精品解析：浙江省湖州市2025-2026学年上学期九年级数学期末试卷

2025-2026学年九年级数学期末试卷 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题列出的四个选项中只有一个是符合要求的，不选、多选、错选均不给分) 1. 在这四个数中，最小的数是( ) A. B. C. 0 D. 2. 深度求索（）的崛起，其意义涉及国家战略乃至全球AI竞争态势的重塑．截至2月9日，的累计下载量超1.1亿次，周活跃用户规模最高近9780万，9780万用科学记数法表示为（　 　） A. B. 9 C. D. 3. 如图是由7个小正方体搭建而成的几何体，则它的正（主）视图是（ ） A. B. C. D. 4. 若，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 某班在开展劳动教育课程调查中发现，第一小组五名同学在最近一周内做家务的时间依次为3，5，6，5，4（单位：小时），则这组数据的中位数为（ ） A. 4.5小时 B. 5小时 C. 5.5小时 D. 6小时 6. 如图，在平面直角坐标系中与是位似图形，以原点O为位似中心，若，B点坐标为，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点在反比例函数的图象上，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 8. 如图，在正方形中，是 边上一点，，，将正方形边 沿 折叠到，延长 交于 ，连接 ，现在有如下四个结论：①；② ；③；④．其中结论正确的选项是（ ） A. ①③④ B. ②③④ C. ①②③ D. ①②④ 9. 设二次函数 的图像与一次函数 的图像交于点 ，若函数 的图像与 轴仅有一个交点，则 的值是（ ） A. 6 B. 8 C. D. 7 10. 如图1，在中，D是边的中点．点E在斜边上，从点A出发，运动到点C时停止，设 为 ，为 ．如图2， 关于 的函数图象与 轴交于点，且经过和最高点两点．下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. y的最小值为64 二、填空题(本题有6小题，每小题3分，共18分) 11. 因式分解： _____________ 12. 若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为_____________ 13. 若点在抛物线，则的最大值为______． 14. 如图，在中， ， ，点在边 上，，将 绕点 逆时针旋转得到 ，连接 ，则的度数为_____________ 15. 如图，反比例函数与一次函数（ 为常数，且 ）的图象相交于，两点．若将直线 向上平移个单位长度后，与反比例函数的图象没有交点，则的取值范围是_____． 16. 如图， 是 的直径，点，点是半圆上两点，连结相交于点，连结． 已知于点，；下列结论：①；②若点为 的中点，则；③若，则；④；其中正确的是_______________． 三、解答题（本题有8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）化简：； （2）先化简，再求值：，其中． 18. 小明解分式方程如下图所示，小慧认为小明过程有错误，请指出过程中首次出错的是__________（填序号），并给出正确的解题过程． 解方程： 解：去分母得， ------① 移项得， ----------------② 所以， --------------------③ 经检验：不是原方程的根，原方程无解．----④ 19. 如图，在中，点E，F分别在，的延长线上，且 ．连结，交 于点H，连结． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，求的度数． 20. 为迎接2020年第35届全国青少年科技创新大赛，某学校举办了A：机器人；B：航模；C：科幻绘画；D：信息学；E：科技小制作等五项比赛活动（每人限报一项），将各项比赛的参加人数绘制成如图两幅不完整的统计图． 根据统计图中的信息解答下列问题： （1）本次参加比赛的学生人数是_________名； （2）把条形统计图补充完整； （3）求扇形统计图中表示机器人的扇形圆心角 的度数； （4）在C组最优秀的3名同学（1名男生2名女生）和E组最优秀的3名同学（2名男生1名女生）中，各选1名同学参加上一级比赛，利用树状图或表格，求所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率． 21. 单摆是一种能够产生往复摆动的装置．如图1，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动（摆线的长度变化忽略不计）．如图2，摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，过点B作于点D．当摆球运动至点C时，过点C作于点E，（点O，A，B，C，D，E在同一平面内）． （1）若，，求的长； （2）若，，，求的长．（，，， ， ， ，结果精确到0.1cm） 22. 小明爸爸外出散步，从家出发走向离家1200米的报亭，走了15分钟后发现没带上眼镜，就马上电话小明让其送来．小明接到电话带上眼镜立即从家里出发（通话时间忽略不计）．小明爸爸又走了5分钟到达报亭，在没戴眼镜的情况下看报10分钟后，小明终于给爸爸送上了眼镜．戴上眼镜后继续看报10分钟，然后又用了40分钟返回到家里．而小明把眼镜交给爸爸后，按原来的速度继续步行10分钟到达离家米的文具商店购买圆规（小明在文具商店的时间忽略不计），然后仍按原来的速度由原路返回，在离家还有米处时追上爸爸后一起回到家里．已知小明和爸爸离开家的路程（米）与各自的步行时间（分）之间的函数图象如图所示． （1）求 和的值； （2）求和的值； （3）小明从文具商店出来到追上爸爸的时间段中，求小明离开家的路程（米）关于步行时间（分）的函数表达式． 23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）当时， ①求抛物线的顶点坐标． ②将抛物线向下平移个单位，若平移后的抛物线过点，且与 轴两交点之间的距离为6，求的值． （2）已知点，在抛物线上，且 ，求的取值范围． 24. 已知内接于圆O ，作外角的角平分线交圆O于点A ，连接． （1）如图1，求证：为等腰三角形． （2）如图2，若 过圆心O， 交于点F，， ，求 ． （3）如图3，作直径 交 于点G，若，且，，求圆O的半径． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学期末试卷 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题列出的四个选项中只有一个是符合要求的，不选、多选、错选均不给分) 1. 在这四个数中，最小的数是( ) A. B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据负数小于0小于正数，负数的绝对值大的反而小，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴最小的数是 ； 故选A． 【点睛】本题考查比较实数的大小．熟练掌握负数小于0小于正数，负数的绝对值大的反而小，是解题的关键． 2. 深度求索（）的崛起，其意义涉及国家战略乃至全球AI竞争态势的重塑．截至2月9日，的累计下载量超1.1亿次，周活跃用户规模最高近9780万，9780万用科学记数法表示为（　 　） A. B. 9 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】解：9780万用科学记数法表示为． 故选：C． 3. 如图是由7个小正方体搭建而成的几何体，则它的正（主）视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是简单几何体的三视图的作图，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看所得到的图形．根据主视图是从物体正面看所得到的图形解答即可． 【详解】解：根据主视图的定义可知，此几何体的主视图是， 故选：A． 4. 若，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质“性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变”，熟练掌握不等式的性质是解题关键．根据不等式的性质逐项判断即可得． 【详解】解：A、由可得，则此项正确，不符合题意； B、由可得，则，则此项错误，符合题意； C、由可得，则此项正确，不符合题意； D、因为 ，所以由可得，则此项正确，不符合题意； 故选：B． 5. 某班在开展劳动教育课程调查中发现，第一小组五名同学在最近一周内做家务的时间依次为3，5，6，5，4（单位：小时），则这组数据的中位数为（ ） A. 4.5小时 B. 5小时 C. 5.5小时 D. 6小时 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中位数定义，一组数据按大到小（或者小到大）顺序排列，中位数就是正中间的那个数．如果数据的个数是奇数，则中位数是中间那个数；如果是偶数，则中位数是中间两个数的平均值． 【详解】解：∵第一小组五名同学在最近一周内做家务的时间依次为3，5，6，5，4（单位：小时）， ∴按小到大排序后得3，4，5，5，6， 即位于中间位置的数为5， 故选：B 6. 如图，在平面直角坐标系中与是位似图形，以原点O为位似中心，若，B点坐标为，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求位似图形的对应坐标，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵， ∴与的位似比为， ∵B点坐标为， ∴点D的坐标为， 故选：C． 7. 已知点在反比例函数的图象上，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质，是解题的关键． 先根据确定反比例函数图象上点的横、纵坐标符号关系，再逐一分析选项判断正误． 【详解】解：∵点在反比例函数 （）的图象上 ∴，即图象上任意点的横、纵坐标异号 分析A选项：若，当时， ， 则， 故A错误 分析B选项：若，当，且时， ， 则，故B错误 分析C选项：∵ ∴与异号 又∵图象上点的横、纵坐标异号 ∴与异号， 即， 故C正确 分析D选项：∵ ∴与同号 又∵图象上点的横、纵坐标异号 ∴与同号， 即， 故D错误． 故选：C． 8. 如图，在正方形中， 是 边上一点，，，将正方形边 沿 折叠到，延长 交于 ，连接 ，现在有如下四个结论：①；② ；③；④．其中结论正确的选项是（ ） A. ①③④ B. ②③④ C. ①②③ D. ①②④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据折叠的性质，利用 证明，得出，，即可判断①．根据全等三角形的性质得出，利用勾股定理得出，可得不是等边三角形，可得判断②．证明 垂直平分 ，利用三角形内角和及等边对等角得出即可判断③．根据得出，求出即可判断④．综上即可得答案． 【详解】解：连接 ， ∵将正方形边 沿 折叠到， ∴，，，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即， ∴，即，故①正确， ∵，， ∴， 设，则，， ∴在中，， 即， 解得：， ∴， ∴， ∴，， ∴不是等边三角形， ∴，故②错误， ∵， ∴， ， ∴，即， ∵，， ∴ 垂直平分 ， ∴，故③正确， ∵，， ∴，故④正确， 综上所述，正确的选项是①③④， 故选：A． 【点睛】本题考查翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理及线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． 9. 设二次函数 的图像与一次函数 的图像交于点 ，若函数 的图像与 轴仅有一个交点，则 的值是（ ） A. 6 B. 8 C. D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了抛物线与轴的交点问题，以及曲线上点的坐标与方程的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出：函数与轴的交点为，． 首先根据一次函数 的图像交于点 ，可得，然后根据函数的图象与轴仅有一个交点，可得函数与轴的交点为，进而可得，再结合求解即可． 【详解】解： 一次函数的图象经过点， ，解得：， 当时，，， 当时，， ∵函数 的图像与 轴仅有一个交点， 的图象与轴的交点为 ， ∴ 又∵， ∴ ， ∴，解得： ∴， 故选：A． 10. 如图1，在中，D是边的中点．点E在斜边上，从点A出发，运动到点C时停止，设 为，为．如图2，关于的函数图象与轴交于点，且经过和最高点两点．下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. y的最小值为64 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了动点问题、勾股定理、二次函数、解直角三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 结合图象可求出的长，过点作 交于点 ，由图2知，点为最高点，当点 和点重合时， 最大，根据三角函数和勾股定理可求出和，进而判断选项B和选项C；用的值可判断选项A；当，即点 和点 重合时， 有最小值，进而判断选项D． 【详解】解：由图2可知，当 时，，即， ∴， ∵D是边的中点， ∴； ∵， 即，，， 此时，， 如图，过点作 交于点 ，则有为等腰三角形， ∴，； 由图2知，点为最高点， ∵当点 和点重合时， 最大， ∴，， ∴， ∴， 整理得， 解得或（负值舍去），故选项C错误； ∴，， ∴，，故选项B正确； ∴，故选项A错误； 由上图可知，当，即点 和点 重合时， 有最小值，即最小， 此时， ∴， ∴的最小值为 ，故选项D错误．   故选：B ． 二、填空题(本题有6小题，每小题3分，共18分) 11. 因式分解： _____________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式的因式分解．把看作是整体，利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解： 故答案为： 12. 若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为_____________ 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．利用根与系数的关系得到，，然后代入化简后的结果，即可． 【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴，即， 故答案为：3 13. 若点在抛物线，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求得，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】∵点P(a，b)在抛物线， ∴， ∴ ， ∵， ∴的最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 14. 如图，在中， ， ，点在边 上，，将 绕点 逆时针旋转得到 ，连接 ，则的度数为_____________ 【答案】 ##100度 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形内角和定理，旋转的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质可得，再由三角形内角和定理，可得，然后根据旋转的性质可得，，可证明，即可求解． 【详解】解：∵ ， ， ∴， ∵， ∴， ∵将 绕点 逆时针旋转得到 ， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 15. 如图，反比例函数与一次函数（ 为常数，且 ）的图象相交于，两点．若将直线 向上平移个单位长度后，与反比例函数的图象没有交点，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及待定系数法求函数解析式，一次函数图象的平移问题，一元二次方程根的判别式等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 先求出，则则平移后的直线为，反比例函数解析式联立得到，根据 求出，即可求解的取值范围． 【详解】解：将点，代入得：， ∴，， ∴， 解得：， ∴， 则平移后的直线为 则联立， 整理得：， ∴， 解得：或， ∴平移后的函数图象与反比例函数的图象没有交点，则的取值范围是：， 故答案为：． 16. 如图， 是 的直径，点，点是半圆上两点，连结相交于点，连结． 已知于点 ，；下列结论：①；②若点为 的中点，则；③若，则；④；其中正确的是_______________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】由垂径定理，圆周角定理的推论得出，由 是 的直径，进而根据等角的余角相等进而判断①；点为 的中点，得出，进而证明全等三角形的判定和性质，得出 ，进而根据三角形中位线定理得出，等量代换得出即可判断②，连接，根据垂径定理得出，根据得出，则，得出 为等边三角形，由，即可得出继而判断③；勾股定理得出，当时，，即可判断④． 【详解】解：①∵， ∴， ∴， ∵ 是 的直径， ∴， ∴， ∴，故①正确，符合题意； ②∵点为 的中点， ∴， ∵ 为直径， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴，故②正确，符合题意； ③连接， ∵ ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， ∵ ， ∴ 为等边三角形， ∵， ∴，故③正确，符合题意； ④∵， ∴， 当时，，故④错误，不符合题意； 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理的推论，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，关键是掌握并熟练应用以上知识点． 三、解答题（本题有8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）化简：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】（1）根据完全平方公式、单项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可； （2）先通分括号内的式子，再算括号外的除法，然后将的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ； ， 当时，原式． 【点睛】本题考查整式的混合运算、完全平方公式、二次根式的运算以及分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 18. 小明解分式方程如下图所示，小慧认为小明过程有错误，请指出过程中首次出错的是__________（填序号），并给出正确的解题过程． 解方程： 解：去分母得， ------① 移项得， ----------------② 所以， --------------------③ 经检验：不是原方程的根，原方程无解．----④ 【答案】 ①； 解： 去分母得， ， 移项得， 所以，， 经检验：是原方程的根 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤进行解答即可． 【详解】解：出错的是① 19. 如图，在中，点E，F分别在，的延长线上，且 ．连结，交 于点H，连结． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵ ， ∴，即， ∴四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，，求得得到四边形是平行四边形； （2）根据平行四边形的性质得到 ， ，求得，于是得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴ ， ， ∴， ∵， ∴， ∴． 20. 为迎接2020年第35届全国青少年科技创新大赛，某学校举办了A：机器人；B：航模；C：科幻绘画；D：信息学；E：科技小制作等五项比赛活动（每人限报一项），将各项比赛的参加人数绘制成如图两幅不完整的统计图． 根据统计图中的信息解答下列问题： （1）本次参加比赛的学生人数是_________名； （2）把条形统计图补充完整； （3）求扇形统计图中表示机器人的扇形圆心角 的度数； （4）在C组最优秀的3名同学（1名男生2名女生）和E组最优秀的3名同学（2名男生1名女生）中，各选1名同学参加上一级比赛，利用树状图或表格，求所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率． 【答案】（1）80； （2）补充条形统计图如下： （3）72º； （4） 【解析】 【分析】（1）根据题目中已知B的占比和人数已知，可求出总人数； （2）用总人数减去其他人数可求出D的人数，然后补全条图即可； （3）先算出A的占比，再用占比乘以360°即可； （4）根据列表法进行求解即可； 【详解】（1）由题可知：（人）， ∴参加学生的人数是80人； （2）由（1）可得：D的人数为， 图略； （3）由（1）可得，A的占比是， ∴． （4）列表如下： C男 C女1 C女2 E男1 （C男，E男1） （C女1，E男1） （C女2，E男1） E男2 （C男，E男2） （C女1，E男2） （C女2，E男2） E女 （C男，E女） （C女1，E女） （C女2，E女） 得到所有等可能的情况有9种， 其中满足条件的有5种：（C女1，E男1），（C女2，E男1），（C女1，E男2），C女2，E男2），（C男，E女） 所以所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率是． 【点睛】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图的结合，在解题过程中准确理解题意，列表格求概率是关键． 21. 单摆是一种能够产生往复摆动的装置．如图1，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动（摆线的长度变化忽略不计）．如图2，摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，过点B作于点D．当摆球运动至点C时，过点C作于点E，（点O，A，B，C，D，E在同一平面内）． （1）若，，求的长； （2）若，，，求的长．（，，， ， ， ，结果精确到0.1cm） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用． （1）设 ，在中，利用勾股定理列式计算即可求解； （2）在 中，利用三角函数的定义求得，，根据 ，列式计算即可求解． 【小问1详解】 解：设 ，则， 在中，由勾股定理得， ， ， ； 【小问2详解】 解： 摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，于点D． 当摆球运动至点C时，于点E， ， 在 中，，， ，， ， ， ． 22. 小明爸爸外出散步，从家出发走向离家1200米的报亭，走了15分钟后发现没带上眼镜，就马上电话小明让其送来．小明接到电话带上眼镜立即从家里出发（通话时间忽略不计）．小明爸爸又走了5分钟到达报亭，在没戴眼镜的情况下看报10分钟后，小明终于给爸爸送上了眼镜．戴上眼镜后继续看报10分钟，然后又用了40分钟返回到家里．而小明把眼镜交给爸爸后，按原来的速度继续步行10分钟到达离家米的文具商店购买圆规（小明在文具商店的时间忽略不计），然后仍按原来的速度由原路返回，在离家还有米处时追上爸爸后一起回到家里．已知小明和爸爸离开家的路程（米）与各自的步行时间（分）之间的函数图象如图所示． （1）求 和的值； （2）求和的值； （3）小明从文具商店出来到追上爸爸的时间段中，求小明离开家的路程（米）关于步行时间（分）的函数表达式． 【答案】（1）， （2）， （3）（） 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用，正确从图中获取信息是解题关键， （1）根据图象正确获取信息求出小明的步行速度进而求出结论； （2）先求出小明爸爸回家的步行速度，设小明从文具商店出发到追上爸爸的时间为分钟，列方程解决问题； （3）设小明离开家的路程（米）关于步行时间（分）的函数表达式为，用待定系数法求表达式即可； 【小问1详解】 解：由题意知：． 小明的步行速度为米/分． ，． ． 【小问2详解】 解：由题意知：小明爸爸回家的步行速度为米/分． 设小明从文具商店出发到追上爸爸的时间为分钟， 则有， ． ，． 【小问3详解】 解：小明从文具商店出来到追上爸爸的时间段中，设小明离开家的路程（米）关于步行时间（分）的函数表达式为， 将，代入， 有， 解得：， （）． 23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）当时， ①求抛物线的顶点坐标． ②将抛物线向下平移个单位，若平移后的抛物线过点，且与轴两交点之间的距离为6，求的值． （2）已知点，在抛物线上，且 ，求的取值范围． 【答案】（1）①；②， （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象性质，二次函数图象平移，二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数图象性质，二次函数图象平移规律“上加下减”是解题的关键． （1）①把代入，得，即可得出顶点坐标； ②根据平移规律得平移后抛物线解析式为，把代入，求得，则，设平移后的抛物线与轴两交点横坐标为，，则，，又，即可得出，解之即可求解． （2）把，代入，得，根据 ，求得；把代入，得，根据和 ，求得，进而即可求解． 【小问1详解】 解：①∵， ∴ ∴抛物线的顶点坐标为， ②∵将抛物线向下平移个单位， ∴平移后抛物线解析式为， 把代入，得， ∴ ∴ 设平移后的抛物线与轴两交点横坐标为，， 则，， ∴ ∴ ∵平移后的抛物线与轴两交点之间的距离为6， ∴ ∴ ∴ 解得： 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ∴． 【小问2详解】 解：把，代入，得 ， ∵ ， ∴， ∴， 把代入，得 ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 24. 已知内接于圆O ，作外角的角平分线交圆O于点A ，连接． （1）如图1，求证：为等腰三角形． （2）如图2，若 过圆心O， 交于点F，， ，求 ． （3）如图3，作直径 交 于点G，若，且，，求圆O的半径． 【答案】（1）见解析 （2） （3）5 【解析】 【分析】（1）利用角平分线的定义，圆的内接四边形的性质和圆周角定理得到，再利用等腰三角形的判定定理解答即可； （2）连结，利用垂径定理得到 ，利用平行线的判定定理得到，再利用相似三角形的判定与性质得到，则 可得，最后利用勾股定理解答即可； （3）连结 ，在射线 上取点K，连接，使得，设，则，利用圆的平行线弦的性质得到；利用相似三角形的判定与性质得到，利用等腰三角形的判定与性质得到，利用列出方程求得x值，则 可求，利用垂径定理求得，利用勾股定理求得 ，再利用勾股定理列出方程解答即可得出结论． 【小问1详解】 证明：∵ 平分， ∴， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴ ， 即为等腰三角形； 【小问2详解】 解：连结，如图， ∵ 为圆O直径， ∴， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：连结 ，在射线 上取点K，连接，使得，如图， ∵， ∴设，则， ∵， ∴， ∴， 由（1）知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． ∵ 为直径， ， ∴， ∴． 在中， ∵， ∴， ∴． ∴圆O的半径为5． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，圆的内接四边形的性质，角平分线的定义，直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，添加适当的辅助线构造直角三角形和相似三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $