专题 2.3 平行线的性质（知识梳理 + 题型精析 +中考模拟真题）- 2025-2026学年北师大版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 2.3 平行线的性质（知识梳理 + 题型精析 +中考模拟真题） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】平行线的性质（1） 1 ★【题型 1】利用“两直线平行，同位角相等”求角度 1 【知识点二】平行线的性质（2） 4 ★【题型 2】利用“两直线平行，内错角相等”求角度 4 【知识点三】平行线的性质（3） 6 ★【题型 3】利用“同旁内角互补，两直线平行”求角度 6 二.综合培优题型精析 9 ★★【题型 4】过拐点作平行线探究角之间关系 9 ★★【题型 5】利用平行线的性质综合求值证明 12 ★★【题型 6】利用平行线的性质与判定综合求值证明 16 ★★【题型 7】利用平行线的性质与判定与折叠、旋转问题综合 22 三.中考模拟真题 28 （一）选择题（6题） 28 （二）填空题（6题） 32 （三）解答题（2题） 36 一.知识梳理与基础题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示综合题，带★★★表示培优题。 【知识点一】平行线的性质（1） 两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等。 简述为:两直线平行,同位角相等。 ★【题型 1】利用“两直线平行，同位角相等”求角度 【例题1】（25-26八年级上·全国·课前预习）已知：如图，直线，和是直线被直线截出的内错角．求证：． 证明：（_______）， （_______）． （_______） （_______）． 【答案】已知；两直线平行，同位角相等；对顶角相等；等量代换 【分析】本题考查了平行线．熟练掌握平行线性质，是解题的关键． 根据两直线平行，同位角相等，结合对顶角性质，等式性质，即可证明． 【详解】证明：（已知）， （两直线平行，同位角相等）． （对顶角相等） （等量代换）． 故答案为：已知；两直线平行，同位角相等；对顶角相等；等量代换 【变式1】（2025·云南·模拟预测）如图所示，平行线，被直线所截，，则的度数是 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．根据平行线的性质和邻补角解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）将与两边平行的纸条按如图所示折叠，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】此题考查了平行线的性质，折叠的性质与邻补角的定义．根据题意得：，，由折叠的性质，即可求得的度数． 【详解】解：根据题意得：，， ∴， 由折叠的性质得， ， ． 故答案为：． 【变式3】如图，直线，点在直线上，且，，求的度数． 【答案】 【分析】根据平行线的性质可知，结合，即可求出的度数． 【详解】解：∵直线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点在直线上， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质、垂直的定义和平角的概念，熟知两直线平行，同位角相等是解答本题的关键． 【知识点二】平行线的性质（2） 两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等。 简述为:两直线平行,同位角相等。 ★【题型 2】利用“两直线平行，内错角相等”求角度 【例题2】（25-26七年级下·全国·课后作业）将一副三角板按如图所示的方式叠放在一起．若，则为多少度？ 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角板中角度的计算，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 先通过平行线的性质得到内错角，再利用角度和差关系进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，，射线交线段于点．下列角中，与相等的角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质，对顶角等知识，由对顶角相等可得，由平行线的性质可得，则． 【详解】解：根据题意，得， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【变式2】（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，，将一个含角的直角三角板如图放置，使点E落在直线上，若，则的度数为 ． 【答案】12 【分析】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质得到，再根据三角形板的角度数求解即可． 【详解】解：由题意，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：12． 【变式3】（23-24七年级下·广西防城港·期末）如图，一条公路两次转弯后，和原来的方向相同，如果第一次的拐角是，第二次的拐角是多少度？为什么？ 【答案】第二次的拐角是，见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，解答此题的关键是将实际问题转化为几何问题，利用平行线的性质求解． 由于拐弯前、后的两条路平行，可考虑用平行线的性质解答． 【详解】， 理由是：∵一条公路两次转弯后，和原来的方向相同， ∴拐弯前、后的两条路平行 ∴．（两直线平行，内错角相等） 【知识点三】平行线的性质（3） 两条平行直线被第三条直线所截,同旁内角互补。 简述为:两直线平行,同旁内角互补。 ★【题型 3】利用“同旁内角互补，两直线平行”求角度 【例题3】（24-25七年级下·北京朝阳·期中）已知：如图，，．求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查平行线的性质，根据平行线性质得，，由等量代换方法即可得证．解题的关键是掌握：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·广东深圳·期末）现有一张长方形彩带，将其沿折叠成如图所示图形，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质． 根据平行线的性质得到，根据折叠的性质得到即可． 【详解】解：如图， ∵长方形彩带， ∴， ∴， ∵折叠， ∴． 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·上海普陀·期中）如图，如果，那么x、y、z之间的数量关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了两直线平行，同旁内角互补，解题关键是掌握两直线平行，同旁内角互补． 依据平行线的性质得出，，进而得到，，据此可得． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 【变式3】（23-24六年级下·山东威海·期中）如图是大众汽车的标志图案，其中蕴含着一些几何知识，根据下面的条件完成证明． 已知：如图，，． (1)与相等吗？为什么？ (2)若，求的度数． 【答案】(1)相等，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁同角互补是解题的关键． （1）由平行线的性质（两直线平行，同位角相等）可得，，据此求证即可； （2）由平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补）可得，据此求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， 又， ∴， ∴． （2）∵， ∴ ∵，， ∴． 二.综合培优题型精析 ★★【题型 4】过拐点作平行线探究角之间关系 【例题4】如图，若，则角，，的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先过点作，由平行线的传递性可得，根据两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等，即可求得角，，的关系； 本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行的性质、过拐点作辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作， ，， ， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 【变式1】（25-26七年级上·山西临汾·期末）转角式布局的玻璃浴室隔断是浴室常见的干湿分离设施，具有适配性强，通透感好，可以有效阻挡淋浴水花外溅等特点．小明观察玻璃浴室的地面布局，从中抽象出一道数学问题：如图，，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是通过作辅助线构造平行线，利用“两直线平行，同旁内角互补”的性质进行角度计算． 【详解】解：如图，过点作，    ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴； 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·全国·月考）如图，已知直线，则、、之间的关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的应用，添加辅助线，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．过向左作射线，把分成和，然后根据平行线的性质即可得到解答． 【详解】解：过向左作射线， 则， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式3】（23-24七年级下·山东德州·期末）如图，，思考解决下列问题：试探究 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质以及学生归纳总结找规律的能力，分别过、…作直线平行于，利用平行线的性质即可求出各组的值；再根据规律，归纳总结得到． 【详解】解：当有个角时，根据两直线平行同旁内角互补， 得出， 当有个角时，过点作直线平行于，同理可得， 当有个角时，分别过点、作直线平行于，同理可得， 根据规律，可得当有个角时， ， 故答案为：． ★★【题型 5】利用平行线的性质综合求值证明 【例题5】（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，直线和相交于点O，，平分，． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角的和差，对顶角性质，角平分线的定义，平行线的性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据求解即可； （2）由对顶角相等得到，再根据角平分线得到，从而根据平行线的性质即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 【变式1】（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，，点位于两平行线之间且在点、的右侧，分别作和的平分线交于点，再分别作和的平分线交于点设的度数是，则的度数用表示为 ．    【答案】 【分析】本题考查了图形的变化规律、角平分线定义、平行线性质，熟练掌握以上知识点是关键．过点作，利用平行线性质得到，进而得到，同理可得，…依此类推得到，即可解答． 【详解】解：如图，过点作，    ∵， ∴， ∵，， ∵， ∴， ∴， ∵和的平分线交于点， ∴同理可得， ∴， ∵， ∴， 同理，， …… 依此类推，． ∴的度数用表示为． 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，若，，，，则的度数为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查几何图形中角度计算，平行线的性质，根据可得，进而即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：C． 【变式3】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）数学活动课上，老师先在黑板上画出两条平行线，，再将三角板放在黑板上，与直线相交于点，改变三角板得到如图所示的两个不同位置的图形． (1)如图1，若点在直线上，，求的度数； (2)如图2，若点在直线，之间，求证：． 【答案】(1)(2)见解析 【分析】本题考查余角的性质、平行线的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）设三角板与直线b的交点为N，根据平行线的性质得到，进而得到，据此求解即可； （2）过点B作，根据平行线的性质得到，进而得到，根据，得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：设三角板与直线b的交点为N，如图： ； （2）证明：过点B作，如图： 、 、 ． ★★【题型 6】利用平行线的性质与判定综合求值证明 【例题6】（25-26八年级上·河北保定·期末）如图，点是上一点，，，，． (1)___________； (2)求证：直线； (3)若，求的度数． 【答案】(1)70 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是： （1）根据两直线平行，内错角相等求解即可； （2）先求出，结合已知可得出，然后根据同旁内角互补，两直线平行即可得证； （3）根据平行线的传递性得出，然后根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：70； （2）证明：∵，， ∴， 又， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴， 又， ∴， 又， ∴． 【变式1】（23-24七年级下·江西宜春·月考）将一副直角三角板如图1，摆放在直线上（，，，），保持三角板不动，将三角板绕点C以每秒的速度，顺时针方向旋转，旋转时间为t秒，当与射线重合时停止旋转．在旋转过程中，当三角板的其中一边与平行时， ． 【答案】或或 【分析】本题考查了平行线的性质，根据题意画出满足条件的三种情况①、②、③，即可求解． 【详解】解：①时，如图所示： ∴； ②时，如图所示： ∴ ∴； ③时，如图所示： ∴ ∴； 综上所述：或或 故答案为：或或 【变式2】（24-25七年级下·全国·单元测试）两块含角的三角板如图所示叠放，现固定三角板不动，将三角板绕顶点顺时针转动，使两块三角板至少有一组边互相平行，则所有可能的度数为 ． 【答案】或或或 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．分四种情况：①，②，③，④，根据平行线的性质求解即可得． 【详解】解：由题意可知，，，． ①如图1，当点在上时， ∵， ∴， ∴，符合题意， ∴此时； ②如图2，当时， ∴， ∴； ③如图3，当时， ∴； ④如图4，当时， ∴； 综上，所有可能的度数为或或或， 故答案为：或或或． 【变式3】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）已知：，一块直角三角板中，，将三角板如图所示放置，使顶点C落在边上，经过点D作直线交边于点M，且点M在点D的左侧． (1)如图1，若，则___________°； (2)若的平分线交边于点F， ①如图2，当，且时，试说明：； ②如图3，当保持不变时，试求出与之间的数量关系． 【答案】(1)46 (2)①见解析，② 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的有关计算，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）过点作，根据，可得，根据平行线的性质可得； （2）①根据平行线的性质和角平分线定义即可说明；②当保持不变时，总有，在直角三角形中，，可得，根据和角平分线的定义，即可求出与α之间的数量关系． 【详解】（1）解：如图，过点E作， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 则， 故答案为：46； （2）解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在直角三角形中，， ∴， ∴， ∵， ∴； ②∵当保持不变时，总有， 在直角三角形中，， ∴， ∵， ∴，且， ∵平分， ∴， ∴． ★★【题型 7】利用平行线的性质与判定与折叠、旋转问题综合 【例题7】（25-26七年级上·江苏扬州·期末）【操作拼图】已知一副直角三角尺先按如图的方式拼接在一起，其中与直线重合，，． （1）在上述所拼图形中，的度数为 °． 【问题探究】 （2）在上述所拼图形基础上，让三角板固定不动，将三角板绕着点O以每秒的速度顺时针方向旋转，且两块三角板均在直线的上方．设三角板的旋转时间为t秒，在旋转过程中，请求出当时，旋转时间t的值； 【拓展延伸】 （3）在按照【操作拼图】要求拼好图后，让三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转的同时，三角尺也绕着点以每秒的速度按逆时针方向旋转．在旋转过程中，两块三角尺均在直线的上方，且当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转．设三角尺的旋转时间为．在旋转过程中，当与三角尺的某一边平行时，请直接写出t的值． 【答案】【操作拼图】；【问题探究】或；【拓展延伸】，， 【分析】本题主要考查了平行线的性质，正确判断角的数量关系是本题解题的关键． （1）根据平角的定义求解即可； （2）根据，的位置分类讨论，列出等式求解即可； （3）根据与边平行的边不同分类讨论，根据平行线的性质进行求解即可． 【详解】解：（1）∵与直线重合， ∴， ∵， ∴ 故答案为：75； （2）三角板以每秒的速度顺时针旋转t秒后， ，， ， ； ∵， ∴当时，， 解得； 当时，， 解得， 综上，t的值为9或17； （3）∵三角板顺时针旋转，三角板逆时针旋转， ∴，， 当时， ∵，， 又， ∴， 解得：； 当时，则， ∴， ∵， ∴， 解得：； 当时，则， ∴， 解得， 综上，t的值为5，10或20． 【变式1】（24-25七年级下·河北石家庄·期中）如图1，将一条两边互相平行的纸袋折叠．在图1的基础上继续折叠，使得图1中的边与边重合如图，若继续沿边折叠，边恰好平分，则此时的度数为（    ）度． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质、折叠的性质以及角平分线的定义，解题的关键是利用折叠性质得出角之间的等量关系，结合平行线性质和角平分线定义求解． 根据两直线平行，同位角相等，可知，根据折叠的性质可知，折叠两次后形成的三个角与折叠后的都相等，而这四个角的和为，故每个角为，从而可知，即可得的值． 【详解】解：根据上下边互相平行可知，， 又， 根据折叠的性质可知，折叠两次后形成的三个角都相等， 根据题意可知，折叠两次后形成的三个角与折叠后的都相等，而这四个角的和为，故每个角为， ， 根据上下边互相平行可知，， 即， 故选：B． 【变式2】（25-26七年级上·江苏泰州·期末）如图，在直线上取一点，向上作一条射线，使，将一直角三角板顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方，其中．将图中的三角板绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中第 秒时，边所在直线恰好与射线平行． 【答案】2或20 【分析】本题考查了平行线的性质，角的和差计算； 设旋转时间为t，分两种情况，分别画出图形，求出对应的旋转角度，进而计算即可． 【详解】解：设旋转时间为t， 分两种情况： ①如图1， ∵，， ∴， ∴， ∴秒； ②如图2，反向延长至点D， ∵，， ∴， ∴此时旋转的角度为： ， ∴秒； 综上，在旋转的过程中第2秒或第20秒时，边所在直线恰好与射线平行， 故答案为：2或20． 【变式3】（24-25七年级下·福建泉州·期末）已知，在长方形中，，，，点在线段上，点在线段上，将长方形沿折叠后，点的对应点是，点的对应点是． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，将四边形沿继续折叠，点的对应点为，探索与的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，是直线和线段的交点，将四边形沿折叠，点的对应点是O，点B的对应点是Q，设，求的度数（用含m的式子表示） 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查折叠的性质，平行线的判定和性质，理解图示，掌握平行线的性质是关键． （1）根据折叠的性质，平行线的性质即可求解； （2）过点作，如图所示，，，根据折叠可知，，由此即可求解； （3）设，且，由翻折可知，，则，，设，，，由此列式求解即可． 【详解】（1）解： ， ， 根据折叠可知：， ， ； （2）解：数量关系：，理由如下： 过点作，如图所示： ， ， ， ， ， 根据折叠可知：， ， ， ； （3）解：如图所示， 设，且， 由翻折可知：， ， ， ，， ， ， ， 设， ， ， ， ∴． 三.中考模拟真题 （一）选择题（6题） 1．（2023·四川自贡·中考真题）如图，某人沿路线行走，与方向相同，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】证明，利用平行线的性质即可得到答案． 【详解】解：与方向相同， ， ， ， ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 2．（2024·湖北·模拟预测）如图，将一块含角的直角三角板斜边的两个顶点分别放在直尺的两条边上．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了平行线的性质，正确得出的度数是解题关键． 直接利用平行线的性质以及含角的直角三角板的特征进而得出答案． 【详解】解：如图， ， ， 由题意得， 直尺两边平行， ． 故选：A 3．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，，若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题目主要考查根据平行线的性质求角度，根据题意得出，再由平角即可得出结果，熟练掌握平行线的性质是解题关键 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B 4．（2024·福建·中考真题）在同一平面内，将直尺、含角的三角尺和木工角尺（）按如图方式摆放，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，由，可得，即可求解． 【详解】∵， ∴， ∵，则， ∴， 故选：A． 5．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）将一副三角尺（厚度不计）按如图所示摆放，使有刻度的两条边互相平行，则图中的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角板的应用，平行线的性质，根据题意得，再根据平行线的性质得，再根据可得答案． 【详解】解：如答图， 由题意，得， ， ， ， ， ． 故选：B． 6．（2025·山东东营·中考真题）2025年亚洲冬季运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图片为滑雪比赛的精彩瞬间．抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定和性质． 过点C作，得到，推出，，即可求出． 【详解】解：过点C作， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故选：D． （二）填空题（6题） 7．（2024·新疆克孜勒苏·二模）如图，若，则 ． 【答案】/75度 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，根据，，得，再结合两直线平行，内错角相等，以及两直线平行，同旁内角互补进行作答即可． 【详解】解：过点作，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， 故答案为：． 8．（2023·山东·中考真题）某些灯具的设计原理与抛物线有关．如图，从点照射到抛物线上的光线，等反射后都沿着与平行的方向射出．若，，则 ．    【答案】 【分析】可求，由，即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， ， 故答案：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握性质是解题的关键． 9．（2024·内蒙古通辽·模拟预测）早在两千多年前，我们的先祖就运用杠杆原理发明了木杆秤．木杆秤在称物时，所有秤绳都平行．如图，这是一杆古秤在称物时的一种状态，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，作图，由平行线的性质推出，由邻补角的性质即可求出的度数． 【详解】解：如图， 秤绳是平行的， ， ． 故答案为：． 10．（2024·广东·模拟预测）如图，已知直线，直线c与直线a，b分别相交于点A，B，点C为直线b上的一点，且．若，则 ． 【答案】/56度 【分析】本题考查了平行与垂直．熟练掌握平行线和垂线性质，是解题的关键． 由平行线性质可得，由垂直性质可得，得，代入计算即得． 【详解】∵， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵， ∴ ∴． 故答案为：． 11．（2023·广东清远·一模）如图，将的直角三角板与的内角顶点分别放在直线a、b上，若，则 ． 【答案】40 【分析】本题考查了利用平行线的性质求角的度数、三角板中角度的计算，由平行线的性质可得，结合计算即可得解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为40． 12．（2024·湖南娄底·模拟预测）如图，在四边形中，，D为线段上的一个动点，连接，并作，交于点M，，的平分线相交于点N，在点D的运动过程中，的大小不会发生变化，则 °． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，与角平分线有关的计算问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先过点作，过点作，运用平行线的性质得，即，又因为，的平分线相交于点N，得，同理得，所以，即可作答． 【详解】解：过点作，过点作，如图所示： 依题意，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，的平分线相交于点N， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （三）解答题（2题） 13．（2024·安徽·模拟预测）如图，已知，求的度数． 解：已知， ______ ______ ． ______ ． 已知， ______ ． 【答案】；；；等量代换 【分析】由已知的两个角互补，利用同旁内角互补两直线平行得到与平行，再利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，由的度数即可求出的度数．此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键． 【详解】解：已知， ． ． 已知， 等量代换． 故答案为：；；；等量代换 14．（23-24七年级下·广东佛山·月考）如图，在中，点、分别在、上，且． (1)尺规作图：在右侧，作． (2)若平分，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了尺规作图，作一个角等于已知角，平行线的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握知识点，是解题的关键． （1）利用作作一个角等于已知角的方法作图即可； （2）先证明得，根据平行线的性质定理求得，再根据角平分线的定义即可求解． 【详解】（1）解：如图，点F即为所求： （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.3 平行线的性质（知识梳理 + 题型精析 +中考模拟真题） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】平行线的性质（1） 1 ★【题型 1】利用“两直线平行，同位角相等”求角度 1 【知识点二】平行线的性质（2） 2 ★【题型 2】利用“两直线平行，内错角相等”求角度 3 【知识点三】平行线的性质（3） 3 ★【题型 3】利用“同旁内角互补，两直线平行”求角度 4 二.综合培优题型精析 5 ★★【题型 4】过拐点作平行线探究角之间关系 5 ★★【题型 5】利用平行线的性质综合求值证明 6 ★★【题型 6】利用平行线的性质与判定综合求值证明 7 ★★【题型 7】利用平行线的性质与判定与折叠、旋转问题综合 8 三.中考模拟真题 10 （一）选择题（6题） 10 （二）填空题（6题） 11 （三）解答题（2题） 13 一.知识梳理与基础题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示综合题，带★★★表示培优题。 【知识点一】平行线的性质（1） 两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等。 简述为:两直线平行,同位角相等。 ★【题型 1】利用“两直线平行，同位角相等”求角度 【例题1】（25-26八年级上·全国·课前预习）已知：如图，直线，和是直线被直线截出的内错角．求证：． 证明：（_______）， （_______）． （_______） （_______）． 【变式1】（2025·云南·模拟预测）如图所示，平行线，被直线所截，，则的度数是 （   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）将与两边平行的纸条按如图所示折叠，，则的度数为 ． 【变式3】如图，直线，点在直线上，且，，求的度数． 【知识点二】平行线的性质（2） 两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等。 简述为:两直线平行,同位角相等。 ★【题型 2】利用“两直线平行，内错角相等”求角度 【例题2】（25-26七年级下·全国·课后作业）将一副三角板按如图所示的方式叠放在一起．若，则为多少度？ 【变式1】（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，，射线交线段于点．下列角中，与相等的角为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，，将一个含角的直角三角板如图放置，使点E落在直线上，若，则的度数为 ． 【变式3】（23-24七年级下·广西防城港·期末）如图，一条公路两次转弯后，和原来的方向相同，如果第一次的拐角是，第二次的拐角是多少度？为什么？ 【知识点三】平行线的性质（3） 两条平行直线被第三条直线所截,同旁内角互补。 简述为:两直线平行,同旁内角互补。 ★【题型 3】利用“同旁内角互补，两直线平行”求角度 【例题3】（24-25七年级下·北京朝阳·期中）已知：如图，，．求证：． 【变式1】（25-26八年级上·广东深圳·期末）现有一张长方形彩带，将其沿折叠成如图所示图形，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·上海普陀·期中）如图，如果，那么x、y、z之间的数量关系是 ． 【变式3】（23-24六年级下·山东威海·期中）如图是大众汽车的标志图案，其中蕴含着一些几何知识，根据下面的条件完成证明． 已知：如图，，． (1)与相等吗？为什么？ (2)若，求的度数． 二.综合培优题型精析 ★★【题型 4】过拐点作平行线探究角之间关系 【例题4】如图，若，则角，，的关系为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级上·山西临汾·期末）转角式布局的玻璃浴室隔断是浴室常见的干湿分离设施，具有适配性强，通透感好，可以有效阻挡淋浴水花外溅等特点．小明观察玻璃浴室的地面布局，从中抽象出一道数学问题：如图，，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·全国·月考）如图，已知直线，则、、之间的关系是 ． 【变式3】（23-24七年级下·山东德州·期末）如图，，思考解决下列问题：试探究 ． ★★【题型 5】利用平行线的性质综合求值证明 【例题5】（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，直线和相交于点O，，平分，． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【变式1】（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，，点位于两平行线之间且在点、的右侧，分别作和的平分线交于点，再分别作和的平分线交于点设的度数是，则的度数用表示为 ．    【变式2】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，若，，，，则的度数为 （    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）数学活动课上，老师先在黑板上画出两条平行线，，再将三角板放在黑板上，与直线相交于点，改变三角板得到如图所示的两个不同位置的图形． (1)如图1，若点在直线上，，求的度数； (2)如图2，若点在直线，之间，求证：． ★★【题型 6】利用平行线的性质与判定综合求值证明 【例题6】（25-26八年级上·河北保定·期末）如图，点是上一点，，，，． (1)___________； (2)求证：直线； (3)若，求的度数． 【变式1】（23-24七年级下·江西宜春·月考）将一副直角三角板如图1，摆放在直线上（，，，），保持三角板不动，将三角板绕点C以每秒的速度，顺时针方向旋转，旋转时间为t秒，当与射线重合时停止旋转．在旋转过程中，当三角板的其中一边与平行时， ． 【变式2】（24-25七年级下·全国·单元测试）两块含角的三角板如图所示叠放，现固定三角板不动，将三角板绕顶点顺时针转动，使两块三角板至少有一组边互相平行，则所有可能的度数为 ． 【变式3】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）已知：，一块直角三角板中，，将三角板如图所示放置，使顶点C落在边上，经过点D作直线交边于点M，且点M在点D的左侧． (1)如图1，若，则___________°； (2)若的平分线交边于点F， ①如图2，当，且时，试说明：； ②如图3，当保持不变时，试求出与之间的数量关系． ★★【题型 7】利用平行线的性质与判定与折叠、旋转问题综合 【例题7】（25-26七年级上·江苏扬州·期末）【操作拼图】已知一副直角三角尺先按如图的方式拼接在一起，其中与直线重合，，． （1）在上述所拼图形中，的度数为 °． 【问题探究】 （2）在上述所拼图形基础上，让三角板固定不动，将三角板绕着点O以每秒的速度顺时针方向旋转，且两块三角板均在直线的上方．设三角板的旋转时间为t秒，在旋转过程中，请求出当时，旋转时间t的值； 【拓展延伸】 （3）在按照【操作拼图】要求拼好图后，让三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转的同时，三角尺也绕着点以每秒的速度按逆时针方向旋转．在旋转过程中，两块三角尺均在直线的上方，且当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转．设三角尺的旋转时间为．在旋转过程中，当与三角尺的某一边平行时，请直接写出t的值． 【变式1】（24-25七年级下·河北石家庄·期中）如图1，将一条两边互相平行的纸袋折叠．在图1的基础上继续折叠，使得图1中的边与边重合如图，若继续沿边折叠，边恰好平分，则此时的度数为（    ）度． A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·江苏泰州·期末）如图，在直线上取一点，向上作一条射线，使，将一直角三角板顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方，其中．将图中的三角板绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中第 秒时，边所在直线恰好与射线平行． 【变式3】（24-25七年级下·福建泉州·期末）已知，在长方形中，，，，点在线段上，点在线段上，将长方形沿折叠后，点的对应点是，点的对应点是． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，将四边形沿继续折叠，点的对应点为，探索与的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，是直线和线段的交点，将四边形沿折叠，点的对应点是O，点B的对应点是Q，设，求的度数（用含m的式子表示） 三.中考模拟真题 （一）选择题（6题） 1．（2023·四川自贡·中考真题）如图，某人沿路线行走，与方向相同，，则（    ）    A． B． C． D． 2．（2024·湖北·模拟预测）如图，将一块含角的直角三角板斜边的两个顶点分别放在直尺的两条边上．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，，若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 4．（2024·福建·中考真题）在同一平面内，将直尺、含角的三角尺和木工角尺（）按如图方式摆放，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）将一副三角尺（厚度不计）按如图所示摆放，使有刻度的两条边互相平行，则图中的度数为（　　） A． B． C． D． 6．（2025·山东东营·中考真题）2025年亚洲冬季运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图片为滑雪比赛的精彩瞬间．抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（    ） A． B． C． D． （二）填空题（6题） 7．（2024·新疆克孜勒苏·二模）如图，若，则 ． 8．（2023·山东·中考真题）某些灯具的设计原理与抛物线有关．如图，从点照射到抛物线上的光线，等反射后都沿着与平行的方向射出．若，，则 ．    9．（2024·内蒙古通辽·模拟预测）早在两千多年前，我们的先祖就运用杠杆原理发明了木杆秤．木杆秤在称物时，所有秤绳都平行．如图，这是一杆古秤在称物时的一种状态，若，则的度数为 ． 10．（2024·广东·模拟预测）如图，已知直线，直线c与直线a，b分别相交于点A，B，点C为直线b上的一点，且．若，则 ． 11．（2023·广东清远·一模）如图，将的直角三角板与的内角顶点分别放在直线a、b上，若，则 ． 12．（2024·湖南娄底·模拟预测）如图，在四边形中，，D为线段上的一个动点，连接，并作，交于点M，，的平分线相交于点N，在点D的运动过程中，的大小不会发生变化，则 °． （三）解答题（2题） 13．（2024·安徽·模拟预测）如图，已知，求的度数． 解：已知， ______ ______ ． ______ ． 已知， ______ ． 14．（23-24七年级下·广东佛山·月考）如图，在中，点、分别在、上，且． (1)尺规作图：在右侧，作． (2)若平分，求的度数． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $