1.4.2三角形的垂直平分线、尺规作图 课件 2025--2026学年北师大版八年级数学下册

第一章 三角形的证明 1.4.2三角形的垂直平分线、尺规作图 01 教学目标 02 知识回顾 03 探究新知 04 典例精析 06 课堂小结 07 作业布置 05 课堂练习 Contents 目录 01 教学目标 通过动手操作、尺规作图和理论证明，能探究出“三角形三边垂直平分线的性质”， 进一步发展学生的推理证明意识和能力,并会熟练应用来解决实际问题. 01 借助线段垂直平分线的尺规作图，通过个人探究和小组交流，能准确作出符合条件的几何图形；体会转化的思想. 02 02 复习导入 定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 如图, ∵ AC=BC, MN⊥AB, P是MN上任意一点(已知), ∴ PA=PB (线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等). A C B P M N 这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一. 垂直平分线性质定理： 02 复习导入 逆定理: 到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上. 几何语言描述： 如图, ∵PA=PB(已知), ∴点P在AB的垂直平分线上 (到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上) A B P 这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一. 垂直平分线判定定理： 02 复习导入 用尺规作线段AB的垂直平分线 已知: 线段AB,（如图）. 求作: 线段AB的垂直平分线. 作法：1．分别以点A和B为圆心，以大于 AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和D． 2．作直线CD．直线CD就是线段AB的垂直平分线． D B A 03 新知探究 （1）已知三角形的一条边及这条边上的高,你能作出三角形吗? 如果能, 能作出几个? 所作出的三角形都全等吗? 能作出无数个，所作出的三角形不一定全等 03 新知探究 （2）已知等腰三角形的底及底边上的高,你能用尺规作出等腰三角形吗?能作几个?这些三角形全等吗？ 能作2个（底边不同侧各一个）这些三角形全等。 1、作底边AB， 2、作底边的垂直平分线PO，取OC等于高。 3、连接AC、BC，三角形ABC为所求。 03 新知探究 （3）如图1-26，已知线段a和h,用尺规作△ABC,使AB=AC, BC=a,高AD=h, 1、作线段BC=a， 2、作线段BC的垂直平分线m,交BC于D。 3、在直线m作线段DA,使DA=h。 4、连接AB、AC，△BAC就是要作的三角形。 h a B C A D m 03 新知探究 （4）如图1-27，已知L和直线外一点P,用尺规作直线L的垂线，使它经过点P 1、任意取一点使P、Q，位于直线L的两侧。 2、以P为圆心，PQ为半径画弧，相交直线L 于点A、B。 3、作AB的垂直平分m,直线m就是所要作的 直线。 04 典例精析 例题1：已知：在△ABC中设AB、BC的垂直平分线交于点P. 求证：边AC的垂直平分线经过点P，且PA=PB=PC． 基本想法是这样的: 我们知道,两条直线相交只有一个交点. 要想证明三条直线相交于一点只要能证明两条直线的交点在第三条直线上即可. 这时可以考虑前面刚刚学到的逆定理. A B C P 04 典例精析 证明: ∵点P在线段AB的垂直平分线上， ∴PA=PB． 同理PB=PC． ∴PA=PB=PC． ∴P点在AC的垂直平分线上 (到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上)． 即 边AC的垂直平分线经过点P. 例题1 已知：在△ABC中设AB、BC的垂直平分线交于点P. 求证：边AC的垂直平分线经过点P，且PA=PB=PC． A B C P 04 典例精析 定理: 三角形三条边的垂直平分线相交于一点, 并且这一点到三个顶点的距离相等. 三角形三条边上垂直平分线的交点叫三角形的外接圆圆心外心，这个点到三角形顶点的距离是外接圆半径 04 典例精析 例题2：已知：如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C,D，连接CD. 求证：OE是CD的垂直平分线. A B O E D C 证明：∵OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB, ∴DE=CE(角平分线上的点到角的两边的距离相等） ∴ OE是CD的垂直平分线. 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 1.如图所示，AC=AD,BC=BD, 则下列说法正确的是（　　） A．AB垂直平分CD； B ．CD垂直平分AB ； C．AB与CD互相垂直平分；D．CD平分∠ ACB ． 2.已知线段AB，在平面上找到三个点D、E、F，使DA＝DB，EA＝EB,FA＝FB，这样的点的组合共有　　　　种. Ａ Ｂ Ｃ Ｄ A 无数 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 3. 如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P ，使得PA+PC=BC则下列选项正确的是(     ) D 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 4.已知：如图，点C，D是线段AB外的两点，且AC =BC， AD=BD，AB与CD相交于点O. 求证：AO=BO. 证明： ∵ AC =BC，AD=BD， ∴点C和点D在线段AB的垂直平分线上， ∴ CD为线段AB的垂直平分线. 又 ∵AB与CD相交于点O， ∴AO=BO. 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 5.如图，在等腰三角形ABC中，底边BC=3cm,△ABC的面积是6平方厘米,腰AB的垂直平分线EF分别交AB 、AC于点E、F，点D为BC边上的中点，M为EF上的动点． （1）当△BMD周长的最小时，请在图中作出满足条件的△BMD （保留作图痕迹，不要求写出画法）． （2）△BMD周长的最小值是                ． 5.5 04 课堂练习 【知识技能类作业】选做题： 6. 如图，点M和点N在∠AOB内部． （1）请你作出点P，使点P到点M和点N的距离相等，且到∠AOB两边的距离也相等（保留作图痕迹，不写作法）； （2）请说明作图理由．  作图的理由：点P 在∠AOB的平分线上，又在线段MN的垂直平分线上，∠AOB的平分线和线段MN的垂直平分线的交点即为所求． 04 课堂练习 【综合拓展类作业】 7.如图，等腰△ABC的底边BC=20，面积为120，点F在边BC上，且BF=3FC，EG是腰AC的垂直平分线，若点D在EG上运动，求△DFC周长的最小值． 解：作底边BC上的高AH， ∵BC=20，面积为120，∴AH=12 ∵BC=3,BF=3FC ∴FC=5 ∵EG是AC的垂直平分线∴DA=DC 当A、D、F三点共线△DFC周长的最小 HC=10, FC=5 ，HF=5 ∴AF= △DFC周长的最小值=FC+CD+DF=FC+AD+DF =FC+AF=18 20 04 课堂练习 【综合拓展类作业】  8.阅读下面材料： 数学课上，老师提出如下问题： 尺规作图：经过已知直线上一点作这条直线的垂线． 已知：直线AB和AB上一点C．求作：AB的垂线，使它经过点C． 21 04 课堂练习 【综合拓展类作业】 小艾的作法如下： 如图，(1)在直线AB上取一点D，使点D与点C不重合，以点C为圆心，CD长为半径作弧，交AB于D、E 两点； （2）分别以点D和点E为圆心，大于DE长为半径作弧，两弧相交于点F； （3）作直线CF． 所以直线CF就是所求作的垂线． 请回答：小艾这样作图的依据是:  等腰三角形“三线合一”，两点确定一条直线． 22 05 课堂小结 线段的垂直平分线 1、已知三角形的底和高求作三角形。 2、过直线外一点，作直线的垂线。 3、作三角形三边的垂直平分线（中垂线） 尺规作图 三角形三边的垂直平分线 定理: 三角形三条边的垂直平分线相交于一点,这个点是三角形的外接圆圆心（外心），这一点到三个顶点的距离相等. 06 作业布置 【知识技能类作业】必做题： 1.到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（       ） A. 三条高的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条中线的交点 D. 三条边的垂直平分线的交点    2. 如图所示，AC=AD,BC=BD 那么(           )  A. CD垂直平分AB B. AB垂直平分CD C. CD平分∠ACB D. ∠ACB=∠ADB=90° D B 06 作业布置 【知识技能类作业】必做题： 3.下列说法： ①若点P、E是线段AB的垂直平分线上两点，则EA＝EB，PA＝PB； ②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE垂直平分线段AB； ③若PA＝PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点； ④若EA＝EB，则经过点E的直线垂直平分线段AB． 其中正确的有 （填序号）. ① ② ③ 06 作业布置 【知识技能类作业】必做题： 4.如图，已知直线m，直线n分别与l交于点A、B．请用尺规作图法，在线段AB上求作一点P，使点P到m、n的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法） m n l m l n 06 作业布置 【知识技能类作业】必做题： C 5.如图，用直尺和圆规在AC上确定一点P，使PB+PC=AC,则下列选项中，一定符合要求的作图痕迹是( )   06 作业布置 【知识技能类作业】选做题： 6.小芸在班级办黑板报时遇到了一个难题，在版面设计过程中需将一个半圆面三等分，请你帮助她设计一个合理的等分方案．要求用尺规作出图形，保留作图痕迹，并简要写出作法． 作法： （1）作AB的垂直平分线CD交AB于点O； （2）分别以A、B为圆心，以AO（或BO）的长为半径画弧，分别交半圆于点M,N； （3）连接OM，ON即可． 06 作业布置 【综合拓展类作业】 7.如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O、点C沿EF折叠后与点O重合，则∠CEF的度数是（ ） A. 60° B. 55° C. 50° D. 45° 解答提示：延迟AO交BC于H ∠BOA=∠ABO=25° ∠B=65° ，∠0BC=40° ∠BCO=∠0BC=40° ,∠BCO=∠COE=40° ∠OEC=100° 求出∠CEF=50° C 06 作业布置 【综合拓展类作业】 8.如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E． （1）若BC=5，求△ADE的周长． （2）若∠BAD+∠CAE=60°求∠BAC的度数 ，． 解：（1）∵边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E， ∴DA=DB,EA=EC △ADE的周长=AD+AE+DE =BD+EC+ED =BC =5 06 作业布置 【综合拓展类作业】 (2) ∵DA=DB,EA=EC                 ∴∠B=∠BAD,∠C=∠CAE                 ∵∠BAD+∠CAE=60° ∴∠B+∠=60° ∠BAC=180°-∠B-∠C=120° $