5.2 导数的运算 巩固练习-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

5.2导数的运算 （2025-2026学年第二学期高二数学选择性必修第二册第五章（2019）人教A版） 一、单选题 1．若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据导数的定义求解即可. 【详解】根据题意，， 则. 故选：D 2．若函数在处切线的斜率，则实数的值等于（    ）. A．2 B．1 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据导数的几何意义求解即可. 【详解】,又,，即,. 故选：B. 3．已知曲线在处的切线方程是，则与分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据导数的几何意义分别代入计算可得结果. 【详解】将3代入直线方程可得， 易知切线的斜率为，所以；因此与分别为. 故选：A 4（2024高考·全国甲）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点处的切线方程，即可得其与坐标轴的交点坐标，即可得其面积. 【详解】， 则， 即该切线方程为：， 令，则，令，则， 故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积. 故选：A. 5．过坐标原点作曲线的切线，若切线有且只有一条，那么（    ） A．-2 B．-4 C．2 D．4 【答案】D 【分析】利用导数的几何意义，用点斜式写出切线方程，代入原点即可求出. 【详解】设切点为， 所以切线的斜率， 切线方程为． 将坐标原点代入可得， 因为切线有且只有一条，所以， 解得或，又，所以， 故选：D． 6．已知为奇函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据函数的奇偶性求出时的函数解析式，然后再根据导数的几何意义求解切线方程即可. 【详解】若，则， 则 ， 为奇函数，， 即当时，，所以， 因为，则， 即曲线在点处的切线斜率. 因此可得：切线方程为，即：. 故选：A 7．已知曲线在点处的切线也是曲线的切线，则（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】根据导数的几何意义，先求得切线方程，再根据导数的几何意义，求得该切线与的切点坐标，代入方程，即可求得m值. 【详解】对求导可得， 所以在点处的切线斜率， 所以切线方程为，整理得， 设与曲线相切于点， 对求导可得， 所以在点处切线的斜率，解得， 代入切线，可得，即切点， 将切点代入，解得. 故选：D 8．已知函数，其中是的导函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导函数求得，由此得到函数解析式，代入求函数值即可. 【详解】由求导可得，， 则，解得， 所以，则. 故选：A. 二、多选题 9．下列计算正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】根据求导运算规则逐项计算即可判断各选项. 【详解】，则，故A正确； ，则，故错误； ，则 ，故C正确； ，则，故D错误． 故选：AC 10．函数的图象如图所示， 若的图象与 的图象在 处有公切线，其中 ，则（    ） A． B．为奇函数 C． D．的图象与 的图象在处的公切线为 【答案】ACD 【分析】根据余弦函数的图象和性质逐项判断即可. 【详解】由图可知，，所以，A正确； 因为的图象不关于原点对称，不是奇函数，B错误； 因为，，所以，解得，，C正确； 所以的图象与的图象在处的公切线方程为，D正确. 故选：ACD． 11．已知曲线和曲线，若存在斜率为1的直线与同时相切，则b的取值可以为（   ） A． B． C．2 D．e 【答案】ABC 【分析】设两切线的切点横坐标分别为，利用导数的几何意义得到，求出两切点坐标，写出切线方程，由题意可得，借助于二次函数的性质求出的范围即可. 【详解】由题知，设斜率为1的切线在曲线上的切点横坐标分别为， 由题知，解得，则切点分别为和， 则两点处的切线方程分别为和， 依题意，可得，则． 故的取值范围是. 故选：ABC. 三、填空题 12.已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则 . 【答案】 【分析】根据导数的几何意义，结合两条直线垂直的条件即可求出答案. 【详解】对求导得，所以， 因为函数的图象在处的切线与直线垂直且直线斜率为， 所以，解得. 故答案为：. 13．已知函数，，若，则 ． 【答案】 【分析】先求，利用复合函数求导法则求，利用即可求解. 【详解】由题得，，，， 又，,则． 故答案为：. 14.（2025高考·全国Ⅰ）若直线是曲线的切线，则 . 【答案】 【分析】法一：利用导数的几何性质与导数的四则运算求得切点，进而代入曲线方程即可得解； 法二：利用导数的几何性质与导数的四则运算得到关于切点与的方程组，解之即可得解. 【详解】法一：对于，其导数为， 因为直线是曲线的切线，直线的斜率为2， 令，即，解得， 将代入切线方程，可得， 所以切点坐标为， 因为切点在曲线上， 所以，即，解得. 故答案为：. 法二：对于，其导数为， 假设与的切点为， 则，解得. 故答案为：. 四、解答题 15．过曲线上两点和作曲线的割线． (1)求； (2)分别求当，0.001，0.00001时割线的斜率； (3)求，并说明其几何意义； (4)求曲线在点处的切线方程． 【分析】（1）利用平均变化率的意义计算. （2）利用（1）的结论，代入计算即可. （3）利用极限的意义求出结果，并指出其几何意义. （4）利用直线的点斜式求出切线方程. 【详解】（1）. （2），当，0.001，0.00001时，分别为2.1，2.001，2.00001． （3），几何意义是“曲线在点处的切线的斜率为2”. （4）切线方程为，即. 16.已知函数 (1)求曲线在处的切线方程. (2)若直线过且与曲线相切，求直线的方程. 【分析】（1）利用商的导数来求正切函数的导数，即可求在某点处的切线方程； （2）利用导数公式来求经过某点的切线方程. 【详解】（1）由， 则，， 则所求的切线方程为：， 即 （2）由，设切点为，则， 切线方程为： 又在切线上，则，得. 所以的方程为：， 即 17．若函数和图象有公共点，且各自在点的切线和重合，则称重合的切线为两函数在点处的公切线． (1)分别求和在交点处的切线方程； (2)若和在点处存在公切线，求的值及点的坐标． 【分析】（1）根据导数的几何意义直接求切线方程可得； （2）根据公切线的定义可求得公切点，进而可得所求结果. 【详解】（1）联立，解得，所以交点坐标为． 对求导，可得，将代入，得切线斜率． 切线方程，即. 对求导，，将，得切线斜率． 切线方程，即. 所以交点处的切线方程为，. （2）设公切点． 对求导，根据求导公式，可得，则在点处的切线斜率． 对求导，可得，则在点处的切线斜率. 因为两函数在点处存在公切线，所以，即①． 又因为点在两函数图象上，所以②． 由①得，将其代入②可得：，即，解得. 将代入（1）得：，解得. 将代入得. 所以，点的坐标为． 18．设函数的图象在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)求函数的最小值． 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）利用复合函数的值域即可求解. 【详解】（1）， 依题意知：， . （2） . 当，即时，取得最小值， 最小值为. 19．已知函数． (1)求函数的导数及不等式的解集； (2)若过原点的直线与曲线相切，求直线的斜率． 【分析】（1）由题得，函数可看作由函数和复合而成， 运用复合函数求导法则求导得到,将不等式等价转换，即，解一元二次不等式即可. （2）设直线的方程为，运用导数的几何意义，构造方程组，计算出，进而得出即可. 【详解】（1）由题得，函数可看作由函数和复合而成， 得； 而不等式等价于， 即，解得， 故原不等式的解集为． （2）设直线的方程为， 直线与曲线相切于， 则即 两式相除，得，因为，所以， 故．即直线的斜率为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.2导数的运算 （2025-2026学年第二学期高二数学选择性必修第二册第五章（2019）人教A版） 一、单选题 1．若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．若函数在处切线的斜率，则实数的值等于（    ）. A．2 B．1 C．3 D．4 3．已知曲线在处的切线方程是，则与分别为（    ） A． B． C． D． 4（2024高考·全国甲）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 5．过坐标原点作曲线的切线，若切线有且只有一条，那么（    ） A．-2 B．-4 C．2 D．4 6．已知为奇函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是（   ） A． B． C． D． 7．已知曲线在点处的切线也是曲线的切线，则（    ） A．1 B． C．3 D． 8．已知函数，其中是的导函数，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列计算正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．函数的图象如图所示， 若的图象与 的图象在 处有公切线，其中 ，则（    ） A． B．为奇函数 C． D．的图象与 的图象在处的公切线为 11．已知曲线和曲线，若存在斜率为1的直线与同时相切，则b的取值可以为（   ） A． B． C．2 D．e 三、填空题 12.已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则 . 13．已知函数，，若，则 ． 14.（2025高考·全国Ⅰ）若直线是曲线的切线，则 . 四、解答题 15．过曲线上两点和作曲线的割线． (1)求； (2)分别求当，0.001，0.00001时割线的斜率； (3)求，并说明其几何意义； (4)求曲线在点处的切线方程． 16.已知函数 (1)求曲线在处的切线方程. (2)若直线过且与曲线相切，求直线的方程. 17．若函数和图象有公共点，且各自在点的切线和重合，则称重合的切线为两函数在点处的公切线． (1)分别求和在交点处的切线方程； (2)若和在点处存在公切线，求的值及点的坐标． 18．设函数的图象在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)求函数的最小值． 19．已知函数． (1)求函数的导数及不等式的解集； (2)若过原点的直线与曲线相切，求直线的斜率． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $