精品解析：湖南岳阳市汨罗市第一中学2025--2026学年八年级上学期期中考试数学试卷

2025-2026学年度汨罗市一中期中考试卷 八年级数学 考试时间：120分钟；考试总分：120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列条件中，分别为三角形的三边，不能判断为直角三角形的是（       ） A. ，， B. C. D. 2. 下列函数中为一次函数的是（ ） A. B. C. D. （是常数） 3. 下列图案是历届冬奥会会徽，其中既是中心对称又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为（　　） A. 15 B. 18 C. 21 D. 24 5. 如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为（ ） A. B. 5 C. D. 6. 在平面直角坐标系中，点M（m﹣3，m+1）在x轴上，则点P(m-1,1-m)在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 如图，点，点，点，点，点，…按照这样的规律下去，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. “漏壶”是一种古代计时器，在社会实践活动中，某小组同学根据“漏壶”的原理制作了如图所示的液体漏壶，漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体．请根据表格中的数据写出与之间的函数表达式（ ）； 时间：（小时） 圆柱体容器液面高度（厘米） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 关于一次函数，给出下列说法正确的是（） ①若点在该函数图象上，且，则； ②若该函数不经过第四象限，则； ③该函数向上平移2个单位得到的一次函数与坐标轴围成的三角形的面积为2，则； ④该函数恒过定点． A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ②③④ 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 如图，在中，，是边上的一点，，，，则点到的距离为_____． 12. 如图，在边长为6的菱形中，，点M是边的中点，连接，将菱形翻折，使点A落在线段上的点E处，折痕交于点N，则线段的长为_______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，，，，在坐标系中找一点，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标是_________． 14. 将直线向上平移2个单位长度，平移后直线的解析式为__________． 15. 点在函数的图像上，则代数式的值等于______________________． 16. 如图，两个边长均为6的正方形重叠在一起，是正方形的中心，则阴影部分的面积是_________． 17. 如图，在轴上有点，，过点作轴（使点在第二象限），且，连接当一次函数的图象与有公共点时，的取值范围为______ 18. 如图，点是边长为4的正方形外一点，且，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．点是的中点，连接，则的最小值为__________． 三、解答题（第19、20题每题6分，第21、22题每题8分，第23、24题每题9分，第25、26题每题10分，共66分） 19. 如图，中，是高，是角平分线，且，．求的度数． 20. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出△ABC关于原点O成中心对称的； （2）画出绕点O逆时针旋转90°所得到的； （3）在y轴上有一点Q，使得，请直接写出点Q的坐标． 21. 已知与成正比例，且当时，． （1）求与之间的函数关系式； （2）若点在这个函数的图象上，求的值． 22. 如图，分别是的中点． （1）证明：； （2）若，，求的长． 23. 草莓销售季节，某种植基地开发了草莓采摘无人销售方式，为方便小朋友体验，销售人员把草莓销售数量与销售总价y（元）之间的关系表格贴在了无人销售店的墙上： 销售数量 1 2 3 4 …… 销售总价y（元） … （1）表格中的两个变量，哪个是自变量？哪个是自变量的函数？ （2）请写出销售总价y（元）关于销售数量的函数解析式； （3）丽丽一家共摘了草莓，应付多少钱？ 24. 如图1，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，AE＝AD．EC与BD相交于点G，与AD相交于点F，AF＝AB． （1）求证：BD⊥EC； （2）如图2，连接AG，已知：EG＝8，DG＝2，求AG的长． 25. 在平面直角坐标系中，是坐标原点，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为3． （1）求一次函数的表达式； （2）如图2，过点作直线轴，为射线上一动点， ①求线段的长度， ②若为以为腰的等腰三角形，直接写出点的坐标； （3）在（2）的条件下，平面内是否存在点，使的面积等于面积的一半？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 26. （1）【情境建模】人教版教材八年级上册第78页，研究了等腰三角形的轴对称性，我们知道“等腰三角形底边上的高线、中线和顶角平分线重合”，简称“三线合一”． 小明尝试着逆向思考：若三角形一个角的平分线与这个角对边上的高重合，则这个三角形是等腰三角形；即如图1，已知，点D在的边上，平分，且，求证：．请你帮助小明完成证明； 请尝试直接应用“情境建模”中小明反思出的结论解决下列问题： （2）【理解内化】如图2，在中，是角平分线，过点B作的垂线交于点E、F，；求证：； （3）【拓展应用】如图3，在中，，，，垂足为E，与相交于点F；试探究线段与的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度汨罗市一中期中考试卷 八年级数学 考试时间：120分钟；考试总分：120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列条件中，分别为三角形的三边，不能判断为直角三角形的是（       ） A. ，， B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的判定，熟记勾股定理逆定理、三角形内角和定理是解题的关键．根据勾股定理的逆定理、三角形内角和定理进行计算，逐项判断即可解答． 【详解】解：A、∵，，， 则， ∴是直角三角形， 故不符合题意； B、∵， 则， ∴，即是直角三角形，故不符合题意； C、∵， ∴是直角三角形，故不符合题意； D、∵， 设， 则， ∴不是直角三角形，故符合题意； 故选：D． 2. 下列函数中为一次函数的是（ ） A. B. C. D. （是常数） 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数的定义对各项进行分析即可得到答案． 【详解】解：A.中，自变量的次数为，不是一次函数，故此选项不符合题意； B.是一次函数，故此选项符合题意； C.中，自变量的次数为2，不是一次函数，故此选项不符合题意； D.（是常数），当时，是一次函数，时，不是一次函数，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的定义，一般地，形如（，是常数）的函数，叫做一次函数，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键． 3. 下列图案是历届冬奥会会徽，其中既是中心对称又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，根据轴对称图形和中心对称图形的定义“如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”进行逐一判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故A正确； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故B错误； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D错误． 故选：A． 4. 如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为（　　） A. 15 B. 18 C. 21 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】此题涉及的知识点是平行四边形的性质．根据平行四边形的对边相等和对角线互相平分可得，OB=OD，又因为E点是CD的中点，可得OE是△BCD的中位线，可得OE=BC，所以易求△DOE的周长． 【详解】解：∵▱ABCD的周长为36， ∴2（BC+CD）=36，则BC+CD=18． ∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，BD=12， ∴OD=OB=BD=6． 又∵点E是CD的中点，DE=CD， ∴OE是△BCD的中位线，∴OE=BC， ∴△DOE的周长=OD+OE+DE=BD+（BC+CD）=6+9=15， 即△DOE的周长为15． 故选A 【点睛】此题重点考查学生对于平行四边形的性质的理解，三角形的中位线，平行四边形的对角对边性质是解题的关键． 5. 如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由折叠性质得到，，再由矩形性质得到，，结合全等三角形的判定与性质得到，设，则，在中，由勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】解：由折叠性质可得，， 在矩形中，，， 在和中， ， ， ， 设，则， 在中，，则由勾股定理可得， 即， ，则， 则重叠部分的面积为， 故选：C． 【点睛】本题考查求三角形面积，涉及折叠性质、矩形性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、解方程等知识，熟练掌握相关几何性质，由勾股定理列方程求解是解决问题的关键． 6. 在平面直角坐标系中，点M（m﹣3，m+1）在x轴上，则点P(m-1,1-m)在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据x轴上的点纵坐标为0，可得m+1=0，从而求出m的值，进而求出点P的坐标，最后根据平面直角坐标系中每一象限点的坐标特征，即可解答． 【详解】解：∵点M（m﹣3，m+1）在x轴上， ∴m+1=0， ∴m=-1， 当m=-1时，m-1=-2，1-m=2， ∴点P（-2，2）在第二象限， 故选：B． 【点睛】本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中每一象限点的坐标特征是解题的关键． 7. 如图，点，点，点，点，点，…按照这样的规律下去，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查点坐标的规律探究，先分别求出点到点的坐标为；…由此可见，点的坐标为，点的坐标为（为正偶数，据此解答． 【详解】解：由题意知，点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； … 由此可见，点的坐标为，点的坐标为（为正偶数． 当时，，， 所以点的坐标为． 故选D． 8. “漏壶”是一种古代计时器，在社会实践活动中，某小组同学根据“漏壶”的原理制作了如图所示的液体漏壶，漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体．请根据表格中的数据写出与之间的函数表达式（ ）； 时间：（小时） 圆柱体容器液面高度（厘米） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，由表格数据可知，每增加个小时，圆柱体容器液面高度增加厘米，据此解答即可求解，看懂表中数据的变化情况是解题的关键． 【详解】解：由表格数据可知，每增加小时，圆柱体容器液面高度增加厘米， ∴， 故选：． 9. 如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理．先根据勾股定理得出，再根据旋转的性质得，最后运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴， 则， 故选：B． 10. 关于一次函数，给出下列说法正确的是（） ①若点在该函数图象上，且，则； ②若该函数不经过第四象限，则； ③该函数向上平移2个单位得到的一次函数与坐标轴围成的三角形的面积为2，则； ④该函数恒过定点． A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质，包括单调性、象限分布、平移变换和定点问题，根据一次函数的定义和性质逐项判断即可，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：①若点，在函数图象上，且， ∵，即，， ∴随增大而增大， ∴，故①符合题意； ②若函数不经过第四象限， ∴且，即，故②不符合题意； ③函数向上平移2个单位得，与坐标轴交于点和， 围成的三角形面积为， 令，得，即或，故③不符合题意； ④当时，， ∴函数恒过定点，故④符合题意； 综上，符合题意的是①④， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 如图，在中，，是边上的一点，，，，则点到的距离为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是掌握好角平分线的性质． 过点作，根据可得平分，根据角平分线的性质可得，，即可求解． 【详解】解：过点作，如下图： 则为点到的距离， ∵， ∴平分， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即点到的距离为， 故答案为：． 12. 如图，在边长为6的菱形中，，点M是边的中点，连接，将菱形翻折，使点A落在线段上的点E处，折痕交于点N，则线段的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、折叠问题及勾股定理的运用，角直角三角形的性，熟知相关性质、定理，正确添加辅助线是正确解答此题的关键． 过点作于点，根据在边长为6的菱形中，，为中点，得到，从而得到，，进而利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图所示：过点作于点， 在边长为6的菱形中，，为中点， ，， ， ， ， ， ∵折叠， ∴， ． 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，，，，在坐标系中找一点，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标是_________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形性质，平行四边形的性质等知识点，解题的关键是掌握①数形结合思想的运用，②分类讨论方法的运用．根据题意画出符合条件的三种情况，根据图形，利用平行四边形的性质和平移的性质求解即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ①时， ∵， ∴，即； ②， ∵ ∴，即； ③， ∵，， ∴，即 故D点坐标为或或 故答案为：或或． 14. 将直线向上平移2个单位长度，平移后直线的解析式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正比例函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将直线向上平移2个单位长度后的直线的解析式为． 故答案为 ． 15. 点在函数的图像上，则代数式的值等于______________________． 【答案】8 【解析】 【分析】将点代入中，可得，从而求出，然后利用整体代入法即可求值． 【详解】解：将点代入中，得 ∴ ∴ = =2×2＋4 =8 故答案为：8． 【点睛】此题主要考查了一次函数图像上点的坐标特点以及代数式求值的问题，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式，并且熟练进行有理数的混合计算． 16. 如图，两个边长均为6的正方形重叠在一起，是正方形的中心，则阴影部分的面积是_________． 【答案】9 【解析】 【分析】连接OA、OD，证明OAM≌△ODN，得阴影部分的面积等于△OAD的面积，再由△OAD的面积与正方形ABCD的面积的关系求得结果． 【详解】如图，连接OA、OD，则∠AOD=∠GOE=90°， ∴∠AOM=∠DON， ∵ABCD是正方形，O为正方形ABCD的中心， ∴OA=OD，∠OAM=∠ODN=45°， 在△OAM和△ODN中，， ∴△OAM≌△ODN（ASA）， ∴S△OAM=S△ODN， ∴S阴影=S△ODM+S△ODN=S△OAM+S△ODM=S△OAD ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，关键是构造全等三角形得到阴影部分的面积等于△OAD的面积． 17. 如图，在轴上有点，，过点作轴（使点在第二象限），且，连接当一次函数的图象与有公共点时，的取值范围为______ 【答案】． 【解析】 【分析】先求得A的坐标，然后把A、B的坐标分别代入一次函数，求得相应的b的值，即可求得符合题意的b的取值范围． 【详解】解∶由题意可知， 把代入得，，解得； 把代入得，，解得； 当一次函数的图像与有公共点时，的取值范围为， 故答案为∶． 【点睛】本题考查了一次函数图象和系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键． 18. 如图，点是边长为4的正方形外一点，且，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．点是的中点，连接，则的最小值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是正确添加辅助线． 先证明，则，设的中点为，连接，由勾股定理得，由直角三角形斜边中线的性质可得，再由三角形三边关系即可求解最值． 【详解】解：线段绕点逆时针旋转得到线段， , 四边形是正方形， ，则， ，即; 在和中，; ， ， 如图：设的中点为，连接， ∴， 点是的中点，正方形边长为4， ，且， ∴， ∵， ∴ ∴当、、三点共线时，取得最小值， ∴， 的最小值为． 故答案为：． 三、解答题（第19、20题每题6分，第21、22题每题8分，第23、24题每题9分，第25、26题每题10分，共66分） 19. 如图，中，是高，是角平分线，且，．求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的性质以及高的性质，解题的关键是熟练运用这些知识求出相关角的度数． 先根据三角形内角和定理求出的度数，再利用角平分线的性质求出的度数．再利用高的性质求出的度数，最后通过求出结果． 【详解】解：在中，， ， ． 是角平分线， ， 是高， ， 在中，， ． 20. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出△ABC关于原点O成中心对称的； （2）画出绕点O逆时针旋转90°所得到的； （3）在y轴上有一点Q，使得，请直接写出点Q的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）， 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换，关键是根据轴对称变换和旋转变换得到变换后的对应点． （1）分别作出点A、B、C关于原点的对称点，，，再顺次连接即可得； （2）分别作出点，，，绕点O逆时针旋转后所得对应点，，再顺次连接可得； （3）根据平行线间距离处处相等即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求， 【小问2详解】 如图所示：即为所求， 【小问3详解】 如图，点，即为所求． 21. 已知与成正比例，且当时，． （1）求与之间的函数关系式； （2）若点在这个函数的图象上，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． （1）由题意可设（），然后把，代入求解即可； （2）将点代入（1）中求解的函数解析式即可． 【小问1详解】 解：由题意可设（）， ∵时，， ∴， 解得 ∴与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：∵点在这个函数的图象上， ∴， 解得． 22. 如图，分别是的中点． （1）证明：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质和等腰三角形的性质，以及勾股定理，掌握直角三角形的性质是解题的关键． （1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，利用中点的性质证明； （2）根据等腰三角形的性质及三角形的外角的性质得到，利用30度角的直角三角形的性质得到，进行求解即可． 【小问1详解】 证明：连接、， ，为的中点， ， 是中点， ． 【小问2详解】 解：由（1）可得， ， ， 是的外角， ， 同理可得， ， 是的外角， ， ， ， ， 是中点， ， ∴， ． 答：的长为． 23. 草莓销售季节，某种植基地开发了草莓采摘无人销售方式，为方便小朋友体验，销售人员把草莓销售数量与销售总价y（元）之间的关系表格贴在了无人销售店的墙上： 销售数量 1 2 3 4 …… 销售总价y（元） … （1）表格中的两个变量，哪个是自变量？哪个是自变量的函数？ （2）请写出销售总价y（元）关于销售数量的函数解析式； （3）丽丽一家共摘了草莓，应付多少钱？ 【答案】（1）表格中的两个变量，销售数量（x）是自变量，销售总价（y）是自变量的函数 （2） （3）元 【解析】 【分析】（1）根据函数的定义判断解答即可； （2）销售数量x每增加，销售总价y增加8元，其中元是必须要支付的，由此确定解析式即可； （3）根据解析式计算即可． 本题考查了函数的定义，函数的表达式，求函数值，熟练掌握定义，表达式确定，求函数值是解题的关键． 【小问1详解】 解：表格中的两个变量，销售数量（x）是自变量，销售总价（y）是自变量的函数． 【小问2详解】 解：销售数量x每增加，销售总价y增加8元，其中元是必须要支付的，由此销售总价y关于销售数量x的函数解析式为：． 【小问3详解】 解：根据题意得，， 应付的钱数为：（元）． 24. 如图1，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，AE＝AD．EC与BD相交于点G，与AD相交于点F，AF＝AB． （1）求证：BD⊥EC； （2）如图2，连接AG，已知：EG＝8，DG＝2，求AG的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由SAS证出△AEF≌△ADB，得∠AEF＝∠ADB，从而可推出结论； （2）在线段EG上取点P，使EP＝DG，由SAS证出△AEP≌△ADG得AP＝AG，∠EAP＝∠DAG，进而可得△PAG为等腰直角三角形，再由EG﹣DG＝EG﹣EP＝PGAG，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上， ∴∠EAF＝∠DAB＝90°， 在△AEF与△ADB中， ∴△AEF≌△ADB（SAS）， ∴∠AEF＝∠ADB， ∴∠GEB+∠GBE＝∠ADB+∠ABD＝90°， ∴∠EGB＝90°， ∴BD⊥EC； 【小问2详解】 解：如图，在线段EG上取点P，使EP＝DG， 在△AEP与△ADG中， ， ∴△AEP≌△ADG（SAS）， ∴AP＝AG，∠EAP＝∠DAG， ∴∠PAG＝∠PAD+∠DAG＝∠PAD+∠EAP＝∠DAE＝90°， ∴△PAG为等腰直角三角形， ∴EG﹣DG＝EG﹣EP＝PGAG， ∴AG＝8﹣2＝6， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，二次根式的除法运算，作出辅助线是解决本题的关键． 25. 在平面直角坐标系中，是坐标原点，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为3． （1）求一次函数的表达式； （2）如图2，过点作直线轴，为射线上一动点， ①求线段的长度， ②若为以为腰的等腰三角形，直接写出点的坐标； （3）在（2）的条件下，平面内是否存在点，使的面积等于面积的一半？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）①；②或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数综合应用、勾股定理、等腰三角形的性质、三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先求出，再利用待定系数法求解即可． （2）①求出点B的坐标为，从而得出；②根据等腰三角形的定义分两种情况：或，分别求解即可． （3）根据三角形面积公式可得，过P作轴交于Q，则，再由，结合的面积等于面积的一半，列方程即可解答． 【小问1详解】 解：∵点C的横坐标为3， ∴把代入中，得， ∴点C的坐标为， 把，代入，得， 解得， ∴一次函数表达式为； 【小问2详解】 ①把代入得， 解得， ∴点B的坐标为， ∴； ②∵为以为腰的等腰三角形， ∴或， 当时， ∴或（舍去）， 当， 过B作于H， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，点M的坐标为或． 【小问3详解】 ∵，， ∴， 过P作轴交于Q， ∵， ∴， ∵，的面积等于面积的一半， ∴， 解得或， ∴或． 26. （1）【情境建模】人教版教材八年级上册第78页，研究了等腰三角形的轴对称性，我们知道“等腰三角形底边上的高线、中线和顶角平分线重合”，简称“三线合一”． 小明尝试着逆向思考：若三角形一个角的平分线与这个角对边上的高重合，则这个三角形是等腰三角形；即如图1，已知，点D在的边上，平分，且，求证：．请你帮助小明完成证明； 请尝试直接应用“情境建模”中小明反思出的结论解决下列问题： （2）【理解内化】如图2，在中，是角平分线，过点B作的垂线交于点E、F，；求证：； （3）【拓展应用】如图3，在中，，，，垂足为E，与相交于点F；试探究线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3），理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的有关计算等知识点，运用三线合一的性质和作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）根据角平分线和垂直的性质，证明即可证明结论； （2）由“情境建模”的结论得可得、，进而得到，，再利用三角形外角的性质得到，从而推出，进而证明结论； （3）如图：作于点H，交的延长线于G，分别证明，再根据全等三角形的性质、线段的和差以及等量代换即可解答． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）证明：∵在△ABC中，AD是角平分线，AE⊥BF， 由“情境建模”的结论得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ． （3）解：，理由如下： 作于点H，交的延长线于G， ∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴ 在和中， ， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $