专题 2.1 两条直线的位置关系（知识梳理 + 题型精析 +中考模拟真题）- 2025-2026学年北师大版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 2.1 两条直线的位置关系（知识梳理 + 题型精析 +中考模拟真题） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】相交线与平行线定义 1 ★【题型 1】相交线与平行线的认识 2 【知识点二】对顶角定义与性质 3 ★【题型 2】对顶角的识别 3 ★【题型 3】利用对顶角性质求值 5 【知识点三】余角与补角定义与性质 7 ★【题型 4】求一个角的余角与补角 7 ★【题型 5】余角与补角的性质求值 9 【知识点四】垂直与垂直的性质 12 ★【题型 6】垂直的性质的理解 13 ★【题型 7】垂线段最短与点到直线的距离的理解与求值 15 二.综合培优题型精析 18 ★★【题型 8】利用余角、补角、角平分线综合求值与证明 18 ★★【题型 9】利用余角与补角的性质求值证明 22 ★★【题型 10】利用对顶角、余角、补角性质求值证明 25 三.中考模拟真题 29 （一）选择题（6题） 29 （二）填空题（6题） 32 （三）解答题（2题） 35 一.知识梳理与基础题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示综合题，带★★★表示培优题。 【知识点一】相交线与平行线定义 在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种；若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线；在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线。 ★【题型 1】相交线与平行线的认识 【例题1】已知阿，是同一平面内的任意两条直线． （1）若直线，没有公共点，则直线，的位置关系是 ； （2）若直线，有且只有一个公共点，则直线，的位置关系是 ； （3）若直线，有两个以上的公共点，则直线，的位置关系是 ． 【答案】 平行 相交 重合 【分析】根据两直线平行，相交，重合的定义进行解答即可． 解：，是同一平面内的任意两条直线， （1）若直线，没有公共点则直线，的位置关系是平行； （2）若直线，有且只有一个公共点，则直线，的位置关系是相交； （3）若直线，有两个以上的公共点，则直线，的位置关系是重合． 故答案为：平行；相交；重合． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．在同一平面内，没有公共点的两条线段是平行线 B．在同一平面内，不重合的两条直线是平行线 C．在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线 D．不相交的两条直线是平行线 【答案】C 【分析】此题考查了平行线的定义，熟记平行线的定义是解题的关键． 根据平行线的定义判断求解即可． 解：在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线，故A错误，不符合题意； 同一平面内，不相交的两条直线是平行线，故B错误，不符合题意； 同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线，故C正确，符合题意； 同一平面内，不相交的两条直线是平行线，故D错误，不符合题意； 故选：C． 【变式2】．（20-21七年级下·广东深圳·月考）在同一平面内，不重合的两直线的位置关系必是（　　） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．相交或平行 【答案】D 【分析】根据在同一平面内，两直线的位置关系只有两种，即可判定 解：在同一个平面内，两条直线只有两种位置关系，即平行或相交． 故选：D． 【点睛】本题考查了在同一平面内，两直线的位置关系，注意“在同一平面内”这一条件限制． 【变式3】（1）在同一平面内， 的两条直线叫做平行线．若直线与直线平行，则记作 ． （2）在同一平面内，两条直线的位置关系只有 、 ． 【答案】 不相交 平行 相交 【分析】（1）根据平行线的定义与几何语言即可得出结论； （2）根据平面内相交线与平行线定义即可得出结论． 解：（1）在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．若直线与直线平行，则记作． 故答案为：不相交；． （2）在同一平面内，两条直线的位置关系只有平行、相交_． 故答案为：平行；相交． 【点睛】本题考查平行的定义与平面内两直线位置关系，掌握平行的定义与平面内两直线位置关系是关键． 【知识点二】对顶角定义与性质 对顶角定义：两个角有一个公共顶点，且它们的两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角叫做对顶角。 对顶角性质：对顶角相等。 ★【题型 2】对顶角的识别 【例题2】（24-25七年级上·全国·课后作业）两条相交直线所成的四个角中，有 没有 的两个角叫作对顶角． 【答案】 公共顶点 公共边 【分析】本题考查对顶角的定义，解题的关键是掌握对顶角的定义：有一个公共边，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线的两个角，即可． 解：∵对顶角的定义：有一个公共边，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线的两个角， ∴两条相交直线所成的四个角中，有公共顶点，没有公共边的两个角叫作对顶角． 故答案为：公共顶点；公共边． 【变式1】（25-26七年级上·山西临汾·期末）下列各图中，和是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查对顶角的定义与判定，掌握对顶角的判定条件是解题关键． 根据对顶角的判定条件依次判断各选项． 解：选项：和的两边不互为反向延长线，不是对顶角； 选项：和没有公共顶点，不是对顶角； 选项：和两边不互为反向延长线，不是对顶角； 选项：和有公共顶点，且两边互为反向延长线，是对顶角． 故选：． 【变式2】（24-25七年级下·全国·周测）下列各图中的直线都相交于一点． 若n条直线相交于一点，则共有 对对顶角． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角的定义及n条直线相交于一点，构成对顶角的规律．对顶角的定义：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角． 解：①两条直线相交共对对顶角； ②三条直线相交，在2对的基础上再加4对，共对； ③四条直线相交，在6对的基础上再加6对，共对； ④五条直线相交，在12对的基础上再加8对，共对； ……， 以此类推，当n条直线相交时，对顶角的总对数为：； 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·吉林长春·期末）下列图形中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对顶角的定义，熟悉对顶角定义是解题关键. 解：根据对顶角性质，两个角只有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线； 故选：A. ★【题型 3】利用对顶角性质求值 【例题3】（25-26七年级下·全国·周测）如图，与交于点，为射线． (1)写出的对顶角． (2)已知，，求和的度数． 【答案】(1) (2)    【分析】本题考查了对顶角的定义、角的和差关系和平角的性质，掌握对顶角相等，平角为，通过角的和差关系计算角度是解题的关键． （1）根据对顶角的定义，直接找出与相对的角； （2）先利用对顶角相等求出 ，再通过角的和差计算，最后利用平角性质求出． （1）解：直线与相交于点， 根据对顶角的定义，的对顶角为． （2）解：∵， ∴． ∵， ∴， ． 【变式1】（25-26七年级上·江苏常州·期末）如图， 直线与相交于点， 若． 则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角的性质，根据对顶角相等代入计算即可求解，掌握对顶角的性质是解题的关键． 解：∵和是对顶角， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：． 【变式2】（2026七年级下·全国·专题练习）如图，直线，相交于点，，，则的度数为 ． 【答案】20° 【分析】本题考查了对顶角的性质，角的和差，掌握对顶角的性质是解题的关键． 由对顶角的性质得，再根据角的和差关系即可求解． 解：直线，相交于点， ∵， ∴由对顶角的性质得， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，直线，，两两相交，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了对顶角的性质，解题的关键是熟练掌握对顶角相等． 先由对顶角相等得到，则，再由对顶角相等得到． 解：因为， 所以． 又因为， 所以． 所以． 【知识点三】余角与补角定义与性质 余角与补角定义：一般地,如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角；如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角。 余角与补角性质：同角（或等角）的补角相等，同角（或等角）的余角相等。 ★【题型 4】求一个角的余角与补角 【例题4】（25-26七年级上·陕西延安·期末）如图，已知，射线平分．求： (1)的余角； (2)的补角． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，余角和补角的相关计算． （1）直接根据余角的定义计算即可求解； （2）先根据角平分线的定义，求得，再求的补角，即可求解． （1）解：∵， ∴的余角为； （2）解：∵，平分， ∴， ∴的补角为． 【变式1】（24-25七年级上·陕西西安·月考）若，则的补角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是补角的含义，角度的四则运算，掌握“补角的含义以及角的60进制”是解本题的关键．利用补角的含义结合角度的减法运算法则进行计算即可． 解：∵， ∴的补角为， 故选：B． 【变式2】（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）一副三角板按如图所示的方式摆放，若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求余角． 根据图形，结合已知条件，由余角的定义进而得出的度数． 解：由图形可知，， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式3】（2025七年级上·全国·专题练习）已知． (1)求的余角的度数和的补角的度数． (2)求的余角的补角的度数． 【答案】(1)余角：，补角： (2) 【分析】本题主要考查的是余角和补角的知识点，两个角互余，则两角相加为，两个角互补，则两角相加为． （1）根据余角和补角的定义，余角为减去已知角，补角为减去已知角计算即可． （2）用减去计算即可． （1）解：的余角； 的补角． （2）解：的余角的补角． ★【题型 5】余角与补角的性质求值 【例题5】（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）如图，将两块直角三角板的直角顶点叠放在一起． (1)试判断与的大小关系，并说明理由； (2)若，求的度数； (3)猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，见解析 (2) (3)，见解析 【分析】本题主要考查了几何图中角的计算，数形结合，熟练掌握余角的性质，是解题的关键． （1）根据余角的性质进行求解即可； （2）根据，求出结果即可； （3）根据与的数量关系，进行求解即可． （1）解：．理由如下： ， ， ； （2）解：， ； （3）解：，理由如下： ， ， ． 【变式1】（2025七年级上·四川南充·专题练习）已知，， ．那么与的关系是（   ） A．相等 B．互余 C．互补 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查互余和互补的性质，先利用同角的补角相等得出，再结合与互余的关系，推导与的关系. 解：∵， ， ∴，（同角的补角相等） ∵， ∴， ∴与互余， 故选：B． 【变式2】（25-26七年级上·江苏徐州·期末）将一副三角尺按如图方式摆放，下列结论正确的是 （写所有正确结论的序号）． ①与互余；②；③与互余；④与互补． 【答案】①②④ 【分析】本题考查三角板内的角度，互余、互补的定义，根据相关知识点逐项判断即可． 解：由题意可知在和中，， ∴，即与互余，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴①②④正确，③与互余无法确定； 故答案为：①②④． 【变式3】（25-26七年级上·广东深圳·期末）如图，将两块含角的三角板的直角顶点重合放置，得到如下图形，其中． (1)若，则__________； (2)若，求的度数； (3)猜想与的和是否为定值，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是定值，理由见解析 【分析】本题考查图形中求角度，涉及互余定义、同角的余角相等，数形结合，准确表示出相关角度之间的和差关系是解决问题的关键． （1）根据题意，结合互余定义，由同角的余角相等即可得到答案； （2）由题意，先由图形中各个角度之间的关系求出，再由互余定义求出的度数即可得到答案； （3）设，则，计算为定值即可得到答案． （1）解：将两块含角的三角板的直角顶点重合放置，， ，， 则 （2）解：，， ， ； （3）解：是定值， 理由如下： ， 设， 则， ． 【知识点四】垂直与垂直的性质 垂直定义：两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足。通常用符号“⊥”表示两条直线互相垂直。 垂直性质：（1）同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。 点到直线距离：过一点作已知直线的垂线，这一点与垂足之间线段的长度叫作这一点到直线的距离。 ★【题型 6】垂直的性质的理解 【例题6】（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，直线与直线相交于点O，，若过点作，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，垂线的定义，对顶角相等，分类讨论是解答的关键． 分为当射线在上方时和当射线在下方时两种情况，根据垂线的定义得到，再根据角之间的关系进行求解即可． 解：如图1，当射线在上方时， ∵， ∴， ∵， ∴， 如图2，当射线在下方时， ∵， ∴， ∵， ∴； 综上，的度数为或． 故答案为：或． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．在同一平面内，过直线外一点向该直线画垂线，垂足一定在该直线上 B．在同一平面内，过线段或射线外一点向该线段或射线画垂线，垂足一定在该线段或射线上 C．过线段或射线外一点不一定能画出该线段或射线的垂线 D．在同一平面内，过直线上一点可画无数条直线与该直线垂直 【答案】A 【分析】本题考查对垂线定义的理解． 根据直线垂直的定义，对各选项进行分析判断即可． 解：A．在同一平面内，过直线外一点向该直线画垂线，垂足一定在该直线上，原说法正确，符合题意； B．在同一平面内，过线段或射线外一点向该线段或射线画垂线，垂足可能在它们的延长线（或反向延长线）上，原说法错误，不符合题意； C．过线段或射线外一点可以画出一条直线与之垂直，原说法错误，不符合题意； D．在同一平面内，过直线上一点可画一条直线与该直线垂直，原说法错误，不符合题意． 故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·广西防城港·期中）过点向线段所在直线作垂线，正确的画法是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂线，掌握当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直是解题的关键．根据过直线外一点作已知直线的垂线的作法判断即可． 解：A．没有垂直于，故该选项不符合题意； B．没有过点，故该选项不符合题意； C．过点作的垂线，垂线是直线，故该选项符合题意； D．为线段，不是直线，故该选项不符合题意； 故选：C． 【变式3】（25-26七年级上·江苏镇江·期末）如图，直线、相交于点，．若，则的大小为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂直的定义，平角的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． 由垂直的定义得，然后结合平角即可求解． 解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． ★【题型 7】垂线段最短与点到直线的距离的理解与求值 【例题7】（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，所有小正方形的边长都为1个单位，、、、均在格点上． (1)过点画线段的垂线，垂足为； (2)点到线段的距离即线段_________的长； (3)在直线上找一点，使得的值最小． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查画垂线，点到直线的距离，两点之间线段最短，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）利用三角板画垂线即可； （2）根据点到直线的距离为垂线段的长，进行作答即可； （3）根据两点之间线段最短，的交点即为所求． （1）解：如图，即为所求； （2）解：由题意，的长，即为点到线段的距离； （3）解：如图，点即为所求． 【变式1】（25-26七年级上·四川宜宾·期末）数学源于生活，又服务于生活，我们要会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界．如图是陈优同学在体育课上跳远后留下的脚印，测量线段的长度即为他的跳远成绩，这样测量的依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．垂线段最短 【答案】D 【分析】本题考查了垂线段的性质，从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段，垂线段最短．利用垂线段最短求解即可． 解：测量线段的长度即为他的跳远成绩，这样测量的依据是垂线段最短． 故选：D． 【变式2】（24-25七年级上·江苏镇江·期末）如图，已知，若G在线段上运动，则的最大值与最小值相差 m． 【答案】5 【分析】此题考查了垂线段最短．根据垂线段最短求出的最小值，再根据题意得到的最大值，即可求出答案． 解：根据题意可知，当运动到点E时，根据垂线段最短可知此时取最小值，， 当运动到点C时，根据题意可知此时取最大值，， ∴的最大值与最小值相差， 故答案为：5 【变式3】（25-26七年级上·江苏南京·月考）如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，点A、B、C均为格点． (1)根据要求画图：过点画，垂足为； (2)图中线段__________的长度表示点到直线的距离； (3)比较大小：线段__________线段（填“>”、“<”或“=”），理由是__________． 【答案】(1)见详解 (2) (3)>，垂线段最短 【分析】本题考查了画垂线，垂线段最短，点到直线的距离，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合题意，过点画，垂足为，即可作答． （2）理解点到直线的距离，得出线段的长度表示点到直线的距离 （3）运用垂线段最短，得线段线段，即可作答． （1）解：过点画，垂足为，如图所示： （2）解：由（1）的图，得线段的长度表示点到直线的距离， （3）解：由（1）的图，得 则线段线段，理由是垂线段最短． 二.综合培优题型精析 ★★【题型 8】利用余角、补角、角平分线综合求值与证明 【例题8】（25-26七年级上·陕西西安·期末）如图，已知点O是直线上一点，是直角，是的平分线，是的平分线． (1)求的度数； (2)猜想和之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见详解 【分析】本题考查了余角、补角的定义，角平分线的性质及角度的和差关系． （1）设，利用角平分线的性质得到，再由已知条件及角平分线的性质得到，进而通过余角的定义求得的度数，从而得到的度数； （2）利用补角的定义求得的度数，由（1）可知，从而比较和之间的数量关系即可得出结论． （1）解：设， ∵是的平分线， ∴， 又∵，是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：， 理由：∵，，， ∴， 由（1）知，， ∴， 即． 【变式1】（25-26七年级上·山东德州·期末）如图，，平分，与互余，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算，余角的有关计算，根据角平分线的定义得出，再根据余角的定义得出． 解：∵，平分， ∴， ∵与互余， ∴， 故选B． 【变式2】（26-27七年级上·安徽淮南·期末）如图，，射线在的内部，且．射线在的内部，平分． （1）的度数为 ； （2）若与互余，则的度数为 ． 【答案】 /15度 /25度 【分析】本题考查了与角平分线有关的角的计算；解题的关键是熟练掌握相关概念正确计算． （1）结合题意根据角的计算可得，代入求解即可； （2）结合角平分线的定义可得即，结合与互余，可求解． 解：（1）， ， ， ， ， 故答案为：； （2）平分， ， ， 与互余， ， 即， ， 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·河北沧州·期末）如图，平分平分． (1)求的度数； (2)求的度数，并判断与是否互补； (3)若，判断与是否互补，并说明理由． 【答案】(1) (2)，是 (3)与不一定互补，见解析 【分析】本题主要考查了角的和差、角平分线的定义、补角的定义等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）直接利用角的和差解答即可； （2）由角平分线的定义可得，再根据角的和差可求得的度数，再根据补角的定义即可判断； （3）由角平分线的定义可得，再根据角的和差可求得的度数，再根据补角的定义即可判断． （1）解：∵， ∴． （2）解：平分平分， ． 由（1）知，， ， 与互补． （3）解：与不一定互补，理由如下： 平分平分， ， ， ． 的度数不确定， 与不一定互补． ★★【题型 9】利用余角与补角的性质求值证明 【例题9】（25-26七年级上·山东枣庄·期末）把一副三角尺按照图①的方式放置，其中，边在的内部． 【问题探究】 （1）如果，那么______； （2）试判断与的关系，并说明理由； 【迁移应用】 （3）在图②中利用能够画直角的工具（如：三角尺）再画一个与相等的角． 【答案】（1）；（2）；理由见解析；（3）见解析 【分析】本题考查的是角的和差关系，互为余角的含义，三角尺特点，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据角的和差关系求解，即可解题； （2）根据同角的余角相等，即可解题； （3）根据同角的余角相等，以及三角尺特点作图，即可解题； 解：（1）因为，， 所以， 故答案为：； （2）； 理由如下： 因为，， 所以． （3）如图，过点，分别作，的垂线，，即为所求的角． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法：①如果，则与互为补角；②如果，则与互为余角；③如果，，则．其中正确的有（   ） A．2个 B．3个 C．1个 D．0个 【答案】A 【分析】本题考查了互补、互余，同角的补角相等，识记互补、互余的定义，同角的补角相等是解答的关键．根据互余互补的概念确定①③的正误；根据同角的补角相等判定②的正误即可． 解：由，得，则与不互为补角，故①错误； 如果，则与互为余角，故②正确； ③如果，，根据同角的补角相等，则．故③正确． 所以其中正确的有2个, 故选A． 【变式2】（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在中，若，于点，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同角的余角相等，一元一次方程． 根据，得到，，根据同角的余角相等列方程求解即可． 解：∵，， ∴，， ∴， 即， 解得：． 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·全国·期末）已知直线和相交于点（为锐角）． (1)填空：如图1，图中有__________对相等的角（平角除外），分别是__________．判断的依据是__________． (2)如图2，作，平分，求的度数； (3)在（2）的条件下，若，射线在内部，将分成两部分，求的度数． 【答案】(1)；和，和；对顶角相等 (2) (3)或． 【分析】本题考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义； （1）根据对顶角相等即可得解； （2）设，根据平分，表示出，再计算，即可求解； （3）结合（2）中的关系列方程即可求出x的值，再得出，根据在内部，将分成两部分，得出或，进而根据，即可求解． （1）解：根据同角的补角相等可得图1中有2对相等的角（平角除外）分别是:和，和；判断的依据是对顶角相等 故答案为：2，和，和；判断的依据是对顶角相等； （2）设°，则 ∵平分 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； （3）∵ ∴ 由（2）可知： ， ∴ 解得 ∴，， ∵平分， ∴ ∴ ∵在内部，将分成两部分， ∴或 ∴或 ∴或． ★★【题型 10】利用对顶角、余角、补角性质求值证明 【例题10】综合与探究 阅读材料：如图是七年级上册课本135页的探究，将纸片折叠使与重合，是折痕，此时与重合，所以，射线是的平分线． 知识初探： (1)如图1，已知是锐角内部的一条射线，将折叠，使射线和射线重合，为折痕，将折叠，使射线和射线重合，为折痕，若，，求的度数． 类比探究： (2)如图2，在长方形纸片中，点E，F分别在边，上，连接，将折叠，使点A落在点G处，平分，若，求的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据折叠的性质得出，，求解即可； （2）由折叠知，再由角平分线及邻补角得出，结合图形，进行等量代换求解即可． （1）解：由折叠知， 同理： ∴ （2）由折叠知， 又∵ ∴ ∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 【点睛】题目主要考查角平分线及角度的计算，结合图形，找准各角之间的关系是解题关键． 【变式1】（25-26七年级上·河南许昌·月考）按如下步骤折叠长方形纸片，下列说法错误的是（   ） A．与互余 B． C．平分 D．与互补 【答案】D 【分析】本题考查了图形的翻折变换，余角，补角的定义，掌握图形的翻折变换的特征是解决问题的关键． 利用折叠的性质及余角和补角的定义进行分析即可判断． 解：根据折叠的性质可知，，， ， ，即． 与互余． 故A正确，不符合题意． ， ． 故B正确，不符合题意． 根据折叠的性质可知，， 平分． 故C正确，不符合题意． ， 与不互补． 故D错误，符合题意． 故选：D． 【变式2】（23-24七年级上·河南郑州·期末）如图，将直角三角板的直角顶点O放在直线上，射线平分，，将三角板绕点O旋转（旋转过程中与均大于且小于）一周，的度数为 （用含的代数式表示）． 【答案】或 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角板中角度的计算，余角和补角，熟练掌握角平分线定义是解题的关键．分两种情况：当点C在上方时以及当点在下方时，根据补角的定义求出，再根据角平分线的定义求出，结合三角板的度数计算即可． 解：当点C在上方时，如图， ， ， 平分， ， ； 当点在下方时，如图， 同理可得， ， ， 故答案为：或． 【变式3】（25-26七年级上·云南昭通·期末）校园数学实践课上，学生们开展角的旋转探究活动．如图，在的内部作射线，使与互补，将射线，同时绕点分别以每秒，每秒的速度按逆时针方向旋转，旋转后的射线，分别记为，，设旋转时间为秒()，且． (1)______°； (2)在旋转的过程中，当时，求的值． 【答案】(1)； (2)当时，的值为或． 【分析】本题考查了补角的定义，角度的和差，一元一次方程的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用互补的定义列式计算； （）分两种情况：当时，当时两种情况求解即可． （1）解：∵与互补， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：当时，射线在内部，射线在内部， 由题意，得， ， 解得； 当时，射线在外部(含边界)，射线在内部(含边界)， 由题意，得， 解得， 综上，当时，的值为或． 三.中考模拟真题 （一）选择题（6题） 1．（2024·甘肃·中考真题）若，则的补角为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据和为的两个角互为补角，计算即可． 本题考查了补角，熟练掌握定义是解题的关键． 。 则的补角为． 故选：D． 2．（2024·四川雅安·中考真题）如图，直线交于点O，于O，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂线、对顶角的性质，关键是掌握垂线、对顶角的性质． 已知，可得的度数，因为对顶角，即得的度数． 解：∵， ， ， 故选：A． 3．（2024·山东日照·中考真题）如图，直线相交于点O．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查对顶角的定义，几何中角度的计算，由对顶角相等得到，即可解答． 解：， ． 故选：B． 4．（2024·北京·中考真题）如图，直线和相交于点，，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂直的定义，平角的定义，熟练掌握知识点，是解题的关键． 根据得到，再由平角即可求解． 解：∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：B． 5．（2023·河南·中考真题）如图，直线，相交于点O，若，，则的度数为（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对顶角相等可得，再根据角的和差关系可得答案． 解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B 【点睛】本题主要考查了对顶角的性质，解题的关键是掌握对顶角相等． 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，是直线外一点，三点均在直线上，且于点，．有下列结论：①线段是点到直线的距离；②线段的长是点到直线的距离；③三条线段中，最短；④线段的长是点到直线的距离．其中正确的是（   ） A．②③ B．①② C．③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了点到直线的距离，垂线段最短，点到点的距离，根据以上知识点逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 解：①线段的长是点到直线的距离，该选项说法错误； ②线段的长是点到直线的距离，该选项说法正确； ③三条线段中，最短，该选项说法正确； ④线段的长是点到点的距离，该选项说法错误； ∴正确的是②③， 故选：． （二）填空题（6题） 7．（2025·广东深圳·二模）一个锐角是，它的余角是 度． 【答案】 【分析】本题考查了求一个锐角的余角，度、分、秒的转换，首先根据余角的定义可得：的余角是，再把秒转化为分、分转化为度即可． 解：， 故答案为：． 8．（2024·广西·中考真题）已知与为对顶角，，则 °． 【答案】35 【分析】本题主要考查了对顶角性质，根据对顶角相等，得出答案即可． 解：∵与为对顶角，， ∴． 故答案为：35． 9．（2024·四川乐山·二模）如图是光的反射规律示意图，是入射光线，是反射光线，法线，是入射角，是反射角，．若，则的度数为 ． 【答案】/30度 【分析】此题主要考查了角的计算，垂直的定义，由，得，再根据得，据此可求出的度数，准确识图，理解垂直的定义，熟练掌握角的计算是解决问题的关键． 解：，， ， ， ， ， 即， ． 故答案为：． 10．（23-24七年级下·吉林·一模）如图，直线，相交于点O，，，则 °． 【答案】50 【分析】本题主要考查了对顶角的性质，熟练掌握对顶角相等是解题的关键．根据对顶角相等，可得，即可求解． 解：∵，， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：50． 11．（2024·贵州黔南·一模）如图，点A，B，C是直线l上的三点，点P在直线l外，，垂足为A，，，，则点P到直线l的距离是 ．    【答案】4 【分析】本题考查了点到直线的距离的定义．根据点到直线的距离的定义，直线外一点到直线的垂线段长度叫做点到直线的距离，判断是点P到直线l的距离即可． 解：直线外一点到直线的垂线段长度叫做点到直线的距离，，垂足为A，， 点P到直线l的距离是， 故答案为：4． 12．（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图，点，，在同一条直线上，射线和射线分别平分和，若角，则 ． 【答案】28 【分析】本题考查角平分线的相关计算，平角的定义，先根据平分求出，再根据平角的定义求出，最后根据角平分线的定义求出． 解：平分， ， ， 平分， ， 故答案为：28． （三）解答题（2题） 13．（2025·福建福州·模拟预测）如图，直线，相交于点O，平分，，：． (1)求的度数； (2)若过点O作射线，使得，求的度数． 【答案】(1) (2) 或 【分析】本题考查角平分线，邻补角、对顶角，理解邻补角、对顶角的定义，掌握角平分线的定义是正确解答的关键． （1）根据角平分线定义得出，根据，得出，然后再根据平角的定义进行计算即可； （2）根据角平分线的定义以及图形中角的和差关系分两种情况进行解答即可． （1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴可设，则， ∵， 即， 解得， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， （2）解：由（1）知，， ∴， ∵平分， ∴， 分两种情况： ①， ②， ∴． 即或． 14．（2024九年级上·模拟预测）如图，已知、、三点在同一直线上，，且和互为余角． (1)与互余吗？ (2)和有什么关系，为什么？ (3)的补角是___________． 【答案】(1)互余 (2)相等，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了余角和补角，熟练掌握余角和补角的定义是解题的关键：如果两个角的和为，则这两个角互为余角；如果两个角的和为，则这两个角互为补角． （1）由和互为余角可知，根据点，，三点在同一条直线上可知，于是可得，根据余角的定义即可得出结论； （2）根据，结合，，由等角的余角相等可得结论； （3）由（2）可知，由于的补角是，利用等量代换即可得出答案． （1）解：和互余，理由如下： 和互为余角， ， 又，，三点在同一条直线上， ， ， 答：和互余； （2）解：和相等，理由如下： 和互为余角， ， 又，， ∴； （3）解：由（2）可知：， 又， ， ∴的补角是． 故答案为：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.1 两条直线的位置关系（知识梳理 + 题型精析 +中考模拟真题） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】相交线与平行线定义 1 ★【题型 1】相交线与平行线的认识 2 【知识点二】对顶角定义与性质 2 ★【题型 2】对顶角的识别 2 ★【题型 3】利用对顶角性质求值 3 【知识点三】余角与补角定义与性质 4 ★【题型 4】求一个角的余角与补角 4 ★【题型 5】余角与补角的性质求值 5 【知识点四】垂直与垂直的性质 6 ★【题型 6】垂直的性质的理解 6 ★【题型 7】垂线段最短与点到直线的距离的理解与求值 7 二.综合培优题型精析 8 ★★【题型 8】利用余角、补角、角平分线综合求值与证明 8 ★★【题型 9】利用余角与补角的性质求值证明 9 ★★【题型 10】利用对顶角、余角、补角性质求值证明 11 三.中考模拟真题 12 （一）选择题（6题） 12 （二）填空题（6题） 13 （三）解答题（2题） 14 一.知识梳理与基础题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示综合题，带★★★表示培优题。 【知识点一】相交线与平行线定义 在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种；若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线；在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线。 ★【题型 1】相交线与平行线的认识 【例题1】已知阿，是同一平面内的任意两条直线． （1）若直线，没有公共点，则直线，的位置关系是 ； （2）若直线，有且只有一个公共点，则直线，的位置关系是 ； （3）若直线，有两个以上的公共点，则直线，的位置关系是 ． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．在同一平面内，没有公共点的两条线段是平行线 B．在同一平面内，不重合的两条直线是平行线 C．在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线 D．不相交的两条直线是平行线 【变式2】．（20-21七年级下·广东深圳·月考）在同一平面内，不重合的两直线的位置关系必是（　　） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．相交或平行 【变式3】（1）在同一平面内， 的两条直线叫做平行线．若直线与直线平行，则记作 ． （2）在同一平面内，两条直线的位置关系只有 、 ． 【知识点二】对顶角定义与性质 对顶角定义：两个角有一个公共顶点，且它们的两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角叫做对顶角。 对顶角性质：对顶角相等。 ★【题型 2】对顶角的识别 【例题2】（24-25七年级上·全国·课后作业）两条相交直线所成的四个角中，有 没有 的两个角叫作对顶角． 【变式1】（25-26七年级上·山西临汾·期末）下列各图中，和是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·全国·周测）下列各图中的直线都相交于一点． 若n条直线相交于一点，则共有 对对顶角． 【变式3】（25-26七年级上·吉林长春·期末）下列图形中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． ★【题型 3】利用对顶角性质求值 【例题3】（25-26七年级下·全国·周测）如图，与交于点，为射线． (1)写出的对顶角． (2)已知，，求和的度数． 【变式1】（25-26七年级上·江苏常州·期末）如图， 直线与相交于点， 若． 则的大小为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026七年级下·全国·专题练习）如图，直线，相交于点，，，则的度数为 ． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，直线，，两两相交，，，求的度数． 【知识点三】余角与补角定义与性质 余角与补角定义：一般地,如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角；如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角。 余角与补角性质：同角（或等角）的补角相等，同角（或等角）的余角相等。 ★【题型 4】求一个角的余角与补角 【例题4】（25-26七年级上·陕西延安·期末）如图，已知，射线平分．求： (1)的余角； (2)的补角． 【变式1】（24-25七年级上·陕西西安·月考）若，则的补角的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）一副三角板按如图所示的方式摆放，若，则的度数是 ． 【变式3】（2025七年级上·全国·专题练习）已知． (1)求的余角的度数和的补角的度数． (2)求的余角的补角的度数． ★【题型 5】余角与补角的性质求值 【例题5】（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）如图，将两块直角三角板的直角顶点叠放在一起． (1)试判断与的大小关系，并说明理由； (2)若，求的度数； (3)猜想与的数量关系，并说明理由． 【变式1】（2025七年级上·四川南充·专题练习）已知，， ．那么与的关系是（   ） A．相等 B．互余 C．互补 D．无法确定 【变式2】（25-26七年级上·江苏徐州·期末）将一副三角尺按如图方式摆放，下列结论正确的是 （写所有正确结论的序号）． ①与互余；②；③与互余；④与互补． 【变式3】（25-26七年级上·广东深圳·期末）如图，将两块含角的三角板的直角顶点重合放置，得到如下图形，其中． (1)若，则__________； (2)若，求的度数； (3)猜想与的和是否为定值，并说明理由． 【知识点四】垂直与垂直的性质 垂直定义：两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足。通常用符号“⊥”表示两条直线互相垂直。 垂直性质：（1）同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。 点到直线距离：过一点作已知直线的垂线，这一点与垂足之间线段的长度叫作这一点到直线的距离。 ★【题型 6】垂直的性质的理解 【例题6】（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，直线与直线相交于点O，，若过点作，则的度数为 ． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．在同一平面内，过直线外一点向该直线画垂线，垂足一定在该直线上 B．在同一平面内，过线段或射线外一点向该线段或射线画垂线，垂足一定在该线段或射线上 C．过线段或射线外一点不一定能画出该线段或射线的垂线 D．在同一平面内，过直线上一点可画无数条直线与该直线垂直 【变式2】（24-25七年级下·广西防城港·期中）过点向线段所在直线作垂线，正确的画法是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26七年级上·江苏镇江·期末）如图，直线、相交于点，．若，则的大小为 ． ★【题型 7】垂线段最短与点到直线的距离的理解与求值 【例题7】（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，所有小正方形的边长都为1个单位，、、、均在格点上． (1)过点画线段的垂线，垂足为； (2)点到线段的距离即线段_________的长； (3)在直线上找一点，使得的值最小． 【变式1】（25-26七年级上·四川宜宾·期末）数学源于生活，又服务于生活，我们要会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界．如图是陈优同学在体育课上跳远后留下的脚印，测量线段的长度即为他的跳远成绩，这样测量的依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．垂线段最短 【变式2】（24-25七年级上·江苏镇江·期末）如图，已知，若G在线段上运动，则的最大值与最小值相差 m． 【变式3】（25-26七年级上·江苏南京·月考）如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，点A、B、C均为格点． (1)根据要求画图：过点画，垂足为； (2)图中线段__________的长度表示点到直线的距离； (3)比较大小：线段__________线段（填“>”、“<”或“=”），理由是__________． 二.综合培优题型精析 ★★【题型 8】利用余角、补角、角平分线综合求值与证明 【例题8】（25-26七年级上·陕西西安·期末）如图，已知点O是直线上一点，是直角，是的平分线，是的平分线． (1)求的度数； (2)猜想和之间的数量关系，并说明理由． 【变式1】（25-26七年级上·山东德州·期末）如图，，平分，与互余，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（26-27七年级上·安徽淮南·期末）如图，，射线在的内部，且．射线在的内部，平分． （1）的度数为 ； （2）若与互余，则的度数为 ． 【变式3】（25-26七年级上·河北沧州·期末）如图，平分平分． (1)求的度数； (2)求的度数，并判断与是否互补； (3)若，判断与是否互补，并说明理由． ★★【题型 9】利用余角与补角的性质求值证明 【例题9】（25-26七年级上·山东枣庄·期末）把一副三角尺按照图①的方式放置，其中，边在的内部． 【问题探究】 （1）如果，那么______； （2）试判断与的关系，并说明理由； 【迁移应用】 （3）在图②中利用能够画直角的工具（如：三角尺）再画一个与相等的角． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法：①如果，则与互为补角；②如果，则与互为余角；③如果，，则．其中正确的有（   ） A．2个 B．3个 C．1个 D．0个 【变式2】（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在中，若，于点，，，则 ． 【变式3】（25-26七年级上·全国·期末）已知直线和相交于点（为锐角）． (1)填空：如图1，图中有__________对相等的角（平角除外），分别是__________．判断的依据是__________． (2)如图2，作，平分，求的度数； (3)在（2）的条件下，若，射线在内部，将分成两部分，求的度数． ★★【题型 10】利用对顶角、余角、补角性质求值证明 【例题10】综合与探究 阅读材料：如图是七年级上册课本135页的探究，将纸片折叠使与重合，是折痕，此时与重合，所以，射线是的平分线． 知识初探： (1)如图1，已知是锐角内部的一条射线，将折叠，使射线和射线重合，为折痕，将折叠，使射线和射线重合，为折痕，若，，求的度数． 类比探究： (2)如图2，在长方形纸片中，点E，F分别在边，上，连接，将折叠，使点A落在点G处，平分，若，求的度数（用含的式子表示）． 【变式1】（25-26七年级上·河南许昌·月考）按如下步骤折叠长方形纸片，下列说法错误的是（   ） A．与互余 B． C．平分 D．与互补 【变式2】（23-24七年级上·河南郑州·期末）如图，将直角三角板的直角顶点O放在直线上，射线平分，，将三角板绕点O旋转（旋转过程中与均大于且小于）一周，的度数为 （用含的代数式表示）． 【变式3】（25-26七年级上·云南昭通·期末）校园数学实践课上，学生们开展角的旋转探究活动．如图，在的内部作射线，使与互补，将射线，同时绕点分别以每秒，每秒的速度按逆时针方向旋转，旋转后的射线，分别记为，，设旋转时间为秒()，且． (1)______°； (2)在旋转的过程中，当时，求的值． 三.中考模拟真题 （一）选择题（6题） 1．（2024·甘肃·中考真题）若，则的补角为（　　） A． B． C． D． 2．（2024·四川雅安·中考真题）如图，直线交于点O，于O，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·山东日照·中考真题）如图，直线相交于点O．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·北京·中考真题）如图，直线和相交于点，，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 5．（2023·河南·中考真题）如图，直线，相交于点O，若，，则的度数为（    ）      A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，是直线外一点，三点均在直线上，且于点，．有下列结论：①线段是点到直线的距离；②线段的长是点到直线的距离；③三条线段中，最短；④线段的长是点到直线的距离．其中正确的是（   ） A．②③ B．①② C．③④ D．①②③④ （二）填空题（6题） 7．（2025·广东深圳·二模）一个锐角是，它的余角是 度． 8．（2024·广西·中考真题）已知与为对顶角，，则 °． 9．（2024·四川乐山·二模）如图是光的反射规律示意图，是入射光线，是反射光线，法线，是入射角，是反射角，．若，则的度数为 ． 10．（23-24七年级下·吉林·一模）如图，直线，相交于点O，，，则 °． 11．（2024·贵州黔南·一模）如图，点A，B，C是直线l上的三点，点P在直线l外，，垂足为A，，，，则点P到直线l的距离是 ．    12．（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图，点，，在同一条直线上，射线和射线分别平分和，若角，则 ． （三）解答题（2题） 13．（2025·福建福州·模拟预测）如图，直线，相交于点O，平分，，：． (1)求的度数； (2)若过点O作射线，使得，求的度数． 14．（2024九年级上·模拟预测）如图，已知、、三点在同一直线上，，且和互为余角． (1)与互余吗？ (2)和有什么关系，为什么？ (3)的补角是___________． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $