精品解析：河南省开封市回民中学2025-2026学年九年级上学期数学期末试卷

开封市回民中学 2025-2026学年第一学期九年级数学学科期末质量检测试卷 时长100分钟 总分120分 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 李明周末到洛阳市博物馆参观，他发现一件镇馆之宝的主视图和左视图相同，李明看到的镇馆之宝可能是（ ） A. 兽面纹铜方鼎 B. 曹魏白玉杯 C. 唐三彩黑釉马 D. 子申父己铜鼎 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了判断简单几何体的三视图，根据主视图是从正面看，左视图是从左边看，然后一一判断即可． 【详解】解：．主视图和左视图不相同，故该选项不符合题意； ．主视图和左视图相同 ，故该选项符合题意； ．主视图和左视图不相同，故该选项不符合题意； ．主视图和左视图不相同，故该选项不符合题意； 故选：B． 2. 我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的定义，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故不符合题意； B、是中心对称图形，故符合题意； C、不是中心对称图形，故不符合题意； D、不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：B． 3. 技术对我国具有重大战略意义，它不仅仅是一项通信技术的升级，更是推动经济、社会、科技全面变革的重要引擎．某市近年来大力发展通信，已知该市2022年投入发展通信的资金为1000万元；2024年投入发展通信的资金为5000万元．设该市投入发展通信的资金的年平均增长率为，则下列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的运用．设投入发展通信的资金的年平均增长率为，根据“2022年投入1000万元，预计2024年投入5000万元”，可以分别用x表示2022以后两年的投入，然后根据已知条件可得出方程． 【详解】解：设投入发展通信的资金的年平均增长率为， 则2023的通信资金为： 万元， 2024的通信资金为：万元， 那么可得方程：． 故选：C． 4. 如图，点为上的点，四边形为菱形，点在优弧上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，根据菱形的性质，得到，圆周角定理得到，圆内接四边形得到，求解即可． 【详解】解：∵点为上的点，四边形为菱形， ∴，，， ∴， ∴； 故选C． 5. 已知点，点，点在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的知识点是比较反比例函数值或自变量的大小，解题关键是熟练掌握反比例函数的性质． 将点，点，点分别代入反比例函数，求出，，的值，再比较大小即可． 【详解】解：点，点，点在反比例函数的图象上， ，，， ， ． 故选：． 6. 如图，为方便行人过天桥，市政府在10米高的天桥两端修建斜道，设计斜坡AC的坡度，则斜坡AC的长度是（ ） A. 30米 B. 米 C. 40米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握其性质是解题的关键． 根据坡度的定义计算，得到答案． 【详解】解：在中，，米，斜坡的坡度， ∴，即（米）， ∴（米）， 故选：B． 7. 如图，点、分别为反比例函数与反比例函数图象上的点，连接、，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据、两点在不同的反比例函数图象上设两点坐标，过点作轴于点，过点作轴于点，表示出、、、，证明相似后，由相似性质即可求解． 【详解】解：点、分别为反比例函数与反比例函数图象上的点， 可设，， 过点作轴于点，过点作轴于点， 则，，，， 轴，轴，， ， ∴， ， ， ， ， 即， ， ，， ， ． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质、反比例函数与几何综合，解题关键是利用数形结合的思想． 8. 若函数的图象如图所示，则函数和在同一平面直角坐标系中的图象大致是(　　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图像即可判断出、b、c与0的大小关系，然后根据一次函数和反比例函数的图像特点确定答案． 【详解】解：∵抛物线开口向上 ∴＞0 ∵抛物线对称轴＞0 ∴b＜0 ∵抛物线与y轴交点在y轴正半轴上 ∴c＞0 ∴当＞0，b＜0时，一次函数的图像过第一、三、四象限； 当c＞0时，反比例函数的图像过第一、三象限． 故选B． 【点睛】本题考查了一次函数、二次函数、反比例函数图像与系数的关系，解答本题的关键是掌握一次函数、二次函数、反比例函数的性质． 9. 如图，在平行四边形中，点为边上靠近的三等分点，连接交于点，若，则的面积为（ ） A. 9 B. 18 C. 32 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，四边形是平行四边形，，得，，则，可证明，得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵点为边上靠近的三等分点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则线段的长度为（ ） A. 4 B. 32 C. 25 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形的变化-旋转，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，作轴于H．利用全等三角形的性质证明，即可解决问题． 【详解】解：如图，作轴于H，则， ∵，， ∴，， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据方程有两个不相等的实数根可以得到判别式大于零，从而求出结果． 【详解】解：根据题意，得且， 解得且， 所以m的取值范围为且 故答案为：且． 12. 开封是全国知名的文化旅游城市，七年级学生小明和小亮两个家庭均在2025年“五一”假期去开封游玩，并约定好于5月2号上午在“清明上河园、龙亭公园、开封府、万岁山”四个景区中随机选择一个作为游玩目的地，则两个家庭选择同一景区的概率为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：将“清明上河园、龙亭公园、开封府、万岁山”四个景区分别记为、、、， 列表得： 由表格可得，共有16种等可能出现的结果，其中两个家庭选择同一景区的情况有种， 故两个家庭选择同一景区的概率为， 故答案为：． 13. 如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形的中点为圆心，则该扇形的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了扇形面积的计算，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键． 根据题意得到扇形的半径，再利用扇形面积公式计算即可． 【详解】解：连接， ∵的中点为圆心， ∴，即扇形的半径为， ∴该扇形的面积为， 故答案为： 14. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，小强自制了一个小孔成像装置，其中蜡烛（竖直放置），经小孔所成的像，蜡烛距离纸筒的距离为，则纸筒的长度为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用．设纸筒的长度为，根据光学原理，得到，得到，继而得到，即可求解． 【详解】解：设纸筒的长度为，根据光学原理，得到， ∴， ∴，即， 解得． 即纸筒的长度为， 故答案为：． 15. 如图，在中，顶点，，，将与等边组成的图形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转、勾股定理以及距离公式，先求出旋转周期，则第2026次旋转等价于第1次旋转，求第1次旋转即可，设与交于点，求出的坐标，进而得到初始的坐标，再计算旋转后的坐标即可． 【详解】解：每次旋转， 周期为：， ， 第2026次旋转等价于第1次旋转， ，， ， 为等边三角形， ， 设与交于点， 则，， 的横坐标为，纵坐标和点相同为， ， 的横坐标为0，纵坐标为， ， 即， 逆时针旋转后，点在第三象限， 如图所示，设此时点， 则， ， 即旋转1次后， 则第2026次旋转后，点的坐标为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解方程与计算 （1）用配方法解方程：； （2）计算：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，含特殊角的三角函数的混合运算． （1）运用配方法解方程，即可作答； （2）先代入特殊角的三角函数值，再运算乘方和乘法，最后运算加法，即可作答． 【小问1详解】 解：； ， ∴ 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． （1）画出关于轴对称的，并写出点的坐标； （2）画出绕点逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标； （3）在（2）的条件下，求点B旋转到点的过程中所经过的路径长（结果保留）． 【答案】（1） 如图，为所求；点的坐标为， （2） 如图，为所求；， （3） 【解析】 【分析】本题考查了利用旋转变换作图，轴对称和扇形面积公式等知识，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． （1）根据题意画出即可；关于y轴对称点的坐标横坐标互为相反数，纵坐标不变； （2）根据网格结构找出点、、以点为旋转中心逆时针旋转后的对应点，然后顺次连接即可； （3）先求出，再由旋转角等于，利用弧长公式即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， 点B旋转到点的过程中所经过的路径长． 18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，，其中点的横坐标为． （1）求的值； （2）根据图象，直接写出不等式的解集； （3）过点作轴于点，连接，求的面积． 【答案】（1）； （2）或； （3）12． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）先求出，再利用待定系数法求解即可； （2）先求出，再结合函数图象即可得解； （3）利用三角形面积公式计算即可得解． 【小问1详解】 解：（1）点的横坐标为，且点在直线上， ， ， 点在反比例函数的图象上， ； 【小问2详解】 解：解方程组可得，或 ， 由函数图象可得：不等式的解集或； 【小问3详解】 解：∵，， ， 的面积． 19. 开封清明上河园是依照北宋著名画家张择端的《清明上河图》建造的，拂云阁是园内最高的建筑．某数学小组测量拂云阁DC的高度，如图，在A处用测角仪测得拂云阁顶端D的仰角为34°，沿AC方向前进15m到达B处，又测得拂云阁顶端D的仰角为45°．已知测角仪的高度为1.5m，测量点A，B与拂云阁DC的底部C在同一水平线上，求拂云阁DC的高度（结果精确到1m．参考数据：，，）． 【答案】拂云阁DC的高度约为32m 【解析】 【分析】延长交于点，则四边形是矩形，则，，在，中，分别表示出，根据，建立方程，解方程求解可得，根据即可求解． 【详解】如图，延长交于点，则四边形是矩形， 则，， 在中，， 在中，， ， 即， 解得， (m)． 拂云阁DC的高度约为32m． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键． 20. 如图，在中，，以为直径作交于点P． （1）请用无刻度的直尺和圆规作线段的中点D；（保留作图痕迹，不写作法） （2）连接，求证：是的切线． 【答案】（1） 如图所示，点D即为所求； （2） 证明：如图，连接，，， 由题意得：， ， 点为的中点， ， ， ， ， ， 为的半径， 是的切线． 【解析】 【分析】本题考查了作图基本作图，切线的判定，直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）根据题意作出图形即可； （2）连接，，，由题意得：，根据点为的中点，得，求得，得到，根据切线的判定定理得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 某校计划围一个矩形小菜园作为实践基地，九年级数学学习小组以“怎样围面积最大”为主题，开展活动．在学校实验楼房一侧的空地上，计划用篱笆和楼房的一面外墙围一个矩形小菜园作为实践基地，其中篱笆长米．如果外墙长米，矩形小菜园一边靠墙，另三边用篱笆围成． 任务一： （1）小菜园的面积能达到平方米吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 任务二： （2）怎样围小菜园面积最大？请你给出设计方案并求出最大面积． 【答案】任务一：小菜园的面积能达到平方米，此时米，米； 任务二：当米，米时，小菜园面积最大，最大面积为平方米． 【解析】 【分析】本题考查的知识点是一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，解题关键是准确构建数学模型并合理求解． 任务一：设，则，根据面积关系列出一元二次方程，求解后判断是否符合题意即可； 任务二：建立小菜园面积关于边长的二次函数模型，利用二次函数性质求解面积最大值及对应的边长． 【详解】解：依题意得：米， 任务一：设，则， 若小菜园的面积能达到平方米， 即， ， ， 解得，， 则当米时，米，符合题意； 当米时，，不符合题意； 综上，小菜园的面积能达到平方米，此时米，米． 任务二：小菜园的面积， ， 当时，取最大值，最大值为， 即当米，米时，小菜园面积最大，最大面积为平方米． 22. 某校数学智慧社团研究“城市广告牌照明优化项目”中的数学问题． 项目背景 在城市繁华的商业街道，有一块大型广告牌，如图①，其顶部为抛物线拱形，拱高为4m，底部是长方形，长方形的长为，宽为． 任务一：建立数学模型 以长方形的边的中点O为原点，以所在的直线为x轴，竖直方向为y轴，建立如图②所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式． 任务二：确定射灯位置 为保证整个广告牌照明效果最优，经测算，需要在广告牌顶部边缘（抛物线拱形边缘）安装4个射灯，其间的水平距离相等，两端射灯距离广告牌左右两侧边缘线的水平距离均为，在图②的平面直角坐标系中，请用坐标表示这4个射灯的位置． 【答案】任务一：；任务二： 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，将实际的广告牌照明问题转化为数学模型，运用了二次函数的顶点式，通过已知顶点设出表达式，求出二次函数的顶点式是解决本题的关键． 任务一：利用待定系数法解答即可求解； 任务二：分别求出当和时的函数值，即可求解． 【详解】解：任务一：设抛物线解析式为 ∵抛物线经过和， ，解得：， ∴抛物线的解析式为； 任务二：， 当和时，， 当和时，， 即四个射灯的位置坐标分别为． 23. 在中，点是的平分线上一点，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，直线交于点，过点作，垂足为点． （1）观察猜想 如图1，当为锐角时，用等式表示线段的数量关系：__________． （2）类比探究 如图2，当为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． （3）拓展应用 当，且时，若，请直接写出的值． 【答案】（1） （2） 不成立，， 证明：如图，过点C作于点Q， ∵平分，，， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． （3） 或． 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）如图，过点C作于点P，由角平分线的性质定理可得，再证明可得，然后说明四边形是矩形可得，最后根据线段的和差以及等量代换即可解答； （2）如图，过点C作于点Q，由角平分线的性质定理可得，再证明可得，然后说明四边形是矩形可得，最后根据线段的和差以及等量代换即可解答； （3）分和分别利用（1）（2）的相关结论以及相似三角形的判定与性质、勾股定理解答即可． 【小问1详解】 解：如图，过点C作于点P， ∵平分，，， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 故答案为：． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①如图：当时， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图：当时， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上，的值为 或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 开封市回民中学 2025-2026学年第一学期九年级数学学科期末质量检测试卷 时长100分钟 总分120分 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 李明周末到洛阳市博物馆参观，他发现一件镇馆之宝的主视图和左视图相同，李明看到的镇馆之宝可能是（ ） A. 兽面纹铜方鼎 B. 曹魏白玉杯 C. 唐三彩黑釉马 D. 子申父己铜鼎 2. 我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 技术对我国具有重大战略意义，它不仅仅是一项通信技术的升级，更是推动经济、社会、科技全面变革的重要引擎．某市近年来大力发展通信，已知该市2022年投入发展通信的资金为1000万元；2024年投入发展通信的资金为5000万元．设该市投入发展通信的资金的年平均增长率为，则下列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点为上的点，四边形为菱形，点在优弧上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知点，点，点在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，为方便行人过天桥，市政府在10米高的天桥两端修建斜道，设计斜坡AC的坡度，则斜坡AC的长度是（ ） A. 30米 B. 米 C. 40米 D. 米 7. 如图，点、分别为反比例函数与反比例函数图象上的点，连接、，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数的图象如图所示，则函数和在同一平面直角坐标系中的图象大致是(　　　) A. B. C. D. 9. 如图，在平行四边形中，点为边上靠近的三等分点，连接交于点，若，则的面积为（ ） A. 9 B. 18 C. 32 D. 36 10. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则线段的长度为（ ） A. 4 B. 32 C. 25 D. 5 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______． 12. 开封是全国知名的文化旅游城市，七年级学生小明和小亮两个家庭均在2025年“五一”假期去开封游玩，并约定好于5月2号上午在“清明上河园、龙亭公园、开封府、万岁山”四个景区中随机选择一个作为游玩目的地，则两个家庭选择同一景区的概率为____． 13. 如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形的中点为圆心，则该扇形的面积为___________． 14. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，小强自制了一个小孔成像装置，其中蜡烛（竖直放置），经小孔所成的像，蜡烛距离纸筒的距离为，则纸筒的长度为___________． 15. 如图，在中，顶点，，，将与等边组成的图形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点的坐标为___________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解方程与计算 （1）用配方法解方程：； （2）计算：． 17. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． （1）画出关于轴对称的，并写出点的坐标； （2）画出绕点逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标； （3）在（2）的条件下，求点B旋转到点的过程中所经过的路径长（结果保留）． 18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，，其中点的横坐标为． （1）求的值； （2）根据图象，直接写出不等式的解集； （3）过点作轴于点，连接，求的面积． 19. 开封清明上河园是依照北宋著名画家张择端的《清明上河图》建造的，拂云阁是园内最高的建筑．某数学小组测量拂云阁DC的高度，如图，在A处用测角仪测得拂云阁顶端D的仰角为34°，沿AC方向前进15m到达B处，又测得拂云阁顶端D的仰角为45°．已知测角仪的高度为1.5m，测量点A，B与拂云阁DC的底部C在同一水平线上，求拂云阁DC的高度（结果精确到1m．参考数据：，，）． 20. 如图，在中，，以为直径作交于点P． （1）请用无刻度的直尺和圆规作线段的中点D；（保留作图痕迹，不写作法） （2）连接，求证：是的切线． 21. 某校计划围一个矩形小菜园作为实践基地，九年级数学学习小组以“怎样围面积最大”为主题，开展活动．在学校实验楼房一侧的空地上，计划用篱笆和楼房的一面外墙围一个矩形小菜园作为实践基地，其中篱笆长米．如果外墙长米，矩形小菜园一边靠墙，另三边用篱笆围成． 任务一： （1）小菜园的面积能达到平方米吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 任务二： （2）怎样围小菜园面积最大？请你给出设计方案并求出最大面积． 22. 某校数学智慧社团研究“城市广告牌照明优化项目”中的数学问题． 项目背景 在城市繁华的商业街道，有一块大型广告牌，如图①，其顶部为抛物线拱形，拱高为4m，底部是长方形，长方形的长为，宽为． 任务一：建立数学模型 以长方形的边的中点O为原点，以所在的直线为x轴，竖直方向为y轴，建立如图②所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式． 任务二：确定射灯位置 为保证整个广告牌照明效果最优，经测算，需要在广告牌顶部边缘（抛物线拱形边缘）安装4个射灯，其间的水平距离相等，两端射灯距离广告牌左右两侧边缘线的水平距离均为，在图②的平面直角坐标系中，请用坐标表示这4个射灯的位置． 23. 在中，点是的平分线上一点，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，直线交于点，过点作，垂足为点． （1）观察猜想 如图1，当为锐角时，用等式表示线段的数量关系：__________． （2）类比探究 如图2，当为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． （3）拓展应用 当，且时，若，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $