6.2.4 向量的数量积 同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.2.4 向量的数量积 同步练习 一、单选题 1．已知等边三角形的边长为1，设，，，那么（　　） A．3 B． C． D． 2．已知是等腰直角三角形，，则（　　） A．4 B．-4 C．2 D．-8 3．已知向量，满足，，，则（　　） A． B． C． D． 4．已知向量，满足，，，则（　　） A． B． C． D． 5．已知向量，，若，则的值为（　　） A．-2 B． C． D． 6．已知向量，，那么向量在向量上的投影向量为（　　） A．1 B． C． D． 二、多项选择题 7．对于任意的两个平面向量、，下列关系式恒成立的是（　　） A． B． C． D． 8．关于平面向量，下列说法不正确的是（　　） A． B． C．若，且，则 D． 9．在RtABC中，BD为斜边AC上的高，下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 三、填空题 10．在中，，，，若为边的中点，则　 　． 11．已知是平面内一组基底，，，则与所成角的最大值为　 　． 12．已知向量 夹角为 ，且 ，则 　 　． 一、单项选择题 13．正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系．在如图所示的正五角星中，，是该正五角星的中心，则（　　） A． B．32 C． D．64 14．已知非零向量 与 的夹角为 ，且 ，则 （　　） A．1 B．2 C． D． 15．如图，在矩形中，与的交点为为边上任意一点（包含端点），则的最大值为（　　） A．2 B．4 C．10 D．12 16．已知向量，满足，且．则向量与向量的夹角是（　　） A． B． C． D． 17．已知点，，．则在上的投影向量为（　　） A． B． C． D． 二、多项选择题 18．在中，D为BC的中点，点E满足.若，则（　　） A． B． C． D． 19．定义：，两个向量的叉乘，则以下说法正确的是（　　） A．若，则 B． C．若四边形ABCD为平行四边形，则它的面积等于 D．若，，则的最小值为 20．已知且，点为线段上的动点，，则下列结论正确的是（　　） A． B．若为线段的中点，则 C． D．的取值范围为 三、填空题 21．已知 ，且关于 的方程 有实数根，则 与 的夹角的取值范围是 　 　. 22．已知向量，满足，，，则在上的投影向量的坐标为　 　． 23．已知边长为2的菱形中，是边所在直线上的一点，则的取值范围为　 　． 四、解答题 24．已知向量，． （1）求； （2）已知，且，求向量与向量的夹角． 25．已知向量，满足，． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 26．在中，，，，点E，F在边上且，. （1）若，求的长； （2）若，，求的值. 参考答案 1．D 【解析】解：在等边三角形中， 得出 2．B 【解析】根据题意，由于已知是等腰直角三角形，，则表示的为向量长度乘以在的投影的积，而结合三角形是等腰可知上的投影为负数，因为夹角为钝角，且长度为，那么利用数量积的几何意义，可知结论为-4 3．A 【解析】解：，， 由，可得，则， 即，即，解得 4．A 【解析】解：因为向量，满足，，， 所以 5．C 【解析】由 得，即，解得 6．C 【解析】解：因为向量在向量上的投影向量模长为：， 又因为， 所以向量在向量上的投影向量与向量方向相反， 则向量在向量上的投影向量为 7．A,B,D 【解析】解：设与的夹角为， A、 ，当且仅当，即与反向时等号成立，故A正确； B、，当且仅当，即与同向时等号成立，故B正确； C、，因为，所以不确定，故C错误； D、由B可知：，则当且仅当时等号成立，故D正确. 8．C,D 【解析】解：对于A，因为， 所以A正确； 对于B，因为 ，所以B正确； 对于C，若，则与的夹角为0， 故C错误； 对于D，与共线，而是与共线，故D错误. 9．A,D 【解析】对于A， ，故A正确； 对于B， ，故B错误； 对于C， ，故C错误； 对于D， ， ，故D正确. 10． 【解析】解：由D为BC边的中点，则， 则 . 11． 【解析】设， 则 设<， >=，则： 当且仅当时取等，即 与所成角的最大值为 12． 【解析】 的夹角 ， ， ， ， 13．A 【解析】解：作，垂足为，如下图所示： 则为的中点， 故 14．B 【解析】 向量 与 的夹角为 ， 且 ， ， ， ， 或0（舍去）， ． 15．C 【解析】解：以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示： 则，， 设，则，， 又因为，所以， 则的最大值为10. 16．C 【解析】因为， 所以 又因为， 所以 得 所以 因为 所以 17．C 【解析】解：易得，，，则，即向量与的夹角为钝角，因此向量在上的投影向量为. 18．A,B,D 【解析】解：A.∵， ∴BE=2DE， ∴， 又∵，，， ∴， ∴， 故A正确； B.∵，∴，故B正确； D.过D作交AC于F点，如下图所示： ∵D是BC的中点，∴F为AC的中点，∴DF是的中位线， ∴，， 又∵已证明，∴AD=AF， ∴， ∴ 解得：， 故D正确； C.若，则，， ∵，∴，与矛盾， 故， 故C错误； 19．A,C 【解析】对于A：若， 若，至少有一个为零向量，则满足； 若，均不为零向量，则，即，同向或反向，即； 综上所述：，故A正确； 对于B：例如，均不为零向量，则， ， 所以，故B错误； 对于C：若四边形为平行四边形， 则它的面积等于，即 ，故C正确； 对于D：因为 ，， 可得，即， 又因为， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为，故D错误 20．A,C 【解析】由题意， 则， 即，所以， 又，所以，且，即，A选项正确； 若为中点，则，， 则，B选项错误； ，C选项正确； 设，，则， 所以， 所以，D选项错误 21． 【解析】因为关于 的方程 有实数根，所以 ，即 ，设 与 的夹角为 ，所以 ，因为 ，所以 ，即 与 的夹角的取值范围是 22． 【解析】解：因为，可得， 又因为，可得，解得， 所以在上的投影向量为． 23． 【解析】解：取的中点，连接，如图所示： 则，所以， 当且仅当时，有最小值，则有最小值，此时菱形的面积，最小值为， 因为是边所在直线上的一点，所以无最大值，无最大值，的取值范围为， 24．（1）解：向量，，则， 所以. （2）解：由，，得，解得， 由，得，于是， 而，则有， 所以向量与向量的夹角. 25．（1）因为，，， 所以，解得， 则， （2）因为，，， 所以，解得， 故， 26．（1）解：设，，则，，因此， 所以， 所以 所以 （2）解：因为， 所以， ， 所以. 又， ， ∴ 1 学科网（北京）股份有限公司 $