6.2.4 向量的数量积 巩固练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.2.4向量的数量积 一、单选题 1．已知在中，，则的形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】由向量数量积的定义式可得,即可判断 【详解】， , 又 为三角形内角，是钝角，即是钝角三角形. 故选：C. 2．设、是任意两个非零向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合向量垂直关系与数量和意义判断. 【详解】由，得；反之当，也可推出，所以“”是“”的充要条件. 故选：C 3．已知平面向量满足，与的夹角为，则（    ）． A．7 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】由向量的线性运算及数量积的定义求解即可. 【详解】因为. 故选：B. 4．已知向量，，满足，，，则在方向上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件并结合模长求出，最后代入投影向量公式求解. 【详解】由，得，即， 将，代入上式可得：，， 根据投影向量的计算公式，在方向上的投影向量为， 则. 故选：B. 5．已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的模长与数量积运算即可求解. 【详解】因为，所以， 展开得，又，所以. 因为，则，所以，, 解得（负值舍去）. 故选： 6．已知平面向量，，，满足，，，则（   ） A． B．或 C．5 D．5或 【答案】B 【分析】先根据已知条件，得到与的关系，再利用向量夹角公式建立关于的方程，最后求解即可. 【详解】由可得，则， 因为，故有，即， 又因为，两边同时平方得， 将与代入上式，得， 整理得，解得或， 故选：B. 二、多选题 7．已知向量，，，其中，，，且，则（   ） A． B． C． D．与共线 【答案】ACD 【分析】根据已知及向量数量积的运算律得、、判断A、B，进而确定三个向量构成一个直角三角形，再应用向量加减的几何意义、数量积的运算律判断C、D. 【详解】由题设，A对， 由，，， 所以，则，B错， , ,C对； , 与共线，D对。 故选：ACD 8．已知的外接圆圆心为，且，，则下列说法正确的有（   ） A． B． C．在上的投影向量为 D． 【答案】ACD 【分析】由条件得到是等边三角形，进而得到 ，，，．再结合数量积的运算逐项判断即可. 【详解】因为，所以为的中点，所以为圆的直径，． 因为，所以是等边三角形， 所以，，，． ，故A正确． ，故B错误． 设的中点为，则，为在上的投影向量，，故C正确． 因为，所以，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题 9．已知向量，满足，，且，则 . 【答案】 【分析】先根据题意求，再求. 【详解】由，，得. 由 , 所以， 所以. 故答案为： 10．在平行四边形中，，，点是的中点，点满足，且，则 ． 【答案】 【分析】先求得关于的线性表示，然后根据求解出的值，结合关于的线性表示以及数量积公式可求得结果. 【详解】因为， 所以， 所以，所以， 又因为， 所以 ， 故答案为：. 四、解答题 11．已知平面向量，且. (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值. 【分析】（1）根据题中条件化简得到，结合先平方再开方计算向量的模； （2）先计算，，最后根据数量积公式计算即可. 【详解】（1）由整理得：， 又，代入得，解得， 则 （2）由（1）知：，, 又, 所以 . 12．已知向量与的夹角为，且，，若，. (1)当时，求实数的值； (2)求的最小值. 【分析】（1）由，结合向量数量积的定义及运算律即可求解； （2）由，平方得到，通过配方法即可求解. 【详解】（1）因为，所以，即，所以， 因为向量与的夹角为，且，，所以， 所以，所以. （2）由（1）知，且，，又因为， 所以 ， 故当时，最小为. 13．已知，且， (1)用表示数量积； (2)当时，求的最小值，及相应的值. （i）求此时夹角， （ii）求此时在上投影向量的模. 【分析】（1）由向量模长的坐标表示以及平面向量数量积的运算律直接计算可得结果； （2）利用基本不等式可求出的最小值为，此时； （i）根据向量夹角的计算公式直接代入计算可得结果； （ii）由投影向量模长定义计算即可. 【详解】（1）由已知， 将两边同时平方可得， 因此可得 （2）当时，可得， 由（1）可知， 当且仅当时，等号成立， 因此的最小值为，此时相应的值为； （i）设此时夹角为， 所以，又，因此可知； 即此时夹角为； （ii）此时在上投影向量的模为. 14．如图，在中，已知，，，为边上一点，点在线段上， 且，. (1)求线段的长度， (2)求的值. 【分析】（1）将、当作一组基底表示，平方之后求模即可； （2）设，将、当作一组基底表示、，再利用垂直关系即可求解. 【详解】（1）因为， ， ， ，，， 所以，所以. （2）设，因为， 所以，， ，, 所以，即, 所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.2.4向量的数量积 一、单选题 1．已知在中，，则的形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 2．设、是任意两个非零向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．已知平面向量满足，与的夹角为，则（    ）． A．7 B．1 C． D． 4．已知向量，，满足，，，则在方向上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 5．已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 6．已知平面向量，，，满足，，，则（   ） A． B．或 C．5 D．5或 二、多选题 7．已知向量，，，其中，，，且，则（   ） A． B． C． D．与共线 8．已知的外接圆圆心为，且，，则下列说法正确的有（   ） A． B． C．在上的投影向量为 D． 三、填空题 9．已知向量，满足，，且，则 . 10．在平行四边形中，，，点是的中点，点满足，且，则 ． 四、解答题 11．已知平面向量，且. (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值. 12．已知向量与的夹角为，且，，若，. (1)当时，求实数的值； (2)求的最小值. 13．已知，且， (1)用表示数量积； (2)当时，求的最小值，及相应的值. （i）求此时夹角， （ii）求此时在上投影向量的模. 14．如图，在中，已知，，，为边上一点，点在线段上， 且，. (1)求线段的长度， (2)求的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $