精品解析：广东省梅州市五华县五华 2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

秋季新课标九年级数学（上册）（期末） （时间120分钟，满分120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图案中是中心对称图形但不是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 2. 设是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 10 3. 有7张除数字外都相同的卡片，上面分别写着1，2，3，4，5，6，7．随机抽取1张，取出的数字是偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解一元二次方程，配方后可得（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点A，B，C在上，，的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 下列函数中，对应图象的顶点坐标是的是（ ） A. B. C. D. 7. 关于的方程实数根的情况，下列判断正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 8. 如图，是的切线，切点为A，PA=2,∠APO=30°，则的半径为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 9. 如图，一个底部呈球形的烧瓶，其球形部分的半径为，瓶内液体的最大深度为，则截面圆中弦的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线经过等腰直角三角形的两个顶点A，B，点A在y轴上，则的值为( ) A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为_______． 12. 若是二次函数图象上的点，则_____ 13. 若α、β是方程的两个实数根，则的值为______ 14. 如图为二次函数图象的一部分，其对称轴为直线．若其与x轴一交点为，则由图象可知，不等式的解集是_______． 15. 如图，平面直角坐标系中有一点，在以为圆心，2为半径的圆上有一点，将点绕点旋转后恰好落在轴上，则点的坐标是__________． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 解方程 （1） （2） 17. 将图中的破轮子复原，已知弧上三点，用尺规画出该轮子的圆心． 18. 如图，已知的顶点在格点上，在网格中按下列要求作图： （1）将绕点逆时针旋转得到； （2）作出与关于点成中心对称的． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 某校组织学生观看“天宫课堂”第二课直播，跟着空间站的翟志刚、王亚平、叶光富三位宇航员学习科学知识，他们相互配合，生动演示了四个实验：（A）微重力环境下的太空“冰雪”实验，（B）液桥演示实验，（C）水油分离实验，（D）太空抛物实验．观看完后，该校对部分学生对四个实验的喜爱情况作了抽样调查，将调查情况制成了如下的条形统计图和扇形统计图． 请根据图中信息，回答下列问题： （1）共调查了 名学生． （2）请补全条形统计图． （3）若从两名男生、两名女生中随机抽取2人参加学校组织的“我爱科学”演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求抽到的学生恰好是一男一女的概率． 20. 如图，中，，，，把绕点逆时针旋转得，连接，． （1）求的长及的度数； （2）求的面积． 21. 某食品经销商购进一种食品若干千克，成本价为每千克30元，物价部门规定其销售单价不得低于成本价，且不得高于成本价的2倍．经市场调研发现，日销售量（千克）与销售单价（元）符合一次函数关系，如图所示． （1）求与之间的函数关系式； （2）在销售过程中，当销售单价为多少元时，该经销商每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图，为的直径，C是上一点，过点的直线交的延长线于点，，垂足为，与的交于点，平分． （1）求证：是的切线； （2）若，，求线段的长； （3）在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积． 23. 综合与实践 在学校项目化学习中，某研究小组开展主题为“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的研究．请你阅读以下材料，解决“数学建模”中的问题． 【研究背景】已知一定浓度的生长素既能促进种子发芽，也会因浓度过高抑制种子发芽．探索生长素使用的适宜浓度等最优化问题，可以借助数学模型进行解决． 【数据收集】研究小组选择某类植物种子和生长素，以生长素浓度x（标准单位）为自变量，种子的发芽率y（%）为因变量，进行“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的实验，获得相关数据： 生长素浓度：x（标准单位） 0 0.6 1 1.7 2 2.5 2.7 3 3.3 4 4.2 发芽率y（%） 35.00 49.28 56.00 62.37 63.00 61.25 59.57 56.00 51.17 35.00 29.12 【数据分析】如图，小组成员以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点． 说明：①当生长素浓度时，种子的发芽率为自然发芽率； ②当发芽率大于等于零且小于自然发芽率时，该生长素抑制种子发芽； ③当生长素抑制种子发芽，使得发芽率减小到0时，停止实验． 【数学建模】请你结合所学知识解决下列问题： （1）观察上述各点的分布规律，判断y关于x的函数类型，并求出该函数的表达式； （2）请计算抑制种子发芽时的生长素浓度范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 秋季新课标九年级数学（上册）（期末） （时间120分钟，满分120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图案中是中心对称图形但不是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的定义求解. 【详解】解：A、是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意； B、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； C、是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意. 故选C. 【点睛】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心. 2. 设是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，． 根据求解即可． 【详解】解：∵方程中，，， ∴． 故选B． 3. 有7张除数字外都相同的卡片，上面分别写着1，2，3，4，5，6，7．随机抽取1张，取出的数字是偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是概率：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率 ．从中随机抽取一张，共有7种等可能的结果，其中数字是偶数的共3种，即可确定其概率． 【详解】解：∵7个数字中有3个偶数， ∴正面的数字是偶数的概率为 故答案为： 4. 用配方法解一元二次方程，配方后可得（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用配方法解已知方程时，根据配方法步骤即可得到所求的式子． 【详解】移项得：x2-4x=3， 两边都加上4得：x2-4x+4=3+4， 即（x-2）2=7， 故选：B． 【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，利用此方法解方程时，首先将方程常数项移动方程右边，二次项系数化为1，然后方程左右两边都加上一次项系数一半的平方，方程左边化为完全平方式，右边合并为一个非负常数，开方转化为两个一元一次方程来求解． 5. 如图，点A，B，C在上，，的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求解，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半， ． 故选：B． 6. 下列函数中，对应图象的顶点坐标是的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数顶点式的性质，利用顶点式（）的顶点坐标为来判断即可． 【详解】解：A．的顶点坐标是，故符合题意； B．的顶点坐标是，故不符合题意； C．的顶点坐标是，故不符合题意； D．的顶点坐标是，故不符合题意； 故选A． 7. 关于的方程实数根的情况，下列判断正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程，利用根的判别式判断即可． 本题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意，得， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 8. 如图，是的切线，切点为A，PA=2,∠APO=30°，则的半径为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】连接AO，为的切线，可得∠OAP=90°，结合∠APO=30°，可得 设则根据勾股定理， 解方程可得答案． 【详解】解：连接AO，为的切线， ∠OAP=90°， 又因为∠APO=30°， 设则 根据勾股定理， （负根舍去）， 即的半径为 故选C． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，含的直角三角形的性质，圆的切线的性质，掌握以上知识是解题的关键． 9. 如图，一个底部呈球形的烧瓶，其球形部分的半径为，瓶内液体的最大深度为，则截面圆中弦的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理的应用，熟练掌握勾股定理，垂径定理是解题的关键． 根据勾股定理求得的长，根据垂径定理可得，进而即可求解． 【详解】解：根据题意得： ， ， ，， ， 在中， ， 故选：B. 10. 如图，抛物线经过等腰直角三角形的两个顶点A，B，点A在y轴上，则的值为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，过点作于点，得到点坐标为，将点代入解析式进行求解即可．解题的关键是求得点的坐标． 【详解】解：∵，当时，， ∴， ∴， 过点作于点， ∵等腰直角三角形， ∴， ∴点坐标为， ∵点在抛物线上， ∴， ∴， ∴； 故选C． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 所以，， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是明确当根的判别式大于0时，一元二次方程有两个不相等的实数根． 12. 若是二次函数图象上的点，则_____ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数图象上点的坐标特征求出、的值是解题的关键． 根据点的横坐标结合二次函数图象上点的坐标特征，即可得出、的值，比较后即可得出结论． 【详解】解：当时，； 当时，； ∵， ∴． 故答案为：． 13. 若α、β是方程的两个实数根，则的值为______ 【答案】 【解析】 【分析】此题考查的是一元二次方程的解和根与系数的关系，根据方程的解的定义和根与系数的关系可得：，，然后整体代入求解即可，掌握一元二次方程的解的定义和根与系数得关系是解决此题的关键． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． . 14. 如图为二次函数图象的一部分，其对称轴为直线．若其与x轴一交点为，则由图象可知，不等式的解集是_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了利用二次函数的图象求不等式的解集，根据二次函数与不等式的关系解答即可，正确掌握二次函数与不等式的关系是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，图象与x轴一交点为, ∴图象与x轴的另一交点为， ∵抛物线开口向上， ∴当时，即， 故答案为：． 15. 如图，平面直角坐标系中有一点，在以为圆心，2为半径的圆上有一点，将点绕点旋转后恰好落在轴上，则点的坐标是__________． 【答案】（，4）或（﹣，4）． 【解析】 【分析】因为将点P绕点A旋转180°后恰好落在x轴上，推出点P的纵坐标为4，当点P在第一象限时，过点P作PT⊥y轴于T，连接PM．解直角三角形求出P的坐标，再根据对称性解决问题即可． 【详解】解：如图， ∵将点P绕点A旋转180°后恰好落在x轴上，点， ∴点P的纵坐标为4， 当点P在第一象限时，过点P作PT⊥y轴于T，连接PM． ∵T（0，4），M（0，3）， ∴OM＝3．OT＝4， ∴MT＝1， ∴PT＝＝＝， ∴P（，4）， 根据对称性可知，点P关于y轴的对称点P′（﹣，4）也满足条件． 综上所述，满足条件的点P的坐标为（，4）或（﹣，4）． 故答案为：（，4）或（﹣，4）． 【点睛】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线构造直角三角形解决问题． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 解方程 （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法并灵活运用是解答的关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解：由得， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 解：，，， ∴， ∴， ∴，． 17. 将图中的破轮子复原，已知弧上三点，用尺规画出该轮子的圆心． 【答案】 如图所示，点即为所求的圆心． 【解析】 【分析】本题考查作图−应用与设计作图，垂径定理，解题的关键是作出线段和的垂直平分线，利用垂直平分线的性质解决问题． 分别作弦和的垂直平分线，和的垂直平分线的交点即为圆心O． 【详解】略 18. 如图，已知的顶点在格点上，在网格中按下列要求作图： （1）将绕点逆时针旋转得到； （2）作出与关于点成中心对称的． 【答案】（1） 如图所示，为所作图形； （2） 如图所示，为所作图形． 【解析】 【分析】本题考查了作旋转图形，作中心对称图形． （1）根据旋转的性质分别作出A、B的对应点，再顺次连接即可； （2）根据中心对称的性质分别作出A、B、C的对应点，再顺次连接即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 某校组织学生观看“天宫课堂”第二课直播，跟着空间站的翟志刚、王亚平、叶光富三位宇航员学习科学知识，他们相互配合，生动演示了四个实验：（A）微重力环境下的太空“冰雪”实验，（B）液桥演示实验，（C）水油分离实验，（D）太空抛物实验．观看完后，该校对部分学生对四个实验的喜爱情况作了抽样调查，将调查情况制成了如下的条形统计图和扇形统计图． 请根据图中信息，回答下列问题： （1）共调查了 名学生． （2）请补全条形统计图． （3）若从两名男生、两名女生中随机抽取2人参加学校组织的“我爱科学”演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求抽到的学生恰好是一男一女的概率． 【答案】（1） （2） 补全条形统计图如下： （3） 【解析】 【分析】本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识，从统计图中获取数量和数量之间的关系，列举出所有可能出现的结果数，是解决问题的关键． （1）由D的人数除以所占百分比得出共调查的学生人数，即可解决问题； （2）求出C的人数，即可解决问题； （3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中抽到的学生恰好是一男一女的结果有8种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：共调查的学生人数为：（名）， 故答案为：； 【小问2详解】 解：的人数为：（人）， 【小问3详解】 解： 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中抽到的学生恰好是一男一女的结果有 8 种， ∴抽到的学生恰好是一男一女的概率为． 20. 如图，中，，，，把绕点逆时针旋转得，连接，． （1）求的长及的度数； （2）求的面积． 【答案】（1）的长为的度数为； （2）的面积为． 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质，直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理等知识，掌握知识点的应用，正确地添加辅助线是解题的关键． （）由旋转得，，则是等边三角形，所以，，而，则； （）作于点，则，由，，，求得，而，，则，求得． 【小问1详解】 解：∵把绕点逆时针旋转得， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ， ∴， ∴的长为，的度数为； 【小问2详解】 解：作于点，则， ∵，，， ∴， 由（）得，， ∴， ∴， ∴的面积为． 21. 某食品经销商购进一种食品若干千克，成本价为每千克30元，物价部门规定其销售单价不得低于成本价，且不得高于成本价的2倍．经市场调研发现，日销售量（千克）与销售单价（元）符合一次函数关系，如图所示． （1）求与之间的函数关系式； （2）在销售过程中，当销售单价为多少元时，该经销商每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）当销售单价为50元时，该经销商每天获得的利润最大，最大利润是800元 【解析】 【分析】本题考查待定系数法，二次函数解决实际问题，二次函数的性质． （1）运用待定系数法求解即可； （2）由题意，设利润为元，，根据利润单利润销售量列函数关系式，配方得顶点式求最值解题即可． 【小问1详解】 解：设与之间的函数关系式为， 该函数的图象过，， ，解得， 与之间的函数关系式为． 【小问2详解】 解：设利润为元， 则， ，且 当时，有最大值，最大值为， 当销售单价为50元时，该经销商每天获得的利润最大，最大利润是800元． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图，为的直径，C是上一点，过点的直线交的延长线于点，，垂足为，与的交于点，平分． （1）求证：是的切线； （2）若，，求线段的长； （3）在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）证明：连接OC， ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA， ∵AC平分∠BAE， ∴∠OAC=∠CAE， ∴∠OCA=∠CAE， ∴OC∥AE， ∴∠OCD=∠E， ∵AE⊥DE， ∴∠E=90°， ∴∠OCD=90°， ∴OC⊥CD， ∵点C在圆O上，OC为圆O的半径， ∴CD是圆O的切线； （2）线段的长为4； （3）阴影部分的面积为． 【解析】 【分析】（1）连接OC，先证明∠OAC=∠OCA，进而得到OC∥AE，于是得到OC⊥CD，进而证明DE是⊙O的切线； （2）利用含30度角的直角三角形的性质即可求解； （3）分别求出△OCD的面积和扇形OBC的面积，利用S阴影=S△COD-S扇形OBC即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）∵在Rt△AED中，∠D=30°，AE=6， ∴AD=2AE=12， 在Rt△OCD中， ∵∠D=30°， ∴DO=2OC=DB+OB=DB+OC， ∴DB=OB=OC=AD=4， ∴线段的长为4； （3）由（2）得DO=8， ∴， ∴， ∵∠D=30°，∠OCD=90°， ∴∠DOC=60°， ∴S扇形OBC=×π×OC2=π， ∵S阴影=S△COD-S扇形OBC， ∴S阴影， ∴阴影部分的面积为． 【点睛】本题主要考查了切线的判定以及扇形的面积计算，解（1）的关键是证明OC⊥DE，解（2）的关键是利用含30度角的直角三角形的性质求得DO =DB+OC，解（3）的关键是求出扇形OBC的面积，此题难度一般． 23. 综合与实践 在学校项目化学习中，某研究小组开展主题为“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的研究．请你阅读以下材料，解决“数学建模”中的问题． 【研究背景】已知一定浓度的生长素既能促进种子发芽，也会因浓度过高抑制种子发芽．探索生长素使用的适宜浓度等最优化问题，可以借助数学模型进行解决． 【数据收集】研究小组选择某类植物种子和生长素，以生长素浓度x（标准单位）为自变量，种子的发芽率y（%）为因变量，进行“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的实验，获得相关数据： 生长素浓度：x（标准单位） 0 0.6 1 1.7 2 2.5 2.7 3 3.3 4 4.2 发芽率y（%） 35.00 49.28 56.00 62.37 63.00 61.25 59.57 56.00 51.17 35.00 29.12 【数据分析】如图，小组成员以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点． 说明：①当生长素浓度时，种子的发芽率为自然发芽率； ②当发芽率大于等于零且小于自然发芽率时，该生长素抑制种子发芽； ③当生长素抑制种子发芽，使得发芽率减小到0时，停止实验． 【数学建模】请你结合所学知识解决下列问题： （1）观察上述各点的分布规律，判断y关于x的函数类型，并求出该函数的表达式； （2）请计算抑制种子发芽时的生长素浓度范围． 【答案】（1）y关于x的函数是二次函数，； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）先判断出y关于x的函数是二次函数，再利用待定系数法求解即可； （2）先计算出种子自然发芽率为35，令和时，分别求得x的值，再结合图象求解即可． 【小问1详解】 解：观察上述各点的分布规律， y关于x的函数是二次函数， 设该二次函数的解析式为， 将，，代入得， ， 解得， ∴该二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， ∴种子自然发芽率为35， ∴当时，， 解得，， 当时，， 解得（舍去），， ∴抑制种子发芽时的生长素浓度范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $