2026年广东省佛山市中考数学自编模拟卷

2026届广东省佛山市中考数学自编模拟卷 （本试卷共三大题23小题，满分120分，考试时间120分钟，不能使用计算器.） 注意事项： 1.答卷前，考生务必在答题卡第1面、第3面和第5面上用黑色字迹的钢笔或签宇字笔填写学校、班级、姓名、试室号和座位号，将自己的条形码粘贴在答题卡的“条形码粘贴处”。 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在问卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B铅笔画围.答案必须写在答卷各题目指定区城内的相应位置上;如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案;改动的答案也不能超出指定的区城.不准使用铅笔(除作图外)、圆珠笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．检验4个工件，其中超过标准质量的克数记作正数，不足标准质量的克数记作负数．重的角度看，最接近标准的工件的质量克数表示的是（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．1.5 D．2.5 2．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A．科克曲线 B．笛卡尔心形图 C．希尔伯特曲线 D． 斐波那契螺旋线 3．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　  　 ） A．x≥－6 B．x≤－6 C．x>－6 D．x＜－6 4．已知点是正比例函数图象上一点，则下列点也在该函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 5．在东莞的可园、观音山国家森林公园、松山湖景区、鸦片战争博物馆、粤晖园这五个著名旅游景点中，随机抽取一个景点去游玩，抽到观音山国家森林公园的概率是（   ） A． B． C． D． 6．已知，那么（    ） A． B． C．6 D．8 7．已知三点，，都在反比例函数的图像上，若，则下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 8．家住重庆两相邻小区的小明和小华在一次数学课后，进行了一次数学实践活动．如图，在同一水平面从左往右依次是小明家所在的居民楼、小华家所在的小洋房、背靠小华家的一座小山，实践内容为测量小山的高度，家住顶楼的小明在窗户A处测得小山山顶的一棵大树顶端E的俯角为10°，小华在自家楼下C处测得小明家窗户A处的仰角为37°，且测得坡面CD的坡度i＝1：2，已知两家水平距离BC＝120米，大树高度DE＝3米，则小山山顶D到水平面BF的垂直高度约为（    ）（精确到0.1米，参考数据sin37°≈，tan37°≈，sin10°≈，tan10°≈） A．55.0米 B．50.3米 C．48.1 米 D．57.3米 9．如图，的对角线相交于点，是的中点，，则的周长为（   ） A．13 B．14 C．19 D．28 10．如图，正方形的边长为，点在的延长线上，以为边，在上方构造正方形，连接与，分别交于点和点．若，则的长是（    ） A． B． C．1 D． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．分解因式： 12．如图，该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是 ． 13．图1是一个地铁站入口的双翼闸机，图2是它的简化图，它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为 ．（参考数据：，，） 14．若一组数据，，…，的平均数为，则数据，，…，的平均数为 ． 15．如图，正方形的边长是，是边的中点．将该正方形沿折叠，点落在点处．分别与相切，切点分别为，则的半径为 ． 四、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（本题满分6分） （1）计算：． （2）解方程组：． 17．（本题满分7分） 先化简，再求值：，其中． 18．（本题满分7分） 在“乡村振兴”行动中，某村办企业以两种农作物为原料开发了一种有机产品．A原料的单价是原料单价的1.5倍，若用900元收购A原料会比用900元收购原料少．生产该产品每盒需要A原料和原料，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒． (1)求每盒产品的成本（成本=原料费+其他成本）； (2)设每盒产品的售价是元（是整数），每天的利润是元，求每盒产品的售价为多少元时，每天的利润最大，最大利润是多少？ 19．（本题满分8分） 如图，在中，点D为的中点，连接，过点A作于点E. (1)尺规作图：在射线上作点F，使得（不写作法，只保留作图痕迹）； (2)在（1）的基础上，连接求证：四边形为平行四边形． 20．（本题满分10分） 我国古代曾以“六艺”（礼、乐、射、御、书、数）教授学生，其中“乐”和“书”主要是用音乐和书画来进行审美教育某校计划在课后服务中开设美育相关课程，并在全校范围内随机抽取了部分学生进行调查，要求学生从．书法、．国画、．合唱、．水彩画四个课程中选择一个自己最喜爱的．将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题： (1)本次被调查的学生有 人； (2)在扇形统计图中，所对应的圆心角度数为 ，请补全条形统计图； (3)该校共有名学生，请你估计选择“．书法”课程的学生有多少人； (4)小明和小华打算从四个课程中各自选择一个作为美育课程，请用列表或画树状图的方法求出小明和小华所选的课程恰好相同的概率． 21．（本题满分10分） 如图，在中，，以为直径作与交于点D，过点D作，交延长线于点F，垂足为点E． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 22．（本题满分13分） 如图1，矩形OABC的顶点O是直角坐标系的原点，点A、C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（8，4），将矩形OABC绕点A顺时针旋转得到矩形ADEF，D、E、F分别与B、C、O对应，EF的延长线恰好经过点C，AF与BC相交于点Q． （1）证明：△ACQ是等腰三角形； （2）求点D的坐标； （3）如图2，动点M从点A出发在折线AFC上运动（不与A、C重合），经过的路程为x，过点M作AO的垂线交AC于点N，记线段MN在运动过程中扫过的面积为S；求S关于x的函数关系式． 23．（本题满分14分） 在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学探究活动： 如图1，在矩形中，（其中），点是边上一动点（点不与重合），点是边的中点，连结，将矩形沿直线进行翻折，其顶点翻折后的对应点为，连结并延长，交边于点（点不与重合），过点作的平分线，交矩形的边于点． (1)【初步感知】请判断与的位置关系，并说明理由； (2)【特例探究】如图2，在点运动过程中，若、、三点在同一条直线上时，点与点刚好重合，求的值； (3)【拓展应用】若，连结，，当是以为直角边的直角三角形时，请求出的值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届广东省佛山市中考数学自编模拟卷 （本试卷共三大题23小题，满分120分，考试时间120分钟，不能使用计算器.） 注意事项： 1.答卷前，考生务必在答题卡第1面、第3面和第5面上用黑色字迹的钢笔或签宇字笔填写学校、班级、姓名、试室号和座位号，将自己的条形码粘贴在答题卡的“条形码粘贴处”。 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在问卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B铅笔画围.答案必须写在答卷各题目指定区城内的相应位置上;如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案;改动的答案也不能超出指定的区城.不准使用铅笔(除作图外)、圆珠笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A A C B B D C D B 1． 【答案】A 【详解】|-1|=1，|-2|=2，|1.5|=1.5，|2.5|=2.5， ∵1＜1.5＜2＜2.5， ∴最接近标准的工件的质量克数表示的是-1． 故选A． 2． 【答案】A 【详解】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； 故选：A． 3． 【答案】A 【详解】解：由题意得，x+6≥0， 解得，x≥-6， 故选：A． 4． 【答案】C 【详解】解：∵点是正比例函数图象上一点， ∴，得， ∴， 当时，，故选项不符合题意； 当时，，故选项B不符合题意； 当时，，故选项C符合题意； 当时，，故选项D不符合题意； 故选：C． 5． 【答案】B 【分析】本题考查了概率的运算，熟悉掌握运算方法是解题的关键． 根据概率的运算方式直接运算即可． 【详解】解：∵景点的总数为：， ∴， 故选：B． 6． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， 即， 解得， ∴． 故选B. 7． 【答案】D 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴反比例函数解析式为， ∵点都在反比例函数的图象上，， ∴， 故选：D． 8． 【答案】C 【详解】解：如图， 延长ED交BF于点H，则EH⊥BF， 过点E作EG⊥AB于点G， ∵AB⊥BF， ∴四边形BGEH是矩形， ∴GE＝BH，BG＝EH， ∵坡面CD的坡度i＝1：2， ∴＝， 设DH＝x，则CH＝2x， ∴GE＝BH＝BC+CH＝120+2x， BG＝HE＝HD+DE＝x+3， 在Rt△ABC中，∠ACB＝37°，BC＝120， ∴AB＝120×tan∠ACB≈90， 在Rt△AEG中，∠AEG＝10°，AG＝AB﹣BG＝90﹣（x+3）＝87﹣x， ∴tan10°＝， 即＝， 解得x≈48.1（米）． 答：小山山顶D到水平面BF的垂直高度约为48.1米． 故选：C． 9． 【答案】D 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ， ，点E为边的中点， ，， ． 故选：D． 10． 【答案】B 【详解】解：延长交于点， ∵四边形和四边形是正方形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴即， ∴， 故选：． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11． 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 12． 【答案】140°． 【详解】解：该正九边形内角和， 则每个内角的度数． 故答案为140°． 13． 【答案】 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， 在中，， ， 同理可得，， 双翼边缘的端点与之间的距离为， 当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为． 故答案为：． 14． 【答案】 【详解】解：∵数据，，…，的平均数是， ∴数据，，…，平均数为， 故答案为：． 【答案】 15． 【详解】解：连接，，，延长交于点，连接，如图， 由题意得：， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵分别与相切，切点分别为， ∴的半径，，，， 连接，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的半径为， 故答案为：． 四、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（本题满分6分） 答案（1）（2） 【详解】解：（1）原式 ；---------------------------2分 （2） ①②得 ， 解得：， 将代入②得， ， 解得：， ．---------------------------6分 17．（本题满分7分） 【答案】， 【详解】解：原式 ，---------------------------5分 当时，原式．---------------------------7分 18．（本题满分7分） 【答案】(1)每盒产品的成本为30元 (2)当每盒产品的售价为70元时，每天最大利润为16000元 【详解】（1）解：设原料单价为元，则原料单价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验是方程的解， ， 每盒产品的成本是：（元， 答：每盒产品的成本为30元---------------------------3分 （2）根据题意，得， 关于的函数解析式为：； ∴， ， 抛物线开口向下， 当每盒产品的售价为70元时，每天最大利润为16000元．---------------------------7分 19．（本题满分8分） 【答案】(1)见解析； (2)见解析 【详解】（1）如图，点为所作；   ---------------------------3分 （2）证明：，， ， ， 点为的中点， ，---------------------------5分 在和中， ， ， ， ， 四边形为平行四边形．---------------------------8分 20．（本题满分10分） 【答案】(1) (2)，见解析 (3)约人 (4) 【详解】（1）解：人， ∴本次被调查的学生人数为人， 故答案为：；---------------------------2分 （2）解：， ∴合唱所对应的圆心角的度数为； 水彩画学生人数为人， 补全统计图如下： ---------------------------4分 （3）解：书法的人数为：（人）；---------------------------6分 （4）解：列表如下： 由表格可知，共有种等可能的情况，其中小明和小华所选的课程恰好相同的结果数种， ∴小明和小华所选的课程恰好相同的概率是．---------------------------10分 21．（本题满分10分） 【答案】(1)见详解 (2) 【详解】（1）连接，， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵在中，， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴半径， ∴为的切线；---------------------------4分 （2）∵在中，， ∴， 在（1）中，，， ∴， ∵， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴，解得：（负值舍去），---------------------------6分 即同理在中，可得， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 解得：（经检验，符合题意）， 即．---------------------------10分 22．（本题满分13分） 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【详解】（1）证明：∵四边形OABC，四边形FADE都是矩形， ∴∠AOC＝90°，∠AFE＝∠AFC＝90°，BC∥OA， ∵∠CFA＝∠AOC＝90°，AC＝AC，AO＝AF， ∴Rt△ACO≌Rt△ACF（HL）， ∴∠CAO＝∠CAF， ∵BC∥OA， ∴∠BCA＝∠CAO， ∴∠BCA＝∠ACF， ∴QC＝QA， ∴△ACQ是等腰三角形．---------------------------2分 （2）解：设CQ＝AQ＝x， ∵B（8，4）， ∴BC＝8，AB＝4， 在Rt△AQB中，∵AQ2＝BQ2+AB2， ∴x2＝（8﹣x）2+42， ∴x＝5， ∴BQ＝3， 如图1中，过点D作DH⊥x轴于H． ∵∠QAD＝∠BAH＝90°， ∴∠QAB＝∠DAH， ∵∠B＝∠AHD＝90°， ∴△ABQ∽△AHD， ∴， ∴， ∴AH＝，DH＝， ∴OH＝OA+AH＝8+＝， ∴D（）．---------------------------6分 （3）①当0＜x≤8时，如图2中，延长MN交AO于H，作QJ∥AB交AC于J． ∵QJ∥AB， ∴， ∴， ∴QJ＝， ∵MN∥QJ， ∴△AMN∽△AQJ， ∴， ∴ ∴MN＝，AH＝， ∴S＝•MN•AH＝·x·＝x2．---------------------------10分 ②当8＜x＜12时，如图3中，作QJ∥AB交AC于J，作EK∥AB交BC于T，设MN交BC于R． ∵FK∥AB，JQ∥AB， ∴FK∥JQ， ∴△AQJ∽△AFK， ∴， ∴， ∴FK＝4，BT＝， ∴CT＝BC﹣BT＝8﹣＝， ∵MN∥FK， ∴△CMN∽△CFK， ∴， ∴， ∴MN＝12﹣x，CR＝（12﹣x）， ∴S＝S△ACF﹣S△AFK＝×4×12﹣×（12﹣x）×（12﹣x）＝． 综上所述，S＝．---------------------------13分 23．（本题满分14分） 【答案】(1)，理由见解析； (2) (3)或或 【详解】（1）解：，理由如下： 由翻折可得：， ∵平分， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴ ∴， ∴；---------------------------2分 （2）解：∵四边形为矩形， ∴， 由翻折可得：，， ∵平分， ∴， ∵，，三点在同一直线上， ∴， ∴在和中： ， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴设， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴；---------------------------5分 （3）设， ∵， ∴， ①若点在上，当时，此时，如图所示： ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴矩形为正方形， ∴设，则 ∴， ∴；---------------------------8分 ②若点在上，当时，此时，，三点在同一直线上，过点作于点，如图所示： 由（2）可知，，， ∴， ∴， ∴；---------------------------10分 ③若点在上，显然不能成为直角，当时，连接如图所示： ∵是角平分线， ∴， ∵在和中： ， ∴ ∴， ∵， ∴在和中： ， ∴， ∴， 设，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵当时，在边上， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述的值为：或或．---------------------------14分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届广东省佛山市中考数学自编模拟卷 （本试卷共三大题23小题，满分120分，考试时间120分钟，不能使用计算器.） 注意事项： 1.答卷前，考生务必在答题卡第1面、第3面和第5面上用黑色字迹的钢笔或签宇字笔填写学校、班级、姓名、试室号和座位号，将自己的条形码粘贴在答题卡的“条形码粘贴处”。 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在问卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B铅笔画围.答案必须写在答卷各题目指定区城内的相应位置上;如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案;改动的答案也不能超出指定的区城.不准使用铅笔(除作图外)、圆珠笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．检验4个工件，其中超过标准质量的克数记作正数，不足标准质量的克数记作负数．重的角度看，最接近标准的工件的质量克数表示的是（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．1.5 D．2.5 【答案】A 【详解】|-1|=1，|-2|=2，|1.5|=1.5，|2.5|=2.5， ∵1＜1.5＜2＜2.5， ∴最接近标准的工件的质量克数表示的是-1． 故选A． 2．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A．科克曲线 B．笛卡尔心形图 C．希尔伯特曲线 D． 斐波那契螺旋线 【答案】A 【详解】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； 故选：A． 3．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　  　 ） A．x≥－6 B．x≤－6 C．x>－6 D．x＜－6 【答案】A 【详解】解：由题意得，x+6≥0， 解得，x≥-6， 故选：A． 4．已知点是正比例函数图象上一点，则下列点也在该函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵点是正比例函数图象上一点， ∴，得， ∴， 当时，，故选项不符合题意； 当时，，故选项B不符合题意； 当时，，故选项C符合题意； 当时，，故选项D不符合题意； 故选：C． 5．在东莞的可园、观音山国家森林公园、松山湖景区、鸦片战争博物馆、粤晖园这五个著名旅游景点中，随机抽取一个景点去游玩，抽到观音山国家森林公园的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了概率的运算，熟悉掌握运算方法是解题的关键． 根据概率的运算方式直接运算即可． 【详解】解：∵景点的总数为：， ∴， 故选：B． 6．已知，那么（    ） A． B． C．6 D．8 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， 即， 解得， ∴． 故选B. 7．已知三点，，都在反比例函数的图像上，若，则下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴反比例函数解析式为， ∵点都在反比例函数的图象上，， ∴， 故选：D． 8．家住重庆两相邻小区的小明和小华在一次数学课后，进行了一次数学实践活动．如图，在同一水平面从左往右依次是小明家所在的居民楼、小华家所在的小洋房、背靠小华家的一座小山，实践内容为测量小山的高度，家住顶楼的小明在窗户A处测得小山山顶的一棵大树顶端E的俯角为10°，小华在自家楼下C处测得小明家窗户A处的仰角为37°，且测得坡面CD的坡度i＝1：2，已知两家水平距离BC＝120米，大树高度DE＝3米，则小山山顶D到水平面BF的垂直高度约为（    ）（精确到0.1米，参考数据sin37°≈，tan37°≈，sin10°≈，tan10°≈） A．55.0米 B．50.3米 C．48.1 米 D．57.3米 【答案】C 【详解】解：如图， 延长ED交BF于点H，则EH⊥BF， 过点E作EG⊥AB于点G， ∵AB⊥BF， ∴四边形BGEH是矩形， ∴GE＝BH，BG＝EH， ∵坡面CD的坡度i＝1：2， ∴＝， 设DH＝x，则CH＝2x， ∴GE＝BH＝BC+CH＝120+2x， BG＝HE＝HD+DE＝x+3， 在Rt△ABC中，∠ACB＝37°，BC＝120， ∴AB＝120×tan∠ACB≈90， 在Rt△AEG中，∠AEG＝10°，AG＝AB﹣BG＝90﹣（x+3）＝87﹣x， ∴tan10°＝， 即＝， 解得x≈48.1（米）． 答：小山山顶D到水平面BF的垂直高度约为48.1米． 故选：C． 9．如图，的对角线相交于点，是的中点，，则的周长为（   ） A．13 B．14 C．19 D．28 【答案】D 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ， ，点E为边的中点， ，， ． 故选：D． 10．如图，正方形的边长为，点在的延长线上，以为边，在上方构造正方形，连接与，分别交于点和点．若，则的长是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【详解】解：延长交于点， ∵四边形和四边形是正方形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴即， ∴， 故选：． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．分解因式： 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 12．如图，该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是 ． 【答案】140°． 【详解】解：该正九边形内角和， 则每个内角的度数． 故答案为140°． 13．图1是一个地铁站入口的双翼闸机，图2是它的简化图，它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为 ．（参考数据：，，） 【答案】 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， 在中，， ， 同理可得，， 双翼边缘的端点与之间的距离为， 当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为． 故答案为：． 14．若一组数据，，…，的平均数为，则数据，，…，的平均数为 ． 【答案】 【详解】解：∵数据，，…，的平均数是， ∴数据，，…，平均数为， 故答案为：． 【答案】 15．如图，正方形的边长是，是边的中点．将该正方形沿折叠，点落在点处．分别与相切，切点分别为，则的半径为 ． 【详解】解：连接，，，延长交于点，连接，如图， 由题意得：， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵分别与相切，切点分别为， ∴的半径，，，， 连接，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的半径为， 故答案为：． 四、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（本题满分6分） （1）计算：． （2）解方程组：． 答案（1）（2） 【详解】解：（1）原式 ； （2） ①②得 ， 解得：， 将代入②得， ， 解得：， ． 17．（本题满分7分） 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 18．（本题满分7分） 在“乡村振兴”行动中，某村办企业以两种农作物为原料开发了一种有机产品．A原料的单价是原料单价的1.5倍，若用900元收购A原料会比用900元收购原料少．生产该产品每盒需要A原料和原料，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒． (1)求每盒产品的成本（成本=原料费+其他成本）； (2)设每盒产品的售价是元（是整数），每天的利润是元，求每盒产品的售价为多少元时，每天的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)每盒产品的成本为30元 (2)当每盒产品的售价为70元时，每天最大利润为16000元 【详解】（1）解：设原料单价为元，则原料单价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验是方程的解， ， 每盒产品的成本是：（元， 答：每盒产品的成本为30元 （2）根据题意，得， 关于的函数解析式为：； ∴， ， 抛物线开口向下， 当每盒产品的售价为70元时，每天最大利润为16000元． 19．（本题满分8分） 如图，在中，点D为的中点，连接，过点A作于点E. (1)尺规作图：在射线上作点F，使得（不写作法，只保留作图痕迹）； (2)在（1）的基础上，连接求证：四边形为平行四边形． 【答案】(1)见解析； (2)见解析 【详解】（1）如图，点为所作；    （2）证明：，， ， ， 点为的中点， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形为平行四边形． 20．（本题满分10分） 我国古代曾以“六艺”（礼、乐、射、御、书、数）教授学生，其中“乐”和“书”主要是用音乐和书画来进行审美教育某校计划在课后服务中开设美育相关课程，并在全校范围内随机抽取了部分学生进行调查，要求学生从．书法、．国画、．合唱、．水彩画四个课程中选择一个自己最喜爱的．将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题： (1)本次被调查的学生有 人； (2)在扇形统计图中，所对应的圆心角度数为 ，请补全条形统计图； (3)该校共有名学生，请你估计选择“．书法”课程的学生有多少人； (4)小明和小华打算从四个课程中各自选择一个作为美育课程，请用列表或画树状图的方法求出小明和小华所选的课程恰好相同的概率． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)约人 (4) 【详解】（1）解：人， ∴本次被调查的学生人数为人， 故答案为：； （2）解：， ∴合唱所对应的圆心角的度数为； 水彩画学生人数为人， 补全统计图如下： （3）解：书法的人数为：（人）； （4）解：列表如下： 由表格可知，共有种等可能的情况，其中小明和小华所选的课程恰好相同的结果数种， ∴小明和小华所选的课程恰好相同的概率是． 21．（本题满分10分） 如图，在中，，以为直径作与交于点D，过点D作，交延长线于点F，垂足为点E． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【详解】（1）连接，， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵在中，， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴半径， ∴为的切线； （2）∵在中，， ∴， 在（1）中，，， ∴， ∵， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴，解得：（负值舍去）， 即同理在中，可得， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 解得：（经检验，符合题意）， 即． 22．（本题满分13分） 如图1，矩形OABC的顶点O是直角坐标系的原点，点A、C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（8，4），将矩形OABC绕点A顺时针旋转得到矩形ADEF，D、E、F分别与B、C、O对应，EF的延长线恰好经过点C，AF与BC相交于点Q． （1）证明：△ACQ是等腰三角形； （2）求点D的坐标； （3）如图2，动点M从点A出发在折线AFC上运动（不与A、C重合），经过的路程为x，过点M作AO的垂线交AC于点N，记线段MN在运动过程中扫过的面积为S；求S关于x的函数关系式． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【详解】（1）证明：∵四边形OABC，四边形FADE都是矩形， ∴∠AOC＝90°，∠AFE＝∠AFC＝90°，BC∥OA， ∵∠CFA＝∠AOC＝90°，AC＝AC，AO＝AF， ∴Rt△ACO≌Rt△ACF（HL）， ∴∠CAO＝∠CAF， ∵BC∥OA， ∴∠BCA＝∠CAO， ∴∠BCA＝∠ACF， ∴QC＝QA， ∴△ACQ是等腰三角形． （2）解：设CQ＝AQ＝x， ∵B（8，4）， ∴BC＝8，AB＝4， 在Rt△AQB中，∵AQ2＝BQ2+AB2， ∴x2＝（8﹣x）2+42， ∴x＝5， ∴BQ＝3， 如图1中，过点D作DH⊥x轴于H． ∵∠QAD＝∠BAH＝90°， ∴∠QAB＝∠DAH， ∵∠B＝∠AHD＝90°， ∴△ABQ∽△AHD， ∴， ∴， ∴AH＝，DH＝， ∴OH＝OA+AH＝8+＝， ∴D（）． （3）①当0＜x≤8时，如图2中，延长MN交AO于H，作QJ∥AB交AC于J． ∵QJ∥AB， ∴， ∴， ∴QJ＝， ∵MN∥QJ， ∴△AMN∽△AQJ， ∴， ∴ ∴MN＝，AH＝， ∴S＝•MN•AH＝·x·＝x2． ②当8＜x＜12时，如图3中，作QJ∥AB交AC于J，作EK∥AB交BC于T，设MN交BC于R． ∵FK∥AB，JQ∥AB， ∴FK∥JQ， ∴△AQJ∽△AFK， ∴， ∴， ∴FK＝4，BT＝， ∴CT＝BC﹣BT＝8﹣＝， ∵MN∥FK， ∴△CMN∽△CFK， ∴， ∴， ∴MN＝12﹣x，CR＝（12﹣x）， ∴S＝S△ACF﹣S△AFK＝×4×12﹣×（12﹣x）×（12﹣x）＝． 综上所述，S＝． 23．（本题满分14分） 在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学探究活动： 如图1，在矩形中，（其中），点是边上一动点（点不与重合），点是边的中点，连结，将矩形沿直线进行翻折，其顶点翻折后的对应点为，连结并延长，交边于点（点不与重合），过点作的平分线，交矩形的边于点． (1)【初步感知】请判断与的位置关系，并说明理由； (2)【特例探究】如图2，在点运动过程中，若、、三点在同一条直线上时，点与点刚好重合，求的值； (3)【拓展应用】若，连结，，当是以为直角边的直角三角形时，请求出的值． 【答案】(1)，理由见解析； (2) (3)或或 【详解】（1）解：，理由如下： 由翻折可得：， ∵平分， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴ ∴， ∴； （2）解：∵四边形为矩形， ∴， 由翻折可得：，， ∵平分， ∴， ∵，，三点在同一直线上， ∴， ∴在和中： ， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴设， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）设， ∵， ∴， ①若点在上，当时，此时，如图所示： ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴矩形为正方形， ∴设，则 ∴， ∴； ②若点在上，当时，此时，，三点在同一直线上，过点作于点，如图所示： 由（2）可知，，， ∴， ∴， ∴； ③若点在上，显然不能成为直角，当时，连接如图所示： ∵是角平分线， ∴， ∵在和中： ， ∴ ∴， ∵， ∴在和中： ， ∴， ∴， 设，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵当时，在边上， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述的值为：或或． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $