25.3 一次函数（第2课时）讲义-2025-2026学年 沪教版（五四制 )八年级数学下册精讲精练

25.3 一次函数（第2课时） 一、一次函数的性质 借助一次函数y=kx+b(k≠0) 的图像与正比例函数y=kx(k≠0) 的图像的关系，讨论当自变量x增大时，函数值y 随之怎样变化. 一次函数y =kx+b(k≠0 )具有以下性质： ( 1 ) 当k>0时，函数值y随着自变量x的增大而增大； ( 2 ) 当k<0时，函数值y随着自变量x的增大而减小. 上面这两个性质的逆命题也是成立的. 讨论：在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx+b(k≠0) 的图像所经过 的象限与k 、b 的符号有怎样的关系? ‌当k > 0，b > 0时‌：直线经过‌第一、二、三象限‌。此时函数值随x增大而增大，且与y轴正半轴相交。 ‌当k > 0，b < 0时‌：直线经过‌第一、三、四象限‌。此时函数值随x增大而增大，但与y轴负半轴相交。 ‌当k < 0，b > 0时‌：直线经过‌第一、二、四象限‌。此时函数值随x增大而减小，且与y轴正半轴相交。 ‌当k < 0，b < 0时‌：直线经过‌第二、三、四象限‌。此时函数值随x增大而减小，且与y轴负半轴相交。 二、一次函数、 一次方程与一次不等式 一次函数与二元一次方程之间有密切的联系. 通过前面作函数的图像，我们已经知道一次函数y=kx+b(k≠0) 的图像是一条直线.也就是说，该直线上任意一点的坐标(x,y)都满足二元一次方程y=kx+b;同时，对于任意一对满足二元一次方程 y=kx+b的x、y, 以 (x,y)为坐标的点都在该直线上. 下面，我们来讨论一次函数与一元一次方程以及一元一次不等式之间的关系. 问题 在平面直角坐标系xOy中，函数y= 的图像为直线l, 如图25-3-6所示.根据图像回答： ( 1 ) 当x取何值时，y=0? ( 2 ) 当x取何值时，y>0? ( 3 ) 当x取何值时，y<0? 观察图25-3-6,可以发现： (1)直线l与x 轴交点的横坐标为2.因此，当x=2时，y=0. (2)在直线l上且位于x 轴上方的点，其横坐标的取值范围是 x>2.因此，当x>2时，y>0. (3)在直线l 上且位于x 轴下方的点，其横坐标的取值范围是 x<2.因此，当x<2时，y <0. 设一次函数y=kx+b(k≠0)的图像所表示的直线为l,直线l与x轴交点的横坐标是关于x的一元一次方程kx+b=0 的解；在直线l上且位于x 轴上方的点的横坐标是关于x的一元一次不等式kx+b>的解；在直线l上且位于x轴下方的点的横坐标是关于x的一元一次不等式kx+b <0的解. 题型1：画图分析一次函数的性质 1．已知：一次函数 的图象经过点 ． (1)求这个一次函数的表达式； (2)在直角坐标系中画出这个一次函数的图象； (3)函数值y随着x值的增大而________．（填“增大”或“减小”）． 【答案】(1) ； (2)见解析 (3)增大 【分析】本题考查了待定系数法法求一次函数的解析式．一次函数图象上的点都满足一次函数解析式． （1）利用待定系数法即可求解； （2）作出点 和 ，过两点作直线即可； （3）根据一次函数的性质即可作答． 【详解】（1）解：把点 代入一次函数 得： ， 解得 ， 则一次函数的解析式是： ； （2）解：如图所示： （3）解：∵ ， ∴函数值y随着x值的增大而增大， 故答案为：增大． 2．在同一直角坐标系中，画出函数 与 的图象，并指出每个函数中当x增大时y如何变化． 【答案】图见解析， 随x增大而增大， 随x增大而减小． 【分析】令x=0，y=0分别求出函数 与 与坐标轴的交点，根据一次函数的图象是一条直线画出它们的图象，再利用一次函数的增减性得出两个函数中当x增大时y的变化即可． 【详解】解：函数 与两个坐标轴的交点为（-2，0），（0，4）， 与两个坐标轴的交点为（2，0），（0，4）． 图象如下： 中y随x增大而增大， 中y随x增大而减小． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，主要利用了一次函数图象与坐标轴的交点的求法，以及两点法作一次函数图象． 3．画出 的图象，根据图象回答下列问题 (1)y的值随x值的增大而 ． (2)图象与x轴的交点坐标是 ，与y轴的交点坐标是 ． (3)当x 时，y＞0． 【答案】(1)减小 (2) ， (3) 【分析】令 ， ；令 ， ，得到直线 上的两点坐标 ， ，描出这两点，然后连接这两个点得到函数 的图象，再根据图象直接判断出答案． 【详解】（1）解：令 ， ；令 ， ，得到 ， ，描出并连接这两个点，如图， 由图象可得图象经过第一、二、四象限， 随 的增大而减小； 故答案为：减小 （2）解：由图象可得图象与 轴的交点坐标是 ，与 轴交点的坐标是 ； 故答案为： ， （3）解：观察图象得，当 时， ． 故答案为： 【点睛】本题考查了一次函数 ， ， 为常数）的性质．它的图象为直线，当 ，图象经过第一，三象限， 随 的增大而增大；当 ，图象经过第二，四象限， 随 的增大而减小；当 ，直线与 轴的交点在 轴上方；当 ，直线经过坐标原点；当 ，直线与 轴的交点在 轴下方．也考查了看函数图象的能力和直线与坐标轴的交点的坐标特点． 题型2：判断一次函数的增减性 4．下列四个函数中，当 增大时， 值减小的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的增减性，根据一次函数 （ ）的性质，当 时， 随 的增大而减小，据此判断各选项即可． 【详解】解：∵一次函数的一般形式为 （ ）． ∴当 时， 随 的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小． 对各选项分析： A选项 中 ， 随 增大而增大． B选项 中 ， 随 增大而增大． C选项 中 ， 随 增大而增大． D选项 中 ， 随 增大而减小． ∴符合题意的是D选项． 故选：D． 5．对于函数 ，y随x的增大而 ． 【答案】增大 【分析】本题主要考查了一次函数的增减性，对于一次函数 （其中k、b是常数，且 ），当 时，y随x的增大而增大，当 时，y随x的增大而减小，据此可得答案． 【详解】解：∵一次函数解析式为 ， ， ∴y随x的增大而增大， 故答案为：增大． 6．下列函数中， 的值随着 值的增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根据一次函数的性质判断增减性，依据一次函数 ，当 时，y 随 x 的增大而减小判断即可． 【详解】解：对于一次函数 ， 若 ，则y随x增大而增大； 若 ，则y随x增大而减小， 选项 A： ，不符合； 选项 B： ，不符合； 选项 C： ，不符合； 选项 D： ，符合. 故选D． 7．已知一次函数 ， 的值随着 值的增大而（  ） A．增大 B．不变 C．减小 D．先增大后减小 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质，先判断出一次函数 中k的符号，再根据一次函数的增减性进行解答即可． 【详解】解：一次函数 中 ， ∴ 的值随着 值的增大而增大， 故选：A． 题型3：比较大小问题Ⅰ 8．若点 在一次函数 的图象上，则 ．（填“>”“<”或“=”） 【答案】> 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；根据一次函数的性质，当斜率小于0时，函数值随自变量的增大而减小，然后问题可求解． 【详解】解：由一次函数 可知： ， ∴y随x的增大而减小， ∵点 在一次函数 的图象上，且 ， ∴ ； 故答案为>． 9．对于直线 ，当 时， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了比较一次函数值的大小，根据一次函数解析式得到y随x增大而减小，再由 可得 ． 【详解】解：∵ ， ∴ 随着 的增大而减小， ∵ ， ∴ ， 故答案为： ． 10．已知一次函数 （ 、 为常数）的图象过 ， ，若 ，则 （用“>”或“<”填空）． 【答案】> 【分析】本题考查了一次函数的性质，先判断得出一次函数的系数 ，结合一次函数的增减性，即可求解． 【详解】解：∵ 为常数， 故 ∴ ； ∴ 随 的增大而增大， 故函数图象上的两点 ， ，当 时， ． 故答案为：>． 题型4：根据一次函数的性质求从参数范围 11．在一次函数 中， 随 的增大而增大， 的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性是解题关键．根据一次函数的增减性可得 ，由此即可得． 【详解】解：∵在一次函数 中， 随 的增大而增大， ∴ ， 解得 ， 故答案为： ． 12．若一次函数 中 随 的增大而减小，则 的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数的增减性，掌握一次函数的增减性是解题的关键．在 中，当 时 随 的增大而增大，当 时 随 的增大而减小，由此列不等式可求得 的取值范围． 【详解】解：∵一次函数 中 随 的增大而减小， ∴ ， 解得： ， 故答案为： ． 13．已知一次函数 （k为常数， ），当 时， ．则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与不等式的关系．根据一次函数的性质，分 和 两种情况讨论，结合条件当 时 ，通过不等式求解k的取值范围． 【详解】解：当 时，一次函数 随x增大而增大， 当 时， ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， 当 时， ，不满足题意， 故 不成立； 当 时，一次函数 随x增大而减小．欲使 时 ，需保证 时 ，即 ， 解得 ． 又 EMBED Equation.DSMT4 ， k的取值范围是 ． 故答案为： ． 题型5：一次函数的图像与性质综合辨析 14．下列关于一次函数 的叙述，结论正确的是（    ） A．图象经过点 B． 随 的增大而减小 C．图象经过第一、三、四象限 D．当 时， 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象与性质．根据一次函数的图象与性质逐一判断即可． 【详解】解：∵一次函数 中， ， ， ∴图象经过第一、三、四象限， 随 的增大而增大，故选项B错误；C正确； ∵当 时， ， ∴图象不经过 ，选项A错误； ∵当 时， ， 随 的增大而增大， ∴当 时， ，选项D错误； 故选：C． 15．一次函数 的图象和性质，说法正确的是（   ） A．y随x的增大而增大 B．截距为2 C．与x轴交于点 D．函数图象不经过第一象限 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象，一次函数的性质，正确掌握一次函数图象的增减性和一次函数的性质是解题的关键．根据一次函数的图象和性质，依次分析各个选项，选出正确的选项即可． 【详解】解：A．一次函数 的图象 随着 的增大而减小，即A项错误， B．把 代入 得： ，即在 轴的截距为 ，即B项错误， C．把 代入 得： ，解得： ，即与 轴交于点 ，即C项错误， D．函数图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限，即D项正确， 故选：D． 16．关于一次函数 ，下列说法正确的是（   ） A．图象经过第一、二、三象限 B．图象与 轴交于点 C．函数值 随 的增大而增大 D．当 时， 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，根据一次函数 （ ）的 、 值判断图象象限、增减性，再结合与坐标轴交点的求法逐一分析选项即可． 【详解】解：∵一次函数 中， ， ， ∴图象经过第一、二、四象限，故A错误； 令 ，则 ， 解得 ， ∴图象与 轴交于点 ，故B错误； ∵ ， ∴函数值 随自变量 的增大而减小，故C错误； ∵ 随 的增大而减小，且当 时 ∴当 时， ，故D正确； 故选：D． 17．已知一次函数 （k、b为常数， ）的图象经过点 和 ，则下列说法正确的是（   ） A．y随x的增大而增大 B．它的图象经过第一、二、三象限 C．将 的图象经过平移可得到 的图象 D．它的图象与x轴的交点坐标为 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、求一次函数的解析式，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．先利用待定系数法求出一次函数的解析式，再根据一次函数的图象与性质逐项判断即可得． 【详解】解：将点 ， 代入一次函数 得 ， 解得 ， 则一次函数的解析式为 ， ∵ ， ∴这个函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限， 随着 的增大而减小，选项A和选项B说法都不正确； ∵ 与 的k值不同，平移不改变一次函数的k值， ∴将 的图象经过平移无法得到 的图象，选项C不正确； 当 时， ，解得 ， 则这个函数的图象与 轴交于 ，选项D说法正确． 故选：D． 题型6：比较大小问题Ⅱ 18．若一次函数 （ 为常数，且 ）的图象经过第一、二、四象限，点 、 在该函数图象上，则 ．（填“ ”、“ ”或“ ”） 【答案】 【分析】本题考查一次函数增减性比较大小，熟记一次函数图象与性质是解决问题的关键． 根据一次函数图象经过第一、二、四象限，确定 ，且 ，从而确定一次函数 的函数值 随 的增大而减小，再比较 和 的纵坐标大小，即可得到横坐标的大小． 【详解】解： 一次函数 （ 为常数，且 ）的图象经过第一、二、四象限， EMBED Equation.DSMT4 ，且 ， 则一次函数 的函数值 随 的增大而减小， 由点 和 在函数图象上，且 ，可得 ， 故答案为： ． 19．已知一次函数 的图象经过点 ， ， 若 ，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的性质和一次函数的函数值计算，明确 的正负是解题关键． 由条件 ， 和 推导出 ，据此对选项依次进行判断． 【详解】解：∵ 点 和 在函数 上， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ，化简得 ， ∴ ， ∴ ， 对于点 ，有 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ，故 一定正确，选项 正确； 选项 ：错误，应该是 ； 选项 ：错误，由 且 可知 ； 选项 ： ，不一定成立，如 时， ． 故选： ． 20．已知一次函数 的图象经过点 ，点 均在一次函数 的图象上，若 ，则 的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握一次函数的图象和性质． 先将已知点代入一次函数解析式求出k的值，判断函数的增减性，再根据函数值的大小关系得出自变量的大小关系． 【详解】解：∵一次函数 的图象经过点 ， ∴将 代入解析式得： ， 解得 ， ∴该一次函数为 ， ∵ ， ∴一次函数 中，y随x的增大而减小， 又∵ ， ∴ ， 故选：C． 21．已知一次函数 （k、b为常数，且 ）的图像经过第一、二、四象限，若点 与 在一次函数 的图像上，则 ．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图像与系数的关系、一次函数图像上点的坐标特征、一次函数的增减性等知识点， 一次函数图像经过的象限得到 、 是解题的关键． 由一次函数图像经过的象限可得出 、 ，再利用一次函数的增减性求解即可． 【详解】解：∵一次函数 （k、b为常数，且 ）的图像经过第一、二、四象限， ∴ 、 ， ∵点 与 在一次函数 的图像上， ， ∴y随x的增大而增大， ∴ ． 故答案为： ． 22．已知 ， ， 为直线 上的三个点，且 ，以下判断正确的是（    ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，由直线方程 可知， ，因此 随 增大而减小．由 ，得 ，再逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵直线 ， ， ∴ 随 增大而减小． ∵ ， ∴ ． A，若 ，因为 ，所以 或 ； 当 时，由于 ，无法确定 和 的符号，例如，若直线与x轴交点在 和 之间，则 ，故不能确定 的正负 故选项A不符合题意； B，若 ，则 异号，但不能确定 的正负，故选项B不符合题意； 对于选项C：若 ， ∵ ， ∴ ， ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ 恒成立； 对于选项D，若 ，则 同号，但不能确定 的正负，故选项D不符合题意； 故选：C． 题型7：图表题 23．如表是一次函数 中x与y的一些对应数值，则下列结论正确的是（   ） x … 0 1 2 … y … 6 3 1 … A．y随x的增大而增大 B．该函数的图象经过第一、二、三象限 C．关于x的方程 的解是 D．该函数的图象与y轴的交点是 【答案】C 【分析】本题考查待定系数法求函数表达式，涉及一次函数图象与性质，熟记一次函数图象与性质是解决问题的关键．根据表格信息求出一次函数表达式，根据一次函数图象与性质逐项判断即可得到答案． 【详解】解：将 和 代入 得到 ， 解得 ， 一次函数为 ， A、由 可知， 随 的增大而减小，该选项错误，不符合题意； B、由 可知，该函数的图象经过一、二、四象限，该选项错误，不符合题意； C、当 时， ，解得 ，该选项正确，符合题意； D、由一次函数为 ，当 时， ，函数图象与 轴的交点是 ，该选项错误，不符合题意； 故选：C． 24．一次函数 中变量 与 的部分对应值如下表： 0 1 2 3 8 6 4 2 0 下列说法正确的是（　　） A． 随 的增大而增大 B．点 在直线 上 C．当 时， D．直线 与 轴的交点坐标是 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 根据表格数据，选取两点求出一次函数的解析式，再根据一次函数的性质逐一判断各选项即可解答． 【详解】解：∵当 时， ；当 时， ， ∴ ， ∴ ， ∴函数解析式为 ； A、因为 ，则y随x增大而减小，故A错误； B、当 时， ，所以点 在直线上，故B正确； C、当 时， ；因为y随x增大而减小，所以当时， ，故C错误； D、当 时， ，所以与 轴的交点坐标是 ，故D错误； 故选：B． 题型8：一次函数与方程、不等式 25．一次函数 （k，b为常数，且 ）的图象如图所示，则关于x的方程 的解为 ．    【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，解题关键是运用数形结合思想求解． 结合函数图象得出一次函数图象经过点 ，即可求解． 【详解】解：方程 的解就是一次函数 函数值为 时，自变量x的值，观察图象可知一次函数图象经过点 ， ∴ 的解为 故答案为： ． 26．如图，在平面直角坐标系中，直线 经过点 ， 和 ，则关于x的方程 的解为 ．    【答案】4 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程．根据题意，可知当 时， ，即可关于x的方程 的解为 ． 【详解】解：∵直线 经过点 ， ∴当 时， ， ∴关于x的方程 的解为 ． 故答案为：4． 27．一次函数 （k，b为常数， ）的图像如图所示，那么关于x的不等式 的解集是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据直线与x轴的交点求不等式的解集， 先确定直线与x轴的交点坐标，再根据直线在x轴下方时函数值小于0可得答案. 【详解】解：一次函数与x轴的交点坐标为 ， 当 时， ， ∴当 时， . 所以不等式 的解集是 . 故答案为： . 28．如图，直线 过点 与 ，那么关于 的不等式 的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与坐标轴交点求不等式的解集，理解图象的性质是关键． 根据一次函数与坐标轴的交点，结合图形即可求解． 【详解】解：直线 过点 与 ， ∴当 时， ， 故答案为： ． 29．已知一次函数 （ 、 为常数）的图像如图所示，那么关于 的不等式 的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式．直接根据图像作答即可． 【详解】解：由图可知，当 时， ， ∴ 的解集是 ， 故答案为： ． 30．如图，直线 经过 和 两点，则不等式 的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，正确理解一次函数与一元一次不等式的关系是解题的关键．可以从函数图象的角度去分析，就是确定 的解集就是确定直线 在直线 上方且在直线 下方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 【详解】解：∵直线 经过 和 两点， ∴不等式 的解集为 ． 故答案为： ． 31．如图，在平面直角坐标系中，若直线 与直线 相交于点 ，则下列结论错误的是（   ） A．方程组 的解是 B．方程 的解是 C．不等式 和不等式 的解集相同 D．不等式组 的解集是 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系，一次函数与二元一次方程组之间的关系，一次函数与不等式之间的关系．根据一次函数与一元一次方程之间的关系，一次函数与二元一次方程组之间的关系，一次函数与不等式之间的关系解答即可． 【详解】解：A、根据方程组 的解才是 ，原结论错误，符合题意； B、根据两条直线交点P的坐标是 ，得到方程 的解是 ，原结论正确，不符合题意； C、根据不等式 的解集与不等式 的解集都是 ，得到不等式 和不等式 的解集相同，原结论正确，不符合题意； D、把 代入 ，得到 ，当 时， ，得到不等式 的解集是 ，根据不等式 的解集是 ，得到不等式组 的解集是 ，原结论正确，不符合题意． 故选：A． 32．如图，在平面直角坐标系中，若直线 与直线 相交于点P，则下列结论正确的是（    ） A．方程 的解是 B．不等式 和不等式 的解集相同 C．不等式组 的解集是 D．方程组的解是 解为 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象和性质．由图象可得直线 与直线 相交于点 即可判断选项A；由图象可得 的解集为 ，由图象可得 的解集为 ，即可判断选项B；求出 的解集是 ，当 时， ，即可判断选项C；由图象可得方程组 的解为 ，即可判断选项D． 【详解】解：A．由图象可得直线 与直线 相交于点 ， ∴方程 的解是 ， 故选项错误，不符合题意； B．由图象可得 的解集为 ， 由图象可得 的解集为 ， ∴不等式 和不等式 的解集不相同， 故选项错误，不符合题意； C．将 代入 得 ， 解得 ， ∴ ， 将 代入 得 ， 由图象可知， 的解集是 ， 由图象可知，当 时，直线 在直线 的下方， ∴当 时， ， ∴不等式组 的解集是 ， 故选项正确，符合题意； D．∵直线 与直线 相交于点P， ∴方程组 的解为 ， 故选项错误，不符合题意． 故选：C． 33．一次函数 与 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．则不等式 的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、用待定系数法求一次函数的解析式，利用待定系数法求出直线 的解析式为 ，根据解析式可以求出当 时， ，由图象可知，一次函数 的 随 增大而减小，所以当 时， ． 【详解】解： 直线 经过点 和 ， 可得： ， 解得： ， EMBED Equation.DSMT4 为 ， 当 时， ， 一次函数 与 的交点坐标是 ， 由图象可知，一次函数 的 随 增大而减小， 当 时， ． 故答案为： ． 34．如图，直线 和直线 相交于点 ，则能使 成立的 的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式及一次函数的性质的知识，先求得点 的横坐标，进而根据函数图象，即可求解． 【详解】解：依题意， 解得： ∴使 成立的 的取值范围是 故答案为： ． 题型9：一次函数含参数问题 35．一次函数 的图象经过第一、三象限，则 的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数的系数和图像性质的关系，熟练掌握性质是关键； 根据一次函数 的图象经过第一、三象限，判断出 ，即 或 ，再分别判断 的图象即可． 【详解】解：∵一次函数 的图象经过第一、三象限， ∴ ， ∴ 、 同号，即 或 ， 当 时， 的图象大致为； 当 时，， ∴选项A符合题意， 故选：A． 36．一次函数 的图像位于第一、三、四，则y随x的增大而 ． 【答案】增大 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，首先根据一次函数 的图像位于第一、三、四，得出 ，再根据 的符号即知道 随 的增大而增大． 【详解】解：∵一次函数 的图像位于第一、三、四， ∴ ， 随 的增大而增大． 故答案为：增大． 37．若一次函数 的图象如图所示，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C． 随 的增大而减小 D．当 时， 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象与性质．根据一次函数的图象与性质判断即可． 【详解】解：由图象知， ，且 随 的增大而增大，故A、C选项错误； 图象与y轴负半轴的交点坐标为 ，所以 ，B选项正确； 当 时，图象位于x轴的下方，则有 ，D选项错误， 故选：B． 38．已知一次函数 与 轴交于正半轴，则函数值 随 的增大而 ． 【答案】增大 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质， 根据直线与y轴的正半轴相交可得 ，即可得出 ，再根据一次函数图象的性质得出答案． 【详解】解：当 时， ， 即直线 与y轴的交点为 ． ∵一次函数 与y轴交于正半轴， ∴ ， ∴ ， ∴一次函数 的函数值y随着x的增大而增大． 故答案为：增大． 题型10：取值范围、最值问题 39．一次函数 ，当 满足 时， 的最大值是 ． 【答案】7 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟知一次函数 的图象的性质：当 ，y的值随x的值增大而增大；当 ，y的值随x的值增大而减小是解题的关键．由一次函数 中 ，可以确定y随x的增大而减小，然后利用解析式即可求出在 时函数y的最大值． 【详解】解：∵一次函数 中 ， ∴y的值随x的值增大而减小， ∴在 范围内， 当 时，函数值y最大，此时 ． 故答案为：7． 40．已知 ，若 ，则 的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的性质，先求得当 时， ，再根据一次函数的增减性求解即可． 【详解】解：当 时， ， ∵ 中， ， ∴y随x的增大而减小， ∴当 时， 的取值范围是 ， 故答案为： ． 41．已知一次函数 ，当 时， 的最大值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了一次函数求最值． 由于 ，函数值 随 的增大而减小，当 时， 时， 取得最大值．据此进行解答即可． 【详解】解：∵一次函数 中， ， ∴函数值 随 的增大而减小， ∴当 时，在 时， 取得最大值． 代入 得 ， 即当 时， 的最大值是 ． 故答案为： 42．已知一次函数 ，当 时， ，则 的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数的增减性问题，当 时，y随x增大而增大，则当 时， ，当 时， ，当 时，y随x增大而减小，则当 时， ，当 时， ，据此利用待定系数法求解即可． 【详解】解：当 时，y随x增大而增大， ∵当 时， ， ∴当 时， ，当 时， ， ∴ ， 解得 ； 当 时，y随x增大而减小， ∵当 时， ， ∴当 时， ，当 时， ， ∴ ， 解得 ； 综上所述， 的值是 ， 故答案为： ． 43．已知一次函数 的图象不经过第三象限，当 时， 的最大值与最小值的差为 ，则 的值为 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与性质是解答本题的关键． 根据一次函数 的图象不经过第三象限得 ， ，所以 随 的增大而减小，故当 时， 取最大值，当 时， 取最小值，再根据 的最大值与最小值的差为 ，列出等式，解出 的值即可． 【详解】解： 一次函数 的图象不经过第三象限， ， ， 随 的增大而减小， 当 时， ，当 时， ， 当 时， 的最大值与最小值的差为 ， ， 解得： ， 故答案为： ． 44．已知一次函数 的图象不经过第一象限，当 时， 的最大值与最小值的差为5，则 的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，先根据一次函数的图象不经过第一象限，得出 ， ，判断出函数的增减性，再把 和 代入函数解析式得出函数值，再根据当 时， 的最大值与最小值的差为5，得出 ，求解即可得出答案，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解： 一次函数 的图象不经过第一象限， ， ， 随着 的增大而减小， 当 时， ，当 时， ， 当 时， 的最大值与最小值的差为5， ， 解得： ， 故答案为： ． 题型11：解答题 45．一次函数 （ ， 都是常数，且 ）的图象经过 ， 两点． (1)求函数解析式． (2)若 ，求 的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，求一次函数值的取值范围，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求可判断出函数的增减性，再求出 和 时的函数值即可得到答案． 【详解】（1）解：把点A和点B的坐标分别代入 ，得 ， 解得 ∴一次函数 的解析式为 ； （2）解：∵ ， ∴ 随 的增大而减小 当 时， ．当 时， ， ∴ 的取值范围是 ． 46．已知一次函数 ，函数值 随自变量 值的增大而减小． (1)求 的取值范围； (2)在平面直角坐标系 中，这个函数的图像与 轴的交点 位于 轴的正半轴还是负半轴？请简述理由． 【答案】(1) (2)这个函数的图像与 轴的交点 位于 轴的正半轴，理由见解析 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系．一次函数 ，当 时，函数值 随自变量 值的增大而增大；当 时，函数值 随自变量 值的增大而减小． （1）由一次函数图象与系数的关系得到 ，由此求得 的取值范围； （2）令 y=0，得到 ，结合 的取值范围求得 的符号，即可求解． 【详解】（1）解： 一次函数 ，函数值 随自变量 值的增大而减小， EMBED Equation.DSMT4 ， 解得： ； （2）这个函数的图像与 轴的交点 位于 轴的正半轴，理由如下： 令 ，则 ， 整理得： ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， 这个函数的图像与 轴的交点 位于 轴的正半轴． 47．在平面直角坐标系中，已知一次函数 ，完成下列问题： (1)画出一次函数 的图象； x … … y … … (2)当 时，x的范围是______； (3)将直线 沿y轴向下平移3个单位长度，平移后的函数表达式为______． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，一次函数与不等式，一次函数的平移，熟练掌握以上知识点是解答此题的关键． （1）分别求出直线与 轴、 轴的交点，画出函数图象即可； （2）根据函数图象与坐标轴的交点可直接得出结论； （3）根据平移的规律求得即可． 【详解】（1）解：当 时， ；当 时， ， x … 0 2 … y … 4 0 … 画图如下图，即为所求： （2）解：根据图象，可知 时，直线 的图象在 轴上方，那么当 时，x的范围是 ； 故答案为： ； （3）解：将直线 沿y轴向下平移3个单位长度，平移后的函数表达式为 ． 故答案为： ． 48．如图，已知一次函数 （k、b为常数， ）的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，若 ， ，结合图象求： (1)关于x的方程 的解； (2)关于x的不等式 的解集； (3)当x的取值在什么范围时， ? 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，从函数的角度看，就是寻求使一次函数 的值大于（或小于）0的自变量 的取值范围． （1）写出点 坐标，即可解答； （2）写出点 坐标，即可解答； （3）写出点 坐标，即可解答． 【详解】（1）解： ， ， 关于x的方程 的解为 ； （2）解：结合图象可得， 关于x的不等式 的解集为 ； （3）解：由 ， ，可得， ， 所以当x的取值在 时， ． 49．一次函数 的图象恒过定点 ． (1)若图象还经过 ，求该一次函数的表达式． (2)若当 时，一次函数y的最大值和最小值的差是6，求a的值． 【答案】(1) (2) 或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数的图象与性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）根据题意可得一次函数的表达式为 ，再分 和 两种情况讨论，利用函数y的最大值和最小值的差是6，列式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ， 解得 ， ∴一次函数的表达式为 ； （2）解：代入点 ，得 ， ∴ ， ∴一次函数的表达式为 ， ∴当 时， ；当 时， ， 当 时，y随着 的增大而增大， 则函数y在 取得最大值，在 取得最小值， ∴ ， 解得 ； 当 时，y随着 的增大而减小， 则函数y在 取得最大值，在 取得最小值， ∴ ， 解得 ； ∴综上，a的值为 或 ． 50．已知一次函数 ． (1)若该函数图象经过原点，求m的值； (2)在该函数中，y随x的增大而增大，求m的取值范围； (3)若 ，当 时，直接写出x的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了求一次函数解析式，根据一次函数增减性求参数，由直线与坐标轴的交点求不等式的解集等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据函数图象经过原点，得到关于m的方程求解； （2）根据在该函数中，y随x的增大而增大，得到关于m的不等式求解； （3）先求出一次函数解析式，再根据函数值的范围，得到关于x的不等式组求解即可。 【详解】（1）解：∵一次函数 的图象经过原点 ， ∴ ， ∴ ； （2）解：∵该一次函数的函数值y随x的增大而增大 ∴ ， ∴ ； （3）解：当 时，此时 ． 当 时， ， 解得： ， 此时x的取值范围为 ． 一、单选题 1．已知点 在一次函数 的图象上，则 ， 的大小关系为（    ） A． B． C． D．与 的取值有关，无法确定 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的性质，掌握一次函数中 值对函数增减性的影响是解题关键，根据 时 随 增大而减小来判断 和 的大小． 【详解】解：∵一次函数 中， ， ∴ 随 的增大而减小， ∵点 在该函数图象上，且 ， ∴ ． 故选：B． 2．关于函数 ，下列判断正确的是（   ） A．图像经过第一、三象限 B．无论 为何值，总有 C．图像经过点 D． 随 的增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数的图像与性质，由函数 是正比例函数， ，根据性质，图像经过第二、四象限， 随 增大而减小，逐一判断选项即可，掌握正比例函数的图像与性质是解题的关键． 【详解】解： 、∵函数 中 ， ∴图像经过第二、四象限，该选项错误，不符合题意； 、当 时， ，该选项错误，不符合题意； 、当 时， ，图像不经过 ，该选项错误，不符合题意； 、∵函数 中 ， ∴ 随 的增大而减小，该选项正确，符合题意； 故选： ． 3．如图，直线 是一次函数 的图象．若点 在直线 上，则 的值是（   ） A． B． C． D．7 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数解析式的求解及函数上点的坐标特征，解题关键是先通过直线上已知点求出解析式，再代入点的坐标计算函数值． 先根据直线 经过的两点求出一次函数解析式，再将点 代入解析式求出 的值，最后结合选项判断． 【详解】解：由图可知直线 经过点 和 ，代入 得： 解得： ∴直线 的解析式为 ． 将点 代入解析式： ． 故选：B． 4．在平面直角坐标系中，点 ，点 均在直线 上．若 ，则该直线经过的点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质，由点A，B的坐标及 可得出y随x的增大而增大，进而可得出 ，利用一次函数的性质，可得出直线 经过第一、三象限，再对照四个选项中点的坐标，即可确定结论． 【详解】解：∵点 在直线 上，且 ， ， ∴ 随 的增大而增大， ∴ ，该直线经过第一、三象限， ∵选项A 位于第三象限，符合直线经过的象限； 选项B 不在直线 上； 选项C 位于第二象限，不符合直线经过的象限； 选项D 位于第四象限，不符合直线经过的象限； 故选：A． 5．已知正比例函数 的图象经过二、四象限，则一次函数 的图象大致是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正比例函数与一次函数的图象和性质．熟悉正比例函数 的图象所在象限与系数 的关系，一次函数 中系数 、常数项 的符号对图象经过象限的影响，是解题的关键． 【详解】解：∵正比例函数 的图象经过二、四象限， ∴ ， ∵对于一次函数 ， ， ∴图象从左到右呈下降趋势， ∵ ， ∴与 轴交点在正半轴， 故选： ． 6．小明在探究直线l： EMBED Equation.DSMT4 的性质时，得到如下结论： ①直线l必经过点 ； ②直线l的图像经过一、三、四象限； ③若点 ， 在直线l上， ，则 ； ④点O到直线l的距离的最大值为5． 则以上结论正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质，勾股定理． 将 代入解析式得到 ，可知直线 必经过点 ，根据 ， 可知直线 经过一、二、四象限，根据 可知一次函数 中 随 的增大而减小，即当 时， ，根据垂线段最短可知点 到直线 的距离 ，根据勾股定理可知点 到直线 的距离的最大值为5． 【详解】①∵直线 可变形为 ， ∴当 时， ，与 取值无关， ∴直线 必经过点 ，结论①正确； ②∵ ， ∴ ∴ ， ∵ ， ∴直线 经过一、二、四象限，结论②错误； ③∵ ，一次函数 中 随 的增大而减小， ∴当 时， ，结论③正确； ④∵直线 恒过定点 ，根据垂线段最短，点 到直线 的距离 （当 时取等号）， ∵ ， ∴点 到直线 的距离的最大值为5，结论④正确； 综上，正确的结论是①③④． 故选：C． 二、填空题 7．一次函数 的图像经过点 ，那么关于x的一元一次不等式 的解集是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用一次函数图像解不等式，熟练掌握一次函数的图像与性质是解题关键．根据题意画出函数的图像，根据图像得出当 时， ，据此即可获得答案． 【详解】解：一次函数 的图像经过点 ，如图所示：    由图像可知，当 时， ， ∴当 时， ， ∴一元一次不等式 的解集是 ． 故答案为： ． 8．点 ， 都在直线 上，则 （填“ ”或“ ” ） 【答案】 【分析】此题主要考查了一次函数的性质，根据一次函数的性质求解即可，当 时， 随 的增大而减小． 【详解】解：∵一次函数 中 ， ∴ 随 的增大而减小 ∵ ，点 ， 都在直线 上， ∴ ． 故答案为： ． 9．已知一次函数 ，y随x的增大而减小，点 在函数图像上，那么关于x的不等式 的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数 的值大于（或小于）0的自变量 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线 在 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的解集．根据题意可得 ，进行讨论可得关于 的不等式 的解集． 【详解】解： 一次函数 ，y随x的增大而减小， ∴ ， 一次函数 的图象过点 ， ∴当 时， 的图像在直线 上方， ∴关于 的不等式 ，即 的解集是 ． 故答案为： ． 10．对于一次函数 ，当 时， ，则一次函数的解析式为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查的是一次函数的性质，待定系数法，由于k的符号不能确定，故应对 和 两种情况进行解答． 【详解】解：当 时，一次函数 是增函数， ∵当 时， ， ∴当 时， ；当 时， ， ∴ ， 解得 ， ∴一次函数解析式： ； 当 时，此函数是减函数， ∵当 时， ， ∴当 时， ；当 时， ， ∴ ，解得 ∴一次函数解析式： ． 故答案为： 或 ． 11．已知：关于x的函数 ，y随x的增大而减少，并且与y轴的交点在y轴的负半轴，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．根据一次函数 的图象在坐标平面内的位置以及性质，得到关于k、b的一元一次不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：∵ ，y随x的增大而减少，并且与y轴的交点在y轴的负半轴， ∴ ， 解得， ， 故答案为： ． 12．已知a、b、c分别为 的三条边长，c为斜边长， ，我们把关于 的形如 的一次函数称为“勾股一次函数”，如点 在“勾股一次函数”的图像上，且 的面积为4，则c的值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了考查了一次函数图象上点的坐标特征以及勾股定理，把点P坐标代入一次函数解析式中可得 ，根据勾股定理和三角形面积计算公式可得 ， ，则 ，据此可得 ，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵点 在“勾股一次函数” 的图象上， ∴ ， ∴ ， 又∵a、b、c分别为 的三条边长，c为斜边长， ， 的面积是4， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， 解得 或 （负值舍去）， 故答案为：4． 三、解答题 13．已知一次函数 的图象经过点 和点 ． (1)求该一次函数的解析式； (2)若点 ， 在该函数图象上，且 ，比较 与 的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，求函数的解析式，解题的关键是掌握一次函数的图象和性质． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据一次函数的图象和性质进行求解即可． 【详解】（1）解：将点 和点 代入 得， 解得 ∴该一次函数的解析式为 ； （2）解：∵ ，且 ， ∴ 随 的增大而减小， ∵ ， ∴ ． 14．已知y是x的一次函数，且当 时， ；当 时， ． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当 时，求函数y的值； (3)当 时，求自变量x的取值范围． 【答案】(1) ； (2) ； (3) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，以及求函数解析式的值，一次函数的性质． （1）设 ，根据点的坐标利用待定系数法求解即可； （2）将 代入一次函数解析式，即可求解； （3）根据 的值，可知 随 的增大而减小，分别求出 和 对应的 的取值，即可求解． 【详解】（1）解：设 ，将点 ， 代入得： ，解得 ， 函数解析式为 ； （2）解：将 代入 得， ； （3）解：∵ ， ∴ 随 的增大而减小， 将 和 代入得 ， ， 解得 ， ， ∴当 时， ， 自变量x的取值范围为 ． 15．已知函数 (1)若函数图象经过原点，求m的值． (2)若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小，求m的取值范围． (3)若函数图象经过第一，三，四象限，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据待定系数法，只需把原点代入即可求解； （2）直线y=kx+b中，y随x的增大而减小可得 ，即可求解； （3）根据图象第一，三，四象限，可得到关于m的不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：∵函数图象经过原点， ∴ ， 解得： ； （2）解：∵这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小， ∴ ， 解得： ； （3）解：∵函数图象经过第一，三，四象限， ∴ ， 解得： ． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，能够熟练运用待定系数法确定待定系数的值，还要熟悉在直线y=kx+b中，当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小、能够根据k，b的符号正确判断直线所经过的象限． 16．如图，一次函数 的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求点A、B的坐标； (2)若点C是坐标轴上一点，使得 ，求点C的坐标； (3)如果x轴上有一动点D，当 时，请直接写出符合条件的D点坐标． 【答案】(1)点A坐标为 ；点B坐标为 (2) 或 (3) 或 【分析】（1）分别令 、 求解即可； （2）当C在x轴上时，设 ，连接 ，根据 ，列方程求解即可；当C在y轴上时，设 ，连接 ，根据 ，列方程求解即可； （3）利用勾股定理求得 ，当 在 外部时， ，根据三角形外角的性质和等角对等腰证得 ，即可求解；当 在 内部时， ，作 的角平分线交 于点P，交y轴于点N，则点P在线段 的垂直平分线 上，垂直平分线交 于点M，利用中点坐标公式求得 ，过点O作 的平行线，交 的延长线于点G，证得 ，根据平行线分线段成比例定理得 ，即 ，求得 ，过点B作 ，进而得 ，由垂直平分线的判定得点Q在 的垂直平分线上，设 ，则 ，进而列方程求得 ，利用待定系数法求得直线 的函数关系式为： ，直线 的函数关系式为： ，联立方程组求得点P坐标为 ，进而求得直线 的函数关系式为： ，令 求解即可． 【详解】（1）解：当 时，则 ； 解得 ， ∴点A坐标为 ； 当 时，则 ； ∴点B坐标为 ； （2）解：如图1，当C在x轴上时，设 ，连接 ， ∵ ， ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， 解得 ， ∴ ； 如图2，当C在y轴上时，设 ，连接 ， ∵ ， ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， 解得： ， ∴ ； 综上所述，C的坐标为 或 ； （3）解：如图3，∵ ， ， ∴ ， ∴ ， 当 在 外部时， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴点D坐标为 ， 如图，当 在 内部时， ， 作 的角平分线交 于点P，交y轴于点N， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴点P在线段 的垂直平分线 上，垂直平分线交 于点M， ∴点M是 的中点， ∴点M坐标为 ，即 ， 过点O作 的平行线，交 的延长线于点G， ∵ ， ∴ ， ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ，即 ， 解得： ， ∴点N坐标为 ， 过点B作 ，则 ， ∵ ， ∴ ， ∴点Q在 的垂直平分线上，即点Q在 上， 设 ，则 ， ∴ ， 解得 ， ∴ ， 设直线 的函数关系式为： ， 把 、 代入得， ， 解得 ， ∴直线 的函数关系式为： ， 设直线 的函数关系式为 ， 把 代入得， ， 解得 ， ∴直线 的函数关系式为： ， 联立方程组得 ，解得 ， ∴点P坐标为 ， 设直线 的函数关系式为 ， 把 代入得， ， 解得 ， ∴直线 的函数关系式为： ， 当 时， ，解得： ， ∴点D坐标为 ， 综上所述，D的坐标为 或 ． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式、一次函数与坐标轴的交点、三角形外角的性质、角平分线的定义、垂直平分线的性质与判定、等腰三角形的判定、中点坐标公式及一次函数与二元一次方程组、勾股定理，熟练掌握相关知识，进行分类讨论是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.3 一次函数（第2课时） 一、一次函数的性质 借助一次函数y=kx+b(k≠0) 的图像与正比例函数y=kx(k≠0) 的图像的关系，讨论当自变量x增大时，函数值y 随之怎样变化. 一次函数y =kx+b(k≠0 )具有以下性质： ( 1 ) 当k>0时，函数值y随着自变量x的增大而增大； ( 2 ) 当k<0时，函数值y随着自变量x的增大而减小. 上面这两个性质的逆命题也是成立的. 讨论：在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx+b(k≠0) 的图像所经过 的象限与k 、b 的符号有怎样的关系? ‌当k > 0，b > 0时‌：直线经过‌第一、二、三象限‌。此时函数值随x增大而增大，且与y轴正半轴相交。 ‌当k > 0，b < 0时‌：直线经过‌第一、三、四象限‌。此时函数值随x增大而增大，但与y轴负半轴相交。 ‌当k < 0，b > 0时‌：直线经过‌第一、二、四象限‌。此时函数值随x增大而减小，且与y轴正半轴相交。 ‌当k < 0，b < 0时‌：直线经过‌第二、三、四象限‌。此时函数值随x增大而减小，且与y轴负半轴相交。 二、一次函数、 一次方程与一次不等式 一次函数与二元一次方程之间有密切的联系. 通过前面作函数的图像，我们已经知道一次函数y=kx+b(k≠0) 的图像是一条直线.也就是说，该直线上任意一点的坐标(x,y)都满足二元一次方程y=kx+b;同时，对于任意一对满足二元一次方程 y=kx+b的x、y, 以 (x,y)为坐标的点都在该直线上. 下面，我们来讨论一次函数与一元一次方程以及一元一次不等式之间的关系. 问题 在平面直角坐标系xOy中，函数y=的图像为直线l, 如图25-3-6所示.根据图像回答： ( 1 ) 当x取何值时，y=0? ( 2 ) 当x取何值时，y>0? ( 3 ) 当x取何值时，y<0? 观察图25-3-6,可以发现： (1)直线l与x 轴交点的横坐标为2.因此，当x=2时，y=0. (2)在直线l上且位于x 轴上方的点，其横坐标的取值范围是 x>2.因此，当x>2时，y>0. (3)在直线l 上且位于x 轴下方的点，其横坐标的取值范围是 x<2.因此，当x<2时，y <0. 设一次函数y=kx+b(k≠0)的图像所表示的直线为l,直线l与x轴交点的横坐标是关于x的一元一次方程kx+b=0 的解；在直线l上且位于x 轴上方的点的横坐标是关于x的一元一次不等式kx+b>的解；在直线l上且位于x轴下方的点的横坐标是关于x的一元一次不等式kx+b <0的解. 题型1：画图分析一次函数的性质 1．已知：一次函数的图象经过点． (1)求这个一次函数的表达式； (2)在直角坐标系中画出这个一次函数的图象； (3)函数值y随着x值的增大而________．（填“增大”或“减小”）． 2．在同一直角坐标系中，画出函数与的图象，并指出每个函数中当x增大时y如何变化． 3．画出的图象，根据图象回答下列问题 (1)y的值随x值的增大而 ． (2)图象与x轴的交点坐标是 ，与y轴的交点坐标是 ． (3)当x 时，y＞0． 题型2：判断一次函数的增减性 4．下列四个函数中，当增大时，值减小的函数是（    ） A． B． C． D． 5．对于函数，y随x的增大而 ． 6．下列函数中，的值随着值的增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 7．已知一次函数，的值随着值的增大而（  ） A．增大 B．不变 C．减小 D．先增大后减小 题型3：比较大小问题Ⅰ 8．若点在一次函数的图象上，则 ．（填“>”“<”或“=”） 9．对于直线，当时， ． 10．已知一次函数（、为常数）的图象过，，若，则 （用“>”或“<”填空）． 题型4：根据一次函数的性质求从参数范围 11．在一次函数中，随的增大而增大，的取值范围是 ． 12．若一次函数中随的增大而减小，则的取值范围是 ． 13．已知一次函数（k为常数，），当时，．则k的取值范围是 ． 题型5：一次函数的图像与性质综合辨析 14．下列关于一次函数的叙述，结论正确的是（    ） A．图象经过点 B．随的增大而减小 C．图象经过第一、三、四象限 D．当时， 15．一次函数的图象和性质，说法正确的是（   ） A．y随x的增大而增大 B．截距为2 C．与x轴交于点 D．函数图象不经过第一象限 16．关于一次函数，下列说法正确的是（   ） A．图象经过第一、二、三象限 B．图象与轴交于点 C．函数值随的增大而增大 D．当时， 17．已知一次函数（k、b为常数，）的图象经过点和，则下列说法正确的是（   ） A．y随x的增大而增大 B．它的图象经过第一、二、三象限 C．将的图象经过平移可得到的图象 D．它的图象与x轴的交点坐标为 题型6：比较大小问题Ⅱ 18．若一次函数（为常数，且）的图象经过第一、二、四象限，点、在该函数图象上，则 ．（填“”、“”或“”） 19．已知一次函数的图象经过点，，若，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 20．已知一次函数的图象经过点，点均在一次函数的图象上，若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 21．已知一次函数（k、b为常数，且）的图像经过第一、二、四象限，若点与在一次函数的图像上，则 ．（填“>”“<”或“=”） 22．已知，，为直线上的三个点，且，以下判断正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型7：图表题 23．如表是一次函数中x与y的一些对应数值，则下列结论正确的是（   ） x … 0 1 2 … y … 6 3 1 … A．y随x的增大而增大 B．该函数的图象经过第一、二、三象限 C．关于x的方程的解是 D．该函数的图象与y轴的交点是 24．一次函数中变量与的部分对应值如下表： 0 1 2 3 8 6 4 2 0 下列说法正确的是（　　） A．随的增大而增大 B．点在直线上 C．当时， D．直线与轴的交点坐标是 题型8：一次函数与方程、不等式 25．一次函数（k，b为常数，且）的图象如图所示，则关于x的方程的解为 ．    26．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，和，则关于x的方程的解为 ．    27．一次函数（k，b为常数，）的图像如图所示，那么关于x的不等式的解集是 ． 28．如图，直线过点与，那么关于的不等式的解集是 ． 29．已知一次函数（、为常数）的图像如图所示，那么关于的不等式的解集是 ． 30．如图，直线经过和两点，则不等式的解集为 ． 31．如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点，则下列结论错误的是（   ） A．方程组的解是 B．方程的解是 C．不等式和不等式的解集相同 D．不等式组的解集是 32．如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点P，则下列结论正确的是（    ） A．方程的解是 B．不等式和不等式的解集相同 C．不等式组的解集是 D．方程组的解是解为 33．一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．则不等式的解集为 ． 34．如图，直线和直线相交于点，则能使成立的的取值范围是 ． 题型9：一次函数含参数问题 35．一次函数的图象经过第一、三象限，则的图象大致为（    ） A． B． C． D． 36．一次函数的图像位于第一、三、四，则y随x的增大而 ． 37．若一次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C．随的增大而减小 D．当时， 38．已知一次函数与轴交于正半轴，则函数值随的增大而 ． 题型10：取值范围、最值问题 39．一次函数，当满足时，的最大值是 ． 40．已知，若，则的取值范围是 ． 41．已知一次函数，当时，的最大值是 ． 42．已知一次函数，当时，，则的值是 ． 43．已知一次函数的图象不经过第三象限，当时，的最大值与最小值的差为，则的值为 ． 44．已知一次函数的图象不经过第一象限，当时，的最大值与最小值的差为5，则的值为 ． 题型11：解答题 45．一次函数（，都是常数，且）的图象经过，两点． (1)求函数解析式． (2)若，求的取值范围． 46．已知一次函数，函数值随自变量值的增大而减小． (1)求的取值范围； (2)在平面直角坐标系中，这个函数的图像与轴的交点位于轴的正半轴还是负半轴？请简述理由． 47．在平面直角坐标系中，已知一次函数，完成下列问题： (1)画出一次函数的图象； x … … y … … (2)当时，x的范围是______； (3)将直线沿y轴向下平移3个单位长度，平移后的函数表达式为______． 48．如图，已知一次函数（k、b为常数，）的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，若，，结合图象求： (1)关于x的方程的解； (2)关于x的不等式的解集； (3)当x的取值在什么范围时，? 49．一次函数的图象恒过定点． (1)若图象还经过，求该一次函数的表达式． (2)若当时，一次函数y的最大值和最小值的差是6，求a的值． 50．已知一次函数． (1)若该函数图象经过原点，求m的值； (2)在该函数中，y随x的增大而增大，求m的取值范围； (3)若，当时，直接写出x的取值范围． 一、单选题 1．已知点在一次函数的图象上，则，的大小关系为（    ） A． B． C． D．与的取值有关，无法确定 2．关于函数，下列判断正确的是（   ） A．图像经过第一、三象限 B．无论为何值，总有 C．图像经过点 D．随的增大而减小 3．如图，直线是一次函数的图象．若点在直线上，则的值是（   ） A． B． C． D．7 4．在平面直角坐标系中，点，点均在直线上．若，则该直线经过的点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 5．已知正比例函数的图象经过二、四象限，则一次函数的图象大致是（    ）． A． B． C． D． 6．小明在探究直线l：的性质时，得到如下结论： ①直线l必经过点； ②直线l的图像经过一、三、四象限； ③若点，在直线l上，，则； ④点O到直线l的距离的最大值为5． 则以上结论正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 二、填空题 7．一次函数的图像经过点，那么关于x的一元一次不等式的解集是 ． 8．点，都在直线上，则 （填“”或“” ） 9．已知一次函数，y随x的增大而减小，点在函数图像上，那么关于x的不等式的解集是 ． 10．对于一次函数，当时，，则一次函数的解析式为 ． 11．已知：关于x的函数，y随x的增大而减少，并且与y轴的交点在y轴的负半轴，则m的取值范围是 ． 12．已知a、b、c分别为的三条边长，c为斜边长，，我们把关于的形如的一次函数称为“勾股一次函数”，如点在“勾股一次函数”的图像上，且的面积为4，则c的值为 ． 三、解答题 13．已知一次函数的图象经过点和点． (1)求该一次函数的解析式； (2)若点，在该函数图象上，且，比较与的大小． 14．已知y是x的一次函数，且当时，；当时，． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，求函数y的值； (3)当时，求自变量x的取值范围． 15．已知函数 (1)若函数图象经过原点，求m的值． (2)若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小，求m的取值范围． (3)若函数图象经过第一，三，四象限，求m的取值范围． 16．如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求点A、B的坐标； (2)若点C是坐标轴上一点，使得，求点C的坐标； (3)如果x轴上有一动点D，当时，请直接写出符合条件的D点坐标． ( 第 1 页 共 8 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $