∠D（无公共边的角） 邻角：∠A与∠B，∠B与∠C等（有公共边的角） 对角线：连接不相邻顶点的线段，即AC、BD，交于点O 知识点02:核心性质（定理） 1. 边的性质 对边平行（定义）：AB∥CD，AD∥BC。 对边相等：AB=CD，AD=BC。 几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC。 2. 角的性质 对角相等：∠A=∠C，∠B=∠D。 邻角互补：∠A+∠B=180∘，∠B+∠C=180∘（两直线平行，同旁内角互补）。 几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，∠B=∠D；∠A+∠B=180∘。 3. 对角线的性质 对角线互相平分：对角线AC与BD交于点O，则AO=OC，BO=OD。 几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴AO=OC，BO=OD。 4. 对称性 平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点O。 绕对称中心旋转180∘后能与自身重合。 知识点03:易错点提醒 1.平行四边形的对边、对角是分别相等，不是所有边、所有角都相等（区别于矩形、正方形）。 2.对角线互相平分，不是相等（相等是矩形的性质）。 3.表示平行四边形时，字母顺序不能乱（如□ABCD≠□ACBD）。 4.邻角互补是由 “对边平行” 推导而来，是平行四边形角的核心性质之一。 【题型1.数图形中平行四边形的个数】 【典例】如图，线段，相交于点，且点，，与点，，分别四等分线段与，则依次连接这些点可以构成 个平行四边形． 【答案】4 【分析】本题考查了平行四边形的定义，熟练掌握相关内容是解题的关键； 根据平行四边形的定义数出具体有几个平行四边形． 【详解】解：根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可得： 在四边形中，， ∴四边形是平行四边形 同理可得，四边形，四边形，四边形，均为平行四边形；一共4个； 故答案为：4． 【跟踪专练1】如图，是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，线段的两个端点都是格点，以为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多可以作（    ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 根据网格的特点和平行四边形的判定方法即可解决问题． 【详解】如图所示， 根据网格的特点可得， 四边形，，，，，为平行四边形， 所以这样的平行四边形最多可以画5个， 故选C． 【跟踪专练2】根据如图所示的三个图所表示的规律依次数下去，第n个图中平行四边形的个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查图形的变化规律，找出一行中的平行四边形的个数，再找出所有的行数，由此找出第个图中平行四边形的个数为是解题的关键．首先发现第一个图中平行四边形的个数是个，第二个图中平行四边形的个数是，第三个图中平行四边形的个数是，由此发现规律解答即可． 【详解】解：∵第一个图中平行四边形的个数是个， 第二个图中平行四边形的个数是， 第三个图中平行四边形的个数是， ∴第个图中平行四边形的个数是， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在中，，分别是，的中点，则图中的平行四边形一共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，掌握利用中点条件结合平行四边形性质，有序找出所有满足判定的四边形是解题的关键． 利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合中点条件，有序找出所有满足平行四边形判定的四边形，避免遗漏． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，分别是的中点 ∴ ， ， ， ∴ 根据平行四边形的判定定理，图中的平行四边形有： 四边形：已知条件； 四边形：∵且； 四边形：∵且； 四边形：∵且； 四边形：且； 四边形：且； 综上，图中共有个平行四边形． 故选：D． 【题型2.利用平行四边形的性质求解】 【典例】在平行四边形中，若，则的度数为 ． 【答案】/65度 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的对角相等即可求解，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】已知中，，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形角度的关系是解题关键．利用平行四边形邻角互补和对角相等的性质，结合给定比例求解即可． 【详解】解：∵在中，与是邻角， ∴， 设，则， ∴， ∴，即， 故选：A． 【跟踪专练2】如图，，若，则 ；图中共有 个平行四边形． 【答案】 4 3 【分析】此题主要考查平行四边形的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定找出平行四边形有3个．根据平行四边形的性质，对边相等可得出． 【详解】解：由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得图中的平行四边形有、、三个． ∵四边形为平行四边形， ∴． 故答案为：4；3． 【跟踪专练3】已知在平行四边形中，的度数之比为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定定理，熟知两组对角分别相等的四边形是平行四边形是解题的关键． 要判定四边形是平行四边形，则其两组对角需要分别相等，即且，结合角度比例即可求解. 【详解】解：设，，，. 要判定四边形是平行四边形，则其两组对角需要分别相等，即且， 由可得，解得； 由可得，解得 此时. ∴当时，能判定四边形是平行四边形， 故选：C． 【题型3.利用平行四边形的性质证明】 【典例】平行四边形的两组对边分别 且 ；平行四边形的两组对角分别 ；两邻角 ；平行四边形的对角线 ；平行四边形的面积＝底边长× ． 【答案】 平行 相等 相等 互补 互相平分 底边上的高 【分析】根据平行四边形的性质，即可求解． 【详解】解：平行四边形的两组对边分别平行且相等；平行四边形的两组对角分别相等；两邻角互补；平行四边形的对角线互相平分；平行四边形的面积＝底边长×底边上的高． 故答案为：平行；相等；相等；互补；互相平分；底边上的高． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的两组对边分别平行且相等；平行四边形的两组对角分别相等；两邻角互补；平行四边形的对角线互相平分；平行四边形的面积＝底边长×底边上的高是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，在中，，交于点，下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行四边形的性质．掌握平行四边形的对角线互相平分是解题关键． 根据平行四边形的性质进行判断即可． 【详解】解： A、根据平行四边形的对角线互相平分，无法得到，故本选项错误，不符合题意； B、根据平行四边形的对角线互相平分，无法得到，故本选项错误，不符合题意； C、根据平行四边形的对角线互相平分，可得，故本选项正确，符合题意； D、根据平行四边形的对角线互相平分，无法得到，故本选项错误，不符合题意； 故选：C． 【跟踪专练2】如图，在中，，点在上，．如果，那么 °．    【答案】30 【分析】根据等腰三角形性质及平行四边形性质求解即可得到答案． 【详解】解：，， ， 在中，根据三角形内角和定理可得， 在中，，则， 又， ， 在中，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形背景下求角度，涉及等腰三角形性质、平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形性质是解决问题的关键． 【跟踪专练3】如图，在平行四边形中，，于，于，，相交于，与的延长线相交于点，下面给出四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论是（    ）    A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】①由等腰直角三角形的性质可求；②由余角的性质和平行四边形的性质可求；③证明，可得； ④在和中，只有三个角相等，没有边相等，则和不全等． 【详解】解：， ， ，故①正确； ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，故②正确； ， ， 在和中， ， ， ，故③正确； 在和中，只有三个角相等，没有边相等， 与不全等，故④错误， 综上：正确的有①②③； 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，灵活运用这些性质解题的关键． 【题型4.平行四边形性质的其他应用】 【典例】关于平行四边形，下列说法正确的是（　　） A．既是轴对称图形，又是中心对称图形 B．是轴对称图形，但不是中心对称图形 C．不是轴对称图形，但是中心对称图形 D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质：平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形进行判定即可． 【详解】解：∵平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形， ∴A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，选项说法错误，不符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，选项说法错误，不符合题意； C、不是轴对称图形，但是中心对称图形，选项说法正确，符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质：平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，熟记性质是解题的关键． 【跟踪专练1】已知点E在面积为4的平行四边形ABCD的边上运动，那么使△ABE的面积为1的点E共有 个． 【答案】2 【分析】因为△ABE的底与平行四边形的底相等，要使△ABE的面积为1，则高△ABE的高必须为平行四边形的一半，所以当E在AD，BC的中点时成立． 【详解】解：如图， ∵平行四边形ABCD的底是不变的， 即AB是固定的，AB即为△ABE的底不变，高变化， ∵AB×AB边上的高=1， ∴当△ABE的高为平行四边形ABCD的底边AB上的高的一半时△ABE的面积为1， 即E在AD，BC的中点时成立， 故使△ABE的面积为1的点E共有2个． 故答案为2． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形的面积等，注意：同底同高的三角形的面积是平行四边形的面积的一半． 【跟踪专练2】如图▱ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，图中有（　　）对面积相等的平行四边形． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】平行四边形的对角线将平行四边形分成两个面积相等的三角形．所以三角形ABD的面积等于三角形BCD的面积．三角形BGP的面积等于EBP的面积，三角形HPD的面积等于三角形PDF的面积，从而可得到AEPH的面积等于GCFP的面积，同时加上一个公共的平行四边形，可以得出答案有三个． 【详解】解：∵ABCD为平行四边形，BD为对角线， ∴△ABD的面积等于△BCD的面积， 同理△BGP的面积等于△EBP的面积，△PFD的面积等于△HPD的面积， ∵△BCD的面积减去△BGP的面积和△PDF的面积等于平行四边形PGCF的面积，△ABD的面积减去△EBP和△HPD的面积等于平行四边形AEPH的面积． ∴▱PGCF的面积等于▱AEPH的面积． ∴同时加上平行四边形PFDH和BGPE， 可以得出▱AEFD面积和▱HGCD面积相等，▱ABGH和▱BCFE面积相等． 所以有3对面积相等的平行四边形． 故选C． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，解决本题的关键是要熟练掌握平行四边形的性质. 【跟踪专练3】如图，在中，、分别是、边上的点，与交于点，与交于点，若，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】50 【分析】连接E、F两点，由三角形的面积公式我们可以推出S△EFC=S△BCF，S△EFD=S△ADF，所以S△EFQ=S△BCQ，S△EFP=S△APD，因此可以推出阴影部分的面积就是S△APD+S△BQC． 【详解】解：如图，连接E、F两点， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴△EFC的FC边上的高与△BCF的FC边上的高相等， ∴S△EFC=S△BCF， ∴S△EFC－S△QFC =S△BCF－S△QFC， 即S△EFQ=S△BCQ， 同理：S△EFD=S△ADF， ∴S△EFP=S△APD， ∵S△APD=20cm2，S△BQC=30cm2， ∴S四边形EPFQ= S△APD + S△BQC =50cm2， 故答案为：50． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，解答此题关键是作出辅助线，找出同底等高的三角形． 【题型5.证明四边形是平行四边形】 【典例】如图，D是直线l外一点，在l上取两点A，B，连接AD，分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连接CD，BC，则四边形ABCD是平行四边形，理由是 ．    【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【详解】解：根据尺规作图的画法可得，AB＝DC，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 【跟踪专练1】如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合的部分构成了一个四边形．转动其中一张纸条，四边形始终是平行四边形的依据是（    ） . A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C．两组对角分别相等的四边形是平行四边形 D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 【答案】A 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定，正确把握两组对边分别相等的四边形是平行四边形是解题关键．根据平行四边形的判定解答即可． 【详解】解：由题意可知，，， ∴四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）， 故选：A． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，动点P从点A开始沿边向点D以的速度运动，动点Q从点C开始沿边以的速度向点B运动，P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为，连接，当 时，四边形是平行四边形． 【答案】6 【分析】本题考查平行四边形的判定，根据平行四边形的判定方法，得到当时，四边形是平行四边形，列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，， ∴， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴，解得； 故答案为：6． 【跟踪专练3】如图，在四边形中，对角线，相交于点．下列条件能判定这个四边形是平行四边形的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【分析】根据平行四边形的判定方法即可判断. 【详解】解：A、，不能判定这个四边形是平行四边形，不符合题意； B、，不能判定这个四边形是平行四边形，不符合题意； C、，不能判定这个四边形是平行四边形，不符合题意； D、，能判定这个四边形是平行四边形，符合题意. 故选：D． 【点睛】本题考查平行四边形的判断、解题的关键是根据对角线互相平分的四边形是平行四边形进行判定． 【题型6.判断能否构成平行四边形】 【典例】定义：两组对边分别 的四边形是平行四边形，平行四边形ABCD可写成 ． 【答案】 平行 【分析】根据平行四边形的定义作答即可． 【详解】解：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，平行四边形ABCD可写成 故答案为：平行，． 【点睛】本题考查了平行四边形的定义．解题的关键在于对平行四边形定义的熟练掌握． 【跟踪专练1】如图，在下列给出的条件中，可以判定四边形为平行四边形的条件是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，熟记平行四边形的判定方法，是解题的关键．根据平行四边形的判定方法，逐项进行判断即可． 【详解】解：A．，，一组对边平行，一组对角相等的四边形，不能判定该四边形是平行四边形，故A错误； B．，，一组对边平行，另一组对边相等的四边形，不能判定该四边形是平行四边形，故B错误； C．，，一组对边平行，另一组对边相等的四边形，不能判定该四边形是平行四边形，故C错误； D．，，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定四边形是平行四边形，故D正确． 故选：D． 【跟踪专练2】如图，的对角线交于点O，点M，N，P，Q分别是四条边上不重合的点．下列条件：①，；②MP，NQ均经过点O；③NQ经过点O，．能判定四边形MNPQ是平行四边形的有 （填序号）． 【答案】①② 【分析】①根据平行四边形的性质结合已知条件，证明，，可得，，根据两组对边相等的四边形是平行四边形，即可判断①，②根据平行四边形是中心对称图形，即可判断②，根据已知条件不能判断③． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ，,． ①， ∴， ∴． ， ， 又， ， ， 四边形是平行四边形． 故①正确； ②∵， ∴， ， ∴， ∴． 同理可得： ∵， 四边形是平行四边形． 故②正确； ③经过点O，，的位置未知，不能判断四边形是平行四边形， 故③不正确； 故答案为：①②． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键． 【跟踪专练3】如图，四边形的对角线相交于点，下列条件能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法． 结合全等三角形的性质，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形，故C符合题意， 但是A、B、D条件均不能证明，故不符合题意， 故选：C． 【题型7.添一个条件成为平行四边形】 【典例】四边形中，，，如果再添加一个条件，可以得到四边形是矩形，那么可以添加的条件是 ．（不再添加线或字母，写出一种情况即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据矩形的判定，可添加条件使四边形是平行四边形即可． 【详解】解：可添加， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】本题考查矩形的判定、平行四边形的判定，熟练掌握矩形的判定是解答的关键． 【跟踪专练1】如图，在四边形中，，则添加下列条件，可使四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定以及平行线的判定与性质．由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、由，，不能判定四边形为平行四边形，还有可能是等腰梯形，故本选项不符合题意； B、∵， ∴， 不能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意； C、由，，不能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意； D、∵ ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，故本选项符合题意； 故选：D． 【跟踪专练2】在四边形中，，再从下列四个条件中：①；②；③；④任选一个，能使四边形为平行四边形的条件的序号是 ． 【答案】①或③ 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的定义以及判定定理是解题的关键．用平行四边形的定义及判定答题即可． 【详解】解：添加①，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可判定为平行四边形； 添加②，不能判定为平行四边形； 添加③，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可判定为平行四边形； 添加④，不能判定为平行四边形； 故答案为：①或③． 【跟踪专练3】如图，已知，增加下列条件可以使四边形成为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，根据平行四边形的判定定理逐项判断即可，解题的关键是熟知平行四边形的判定定理． 【详解】、由可得，结合题意，不能证明四边形成为平行四边形，不符合题意； 、由，结合题意，不能证明四边形成为平行四边形，不符合题意； 、∵， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，符合题意； 、由，结合题意，不能证明四边形成为平行四边形，不符合题意； 故选：． 【题型8.求与已知三点组成平行四边形的点的个数】 【典例】以不共线的三点为平行四边形的其中三个顶点作平行四边形，一共可作平行四边形的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】此题考查了平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．做题时需要分类讨论，以防漏解．如图，三点不共线，连接、、，分别以其中一条线段为对角线，另两边为平行四边形的边，可构成三个不同的平行四边形． 【详解】解：如图，三点不共线，连接、、， 分别以、、为平行四边形的对角线，另外两边为边， 可构成的平行四边形有三个：，，； 综上所述，可以作3个平行四边形， 故选：B． 【跟踪专练1】在下面的网格图中有三个点，其中点和点在网格线的交点处，点在网格线上．请在本网格图中找出点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，符合要求的点有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形解答即可求解，掌握平行四边形的判定是解题的关键． 【详解】解：当为平行四边形的对角线时，点的位置如图所示： 当为平行四边形的对角线时，点的位置如图所示： ∴符合要求的点有个， 故选：． 【跟踪专练2】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C在网格中的位置如图所示，建立适当的平面直角坐标系，使点A、B、C的坐标分别为、、，在平面直角坐标系中找一点D，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，请写出所有符合条件的点D的坐标： ． 【答案】或或 【分析】此题主要考查平行四边形的判定，分三种情形，可以以、或为一条对角线，画出平行四边形即可. 【详解】解：根据题意得，建立如图直角坐标系． 当，时，； 当，时，； 当，时，． 故答案为：或或． 【跟踪专练3】小区有一块空地要栽树，为了美观想栽成平行四边形的形状．已知其中三棵树的位置如图所示，请根据这三棵树的位置确定出第四棵树的位置，共有几种情况？请在图中画出．    【答案】3种情况，画图见解析 【分析】先连接，，，再分别以，为圆心，，为半径画圆，得到交点E，同法可得D，再延长，交于点F，从而可得答案． 【详解】解：如图，第四棵树的位置有3个位置，    【点睛】本题考查的是平行四边形的作图，掌握利用尺规画平行四边形是解本题的关键． 【题型9.利用平行四边形的判定于性质求解】 【典例】在四边形中，如果且，，那么 ． 【答案】28 【分析】先证明四边形为平行四边形，再根据平行四边形的性质可求解． 【详解】解：∵且，， ∴四边形为平行四边形， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质．掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，的四个顶点分别在的四条边上，，分别交、于点、，过点作，分别交、于点、，若四边形面积为，则的面积为（     ） A． B．a C． D． 【答案】B 【分析】此题重点考查平行四边形的判定与性质、三角形的面积公式与平行四边形的面积公式等知识正确地添加辅助线是解题的关键． 连接，，根据平行四边形的性质可得的面积的面积，再利用平行四边形的性质可得作，从而可得，进而可得的面积的面积，然后再根据作，可证四边形是平行四边形，从而可得的面积的面积，进而可得的面积的面积，即可解答． 【详解】解：连接，， 四边形是平行四边形， 的面积的面积， 四边形是平行四边形， ， ， ， 的面积的面积， ， 四边形是平行四边形， 的面积的面积， 的面积的面积， ∵四边形面积为， 的面积为， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，已知与关于点对称，过点任意作直线分别交、于点、，下列结论中，正确的有 个． （1）点和点；点和点是关于点的对称点； （2）直线必经过点； （3）四边形是中心对称图形； （4）四边形和四边形的面积相等； （5）和成中心对称 【答案】/五 【分析】本题考查了中心对称的性质、平行四边形的判定与性质，由题意可得，，从而可得四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可得点就是平行四边形的对称中心，由此逐项分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵与关于点对称， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴点就是平行四边形的对称中心， ∴（1）点和点；点和点是关于点的对称点，说法正确； （2）直线必经过点，说法正确； （3）四边形是中心对称图形，说法正确； （4）四边形和四边形的面积相等，说法正确； （5）和成中心对称，说法正确； 综上所述，正确的个数为个， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在平行四边形中，相交于点，图中共有（　　）个平行四边形． A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定； 首先根据已知条件找出图中的平行线段，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，来判断图中平行四边形的个数． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ∴ ∴平行四边形有：、、、、、、、；；共个． 故选：C． 【题型10.平行四边形性质和判定的应用】 【典例】如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线的交点，那么 （填“”“”或“”）．    【答案】 【分析】取格点E，连接，构造平行四边形，利用平行四边形的性质即可求解． 【详解】解：如图，取格点E，连接，    ∵，， ∵四边形为平行四边形， ∴ ∴ ∵ ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握构造平行四边形是解题的关键． 【跟踪专练1】某广场上一个形状是平行四边形的花坛，分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花，如果有，，那么下列说法中错误的是（  ）    A．红花、绿花种植面积一定相等 B．紫花、橙花种植面积一定相等 C．红花、蓝花种植面积一定相等 D．蓝花、黄花种植面积一定相等 【答案】C 【分析】由题意得出四边形、四边形、四边形、四边形、四边形是平行四边形，得出的面积的面积，的面积的面积，的面积的面积，得出四边形的面积四边形的面积，即可得出结论． 【详解】解：如图所示：   ，， 四边形、四边形、四边形、四边形、四边形是平行四边形， 的面积的面积，的面积的面积，的面积的面积，故A，D选项正确 四边形的面积四边形的面积，故B选项正确 ∴A、B、D正确，C不正确； 故选：C． 【点睛】此题考查平行四边形的性质，利用平行四边形性质比较三角形面积大小，结合图形解题较为简便． 【跟踪专练2】在四边形ABCD中，，，若，则 ． 【答案】140° 【分析】根据ABCD，AB=CD，可得四边形ABCD为平行四边形，根据平行四边形的性质即可得答案． 【详解】解：∵ABCD，AB=CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC ∵∠A=40°， ∴∠B=140°， 故答案为：140°． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质，解题的关键是判定四边形ABCD为平行四边形． 【跟踪专练3】如图（1）所示是某校篮球架实物图，如图（2）所示是篮球架的侧面示意图，篮板边侧垂直于地面．八年级的“综合与实践”数学小组开展测量篮球架篮板高度的实践活动．在不便于直接测量的情况下，小组设计了如下测量方法：如图（3）所示，小组成员将竹竿垂直固定在地面上，小明从竹竿上的F点处观察篮板底部B点，用测角仪测量视线与竹竿的夹角的度数为，接着将观察点沿着竹竿向上移动到G点，使得从G点观察篮板顶部A点的视线与竹竿的夹角的度数恰好等于的度数时，在竹竿上标注G点的位置，测量的长度为．活动分享时，小明说：“的长度就是篮板的高度”，你认为小明的说法是否正确，并说明理由． 【答案】我认为小明的说法正确，见解析 【分析】本题主要查了平行四边形的判定和性质，证明四边形是平行四边形是解题的关键． 根据题意可得，再由，得到，继而得到四边形是平行四边形，即可解答． 【详解】解：我认为小明的说法正确．理由如下： ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴四边形是平行四边形． ∴． ∴的长度就是篮板的高度． 解答题 1．如下图，的对角线和相交于点，交于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】由平行四边形的对角线相交于点，，根据线段垂直平分线的性质，可得，进而得到. 【详解】证明：平行四边形的对角线互相平分， ． 又于点， ， ． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质，解答本题的关键是熟练掌握平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质. 2．已知：如图，在中，分别是边和上的点，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 根据平行四边形的性质证明，得到，，再根据平行四边形的判定即可证明． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， 又∵， ∴， ∴，， ∴，即， ∴四边形是平行四边形． 3．如图，在平行四边形中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动，同时点也停止运动．设运动时间为秒，开始运动以后，当为何值时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形？ 【答案】当时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质，注意掌握分类讨论思想的应用．设经过秒，根据平行四边形的判定可得当时，以点，，，为顶点组成平行四边形，然后分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：∵平行四边形是平行四边形， ∴，， ∵要使以点，，，为顶点组成平行四边形， ∴只需， ∵点从点到点需要，点从到需要， 分为以下情况： 当时，即点的运动路线在时， 由题意，得：， 解得：，此时不符合题意； ②当时，点的运动路线在时， 由题意，得：， 解得：； ③当时，点的运动路线在时， 由题意，得：， 解得：，此时不符合题意； 综上所述，当时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 4．如图，，，均为等边三角形，且两两共用一个顶点．求证：与互相平分． 【答案】证明见解析 【分析】此题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 由等边三角形的性质得，，再证明，得，进而得，再证明，然后证明四边形是平行四边形，即可得出结论． 【详解】证明：∵，，均为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴与互相平分． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05平行四边形 【题型01 数图形中平行四边形的个数】............................3 【题型02 利用平行四边形的性质求解】............................4 【题型03 利用平行四边形的性质证明】............................4 【题型04 平行四边形性质的其他应用】............................5 【题型05 证明四边形是平行四边形】..............................6 【题型06 判断能否构成平行四边形】..............................7 【题型07 添一个条件成为平行四边形】............................8 【题型08 求与已知三点组成平行四边形的点的个数】................8 【题型09 利用平行四边形的判断与性质求解】......................9 【题型10 平行四边形性质和判断的应用】.........................10 【题型11 解答题4题】.........................................11 知识梳理 知识点01:核心概念 1. 定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 几何语言：在四边形ABCD中，若AB∥CD且AD∥BC，则四边形ABCD是平行四边形。 符号表示：记作□ABCD，读作 “平行四边形ABCD”，顶点需按顺时针或逆时针顺序排列。 2. 相关元素 对边：AB与CD，AD与BC（无公共顶点的边） 对角：∠A与∠C，∠B与∠D（无公共边的角） 邻角：∠A与∠B，∠B与∠C等（有公共边的角） 对角线：连接不相邻顶点的线段，即AC、BD，交于点O 知识点02:核心性质（定理） 1. 边的性质 对边平行（定义）：AB∥CD，AD∥BC。 对边相等：AB=CD，AD=BC。 几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC。 2. 角的性质 对角相等：∠A=∠C，∠B=∠D。 邻角互补：∠A+∠B=180∘，∠B+∠C=180∘（两直线平行，同旁内角互补）。 几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，∠B=∠D；∠A+∠B=180∘。 3. 对角线的性质 对角线互相平分：对角线AC与BD交于点O，则AO=OC，BO=OD。 几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴AO=OC，BO=OD。 4. 对称性 平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点O。 绕对称中心旋转180∘后能与自身重合。 知识点03:易错点提醒 1.平行四边形的对边、对角是分别相等，不是所有边、所有角都相等（区别于矩形、正方形）。 2.对角线互相平分，不是相等（相等是矩形的性质）。 3.表示平行四边形时，字母顺序不能乱（如□ABCD≠□ACBD）。 4.邻角互补是由 “对边平行” 推导而来，是平行四边形角的核心性质之一。 【题型1.数图形中平行四边形的个数】 【典例】如图，线段，相交于点，且点，，与点，，分别四等分线段与，则依次连接这些点可以构成 个平行四边形． 【跟踪专练1】如图，是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，线段的两个端点都是格点，以为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多可以作（    ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 【跟踪专练2】根据如图所示的三个图所表示的规律依次数下去，第n个图中平行四边形的个数是 ． 【跟踪专练3】如图，在中，，分别是，的中点，则图中的平行四边形一共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【题型2.利用平行四边形的性质求解】 【典例】在平行四边形中，若，则的度数为 ． 【跟踪专练1】已知中，，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，，若，则 ；图中共有 个平行四边形． 【跟踪专练3】已知在平行四边形中，的度数之比为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【题型3.利用平行四边形的性质证明】 【典例】平行四边形的两组对边分别 且 ；平行四边形的两组对角分别 ；两邻角 ；平行四边形的对角线 ；平行四边形的面积＝底边长× ． 【跟踪专练1】如图，在中，，交于点，下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，，点在上，．如果，那么 °．    【跟踪专练3】如图，在平行四边形中，，于，于，，相交于，与的延长线相交于点，下面给出四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论是（    ）    A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【题型4.平行四边形性质的其他应用】 【典例】关于平行四边形，下列说法正确的是（　　） A．既是轴对称图形，又是中心对称图形 B．是轴对称图形，但不是中心对称图形 C．不是轴对称图形，但是中心对称图形 D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形 【跟踪专练1】已知点E在面积为4的平行四边形ABCD的边上运动，那么使△ABE的面积为1的点E共有 个． 【跟踪专练2】如图▱ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，图中有（　　）对面积相等的平行四边形． A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪专练3】如图，在中，、分别是、边上的点，与交于点，与交于点，若，，则图中阴影部分的面积为 ． 【题型5.证明四边形是平行四边形】 【典例】如图，D是直线l外一点，在l上取两点A，B，连接AD，分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连接CD，BC，则四边形ABCD是平行四边形，理由是 ．    【跟踪专练1】如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合的部分构成了一个四边形．转动其中一张纸条，四边形始终是平行四边形的依据是（    ） . A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C．两组对角分别相等的四边形是平行四边形 D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，动点P从点A开始沿边向点D以的速度运动，动点Q从点C开始沿边以的速度向点B运动，P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为，连接，当 时，四边形是平行四边形． 【跟踪专练3】如图，在四边形中，对角线，相交于点．下列条件能判定这个四边形是平行四边形的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【题型6.判断能否构成平行四边形】 【典例】定义：两组对边分别 的四边形是平行四边形，平行四边形ABCD可写成 ． 【跟踪专练1】如图，在下列给出的条件中，可以判定四边形为平行四边形的条件是（    ） A．， B．， C．， D．， 【跟踪专练2】如图，的对角线交于点O，点M，N，P，Q分别是四条边上不重合的点．下列条件：①，；②MP，NQ均经过点O；③NQ经过点O，．能判定四边形MNPQ是平行四边形的有 （填序号）． 【跟踪专练3】如图，四边形的对角线相交于点，下列条件能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【题型7.添一个条件成为平行四边形】 【典例】四边形中，，，如果再添加一个条件，可以得到四边形是矩形，那么可以添加的条件是 ．（不再添加线或字母，写出一种情况即可） 【跟踪专练1】如图，在四边形中，，则添加下列条件，可使四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】在四边形中，，再从下列四个条件中：①；②；③；④任选一个，能使四边形为平行四边形的条件的序号是 ． 【跟踪专练3】如图，已知，增加下列条件可以使四边形成为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【题型8.求与已知三点组成平行四边形的点的个数】 【典例】以不共线的三点为平行四边形的其中三个顶点作平行四边形，一共可作平行四边形的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【跟踪专练1】在下面的网格图中有三个点，其中点和点在网格线的交点处，点在网格线上．请在本网格图中找出点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，符合要求的点有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【跟踪专练2】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C在网格中的位置如图所示，建立适当的平面直角坐标系，使点A、B、C的坐标分别为、、，在平面直角坐标系中找一点D，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，请写出所有符合条件的点D的坐标： ． 【跟踪专练3】小区有一块空地要栽树，为了美观想栽成平行四边形的形状．已知其中三棵树的位置如图所示，请根据这三棵树的位置确定出第四棵树的位置，共有几种情况？请在图中画出．    【题型9.利用平行四边形的判定于性质求解】 【典例】在四边形中，如果且，，那么 ． 【跟踪专练1】如图，的四个顶点分别在的四条边上，，分别交、于点、，过点作，分别交、于点、，若四边形面积为，则的面积为（     ） A． B．a C． D． 【跟踪专练2】如图，已知与关于点对称，过点任意作直线分别交、于点、，下列结论中，正确的有 个． （1）点和点；点和点是关于点的对称点； （2）直线必经过点； （3）四边形是中心对称图形； （4）四边形和四边形的面积相等； （5）和成中心对称 【跟踪专练3】如图，在平行四边形中，相交于点，图中共有（　　）个平行四边形． A．7 B．8 C．9 D．10 【题型10.平行四边形性质和判定的应用】 【典例】如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线的交点，那么 （填“”“”或“”）．    【跟踪专练1】某广场上一个形状是平行四边形的花坛，分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花，如果有，，那么下列说法中错误的是（  ）    A．红花、绿花种植面积一定相等 B．紫花、橙花种植面积一定相等 C．红花、蓝花种植面积一定相等 D．蓝花、黄花种植面积一定相等 【跟踪专练2】在四边形ABCD中，，，若，则 ． 【跟踪专练3】如图（1）所示是某校篮球架实物图，如图（2）所示是篮球架的侧面示意图，篮板边侧垂直于地面．八年级的“综合与实践”数学小组开展测量篮球架篮板高度的实践活动．在不便于直接测量的情况下，小组设计了如下测量方法：如图（3）所示，小组成员将竹竿垂直固定在地面上，小明从竹竿上的F点处观察篮板底部B点，用测角仪测量视线与竹竿的夹角的度数为，接着将观察点沿着竹竿向上移动到G点，使得从G点观察篮板顶部A点的视线与竹竿的夹角的度数恰好等于的度数时，在竹竿上标注G点的位置，测量的长度为．活动分享时，小明说：“的长度就是篮板的高度”，你认为小明的说法是否正确，并说明理由． 解答题 1．如下图，的对角线和相交于点，交于点．求证：． 2．已知：如图，在中，分别是边和上的点，且．求证：四边形是平行四边形． 3．如图，在平行四边形中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动，同时点也停止运动．设运动时间为秒，开始运动以后，当为何值时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形？ 4．如图，，，均为等边三角形，且两两共用一个顶点．求证：与互相平分． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $