2.3 一元二次方程根与系数的关系讲义（知识梳理+8题型突破）2025-2026学年 浙教版八年级数学下册

2.3 一元二次方程根与系数的关系 讲义 基础知识梳理 1.根与系数的核心关系 对于一元二次方程的一般形式 ，若方程的两个实数根为 、，当判别式 时，根与系数的关系为： = -, 特别地：对于二次项系数为1的方程 ，根与系数的关系简化为： = -p, = q 2. 根与系数的关系的适用前提 必须满足：① 方程是一元二次方程（）；② 方程有实数根（）。 （注：在解决含参数问题时，验证判别式是必不可少的步骤）。 3. 常用代数式变形（核心工具） 已知 、 是方程的根，常见代数式可通过根与系数的关系变形求解： （） 典例精讲 模块一：直接利用根与系数的关系求代数式的值 典例1（基础型：直接套公式） 题目：已知 、 是方程 的两个实数根，求下列各式的值： (1) 和 ； (2) 。 变式1已知 、 是方程 的两个实数根，求 的值。 典例2（中等型：复杂代数式变形） 题目：已知 、 是方程 的两个根，求 的值。 变式2已知 、 是方程 的两个根，求 的值。 模块二：利用根与系数的关系求方程中的参数 典例3（中等型：已知根的关系求参数） 题目：已知关于 的方程 的两个实数根互为倒数，求 的值。 变式3已知关于 的方程 的两个实数根互为相反数，求 的值。 典例4（重难拓展：含参数的根的关系，需分类讨论） 题目：已知关于 的一元二次方程 有两个实数根 、，且 ，求 的值。 变式4已知关于 的一元二次方程 的两个实数根 、 满足 ，求 的值。 模块三：根与系数的关系的逆向应用（构造方程，中等） 典例5（中等型：已知根，构造一元二次方程） 题目：已知两个数的和为 ，积为 ，求以这两个数为根的一元二次方程（二次项系数为1）。 变式5已知一元二次方程的两个根为 和 ，求这个一元二次方程（二次项系数为1）。 模块四：根与系数的关系与根的定义综合（重难拓展） 典例6（重难型：根的定义+根与系数的关系综合求值） 题目1：已知 是方程 的一个根，求 的值。 题目2：已知 、 是方程 的两个根，求 的值。 变式6已知 是方程 的一个根，求 的值。 【核心技巧】 1. “三步走”解题法： ① 定系数（明确 ）；② 验判别式（）；③ 套公式（根与系数的关系或变形公式）。 2. 代数式变形“三公式”： 平方和用完全平方差，倒数和用通分，差的绝对值用根号下的完全平方差。 3. 参数问题“必验证”： 求出参数后，必须验证二次项系数不为0且判别式大于等于0，避免增根。 4. 逆向构造“和积法”： 已知根构造方程，先求根的和与积，再代入 。 【易错提醒】 1. 符号陷阱：根与系数的关系中，两根之和是 ，切勿遗漏负号（如方程 ，两根之和为负，不是正）。 2. 前提遗漏：忽略“”和“”，导致求出的参数使方程无实根或变为一元一次方程。 3. 变形错误：将 误算为 ，忘记减 ；将 误算为 。 4. 根的定义混淆：在综合题中，忘记“根代入方程等式成立”的性质，盲目使用根与系数的关系。 题型一 直接由根与系数的关系求一元二次方程的根 （核心考点：根据根的关系直接求解，难度：基础） 1．（2025春•诸暨市期末）设x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣7x﹣4m2＝0的两个不同实数根，则x1+x2的值是（　　） A．﹣4 B．4 C．7 D．﹣7 2．已知x＝2是关于x的方程x2﹣3x+m＝0的一个根，则方程的另一个根为（　　） A．﹣5 B．1 C．2 D．﹣1 3．（2025春•东阳市月考）已知关于x的一元二次方程x2+mx+3＝0的一个根是3，则另一个根为（　　） A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．3 4．（2025春•西湖区校级月考）二次方程x2+bx+c＝0的两根为1和5，则一次函数y＝bx+c不经过第（　　）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 5．已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是2，则另一个根是 　 　 ． 6．（2025春•慈溪市期末）若x＝1是一元二次方程x2﹣6x+m＝0的根，则方程的另一个根为 　 　 ． 7．（2025春•东阳市期末）一元二次方程x2﹣5x+a＝0的一个解为x1＝1，则另外一个解x2＝　 　． 题型二 由根与系数的关系求一元二次方程 （核心考点：根据根的关系构造方程，利用根与系数关系反向求解，难度：基础） 1．写出二次项系数为5，以x1＝1，x2＝2为根的一元二次方程　 　． 2．（2025春•越城区期中）写出一个两个根分别为1和﹣3的一元二次方程 　 　 ． 3．（2025春•临平区月考）二次项系数为1，两个根分别为1和1的一元二次方程是　 　． 题型三 直接利用根与系数的关系求代数式的值 （核心考点：已知方程，求两根之和、两根之积相关的代数式值，难度：基础） 1．已知a，b是一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两根，则a+b等于（　　） A．﹣3 B．2 C．3 D．﹣2 2．若x1，x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则2024﹣x1﹣x2的值为（　　） A．2025 B．2023 C． D． 3．设a，b是方程x2+x﹣2024＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 4．（2025春•余杭区期末）已知a，b是一元二次方程x2+2025x+1＝0的两个实数根，则的值是（　　） A．﹣2025 B．2025 C． D．±2025 5．（2025春•瑞安市期中）已知m，n是方程x2+2x﹣3＝0的两个根，则　 　. 6．已知a、b是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则a2b+ab2的值是 　 　． 7．（2025春•定海区期中）若a，b是方程x2+x﹣2025＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值是　 　． 8．（2025春•拱墅区校级期中）已知x1，x2是方程x2+x﹣1＝0的两个实数根，则x1+x2+x1x2＝ 　 　 ． 9．（2025春•诸暨市期中）已知m、n是方程x2+4x+3＝0，的两个实数根，则m2+4m+mn的值为　 　 ． 10．（2025春•钱塘区校级月考）已知：m、n是方程x2+3x﹣1＝0的两根，则（m2+2m﹣3）（n2+4n+1）＝ 　　 　． 题型四 利用根与系数的关系求方程中的参数 （核心考点：已知两根关系或代数式值，求方程中未知参数，难度：中档） 1．（2025春•龙港市期中）关于x的方程x2+4n（x+1）﹣8n﹣1＝0的两个实数根分别为x1，x2，且x1﹣x2＝10，则n的值为（　　） A．2或3 B．3或﹣2 C．﹣3或2 D．﹣3或﹣2 2．（2025春•浙江月考）已知方程有两个实数根，且这两根之比为1：3，则k的值为（　　） A． B． C．4 D．6 3．（2025•泗洪县二模）若关于x的方程ax2﹣（3a+1）x+2（a+1）＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且有x1﹣x1x2+x2＝1﹣a，则a的值是（　　） A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．2 4．（2025•宿城区二模）设x1、x2是方程x2+mx﹣2＝0的两个根，且x1+x2＝2x1x2，则m＝　 　 ． 5．（2025春•拱墅区校级月考）已知二元一次方程x2﹣2x﹣m＝0的两根之积为﹣3，则m＝ 　 　． 6．（2025春•浙江期中）已知关于x的方程x2+（m﹣1）x+m+3＝0的两个根分别为t+1和t﹣3，则t的值为　　 　 ． 7．（2025春•诸暨市期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1＝0有两个实数根x1，x2．实数m满足，则实数m的值为　 　 ． 8．（2025春•上城区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k﹣1＝0． （1）已知x＝3是此方程的一个根，求方程的另一个根及k的值； （2）若此方程有两个相等的实数根，求实数k的值． 9．（2025春•越城区期末）已知x1，x2是关于x的方程x2﹣2kx+k2﹣k+1＝0的两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）若k＜4，且k，x1，x2都是整数，求k的值． 10．（2025春•东阳市期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2+m＝0． （1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）若方程的两个实数根为x1，x2（x1＞x2），且为整数，求整数m的值． 11．（2025春•浙江期中）已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有两个实数根，求m的范围； （2）设方程的两个实数根是a，b，若y＝a2﹣2a﹣2b（b﹣2）﹣3，试求y的取值范围． 12．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0有实数根． （1）求m的取值范围； （2）方程的两个实数根x1、x2满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝3m，求实数m的值． 13．（2025春•秀洲区校级月考）已知，关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）设方程的两根为x1，x2，且满足1，求m的值． 14．已知关于x的一元二次方程ax2﹣3x+3＝0有实数根． （1）求a的取值范围； （2）方程的两个实数根x1，x2满足（x1+1）（x2+1）＝a，求实数a的值． 15．（2025春•钱塘区期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k（k﹣1）＝0． （1）求证：该方程必有两个不相等的实数根． （2）若x1，x2是该方程的两个根，且满足，求k的值． 题型五 利用根与系数的关系判断方程根的情况 （核心考点：结合判别式与根与系数关系，判断根的正负、相等或不等关系，难度：中档偏难） 1．（2025春•慈溪市期末）若非零实数b，c满足b2＝4c，则关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两根之差必为（　　） A．﹣b B．c C．b+c D．0 2．（2025春•萧山区期中）关于x的一元二次方程ax2﹣2ax+b+1＝0（a≠0）有两个相等的实数根x1＝x2＝k，则下列成立的是（　　） A．若﹣1＜a＜0，则ka2＜kb2 B．若ka2＞kb2，则0＜a＜1 C．若0＜a＜1，则ka2＜kb2 D．若ka2＞kb2，则﹣1＜a＜0 3．（2025春•杭州期中）已知关于x的方程mx2+x﹣m+1＝0，给出以下结论，其中错误的是（　　） A．当m＝0时，方程只有一个实数根 B．若x是方程的根，则方程的另一根为x＝﹣1 C．无论m取何值，方程都有一个负数根 D．当m≠0时，方程有两个不相等的实数根 4．（2025春•越城区期中）对于一元二次方程ax2﹣bx﹣c＝0（a≠0），下列说法其中正确的是（　　） ①若方程的两个根是﹣1和2，则2a﹣c＝0； ②若c是方程的一个根，则一定有ac﹣b﹣1＝0成立； ③若a+b﹣c＝0，则它有一个根是x＝﹣1； ④若方程有一个根是x＝m（m≠0），则方程cx2+bx﹣a＝0一定有一个实数根． A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②③ 5．（2025春•东阳市月考）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法： ①若a+b+c＝0，则方程必有一根为x＝1； ②若a+c＝0，则方程一定有两个不相等的实数根； ③若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）两根为x1，x2且满足x1≠x2≠0，则方程cx2+bx+a＝0（c≠0），必有实根． 其中正确的（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 6．（2025春•西湖区校级月考）关于x的一元二次方程x2﹣2x+a2+b2+ab＝0的两个根为x1＝m，x2＝n且a+b＝1．下列说法正确是（　　） ①m•n＞0； ②m＞0，n＞0； ③a2≥a； ④关于x的一元二次方程（x+1）2+a2﹣a＝0的两个相为x1＝m﹣2，x2＝n﹣2． A．①②③ B．①②④ C．③④ D．①③④ 7．（2025春•鹿城区校级月考）已知一元二次方程ax2+bx﹣1＝0（a≠0）． （1）当a＝1时，若方程的一个根为x＝2，求b的值以及方程的另一个根． （2）当2a﹣1＝b时，请判别方程根的情况． 题型六 根与系数的关系与几何图形综合 （核心考点：结合三角形性质、边长关系，利用根与系数关系求解，难度：中档） 1．（2025春•新昌县校级月考）设直角三角的两条直角边a，b是方程2x2﹣6x+1＝0的两个根，则该直角三角形的斜边为（　　） A． B． C．3 D． 2．（2025春•杭州校级期中）边长为整数的直角三角形，若其两直角边边长是方程x2﹣（k+2）x+4k＝0的两根，则直角三角形三边之长为　 　 ． 3．（2025春•杭州校级期中）已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0． （1）求证：k取任何实数值，方程总有实数根； （2）若Rt△ABC斜边长a＝3，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长． 4．（2025春•杭州期中）已知△ABC的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣2（n﹣1）x+n2﹣2n＝0的两个根，第三边BC的长是10． （1）求证：无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根． （2）当n为何值时，△ABC为等腰三角形？并求△ABC的周长． （3）当n为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？ 题型七 根的对称性与方程变换 （核心考点：利用方程根的替换、对称关系，结合根与系数关系求解，难度：难题） 1．（2025春•瑞安市期中）若关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的解为x1＝3，x2＝﹣4，则关于y的一元二次方程（y﹣1）2+b（y﹣1）+c＝0的解为（　　） A．y1＝3，y2＝﹣4 B．y1＝2，y2＝﹣5 C．y1＝2，y2＝﹣3 D．y1＝4，y2＝﹣3 2．（2025春•钱塘区校级月考）设x1，x2是方程x2﹣2023x+2025＝0的两个实根，实数a，b满足：2023，2024，则的值为（　　） A．2025 B．2023 C．﹣2025 D．﹣2023 3．（2025春•钱塘区校级月考）已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0． （1）求证：k取任何实数值，方程总有实数根； （2）若Rt△ABC斜边长a＝3，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长． （3）已知三个不同的实数a，b，c满足a﹣b+c＝3，方程x2+ax+1＝0和x2+bx+c＝0有一个相同的实根，方程x2+x+a＝0和x2+cx+b＝0也有一个相同的实根．求a，b，c的值． 题型八 新定义问题 （核心考点：结合新定义，利用根与系数关系分析方程特性，难度：难题） 1．（2025春•诸暨市期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是（　　） ①方程x2﹣3x+2＝0是倍根方程； ②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，则m+n＝0； ③若p、q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程； ④若关于x的方程ax2+bx+c＝0是倍根方程，则2b2＝9ac． A．①② B．②③④ C．①③ D．①③④ 2．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根是x1＝2，x2＝4，则方程x2﹣6x+8＝0是“倍根方程”． （1）通过计算，判断x2﹣3x+2＝0是否是“倍根方程”； （2）若关于x的方程（x﹣2）（x﹣m）＝0是“倍根方程”，求代数式m2+2m+2的值； （3）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+32＝0（m是常数）是“倍根方程”，请直接写出m的值． 3．（2025春•萧山区期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2+x＝0是“邻根方程”． （1）通过计算，判断方程x2﹣x﹣6＝0是否是“邻根方程”； （2）已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”，求m的值； （3）若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a、b是常数，a＞0）是“邻根方程”，令t＝8a﹣b2，试求t的最大值． 4．（2025春•上城区期末）阅读材料：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，且x1，x2≠0若其中一个根是另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”；例如：1，2是方程x2﹣3x+2＝0的两根，2是1的2倍，则这是一个“倍根方程”． （1）解方程：x2+9x+18＝0，并判断该方程是否属于“倍根方程”． （2）已知关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+2k+2＝0（k≠1）． ①求证：该方程必有两个不相等的实数根； ②若该方程是“倍根方程”，求k的值． 5．（2025春•北仑区期末）定义：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，且|x1﹣x2|＝1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两个根是x1＝1，x2＝2，此时|x1﹣x2|＝|1﹣2|＝1，则方程x2﹣3x+2＝0是“邻根方程”． （1）下列方程中，属于“邻根方程”的是 　 　 （填序号）． ①x2＝1； ②4x2+4x+1＝0； ③x2﹣x＝0． （2）已知方程（x﹣m）（x+3）＝0是“邻根方程”，求m的值． （3）若方程x2﹣bx+c＝0是“邻根方程”，求证：b+2c+1≥0． 6．（2025春•临平区月考）定义：已知x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若x1＜x2＜0，且 ，则称这个方程为“限根方程”．比如：一元二次方程x2+13x+30＝0的两根为x1＝﹣10，x2＝﹣3，因﹣10＜﹣3＜0，，所以一元二次方程x2+13x+30＝0为“限根方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： （1）判断：一元二次方程x2+14x+33＝0 　 　“限根方程”（填“是”或“不是”）； （2）若关于x的一元二次方程x2+（k+9）x+k2+8＝0是“限根方程”，且方程的两根x1、x2满足11x1+11x2+x1x2＝﹣121，求k的值； （3）若关于x的一元二次方程x2+（1﹣m）x﹣m＝0是“限根方程”，求m的取值范围． 7．（2025春•杭州校级期中）定义：两根都为整数的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）称为“全整根方程，代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”，用Q（a，b，c）表示，即，若另一关于x的一元二次方程px2+qx+r＝0（p≠0）也为“全整根方程”，其“最值码”记为Q（p，q，r），当满足Q（a，b，c）﹣Q（p，q，r）＝c时，则称一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是一元二次方程px2+qx+r＝0（p≠0）的“全整根伴侣方程”． （1）“全整根方程”x2﹣3x+2＝0的“最值码”是　 　． （2）若（1）中的方程是关于x的一元二次方程x2+qx﹣2＝0的“全整根伴侣方程”，求q的值． （3）若关于x的一元二次方程x2+（1﹣m）x+m﹣2＝0是x2+（n﹣1）x﹣n＝0（m，n均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求m﹣n的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3 一元二次方程根与系数的关系 讲义 基础知识梳理 1.根与系数的核心关系 对于一元二次方程的一般形式 ，若方程的两个实数根为 、，当判别式 时，根与系数的关系为： = -, 特别地：对于二次项系数为1的方程 ，根与系数的关系简化为： = -p, = q 2. 根与系数的关系的适用前提 必须满足：① 方程是一元二次方程（）；② 方程有实数根（）。 （注：在解决含参数问题时，验证判别式是必不可少的步骤）。 3. 常用代数式变形（核心工具） 已知 、 是方程的根，常见代数式可通过根与系数的关系变形求解： （） 典例精讲 模块一：直接利用根与系数的关系求代数式的值 典例1（基础型：直接套公式） 题目：已知 、 是方程 的两个实数根，求下列各式的值： (1) 和 ； (2) 。 【解析】(1) 步骤1：确定系数：，，。 步骤2：验证判别式（确保有根）：，满足条件。 步骤3：套根与系数的关系： = -= - = 3, = = (2) 步骤1：变形代数式：。 步骤2：代入数值计算： 原式 = 32 - 2 × = 9 - 3 = 6 【答案】(1) ，；(2) 。 变式1已知 、 是方程 的两个实数根，求 的值。 【解析】确定系数：，。 根与系数的关系：，。 计算：原式 。 【答案】。 典例2（中等型：复杂代数式变形） 题目：已知 、 是方程 的两个根，求 的值。 【解析】步骤1：确定系数与根与系数的关系结果：，故 ，。 步骤2：通分变形目标式： = = 步骤3：代入计算： 原式 == = -18 【答案】。 变式2已知 、 是方程 的两个根，求 的值。 【解析】根与系数的关系：，。 变形公式：。 代入计算：。 【答案】。 模块二：利用根与系数的关系求方程中的参数 典例3（中等型：已知根的关系求参数） 题目：已知关于 的方程 的两个实数根互为倒数，求 的值。 【解析】步骤1：设根为 、，由“互为倒数”得 。 步骤2：套根与系数的关系：，故 ，解得 。 步骤3：验证判别式（关键步骤）： 当 时，方程为 ，，符合题意。 【答案】。 变式3已知关于 的方程 的两个实数根互为相反数，求 的值。 【解析】设根为 、，互为相反数则 。 根与系数的关系：，故 。 验证判别式：方程为 ，，无实数根，舍去。 结论：不存在满足条件的 。 【答案】不存在符合条件的实数 。 典例4（重难拓展：含参数的根的关系，需分类讨论） 题目：已知关于 的一元二次方程 有两个实数根 、，且 ，求 的值。 【解析】步骤1：确定前提条件：方程是一元二次方程，故 ；有两个实数根，故 。 步骤2：利用根与系数的关系列方程： = - = = 3 解方程：。 步骤3：验证判别式与二次项系数： ，此时 ，方程无实数根，舍去。 结论：不存在满足条件的 值。 【答案】不存在符合条件的实数 。 变式4已知关于 的一元二次方程 的两个实数根 、 满足 ，求 的值。 【解析】根与系数的关系：，解得 。 验证： 时，方程为 ，，符合题意。 【答案】。 模块三：根与系数的关系的逆向应用（构造方程，中等） 典例5（中等型：已知根，构造一元二次方程） 题目：已知两个数的和为 ，积为 ，求以这两个数为根的一元二次方程（二次项系数为1）。 【解析】设所求方程为 ，两根为 、。 由题意得：，。 根据根与系数的关系（二次项系数为1）：，。 因此，所求方程为 。 【答案】。 变式5已知一元二次方程的两个根为 和 ，求这个一元二次方程（二次项系数为1）。 【解析】求根的和与积：，。 构造方程：。 【答案】。 模块四：根与系数的关系与根的定义综合（重难拓展） 典例6（重难型：根的定义+根与系数的关系综合求值） 题目1：已知 是方程 的一个根，求 的值。 【解析】步骤1：利用根的定义降次： 因 是方程的根，故 ，得 ，且 。 同时，方程两边除以 （），得 。 步骤2：代入目标式化简： 原式 = + 2 = 【答案】5 题目2：已知 、 是方程 的两个根，求 的值。 【解析】根的定义：因 是方程的根，故 ，即 。 根与系数的关系：。 代入求值：原式 。 【答案】。 变式6已知 是方程 的一个根，求 的值。 【解析】根的定义：。 化简目标式：。 代入求值：。 【答案】。 【核心技巧】 1. “三步走”解题法： ① 定系数（明确 ）；② 验判别式（）；③ 套公式（根与系数的关系或变形公式）。 2. 代数式变形“三公式”： 平方和用完全平方差，倒数和用通分，差的绝对值用根号下的完全平方差。 3. 参数问题“必验证”： 求出参数后，必须验证二次项系数不为0且判别式大于等于0，避免增根。 4. 逆向构造“和积法”： 已知根构造方程，先求根的和与积，再代入 。 【易错提醒】 1. 符号陷阱：根与系数的关系中，两根之和是 ，切勿遗漏负号（如方程 ，两根之和为负，不是正）。 2. 前提遗漏：忽略“”和“”，导致求出的参数使方程无实根或变为一元一次方程。 3. 变形错误：将 误算为 ，忘记减 ；将 误算为 。 4. 根的定义混淆：在综合题中，忘记“根代入方程等式成立”的性质，盲目使用根与系数的关系。 题型一 直接由根与系数的关系求一元二次方程的根 （核心考点：根据根的关系直接求解，难度：基础） 1．（2025春•诸暨市期末）设x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣7x﹣4m2＝0的两个不同实数根，则x1+x2的值是（　　） A．﹣4 B．4 C．7 D．﹣7 【答案】C 【分析】根据ax2+bx+c＝0二根之和为即可得到答案． 【解答】解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣7x﹣4m2＝0的两个不同实数根， ∴x1+x27； 故选：C． 2．已知x＝2是关于x的方程x2﹣3x+m＝0的一个根，则方程的另一个根为（　　） A．﹣5 B．1 C．2 D．﹣1 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可得到答案． 【解答】解：设该方程的两根为x1，x2， 则x1+x2＝3， ∵该方程的一个根为2， ∴另一个根为：3﹣2＝1， 故选：B． 3．（2025春•东阳市月考）已知关于x的一元二次方程x2+mx+3＝0的一个根是3，则另一个根为（　　） A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．3 【答案】C 【分析】设方程的另一根为x，利用根与系数的关系可得到关于x的方程，可求得答案． 【解答】解：设方程的另一根为x， ∵方程x2+mx+3＝0一个根为3， ∴3x＝1×3， 解得x＝1， ∴方程的另一根为1， 故选：C． 4．（2025春•西湖区校级月考）二次方程x2+bx+c＝0的两根为1和5，则一次函数y＝bx+c不经过第（　　）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】C 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得出b，c的值，据此可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为二次方程x2+bx+c＝0的两根为1和5， 所以1+5＝﹣b，1×5＝c， 即b＝﹣6，c＝5， 所以一次函数为y＝﹣6x+5， 则此函数图象不经过第三象限． 故选：C． 5．已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是2，则另一个根是 　﹣7　 ． 【答案】﹣7 【分析】根据根与系数的关系即可求出答案． 【解答】解：设另一个根为x，则 x+2＝﹣5， 解得x＝﹣7． 故答案为﹣7． 6．（2025春•慈溪市期末）若x＝1是一元二次方程x2﹣6x+m＝0的根，则方程的另一个根为 x＝5　 ． 【答案】x＝5． 【分析】设方程的另一个根为t，利用根与系数的关系得1+t＝6，然后解一次方程即可． 【解答】解：设方程的另一个根为t， 根据根与系数的关系得1+t＝6， 解得t＝5， 即方程的另一个根为5． 故答案为：x＝5． 7．（2025春•东阳市期末）一元二次方程x2﹣5x+a＝0的一个解为x1＝1，则另外一个解x2＝　4　 ． 【答案】4． 【分析】利用根与系数的关系进行解答即可． 【解答】解：设x2＝m， 根据根与系数的关系可知：m+1＝5， 解得m＝4， 故答案为：4． 题型二 由根与系数的关系求一元二次方程 （核心考点：根据根的关系构造方程，利用根与系数关系反向求解，难度：基础） 1．写出二次项系数为5，以x1＝1，x2＝2为根的一元二次方程　5x2﹣15x+10＝0　 ． 【答案】5x2﹣15x+10＝0 【分析】先计算出1+2和1×2，则根据根与系数的关系写出二次项系数为1的一元二方程，然后把两方程两边乘以5即可得到满足条件的方程． 【解答】解：∵1+2＝3，1×2＝2， ∴以x1＝1，x2＝2为根的一元二次方程可为x2﹣3x+2＝0， 当二次项系数为5，方程为5x2﹣15x+10＝0． 故答案为5x2﹣15x+10＝0． 2．（2025春•越城区期中）写出一个两个根分别为1和﹣3的一元二次方程 x2+2x﹣3＝0 （答案不唯一）　 ． 【答案】x2+2x﹣3＝0 （答案不唯一）． 【分析】先计算出1与﹣3的和、积，然后根据根与系数的关系写出一个满足条件的一元二次方程． 【解答】解：∵1﹣3＝﹣2，1×（﹣3）＝﹣3， ∴以1和﹣3为根的一元二次方程可为x2+2x﹣3＝0． 故答案为：x2+2x﹣3＝0 （答案不唯一）． 3．（2025春•临平区月考）二次项系数为1，两个根分别为1和1的一元二次方程是 x2﹣2x﹣1＝0　 ． 【答案】x2﹣2x﹣1＝0 【分析】先设方程为x2+bx+c＝0（b，c是常数），再根据两根之和或两根之积公式求出b、c的值，代入数值即可得到方程． 【解答】解：设这个方程为x2+bx+c＝0， ∵一元二次方程的两个根分别为1和1， ∴x1+x2＝（1）+（1）＝﹣b， x1•x2＝（1）×（1）＝c， 解得b＝﹣2，c＝﹣1． 故所求方程为x2﹣2x﹣1＝0． 故答案为：x2﹣2x﹣1＝0． 题型三 直接利用根与系数的关系求代数式的值 （核心考点：已知方程，求两根之和、两根之积相关的代数式值，难度：基础） 1．已知a，b是一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两根，则a+b等于（　　） A．﹣3 B．2 C．3 D．﹣2 【答案】C 【分析】直接根据一元二次方程根与系数关系进行解答即可． 【解答】解：∵a，b是一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两根， ∴a+b＝3， 故选：C． 2．若x1，x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则2024﹣x1﹣x2的值为（　　） A．2025 B．2023 C． D． 【答案】A 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算即可． 【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝﹣1， ∴2024﹣x1﹣x2 ＝2024﹣（x1+x2） ＝2024﹣（﹣1） ＝2024+1 ＝2025， 故选：A． 3．设a，b是方程x2+x﹣2024＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】B 【分析】先利用一元二次方程解的定义得到a2+a＝2024，再根据根与系数的关系得到a+b＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：∵a是方程x2+x﹣2 0 2 4＝0的实数根， ∴a2+a﹣2024＝0， ∴a2+a＝2024， ∵a，b是方程x2+x﹣2 0 2 4＝0的两个实数根， ∴a+b＝﹣1， ∴a2+2a+b＝a2+a+a+b＝2024+（﹣1）＝2023． 故选：B． 4．（2025春•余杭区期末）已知a，b是一元二次方程x2+2025x+1＝0的两个实数根，则的值是（　　） A．﹣2025 B．2025 C． D．±2025 【答案】B 【分析】直接根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【解答】解：∵a、b是一元二次方程x2+2025x+1＝0的两个实数根， ∴a+b＝﹣2025，ab＝1， ∵ab＝1， ∴a和b同号， ∵a+b＝﹣2025， ∴a＜0，b＜0， （）＝﹣12025， 故选：B． 5．（2025春•瑞安市期中）已知m，n是方程x2+2x﹣3＝0的两个根，则　　 ． 【答案】． 【分析】依据题意，根据一元二次方程根与系数的关系可得：m+n＝﹣2，mn＝﹣3，从而对所求式子适当变形即可得解． 【解答】解：由题意，∵m，n是方程x2+2x﹣3＝0的两个根， ∴m+n＝﹣2，mn＝﹣3． ∴． 故答案为：． 6．已知a、b是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则a2b+ab2的值是 　﹣6　 ． 【答案】﹣6． 【分析】先利用根与系数的关系确定a、b的和与积，再分解整式a2b+ab2，代入求解即可． 【解答】解：∵a、b是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根， ∴a+b＝2，ab＝﹣3． ∵a2b+ab2 ＝ab（a+b） ∴a2b+ab2＝﹣3×2 ＝﹣6． 故答案为：﹣6． 7．（2025春•定海区期中）若a，b是方程x2+x﹣2025＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值是　2024　 ． 【答案】2024． 【分析】根据根与系数的关系和一元二次方程的解可得出a+b＝﹣1，a2+a﹣2025＝0，再将a2+2a+b化成a2+a+（a+b），最后整体代入即可解答． 【解答】解：由题意可得：a+b＝﹣1，a2+a﹣2025＝0， ∴a2+2a+b＝a2+a+（a+b）＝2025+（﹣1）＝2024． 故答案为：2024． 8．（2025春•拱墅区校级期中）已知x1，x2是方程x2+x﹣1＝0的两个实数根，则x1+x2+x1x2＝ 　﹣2　 ． 【答案】﹣2． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可直接进行求解． 【解答】解：∵x1，x2是方程x2+x﹣1＝0的两个实数根， ∴x1+x21，x1x21， ∴x1+x2+x1x2＝﹣2； 故答案为：﹣2． 9．（2025春•诸暨市期中）已知m、n是方程x2+4x+3＝0，的两个实数根，则m2+4m+mn的值为　0　 ． 【答案】0． 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，结合整体思想即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为m、n是方程x2+4x+3＝0，的两个实数根， 所以m2+4m+3＝0，mn＝3， 所以m2+4m＝﹣3， 则m2+4m+mn＝﹣3+3＝0． 故答案为：0． 10．（2025春•钱塘区校级月考）已知：m、n是方程x2+3x﹣1＝0的两根，则（m2+2m﹣3）（n2+4n+1）＝ 　3　 ． 【答案】3． 【分析】先根据一元二次方程解的定义得到m2＝﹣3m+1，n2＝﹣3n+1，则利用降次的方法得到原式＝（﹣3m+1+2m﹣3）（﹣3n+1+4n+1），所以原式＝﹣mn﹣2（m+n）﹣4，再根据根与系数的关系得到m+n＝﹣3，mn＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：∵m、n是方程x2+3x﹣1＝0的两根， ∴m2+3m﹣1＝0，n2+3n﹣1＝0， ∴m2＝﹣3m+1，n2＝﹣3n+1， ∴原式＝（﹣3m+1+2m﹣3）（﹣3n+1+4n+1） ＝（﹣m﹣2）（n+2） ＝﹣（m+2）（n+2） ＝﹣mn﹣2（m+n）﹣4， ∵m、n是方程x2+3x﹣1＝0的两根， ∴m+n＝﹣3，mn＝﹣1， ∴原式＝﹣（﹣1）﹣2×（﹣3）﹣4＝3． 故答案为：3． 题型四 利用根与系数的关系求方程中的参数 （核心考点：已知两根关系或代数式值，求方程中未知参数，难度：中档） 1．（2025春•龙港市期中）关于x的方程x2+4n（x+1）﹣8n﹣1＝0的两个实数根分别为x1，x2，且x1﹣x2＝10，则n的值为（　　） A．2或3 B．3或﹣2 C．﹣3或2 D．﹣3或﹣2 【答案】C 【分析】根据方程根与系数的关系求出x1+x2＝﹣4n，x1x2＝﹣4n﹣1，再根据4x1x2得到一个关于n的一元二次方程，解一元二次方程即可求出答案． 【解答】解：在一元二次方程中，x1+x2，x1x2， x2+4n（x+1）﹣8n﹣1＝0即为x2+4nx﹣4n﹣1＝0， a＝1，b＝4n，c＝﹣4n﹣1， ∴x1+x2＝﹣4n，x1x2＝﹣4n﹣1， 4x1x2， ∴16n2﹣100＝﹣16n﹣4， 解得，n＝2或n＝﹣3． 故选：C． 2．（2025春•浙江月考）已知方程有两个实数根，且这两根之比为1：3，则k的值为（　　） A． B． C．4 D．6 【答案】C 【分析】先将原方程整理成一元二次方程的一般形式，设两个根是a，3a，再根据两根之和求出a，然后根据两根之积求出答案． 【解答】解：方程有两个实数根， ∴3x2﹣8x+k＝0， ∵这两根之比为1：3， 设两个根是a，3a， 则， 解得a， ∴这两个根是， ∴， 解得k＝4． 故选：C． 3．（2025•泗洪县二模）若关于x的方程ax2﹣（3a+1）x+2（a+1）＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且有x1﹣x1x2+x2＝1﹣a，则a的值是（　　） A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．2 【答案】A 【分析】根据根与系数的关系得出x1+x2，x1x2，整理原式即可得出关于a的方程求出即可． 【解答】解：依题意Δ＞0，即（3a+1）2﹣8a（a+1）＞0， 即a2﹣2a+1＞0，（a﹣1）2＞0，a≠1， ∵关于x的方程ax2﹣（3a+1）x+2（a+1）＝0有两个不相等的实根x1、x2，且有x1﹣x1x2+x2＝1﹣a， ∴1﹣a， 解得：a＝±1， 又a≠1， ∴a＝﹣1． 故选：A． 4．（2025•宿城区二模）设x1、x2是方程x2+mx﹣2＝0的两个根，且x1+x2＝2x1x2，则m＝　4　 ． 【答案】4． 【分析】由根与系数的关系可得x1+x2＝﹣m，x1x2＝﹣2，结合x1+x2＝2x1x2可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：∵x1、x2是方程x2+mx﹣2＝0的两个根， ∴x1+x2＝﹣m，x1x2＝﹣2． ∵x1+x2＝2x1x2， ∴﹣m＝2×（﹣2）， 解得m＝4． 故答案为：4． 5．（2025春•拱墅区校级月考）已知二元一次方程x2﹣2x﹣m＝0的两根之积为﹣3，则m＝ 　3　 ． 【答案】3． 【分析】先确定方程中的a和c的值，再根据已知两根之积建立等式求解m． 【解答】解：x2﹣2x﹣m＝0，其中a＝1，b＝﹣2，c＝﹣m， ∴x1•x23， ∴m＝3， 故答案为：3． 6．（2025春•浙江期中）已知关于x的方程x2+（m﹣1）x+m+3＝0的两个根分别为t+1和t﹣3，则t的值为　±3　 ． 【答案】±3． 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为关于x的方程x2+（m﹣1）x+m+3＝0的两个根分别为t+1和t﹣3， 所以t+1+t﹣3＝﹣m+1，（t+1）（t﹣3）＝m+3， 则m＝3﹣2t， 所以（t+1）（t﹣3）＝3﹣2t+3， 解得t＝±3． 故答案为：±3． 7．（2025春•诸暨市期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1＝0有两个实数根x1，x2．实数m满足，则实数m的值为　﹣2　 ． 【答案】﹣2． 【分析】首先根据一元二次方程根与系数得到两根之和和两根之积，然后把（x1﹣1）（x2﹣1）转换为x1x2﹣（x1+x2）+1，然后利用前面的等式即可得到关于m的方程，解方程即可求出结果． 【解答】解：已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1＝0有两个实数根x1，x2，实数m满足， ∴x1+x2＝m，x1x2＝2m﹣1， ∴， ∴， 解得m1＝﹣2，m2＝3， 经检验m1＝﹣2，m2＝3是分式方程的解， 又∵方程x2﹣mx+2m﹣1＝0有两个实数根， ∴Δ＝m2﹣4（2m﹣1）≥0， 当m1＝﹣2时，Δ＝4﹣4×（﹣5）＝24＞0， 当m2＝3时，Δ＝9﹣4×5＝﹣11＜0， ∴符合条件的m的值为m1＝﹣2． 故答案为：﹣2． 8．（2025春•上城区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k﹣1＝0． （1）已知x＝3是此方程的一个根，求方程的另一个根及k的值； （2）若此方程有两个相等的实数根，求实数k的值． 【分析】（1）将x＝3代入，进而求出k的值，进而得出方程的解； （2）利用方程根与判别式的关系，得出根的判别式符号直接解方程得出即可． 【解答】解：（1）∵x＝3是此方程的一个根， ∴代入方程得：9﹣6+k﹣1＝0， 解得：k＝﹣2， ∴原方程为：x2﹣2x﹣3＝0， 解得：x1＝3，x2＝﹣1， ∴方程的另一个根是﹣1． （2）由题意可知：b2﹣4ac＝4﹣4（k﹣1）＝0， 解得：k＝2． 9．（2025春•越城区期末）已知x1，x2是关于x的方程x2﹣2kx+k2﹣k+1＝0的两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）若k＜4，且k，x1，x2都是整数，求k的值． 【分析】（1）根据判别式，即可解答； （2）根据（1）中得出的k的取值范围，得出整数k的值为2、3，分别求出当k＝2时，当k＝3时，方程的解，即可解答． 【解答】解：（1）根据题意得Δ＝（﹣2k）2﹣4×1×（k2﹣k+1）＝4k﹣4＞0， 解得，k＞1； （2）∵k＜4， ∴1＜k＜4， ∵k为整数， ∴整数k的值为2、3， 当k＝2时，方程为x2﹣4x+3＝0， 解得x1＝1，x2＝3， 当k＝3时，x2﹣6x+7＝0此时方程解不为整数， 综上所述，k的值为2． 10．（2025春•东阳市期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2+m＝0． （1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）若方程的两个实数根为x1，x2（x1＞x2），且为整数，求整数m的值． 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ＝1＞0，进而可证出方程有两个不相等的实数根； （2）解方程求出方程的两根为m，m+1，得出，然后利用有理数的整除性确定m的整数值． 【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4×（m2+m）＝1＞0， ∴无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）解：∵x2﹣（2m+1）x+m2+m＝0，即（x﹣m）[x﹣（m+1）]＝0， 解得：x＝m或x＝m+1． ∴一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2+m＝0的两根为m，m+1， ∵x1＞x2， ∴x1＝m+1， ∴， 如果1+为整数，则m＝﹣4或﹣2或0或2， ∴整数m的所有可能的值为﹣4或﹣2或0或2． 11．（2025春•浙江期中）已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有两个实数根，求m的范围； （2）设方程的两个实数根是a，b，若y＝a2﹣2a﹣2b（b﹣2）﹣3，试求y的取值范围． 【分析】（1）根据方程的根的判别式Δ≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围；（2）根据一元二次方程的解，可得出，，将其代入y＝a2﹣2a﹣2b（b﹣2）﹣3＝a2﹣2a﹣2（b2﹣2b）﹣3，可得出，再结合（1）中m的取值范围即可得到y的取值范围； 解题的关键：（1）利用根的判别式Δ≥0可确定m的取值范围； （2）利用一元二次方程的解得出，． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， ∴m≤2， ∴m的范围是m≤2； （2）由条件可知，， ∴y＝a2﹣2a﹣2b（b﹣2）﹣3 ＝a2﹣2a﹣2（b2﹣2b）﹣3 ， ∵m≤2， ∴y≤﹣2． 12．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0有实数根． （1）求m的取值范围； （2）方程的两个实数根x1、x2满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝3m，求实数m的值． 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围； （2）根据方程的系数结合，可得出关于m的方程，解之经检验后即可得出结论． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0有实数根， ∴Δ＝[﹣2（m+1）]2﹣4×1×（m2+5）＝4（m+1）2﹣4（m2+5）≥0， ∴m≥2， 解得：m≥2； （2）原式， ∴m2+5﹣2（m+1）+1＝3m， ∴m2﹣5 m+4＝0， ∴（m﹣1）（m﹣4）＝0， ∴m1＝1（与m≥2相矛盾，故舍去），m2＝4． 13．（2025春•秀洲区校级月考）已知，关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）设方程的两根为x1，x2，且满足1，求m的值． 【分析】（1）根据题意可得Δ＞0，再代入相应数值解不等式即可； （2）根据根与系数的关系可得x1+x2＝﹣（2m+1），x1•x2＝m2﹣1，根据已知可得关于m的方程，整理后可即可解出m的值． 【解答】解：（1）根据题意得Δ＝（2m+1）2﹣4（m2﹣1）＞0， 解得m， 故m的取值范围是m； （2）根据题意得：x1+x2＝﹣2m﹣1，x1•x2＝m2﹣1， ∵1， ∴1， ∴m2+2m＝0， ∴m1＝0，m2＝﹣2， ∵m， ∴m＝0． 14．已知关于x的一元二次方程ax2﹣3x+3＝0有实数根． （1）求a的取值范围； （2）方程的两个实数根x1，x2满足（x1+1）（x2+1）＝a，求实数a的值． 【分析】（1）一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，则Δ＝b2﹣4ac＞0；有两个相等的实数根，则Δ＝b2﹣4ac＝0；没有实数根，则Δ＝b2﹣4ac＜0．据此即可求解； （2）若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则． 【解答】解：（1）由题意得：Δ＝（﹣3）2﹣4a×3≥0且a≠0， 解得：且a≠0； （2）由题意得：， ∵， ∴， 解得：a1＝﹣2，a2＝3（舍）， 经检验，a＝﹣2是原方程的解， ∴a＝﹣2． 15．（2025春•钱塘区期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k（k﹣1）＝0． （1）求证：该方程必有两个不相等的实数根． （2）若x1，x2是该方程的两个根，且满足，求k的值． 【分析】（1）依据题意，由一元二次方程为x2+（2k﹣1）x+k（k﹣1）＝0，可得Δ＝（2k﹣1）2﹣4k（k﹣1）＝4k2﹣4k+1﹣4k2+4k＝1＞0，进而可以判断得解； （2）依据题意，由一元二次方程为x2+（2k﹣1）x+k（k﹣1）＝0，则x1+x2＝﹣2k+1，x1•x2＝k（k﹣1）＝k2﹣k，则，又，从而，进而计算可以判断得解． 【解答】（1）证明：由题意，∵一元二次方程为x2+（2k﹣1）x+k（k﹣1）＝0， ∴Δ＝（2k﹣1）2﹣4k（k﹣1） ＝4k2﹣4k+1﹣4k2+4k ＝1＞0． ∴该方程必有两个不相等的实数根． （2）解：由题意，∵一元二次方程为x2+（2k﹣1）x+k（k﹣1）＝0， ∴x1+x2＝﹣2k+1，x1•x2＝k（k﹣1）＝k2﹣k． ∴． 又∵， ∴． ∴k或k＝﹣1． 题型五 利用根与系数的关系判断方程根的情况 （核心考点：结合判别式与根与系数关系，判断根的正负、相等或不等关系，难度：中档偏难） 1．（2025春•慈溪市期末）若非零实数b，c满足b2＝4c，则关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两根之差必为（　　） A．﹣b B．c C．b+c D．0 【答案】D 【分析】先计算出根的判别式的值得到Δ＝0，则可判断方程有两个相等的实数根，从而确定关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两根之差必为0． 【解答】解：∵b2＝4c， ∴Δ＝b2﹣4c＝4c﹣4c＝0， ∴关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根， ∴关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两根之差必为0． 故选：D． 2．（2025春•萧山区期中）关于x的一元二次方程ax2﹣2ax+b+1＝0（a≠0）有两个相等的实数根x1＝x2＝k，则下列成立的是（　　） A．若﹣1＜a＜0，则ka2＜kb2 B．若ka2＞kb2，则0＜a＜1 C．若0＜a＜1，则ka2＜kb2 D．若ka2＞kb2，则﹣1＜a＜0 【答案】A 【分析】根据方程有两个相等的实数根，可得出a，b之间的关系式，用b表示a之后，可解出方程的解，进而得出k的值，最后用作差法对ka2和kb2进行分类讨论即可解决问题． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣2ax+b+1＝0（a≠0）有两个相等的实数根， ∴Δ＝（﹣2a）2﹣4a（b+1）＝0， 则a﹣1＝b． ∴原方程为ax2﹣2ax+a＝0， 解得x1＝x2＝1， ∴k＝1． ∴ka2﹣kb2＝（a+b）（a﹣b）＝2a﹣1， 则当ka2＞kb2时， 2a﹣1＞0， 解得a． 故BD选项不符合题意； 当﹣1＜a＜0时， ﹣3＜2a﹣1＜﹣1， ∴ka2﹣kb2＜0， 即ka2＜kb2． 故A选项符合题意； 当0＜a＜1时， ﹣1＜2a﹣1＜1， ∴ka2与kb2的大小无法判断． 故C选项不符合题意； 故选：A． 3．（2025春•杭州期中）已知关于x的方程mx2+x﹣m+1＝0，给出以下结论，其中错误的是（　　） A．当m＝0时，方程只有一个实数根 B．若x是方程的根，则方程的另一根为x＝﹣1 C．无论m取何值，方程都有一个负数根 D．当m≠0时，方程有两个不相等的实数根 【答案】D 【分析】m＝0方程化为一元一次方程，则可对A选项进行判断；先把x代入方程mx2+x﹣m+1＝0求出m＝4，此时方程为4x2+x﹣3＝0，则利用根与系数的关系求出方程的另一根为﹣1，则可对B选项进行判断；先利用求根公式解方程得到当m≠0时，x1，x2＝﹣1，加上当m＝0时，x＝﹣1，则可对C选项进行判断；由于Δ≠0，即2m﹣1≠0时，方程有两个不相等的实数根，则可对D选项进行判断． 【解答】解：当m＝0时，方程化为x+1＝0，解得x＝﹣1，所以A选项不符合题意； 把x代入方程mx2+x﹣m+1＝0得mm+1＝0，解得m＝4， 此时方程为4x2+x﹣3＝0， 设方程的另一个为t，根据根与系数的关系得t，解得t＝﹣1， 所以方程的另一根为﹣1，所以B选项不符合题意； 当m≠0时，因为Δ＝12﹣4m（﹣m+1）＝（2m﹣1）2≥0， 当m＝0时，x＝﹣1， 当m≠0时，因为x，所以x1，x2＝﹣1，所以C选项不符合题意； 所以当2m﹣1≠0时，方程有两个不相等的实数根，所以D选项符合题意． 故选：D． 4．（2025春•越城区期中）对于一元二次方程ax2﹣bx﹣c＝0（a≠0），下列说法其中正确的是（　　） ①若方程的两个根是﹣1和2，则2a﹣c＝0； ②若c是方程的一个根，则一定有ac﹣b﹣1＝0成立； ③若a+b﹣c＝0，则它有一个根是x＝﹣1； ④若方程有一个根是x＝m（m≠0），则方程cx2+bx﹣a＝0一定有一个实数根． A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②③ 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根的定义和根与系数关系分别进行计算即可得到答案． 【解答】解：若方程的两个根是﹣1和2，则， ∴c＝2a， ∴2a﹣c＝0； 故①正确； 若c是方程的一个根，则ac2﹣bc﹣c＝c（ac﹣b﹣1）＝0， ∴c＝0或ac﹣b﹣1＝0， 故②错误； 若a+b﹣c＝0，则a×（﹣1）2﹣b×（﹣1）﹣c＝a+b﹣c＝0， 即ax2﹣bx﹣c＝0（a≠0）有一个根是x＝﹣1； 故③正确； 若方程有一个根是x＝m（m≠0），则am2﹣bm﹣c＝0（a≠0）， 当时，， 即若方程有一个根是x＝m（m≠0），则方程cx2+bx﹣a＝0一定有一个实数根． 故④正确； 综上可知，正确的是①③④， 故选：C． 5．（2025春•东阳市月考）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法： ①若a+b+c＝0，则方程必有一根为x＝1； ②若a+c＝0，则方程一定有两个不相等的实数根； ③若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）两根为x1，x2且满足x1≠x2≠0，则方程cx2+bx+a＝0（c≠0），必有实根． 其中正确的（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】根据一元二次方程解的定义对①进行判断；利用a+c＝0可计算出Δ＝b2+4a2＞0，则根据根的判别式的意义可对②进行判断；先利用根与系数的关系得到b＝﹣a（x1+x2），c＝ax1x2，则方程cx2+bx+a＝0化为ax1x2x2﹣a（x1+x2）x+a＝0，然后利用因式分解法解方程可对③进行判断． 【解答】解：把x＝1代入一元二次方程ax2+bx+c＝0得a+b+c＝0，则方程必有一根为x＝1，所以①正确； 当a+c＝0，即c＝﹣a， ∴Δ＝b2﹣4ac＝b2+4a2， ∵b2≥0，4a2＞0， ∴Δ＞0， ∴方程一定有两个不相等的实数根，所以②正确； ∵方程ax2+bx+c＝0（a≠0）两根为x1，x2， ∴x1+x2，x1x2． ∴b＝﹣a（x1+x2），c＝ax1x2， 方程cx2+bx+a＝0化为ax1x2x2﹣a（x1+x2）x+a＝0， 整理得x1x2x2﹣（x1+x2）x+a＝0， 解得x或x，所以③正确． 故选：D． 6．（2025春•西湖区校级月考）关于x的一元二次方程x2﹣2x+a2+b2+ab＝0的两个根为x1＝m，x2＝n且a+b＝1．下列说法正确是（　　） ①m•n＞0； ②m＞0，n＞0； ③a2≥a； ④关于x的一元二次方程（x+1）2+a2﹣a＝0的两个相为x1＝m﹣2，x2＝n﹣2． A．①②③ B．①②④ C．③④ D．①③④ 【答案】B 【分析】根据根与系数的关系得x1x2＝mn＝a2+b2+ab，利用a+b＝1消去b得到mn＝a2﹣a+1＝（a）20从而即可对①进行判断；由于x1+x2＝m+n＝2＞0，x1x2＝mn＞0，利用有理数的性质可对②进行判断；根据根的判别式的意义得到Δ＝4﹣4（a2+b2+ab）≥0，即4﹣4（a2﹣a+1）≥0，则可对③进行判断；利用a2+b2+ab＝a2﹣a+1把方程x2﹣2x+a2+b2+ab＝0化为x2﹣2x+a2﹣a+1＝0，由于方程（x﹣1）2+a2﹣a＝0可变形为[（x+2）﹣1]2+a2﹣a＝0，所以x+2＝m或x+2＝n，于是可对④进行判断． 【解答】解：根据根与系数的关系得x1x2＝mn＝a2+b2+ab， ∵a+b＝1， ∴b＝1﹣a， ∴mn＝a2+（1﹣a）2+a（1﹣a）＝a2﹣a+1＝（a）20，故①正确； ∵x1+x2＝m+n＝2＞0，x1x2＝mn＞0， ∴m＞0，n＞0，故②正确； ∵Δ≥0， ∴4﹣4（a2+b2+ab）≥0， 即4﹣4（a2﹣a+1）≥0， ∴a≥a2，故③错误； ∵a2+b2+ab＝a2﹣a+1， ∴方程x2﹣2x+a2+b2+ab＝0化为x2﹣2x+a2﹣a+1＝0， ∴（x﹣1）2+a2﹣a＝0， ∵方程（x+1）2+a2﹣a＝0可变形为[（x+2）﹣1]2+a2﹣a＝0， ∴x+2＝m或x+2＝n， 解得x1＝m﹣2，x2＝n﹣2，故④正确． 故选：B． 7．（2025春•鹿城区校级月考）已知一元二次方程ax2+bx﹣1＝0（a≠0）． （1）当a＝1时，若方程的一个根为x＝2，求b的值以及方程的另一个根． （2）当2a﹣1＝b时，请判别方程根的情况． 【分析】（1）将a＝1代入，再将方程的一个根代入计算即可． （2）利用根的判别式即可解决问题． 【解答】解：（1）当a＝1时，方程为x2+bx﹣1＝0． 将x＝2代入得， 4+2b﹣1＝0， 解得b． 因为方程的两根之积为﹣1， 所以方程的另一个根为x． （2）由题知， Δ＝b2+4a． 因为2a﹣1＝b， 所以Δ＝b2+2b+2＝（b+1）2+1＞0， 所以方程有两个不相等的实数根． 题型六 根与系数的关系与几何图形综合 （核心考点：结合三角形性质、边长关系，利用根与系数关系求解，难度：中档） 1．（2025春•新昌县校级月考）设直角三角的两条直角边a，b是方程2x2﹣6x+1＝0的两个根，则该直角三角形的斜边为（　　） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据根与系数关系求得a+b＝3，，利用完全平方公式求得a2+b2＝8，然后根据勾股定理求解即可． 【解答】解：由题意可知：a+b＝3，， ∴， ∴该直角三角形的斜边为， 故选：B． 2．（2025春•杭州校级期中）边长为整数的直角三角形，若其两直角边边长是方程x2﹣（k+2）x+4k＝0的两根，则直角三角形三边之长为　5，12，13或6，8，10　 ． 【答案】5，12，13或6，8，10 【分析】根据方程的根为整数，得到根的判别式为平方数，然后进行讨论求出k值，得到三角形三边的长． 【解答】解：设直角边为a，b（a＜b），则a+b＝k+2，ab＝4k， 因方程的根为整数，故其判别式为平方数， 设Δ＝（k+2）2﹣16k＝n2⇒（k﹣6+n）（k﹣6﹣n）＝1×32＝2×16＝4×8， ∵k﹣6+n＞k﹣6﹣n， ∴或或， 解得k1（不是整数，舍去），k2＝15，k3＝12， 当k2＝15时，a+b＝17，ab＝60⇒a＝5，b＝12，c＝13， 当k3＝12时，a+b＝14，ab＝48⇒a＝6，b＝8，c＝10． ∴当k＝15时，三角形三边的长为：5，12，13． 当k＝12时，三角形三边的长为：6，8，10． 则直角三角形三边之长为5，12，13或6，8，10． 故答案为：5，12，13或6，8，10． 3．（2025春•杭州校级期中）已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0． （1）求证：k取任何实数值，方程总有实数根； （2）若Rt△ABC斜边长a＝3，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长． 【分析】（1）直接利用根的判别式结合完全平方式得出答案； （2）直接利用勾股定理结合根与系数的关系得出答案． 【解答】（1）证明：Δ＝（k+2）2﹣8k＝（k﹣2）2≥0， 则k取任何实数值，方程总有实数根； （2）解：∵Rt△ABC斜边长a＝3，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根， ∴a2＝b2+c2， 则9＝（b+c）2﹣2bc， 9＝（k+2）2﹣2×2k， 解得：k， 由b+c＝2+k＝2（不可能取负数）， 故△ABC的周长C＝5． 4．（2025春•杭州期中）已知△ABC的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣2（n﹣1）x+n2﹣2n＝0的两个根，第三边BC的长是10． （1）求证：无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根． （2）当n为何值时，△ABC为等腰三角形？并求△ABC的周长． （3）当n为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？ 【分析】（1）计算判别式Δ＞0，即可得证； （2）根据△ABC是等腰三角形，可知x＝10是方程的一个根，代入方程，求出n，①当n＝12时，②当n＝10时，再根据根与系数的关系，求出底，即可求出△ABC的周长； （3）根据根与系数的关系，可得AB+AC＝2（n﹣1），AB•AC＝n2﹣2n，再根据勾股定理列方程，求出n的值，再检验即可确定n． 【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣2（n﹣1）]2﹣4（n2﹣2n）＝4＞0， ∴无论x取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由（1）得，无论x取何值，此方程总有两个不相等的实数根， ∵第三边BC的长是10， 当△ABC为等腰三角形时，x＝10为一元二次方程的一个根， 当x＝10时，100﹣20（n﹣1）+n2﹣2n＝0， 解得n＝12或10， ①当n＝12时，方程变为x2﹣22x+120＝0， 设等腰三角形的底为m， 根据根与系数的关系，m+10＝22， ∴m＝12， ∴△ABC的周长为：10+10+12＝32； ②当n＝10时，方程变为x2﹣18x+80＝0， 设等腰三角形的底为n， 根据根与系数的关系，10+n＝18， 解得n＝8， ∴△ABC的周长为10+10+8＝28； 综上，当n＝12时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为32； 当n＝10时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为28； （3）解：∵AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣2（n﹣1）x+n2﹣2n＝0的两个根， ∴AB+AC＝2（n﹣1），AB•AC＝n2﹣2n， ∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，且BC＝10， ∴AB2+AC2＝BC2， 即4（n﹣1）2﹣2（n2﹣2n）＝100， 解得n＝8或﹣6， 当n＝8时，AB+AC＝2×（8﹣1）＝14，符合题意， 当n＝﹣6时，AB+AC＝2×（﹣6﹣1）＝﹣14，不合题意， 综上，n＝8时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形． 题型七 根的对称性与方程变换 （核心考点：利用方程根的替换、对称关系，结合根与系数关系求解，难度：难题） 1．（2025春•瑞安市期中）若关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的解为x1＝3，x2＝﹣4，则关于y的一元二次方程（y﹣1）2+b（y﹣1）+c＝0的解为（　　） A．y1＝3，y2＝﹣4 B．y1＝2，y2＝﹣5 C．y1＝2，y2＝﹣3 D．y1＝4，y2＝﹣3 【答案】D 【分析】根据题意得出，后一个方程是用y﹣1替换了前一个方程中的x得到，据此得出后一个方程的解与前一个方程解的关系即可解决问题． 【解答】解：由题知， 后一个方程是用y﹣1替换了前一个方程中的x得到． 又因为关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的解为x1＝3，x2＝﹣4， 则y﹣1＝3或﹣4， 所以y1＝4，y2＝﹣3． 故选：D． 2．（2025春•钱塘区校级月考）设x1，x2是方程x2﹣2023x+2025＝0的两个实根，实数a，b满足：2023，2024，则的值为（　　） A．2025 B．2023 C．﹣2025 D．﹣2023 【答案】D 【分析】由根与系数关系，x1，x2是方程x2﹣2003x+2005＝0的两个实根可得：x1+x2＝2003，x1×x2＝2005；化简式子的值为：（x1+x2）（）﹣x1x2（）；将x1+x2＝2003，x1×x2＝2005，2003，2004代入即可得出结果． 【解答】解：x1，x2是方程x2﹣2003x+2005＝0的两个实根可得：x1+x2＝2003，x1×x2＝2005， 故（x1+x2）（）﹣x1x2（） ＝2003×2004﹣2005×2003 ＝﹣2003． 故选：D． 3．（2025春•钱塘区校级月考）已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0． （1）求证：k取任何实数值，方程总有实数根； （2）若Rt△ABC斜边长a＝3，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长． （3）已知三个不同的实数a，b，c满足a﹣b+c＝3，方程x2+ax+1＝0和x2+bx+c＝0有一个相同的实根，方程x2+x+a＝0和x2+cx+b＝0也有一个相同的实根．求a，b，c的值． 【分析】（1）直接利用根的判别式结合完全平方式得出答案； （2）直接利用勾股定理结合根与系数的关系得出答案；（3）设x1是方程x2+ax+1＝0和x2+bx+c＝0的一个相同的实根，x2是方程x2+x+a＝0和x2+cx+b＝0的一个相同的实根，得到关于x1与x2的解析式，进而求出a的值，再求出b、c的值即可解答． 【解答】（1）证明：Δ＝（k+2）2﹣8k＝（k﹣2）2≥0， 则k取任何实数值，方程总有实数根； （2）解：∵Rt△ABC斜边长a＝3，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根， ∴a2＝b2+c2， 则9＝（b+c）2﹣2bc， 9＝（k+2）2﹣2×2k， 解得：k， 由b+c＝2+k＝2（不可能取负数）， 故△ABC的周长C＝5； （3）解：设x1是方程x2+ax+1＝0和x2+bx+c＝0的一个相同的实根，则， 两式相减得（a﹣b）x1＝c﹣1， 解得x1， 设x2是方程x2+x+a＝0和x2+cx+b＝0的一个相同的实根，则， 两式相减得（c﹣1）x2＝a﹣b， 解得x2， 所以x1x2＝1， 又∵方程x2+ax+1＝0的两根之积等于1，于是x2也是方程x2+ax+1＝0的根， 则ax2+1＝0． 又∵x2+a＝0，两式相减，得（a﹣1）x2＝a﹣1． 若a＝1，则方程x2+ax+1＝0无实根， 所以a≠1，故x2＝1． 于是a＝﹣2，b+c＝﹣1．又a﹣b+c＝3， 解得b＝﹣3，c＝2． 题型八 新定义问题 （核心考点：结合新定义，利用根与系数关系分析方程特性，难度：难题） 1．（2025春•诸暨市期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是（　　） ①方程x2﹣3x+2＝0是倍根方程； ②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，则m+n＝0； ③若p、q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程； ④若关于x的方程ax2+bx+c＝0是倍根方程，则2b2＝9ac． A．①② B．②③④ C．①③ D．①③④ 【答案】D 【分析】求得解方程x2﹣3x+2＝0的根即可判断①；求得倍根方程（x﹣2）（mx+n）＝0的根即可判断②；求得方程的根结合pq＝2即可判断③；利用“倍根方程”的根与系数的关系判断即可． 【解答】解：①解方程x2﹣3x+2＝0得x1＝1，x2＝2， ∵x2＝2x1， ∴方程x2﹣3x+2＝0是倍根方程，①正确； ②解方程（x﹣2）（mx+n）＝0得x1＝2，x2， ∵（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程， ∴2＝2×（）或2×2， ∴m＝﹣n或4m＝﹣n， ∴m+n＝0或4m+n＝0，故②不正确； ③解方程px2+3x+q＝0得x， ∵pq＝2， ∴x1或x2， ∴x2＝2x1， ∴关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程，故③正确； ④设方程ax2+bx+c＝0的根为x1，x2， 则x1+x2，x1x2， ∵关于x的方程ax2+bx+c＝0是倍根方程， ∴令x2＝2x1， ∴x1+2x1，x1•2x1， ∴3x1，2， ∴x1， ∴2×（）2， ∴2b2＝9ac．故④正确． 故选：D． 2．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根是x1＝2，x2＝4，则方程x2﹣6x+8＝0是“倍根方程”． （1）通过计算，判断x2﹣3x+2＝0是否是“倍根方程”； （2）若关于x的方程（x﹣2）（x﹣m）＝0是“倍根方程”，求代数式m2+2m+2的值； （3）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+32＝0（m是常数）是“倍根方程”，请直接写出m的值． 【分析】（1）利用因式分解法解方程得到x1＝2，x2＝1，然后根据新定义进行判断； （2）利用因式分解法解方程得到x1＝2，x2＝m，再根据新定义m＝4或m＝1，然后把m＝4或m＝1代入所求的代数式中进行分式的运算即可； （3）设方程的根的两根分别为α、2α，根据根与系数的关系得α+2α＝m﹣1，α⋅2α＝32，然后求出α，再计算对应的m的值． 【解答】解：（1）x2﹣3x+2＝0，（x﹣2）（x﹣1）＝0，x﹣2＝0或x﹣1＝0， 所以x1＝2，x2＝1， 则方程x2﹣3x+2＝0是“倍根方程”； （2）（x﹣2）（x﹣m）＝0，x﹣2＝0或x﹣m＝0， 解得x1＝2，x2＝m， ∵（x﹣2）（x﹣m）＝0是“倍根方程”， ∴m＝4或m＝1， 当m＝4时，m2+2m+2＝16+8+2＝26； 当m＝1时，m2+2m+2＝1+2+2＝5， 综上所述，代数式m2+2m+2的值为26或5； （3）根据题意，设方程的根的两根分别为α、2α， 根据根与系数的关系得α+2α＝m﹣1，α⋅2α＝32， 解得α＝4，m＝13或α＝﹣4，m＝﹣11， ∴m的值为13或﹣11． 3．（2025春•萧山区期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2+x＝0是“邻根方程”． （1）通过计算，判断方程x2﹣x﹣6＝0是否是“邻根方程”； （2）已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”，求m的值； （3）若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a、b是常数，a＞0）是“邻根方程”，令t＝8a﹣b2，试求t的最大值． 【分析】（1）根据解一元二次方程的方法求出已知方程的两个根，再计算两根的差是否为1，可以确定方程是否是“邻根方程”； （2）先解方程，求出根，再根据新定义列出关于m的方程，注意有两种情况； （3）利用公式法解出一元二次方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义即可列出a与b的关系式，再由 t＝8a﹣b2可列出t与a的关系式，最后利用完全平方公式求出最大值． 【解答】解：（1）∵x2﹣x﹣6＝0， ∴（x﹣3）（x+2）＝0， ∴x1＝3，x2＝﹣2， ∵3≠﹣2+1， ∴x2﹣x﹣6＝0不是“邻根方程”； （2）x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0， （x﹣m）（x+1）＝0， ∴x1＝m，x2＝﹣1， ∵方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”， ∴m＝﹣1+1或m＝﹣1﹣1， ∴m＝0或﹣2． （3）ax2+bx+1＝0，∴x， ∵关于x的方程ax2+bx+1＝0（a、b是常数，a＞0）是“邻根方程”， ∴1， ∴b2＝a2+4a， ∵t＝8a﹣b2， ∴a2+4a＝8a﹣t， ∴t＝4a﹣a2＝﹣（a﹣2）2+4， ∵a＞0， ∴当a＝2时，t的最大值为4． 4．（2025春•上城区期末）阅读材料：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，且x1，x2≠0若其中一个根是另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”；例如：1，2是方程x2﹣3x+2＝0的两根，2是1的2倍，则这是一个“倍根方程”． （1）解方程：x2+9x+18＝0，并判断该方程是否属于“倍根方程”． （2）已知关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+2k+2＝0（k≠1）． ①求证：该方程必有两个不相等的实数根； ②若该方程是“倍根方程”，求k的值． 【分析】（1）依据题意，由x2+9x+18＝0，可得x＝﹣3或x＝﹣6，从而其中一个根是另外一个根的2倍，故可判断得解； （2）①依据题意，由一元二次方程为x2+（k+3）x+2k+2＝0（k≠1），则Δ＝（k+3）2﹣4（2k+2）＝（k﹣1）2，又k≠1，从而对于任意实数k（k≠1）都有（k﹣1）2＞0，进而可以判断得解； ②依据题意，由x2+（k+3）x+2k+2＝0，则[x+（k+1）]（x+2）＝0，故x＝﹣k﹣1或x＝﹣2，结合该方程是“倍根方程”，可得﹣k﹣1＝2×（﹣2），或2（﹣k﹣1）＝﹣2，进而可以判断得解． 【解答】（1）解：该方程属于“倍根方程”，理由如下： 由题意，∵x2+9x+18＝0， ∴（x+3）（x+6）＝0． ∴x＝﹣3或x＝﹣6． ∴其中一个根是另外一个根的2倍． ∴该方程属于“倍根方程”． （2）①证明：∵一元二次方程为x2+（k+3）x+2k+2＝0（k≠1）， ∴Δ＝（k+3）2﹣4（2k+2） ＝k2+6k+9﹣8k﹣8 ＝k2﹣2k+1 ＝（k﹣1）2． ∵k≠1， ∴对于任意实数k（k≠1）都有（k﹣1）2＞0． ∴该方程必有两个不相等的实数根． ②解：由题意，∵x2+（k+3）x+2k+2＝0， ∴[x+（k+1）]（x+2）＝0． ∴x＝﹣k﹣1或x＝﹣2． 又∵该方程是“倍根方程”， ∴﹣k﹣1＝2×（﹣2），或2（﹣k﹣1）＝﹣2． ∴k＝3或k＝0． 5．（2025春•北仑区期末）定义：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，且|x1﹣x2|＝1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两个根是x1＝1，x2＝2，此时|x1﹣x2|＝|1﹣2|＝1，则方程x2﹣3x+2＝0是“邻根方程”． （1）下列方程中，属于“邻根方程”的是 　③　 （填序号）． ①x2＝1； ②4x2+4x+1＝0； ③x2﹣x＝0． （2）已知方程（x﹣m）（x+3）＝0是“邻根方程”，求m的值． （3）若方程x2﹣bx+c＝0是“邻根方程”，求证：b+2c+1≥0． 【分析】（1）分别解三个方程，然后根据“邻根方程”的定义进行判断； （2）先解方程得到x1＝m，x2＝﹣3，则利用“邻根方程”的定义得到|m﹣（﹣3）|＝1，然后解绝对值方程即可； （3）设x1，x2是方程x2﹣bx+c＝0的两个根，利用根与系数的关系得x1+x2＝b，x1x2＝c，利用“邻根方程”的定义得到|x1﹣x2|＝1，再利用（x1+x2）2﹣4x1x2＝1得到b2﹣4c＝1，所以c，则b+2c+1b2+b，然后利用配方法得到b+2c+1（b+1）2，则利用非负数的性质得到结论． 【解答】（1）解：①x2＝1， 解得x1＝1，x2＝﹣1， ∵|x1﹣x2|＝2， ∴方程不是“邻根方程”； ②4x2+4x+1＝0， 解得x1＝x2， ∵|x1﹣x2|＝0， ∴方程不是“邻根方程”； ③x2﹣x＝0， 解得x1＝1，x2＝0， ∵|x1﹣x2|＝1， ∴方程是“邻根方程”； 故答案为：③； （2）解：解方程 （x﹣m）（x+3）＝0得为x1＝m，x2＝﹣3， ∵方程（x﹣m）（x+3）＝0是“邻根方程”， ∴|m﹣（﹣3）|＝1， 即 m+3＝±1 解得m＝﹣2或m＝﹣4； （3）证明：设x1，x2是方程x2﹣bx+c＝0的两个根， 由根与系数的关系得x1+x2＝b，x1x2＝c， ∵方程x2﹣bx+c＝0是“邻根方程”， ∴|x1﹣x2|＝1， ∴（x1﹣x2）2＝1， ∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝1， 即b2﹣4c＝1， ∴c， ∴b+2c+1＝b（b2﹣1）+1 b2+b （b+1）2≥0． 6．（2025春•临平区月考）定义：已知x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若x1＜x2＜0，且 ，则称这个方程为“限根方程”．比如：一元二次方程x2+13x+30＝0的两根为x1＝﹣10，x2＝﹣3，因﹣10＜﹣3＜0，，所以一元二次方程x2+13x+30＝0为“限根方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： （1）判断：一元二次方程x2+14x+33＝0 　是　 “限根方程”（填“是”或“不是”）； （2）若关于x的一元二次方程x2+（k+9）x+k2+8＝0是“限根方程”，且方程的两根x1、x2满足11x1+11x2+x1x2＝﹣121，求k的值； （3）若关于x的一元二次方程x2+（1﹣m）x﹣m＝0是“限根方程”，求m的取值范围． 【分析】（1）解方程x2+14x+33＝0得x1＝﹣11，x2＝﹣3，然后根据“限根方程”的定义进行判断； （2）先利用根与系数的关系得到x1+x2＝﹣（k+9）＜0，x1x2＝k2+8＞0，则利用11x1+11x2+x1x2＝﹣121得到﹣11（k+9）+k2+8＝﹣121，解方程得k1＝5，k2＝6，当k＝5时，方程x2+14x+33＝0为“限根方程”；当k＝6时，方程x2+15x+44＝0不是“限根方程”，所以k的值为5； （3）先解方程x2+（1﹣m）x﹣m＝0得x1＝m，x2＝﹣1，根据“限根方程”的定义，当m＜﹣1时，34或当﹣1＜m＜0时，34，然后据诶分别解不等式组得到m的取值范围． 【解答】解：（1）x2+14x+33＝0， （x+11）（x+3）＝0， x+11＝0或x+3＝0， 解得x1＝﹣11，x2＝﹣3， ∵﹣11＜﹣3＜0，34， ∴一元二次方程x2+14x+33＝0是“限根方程“； 故答案为：是； （2）根据题意得x1+x2＝﹣（k+9）＜0，x1x2＝k2+8＞0， ∵11x1+11x2+x1x2＝﹣121， ∴11（x1+x2）+x1x2＝﹣121， ∴﹣11（k+9）+k2+8＝﹣121， 整理得k2﹣11k+3＝0， 解得k1＝5，k2＝6， 当k＝5时，原方程化为x2+14x+33＝0，此方程为“限根方程”； 当k＝6时，原方程化为x2+15x+44＝0，解得x1＝﹣11，x2＝﹣5， ∵﹣11＜﹣4＜0，3， ∴一元二次方程x2+15x+44＝0不是“限根方程“； 综上所述，k的值为5； （3）解方程x2+（1﹣m）x﹣m＝0得x1＝m，x2＝﹣1， 关于x的一元二次方程x2+（1﹣m）x﹣m＝0是“限根方程”， 当m＜﹣1时，34， 解得﹣4＜m＜﹣3； 当﹣1＜m＜0时，34， 解得m， 综上所述，m的取值范围为﹣4＜m＜﹣3或m． 7．（2025春•杭州校级期中）定义：两根都为整数的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）称为“全整根方程，代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”，用Q（a，b，c）表示，即，若另一关于x的一元二次方程px2+qx+r＝0（p≠0）也为“全整根方程”，其“最值码”记为Q（p，q，r），当满足Q（a，b，c）﹣Q（p，q，r）＝c时，则称一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是一元二次方程px2+qx+r＝0（p≠0）的“全整根伴侣方程”． （1）“全整根方程”x2﹣3x+2＝0的“最值码”是　　 ． （2）若（1）中的方程是关于x的一元二次方程x2+qx﹣2＝0的“全整根伴侣方程”，求q的值． （3）若关于x的一元二次方程x2+（1﹣m）x+m﹣2＝0是x2+（n﹣1）x﹣n＝0（m，n均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求m﹣n的值． 【分析】（1）根据“最值码”定义求解即可． （2）根据定义可得Q（1，﹣3，2）﹣Q（1，q，﹣2）＝2，进而可得，解方程即可得到答案． （3）分别求出两方程的最值码，根据Q（a，b，c）﹣Q（p，q，r）＝c，即可得出m﹣n的值． 【解答】解：（1）由条件可知， ， ， ∴“全整根方程”x2﹣3x+2＝0的“最值码”是． 故答案为：． （2）∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+2＝0是关于x的一元二次方程x2+qx﹣2＝0的“全整根伴侣方程”， ∴Q（1，﹣3，2）﹣Q（1，q，﹣2）＝2， ∴， 解得q＝±1； （3）对于方程x2+（1﹣m）x+m﹣2＝0，a＝1，b＝1﹣m，c＝m﹣2， ， ， ， ． 对于方程x2+（n﹣1）x﹣n＝0，p＝1，q＝n﹣1，r＝﹣n， ， ， ． 由条件可知Q（a，b，c）﹣Q（p，q，r）＝c， ∴， ∴﹣m2+6m﹣9+（n+1）2＝4m﹣8， ∴﹣m2+6m﹣9+（n+1）2﹣4m+8＝0， ∴﹣m2+2m﹣1+（n+1）2＝0， ∴﹣（m﹣1）2+（n+1）2＝0， ∴（n+1+m﹣1）（n+1﹣m+1）＝0， ∴（m+n）（n﹣m+2）＝0， ∴m+n＝0或n﹣m+2＝0． ∵m、n均为正整数， ∴m+n＝0不符合题意， ∴n﹣m+2＝0， ∴m﹣n＝2， 故m﹣n的值为2． 学科网（北京）股份有限公司 $