精品解析：安徽合肥市琥珀中学等校2025-2026学年九年级上学期期末数学试题

2026届九年级上学期期末质量调研 数学 （试题卷） 温馨提示： 1．数学试卷4页，八大题，共23小题，满分150分，考试时间120分钟，请合理分配时间． 2．请你仔细核对每页试卷下方页码和题数，核实无误后再答题． 3．请将答案写在答题卷上，在试卷上答题无效，考试结束只收答题卷． 4．请你仔细思考，认真答题，不要过于紧张，祝考试顺利！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐一分析各个选项即可． 【详解】解：A项：该图形能绕某点旋转后与原图形重合，但不能沿着某条直线翻折后与原图形重合，所以是中心对称图形，但不是轴对称图形，故A项错误； B项：该图形不能绕某点旋转后与原图形重合，但能沿着某条直线翻折后与原图形重合，所以不是中心对称图形，而是轴对称图形，故B项错误； C项：该图形不能绕某点旋转后与原图形重合，但不能沿着某条直线翻折后与原图形重合，所以不是中心对称图形，不是轴对称图形，故C项错误； D项：该图形既能绕某点旋转后与原图形重合，也能沿着某条直线翻折后与原图形重合，所以既是中心对称图形，也是轴对称图形，故D项正确， 故选：D． 2. 已知反比例函数的图象经过点，则下列各点在该反比例函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，关键是掌握图象上的点的横纵坐标的积是定值，即．首先利用待定系数法求出的值，再分别计算出四个选项中的点的横纵坐标的积，比较即可得答案． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， A．，故不在图象上，不符合题意， B．，故在图象上，符合题意， C．，故不在图象上，不符合题意， D．，故不在图象上，不符合题意， 故选：B． 3. 中，，若， ，则的长为（ ） A. B. C. D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查利用余弦求线段长度，解题的关键是判断斜边及邻边．根据直角三角形余弦定义即可求值． 【详解】解：由题意得， ， ∴ ， 故选D． 4. 如图，将绕顶点A逆时针旋转，得到，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，根据将绕顶点A逆时针旋转，得到，得出，结合，再把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵将绕顶点A逆时针旋转，得到， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 5. 将一副三角板按图叠放，则与的面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，含30度角直角三角形的性质，勾股定理等知识，其中相似三角形的判定与性质是解题的关键；由题意得，则； 设，由含30度角直角三角形的性质及勾股定理得，从而求得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 设； ∵，， ∴在中，，由勾股定理得， ∴， ∴与的面积之比为． 故选B． 6. 如图，正方形ABCD内接于，点P在上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接OB，OC，由正方形ABCD的性质得，再根据圆周角与圆心角的关系即可得出结论． 【详解】解：连接OB，OC，如图， ∵正方形ABCD内接于， ∴ ∴ 故选：B． 【点睛】此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 7. 鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的轨迹，右图为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面，足球的飞行轨迹可看成抛物线．若把对应的抛物线的函数表达式设为，画二次函数的图象时，列表如下： x … 1 2 3 4 … y … 0 1 0 … 关于此函数下列说法不正确的是（ ） A. 函数图象开口向下 B. 当时，该函数有最大值 C. 当时， D. 若在函数图象上有两点，，则 【答案】D 【解析】 【分析】先利用待定系数法求二次函数的解析式，再根据二次函数图象与性质对各项进行判断即可． 【详解】解：由题意可知，抛物线的图象经过点、、， 即：，解得：， ∴抛物线的解析式为：， ∵， ∴抛物线开口向下，故A正确； ∵， ∴当时，该函数有最大值，故B正确； 当时，，故C正确； ∵当，即，解得：，， ∴抛物线与x轴的交点坐标为：、， ∴，y随x的增大而增大；，y随x的增大而减小， ∴当函数值时，，或，故D错误； 故选：D． 【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象与性质，熟练掌握用待定系数法求函数解析式是解题的关键． 8. 九宫格起源于河图洛书，被认为是中华文明的起源，宇宙的魔方．它是由9个正方形组成的图案．如图，点、、在正方形网格的格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查三角函数，熟练掌握正弦的定义是解题的关键；因此此题可根据正弦的定义进行求解即可． 【详解】解：如图， 由网格可知：， ∴， ∴， ∴； 故选B． 9. 如图，在中，，平分交于点，则下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. 若，则点是的黄金分割点 D. 若点是的黄金分割点，则 【答案】D 【解析】 【分析】设，过点作，根据平分交于点，得出，，根据，则，即可表示出，即可判断A选项；设的边上的高为h，根据等面积法表示出，即可判断B选项；由，得，证明，，得出，则点是的黄金分割点，即可判断C选项；根据顶角为的等腰三角形，其底边与腰之比为黄金分割比，讨论即可判断． 本题考查了黄金分割，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，相似三角形判定与性质．掌握以上知识点是解决问题的关键． 【详解】解：A：设，过点作， ∵平分交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故A正确； B：设的边上的高为h， 则， ∴，故B正确； C：由，得， ∵平分交于点， ， ，， ， ， ∵， ， ， ∵， ， 即点是的黄金分割点，故C正确； D：根据选项C可知若，则点是的黄金分割点，， 即， 则， 即顶角为的等腰三角形，其底边与腰之比为黄金分割比． 如图， 当时，作等腰三角形， 则， 利用“”可证，则， 故，即点是的黄金分割点． 故若点是的黄金分割点，则存在或满足条件，故D错误． 故选：D． 10. 在平面直角坐标系中，线段的端点为，抛物线与线段有交点时，的取值范围为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． 根据得，线段平行于轴，得出对称轴，然后根据临界点代入求参数即可． 【详解】解：由得，线段平行于轴， ， 对称轴为直线； 将线段的端点代入得， ， 解得； 将线段的端点代入得， ， 解得； ∴， 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11. 已知，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的变形代入求值，准确的计算是解决本题的关键． 将所求表达式拆分为，然后代入计算即可． 【详解】解：由题意得， ． 故答案为：． 12. 如图，四边形是的内接四边形，，．若的半径为5，则弧的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长的计算和圆周角定理．根据圆周角的性质，计算出弧所对的圆心角度数，按照弧长公式求出弧长即可． 【详解】解：如图，连接， ∵． ∴， ∴， ∴弧的长为． 故答案为：． 13. 如图，反比例函数（）在第一象限内的图象经过平行四边形的顶点A，在轴上，若，坐标分别为，，则实数的值为________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与几何图形的综合，先根据平行四边形的性质和坐标与图形性质求得点A坐标，再根据待定系数法求解k值即可． 【详解】解：延长交y轴于D， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∵点A在反比例函数（）在第一象限内的图象上， ∴， 故答案为：6． 14. 如图，在中，，点是直角边上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接． （1）若点与点重合，长为_____； （2）点运动过程中，线段的最小值为_____． 【答案】 ①. 2 ②. 1 【解析】 【分析】本题主要考查含30度角直角三角形的性质及旋转的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握含30度角直角三角形的性质及旋转的性质是解题的关键． （1）先求出，将绕点顺时针旋转得到，则，，结合点与点重合，可得三点共线，，再利用直角三角形的性质求出，即可求解； （2）取的中点F，连接，由题意易得，由旋转的性质可知：，然后可得，则有，进而问题可求解． 【详解】解：（1）如图， ∵，， ∴， 将绕点顺时针旋转得到，则，， ∵点与点重合， ∴三点共线，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）取的中点F，连接，如图所示： ∵，，， ∴， ∴， 由旋转的性质可知：， ∴， ∴， ∴， ∴， 要求线段的最小值，即求线段的最小值， ∴当时，线段有最小值， ∵，， ∴； 故答案为：． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算，先计算特殊角三角函数值，再根据实数的运算法则求解即可． 【详解】解： ． 16. 已知抛物线，请用配方法确定该抛物线的对称轴和顶点坐标． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的对称轴和顶点坐标，根据二次函数的配方法，将写成顶点式，即可求出抛物线的对称轴和顶点坐标． 【详解】解： ， ∴对称轴为：，顶点坐标为：． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在平面直角坐标系中，点． （1）将绕点逆时针旋转得到，画出； （2）以点为位似中心，位似比为，将在位似中心的异侧进行放大得到，画出； 【答案】（1） 即为所求，如图所示： （2） 即为所求，如图所示： 【解析】 【分析】本题考查坐标系中的位似和旋转变换，熟练位似图形的作图方法是解题的关键． （1）利用旋转变换的性质分别作出、、的对应点、、即可得到； （2）利用位似变换的性质分别作出、、的对应点、、即可得到； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，． （1）求反比例函数、一次函数的表达式； （2）求的面积． 【答案】（1）反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为 （2）8 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，熟练掌握待定系数法和反比例函数的应用是解题关键． （1）将点代入可得反比例函数的解析式，再求出点的坐标，然后利用待定系数法求出一次函数的解析式即可得； （2）设一次函数的图象与轴的交点为点，先求出点的坐标，再根据的面积等于与的面积之和即可得． 【小问1详解】 解：由题意得：将点代入得：， 所以反比例函数的表达式为； 将点代入可得：， ∴， 将点，代入得：，解得， 所以一次函数的表达式为． 【小问2详解】 解：如图，设一次函数的图象与轴的交点为点， 将代入一次函数得：，解得， ∴， ∴， 由（1）已得：，， ∴的边上的高为，的边上的高为， ∴的面积为． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，在矩形中，交于点． （1）作于点．求证：是线段的二等分点． （2）连接交于点，作于点．求证：是线段的一个三等分点． 【答案】（1） 证明：四边形是矩形，交于点， ， ， ， 是线段的二等分点． （2） 证明： 是的中位线， ． ， ． ，， ， ， 是的一个三等分点． 【解析】 【分析】（1）利用已知条件知，再根据矩形的特点可知，可证明是线段的二等分点； （2）先证明，再利用相似比得，再同（1）证明是的一个三等分点． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、平行线分线段成比例定理、相似三角形的性质可判定． 20. 某数学兴趣小组在校园内开展综合实践活动，撰写实验报告如下： 实验主题 测量校徽的高度 工具准备 测角仪，卷尺等 实验过程 1．站在与教学楼底部A同一水平地面的B处，由于大树的遮挡，视线恰能看到悬挂的校徽顶部E处（此时F，C，E三点在同一直线上）； 2．测量A，D两点和B，D两点间的距离； 3．用测角仪测得从眼睛F处看校徽顶部E处的仰角； 4．向后退至点H处时，视线恰能看到校徽底部M处（此时N，C，M三点在同一直线上），测量B，H两点间的距离； 5．用测角仪测得从眼睛N处看校徽底部M处的仰角． 实验图示 测量数据 1． 2． 3． 4． 5． 备注 1．图上所有点均在同一平面内； 2．均与地面垂直． 参考数据：，，； ，，． 请你根据以上实验过程和测量的数据，计算校徽的高度的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确找到直角三角形进行解直角三角形是解题的关键． 由题意得，四边形，四边形为矩形，则，，然后分别解求出，解求出，再由即可求解． 【详解】解：由题意得，四边形，四边形为矩形， ∴，， ∵在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 答：校徽的高度为． 六、（本大题满分12分） 21. 如图，是的直径，点在上，与过点的切线垂直，垂足为，直线与的延长线相交于点平分，交于点，连接． （1）求证：平分； （2）若，求线段的长． 【答案】（1） 证明：∵为的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径，圆周角定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据切线的性质得，而，则可判断，根据平行线的性质得，加上，则，即可得到平分； （2）连接，证明是等腰直角三角形，再证明，利用相似比即可计算出的长即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，如图， ∵是的直径， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 七、（本大题满分12分） 22. 如图1，中，，，D为中点，平分交于点E，连接交于M，过点C作交于F，交于G，连接． （1）求的度数； （2）求证：； （3）如图2，点L为中点，连接，交于点N．若，求的值． 【答案】（1） （2） 证明：由（1）知：，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质． （1）利用等腰直角三角形的性质得出，再由角平分线的性质得出，结合已知条件利用直角三角形两锐角互余的性质求得最终结果； （2）先证得，推出，证明，得到，从而推出结论； （3）根据已知条件证得，从而得出，设，则， 代入后推导出，再证明，得到，由（2）知：，最终推得，． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，L为中点， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ， ， 在与中， ， ∴， ∴， 由（2）知：， ∴， ∴． 八、（本大题满分14分） 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）若此函数图象上有一点到轴的距离不大于2，求的最大值与最小值之差； （3）若为抛物线的顶点，直线交抛物线于，两点，求面积的最小值． 【答案】（1） （2）9 （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，二次函数的最值，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）根据题意求出，将三个点代入函数表达式求解即可； （2）根据在函数图象上，得到，根据到y轴的距离不大于2，得到，根据二次函数的性质，求出最大值和最小值，作差即可； （3）可得，必过，不妨设，连接，则轴，则，联立直线与抛物线表达式可得，那么，再由求解最值即可． 【小问1详解】 解： ， 将代入， ，解得， 该抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：由（1）可知：， ∵函数图象上有一点到y轴的距离不大于2， ∴，， ∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，的值最小为，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵，， ∴当时，的值最大为， ∴的最大值与最小值的差为； 【小问3详解】 解：∵ ∴ ∵ 故直线必过， 不妨设 连接，则轴， ∴ 联立，得： 故 ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ 故面积的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届九年级上学期期末质量调研 数学 （试题卷） 温馨提示： 1．数学试卷4页，八大题，共23小题，满分150分，考试时间120分钟，请合理分配时间． 2．请你仔细核对每页试卷下方页码和题数，核实无误后再答题． 3．请将答案写在答题卷上，在试卷上答题无效，考试结束只收答题卷． 4．请你仔细思考，认真答题，不要过于紧张，祝考试顺利！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知反比例函数的图象经过点，则下列各点在该反比例函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 3. 中，，若， ，则的长为（ ） A. B. C. D. 8 4. 如图，将绕顶点A逆时针旋转，得到，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 将一副三角板按图叠放，则与的面积之比为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，正方形ABCD内接于，点P在上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的轨迹，右图为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面，足球的飞行轨迹可看成抛物线．若把对应的抛物线的函数表达式设为，画二次函数的图象时，列表如下： x … 1 2 3 4 … y … 0 1 0 … 关于此函数下列说法不正确的是（ ） A. 函数图象开口向下 B. 当时，该函数有最大值 C. 当时， D. 若在函数图象上有两点，，则 8. 九宫格起源于河图洛书，被认为是中华文明的起源，宇宙的魔方．它是由9个正方形组成的图案．如图，点、、在正方形网格的格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，平分交于点，则下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. 若，则点是的黄金分割点 D. 若点是的黄金分割点，则 10. 在平面直角坐标系中，线段的端点为，抛物线与线段有交点时，的取值范围为（ ） A. B. C. D. 或 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11. 已知，则的值为___________． 12. 如图，四边形是的内接四边形，，．若的半径为5，则弧的长为_______． 13. 如图，反比例函数（）在第一象限内的图象经过平行四边形的顶点A，在轴上，若，坐标分别为，，则实数的值为________． 14. 如图，在中，，点是直角边上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接． （1）若点与点重合，长为_____； （2）点运动过程中，线段的最小值为_____． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 已知抛物线，请用配方法确定该抛物线的对称轴和顶点坐标． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在平面直角坐标系中，点． （1）将绕点逆时针旋转得到，画出； （2）以点为位似中心，位似比为，将在位似中心的异侧进行放大得到，画出； 18. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，． （1）求反比例函数、一次函数的表达式； （2）求的面积． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，在矩形中，交于点． （1）作于点．求证：是线段的二等分点． （2）连接交于点，作于点．求证：是线段的一个三等分点． 20. 某数学兴趣小组在校园内开展综合实践活动，撰写实验报告如下： 实验主题 测量校徽的高度 工具准备 测角仪，卷尺等 实验过程 1．站在与教学楼底部A同一水平地面的B处，由于大树的遮挡，视线恰能看到悬挂的校徽顶部E处（此时F，C，E三点在同一直线上）； 2．测量A，D两点和B，D两点间的距离； 3．用测角仪测得从眼睛F处看校徽顶部E处的仰角； 4．向后退至点H处时，视线恰能看到校徽底部M处（此时N，C，M三点在同一直线上），测量B，H两点间的距离； 5．用测角仪测得从眼睛N处看校徽底部M处的仰角． 实验图示 测量数据 1． 2． 3． 4． 5． 备注 1．图上所有点均在同一平面内； 2．均与地面垂直． 参考数据：，，； ，，． 请你根据以上实验过程和测量的数据，计算校徽的高度的值． 六、（本大题满分12分） 21. 如图，是的直径，点在上，与过点的切线垂直，垂足为，直线与的延长线相交于点平分，交于点，连接． （1）求证：平分； （2）若，求线段的长． 七、（本大题满分12分） 22. 如图1，中，，，D为中点，平分交于点E，连接交于M，过点C作交于F，交于G，连接． （1）求的度数； （2）求证：； （3）如图2，点L为中点，连接，交于点N．若，求的值． 八、（本大题满分14分） 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）若此函数图象上有一点到轴的距离不大于2，求的最大值与最小值之差； （3）若为抛物线的顶点，直线交抛物线于，两点，求面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $