浙江省湖州市2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷

2024-2025学年浙江省湖州市九年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列函数中，y是x的二次函数的是(    ) A. B. C. D. 2.已知点A在半径为2cm的圆内，则点A到圆心的距离可能是(    ) A. 1cm B. 2cm C. 3cm D. 4cm 3.已知，则下列比例式成立的是(    ) A. B. C. D. 4.小颖从一定高度随机掷一枚质地均匀的硬币，她已经掷了三次硬币，结果都是“反面朝上”.那么，小颖第四次掷硬币时，“正面朝上”与“反面朝上”的可能性的大小为(    ) A. “正面朝上”的可能性大 B. “反面朝上”的可能性大 C. 两者的可能性相同 D. 无法确定 5.如图，在中，，，，则的值为(    ) A. B. C. D. 6.如图，四边形ABCD内接于，，，连结AC，则的度数为(    ) A. B. C. D. 7.小吴用描点法画二次函数图象时，得到了如下表格，则方程的其中一个解是(    ) x …… 1 2 3 4 …… …… 0 5 …… A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 8.数学课上，老师布置了一个习题：“如图，在菱形格点图中有两个固定格点A，B，连结AB，在线段AB上找一点P，使得点P把线段AB分成1：2的两条线段”.以下分别是小吴和小王的作法，则(    ) A. 只有小吴的作法正确 B. 只有小王的作法正确 C. 小吴和小王的作法都正确 D. 小吴和小王的作法都错误 9.如图，点D在等腰直角的腰AB上运动，以CD为腰，点D为直角顶点作等腰直角，DE与AC交于点F，连结AE，当与的面积比为2：1时，的值是(    ) A. B. C. D. 10.已知二次函数，则下列说法中正确的是(    ) ①当时，则方程有两个不同的实数根； ②若二次函数的图象过点，则该图象的对称轴为直线； ③当时，若二次函数的图象与x轴负半轴交于和，且，方程的解为，，若，则有 ④当时，二次函数图象与一次函数图象有两个交点，，且，则 A. ①② B. ①④ C. ①③ D. ③④ 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.一个不透明的盒子里有形状、大小相同的黄球2个、红球3个，从盒子里任意摸出1个球，摸到红球的概率是______. 12.已知抛物线经过点和，则______填“>”“<”或“=” 13.如图，将绕点O逆时针旋转得到，已知，则______. 14.如图，在教学楼走廊上有一拖把以的倾斜角斜靠在墙面上，影响了同学们的行走，小明自觉地将拖把从点A挪动到了点的位置，使其倾斜角变为如果拖把的长为2米，则行走的通道拓宽了______米结果保留根号 15.莱洛三角形广泛应用于建筑、工业、包装等方面，某数学兴趣小组在学习了莱洛三角形的知识后获得灵感，设计了如图2的美丽图形，爱思考的小聪提出以下问题：如图3，正五边形ABCDE的边长为5，分别以A和E为圆心，5为半径作和交于点P，此时阴影部分的周长为______. 16.数学兴趣小组进行探究性学习时，把缺了一角的幻方放进一张矩形纸片ABCD中，幻方的四个顶点E、F、G、H分别落在矩形的边AD、DC、BC、AB上，顶点M落在矩形内，通过测量发现顶点M到AB的距离为1cm，并测得，通过探究求出了这个幻方阴影部分的面积为______ 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题8分 计算 18.本小题8分 已知二次函数的图象经过，且它的顶点坐标是 求这个二次函数的表达式. 判断点是否在二次函数图象上，并说明理由. 19.本小题8分 如图，在中，半径，， 求扇形AOB的面积； 求的度数. 20.本小题8分 为更好保护、传承和发扬浙江美食文化，“味美浙江百县千碗”2024全省非遗美食挑战赛中，湖州多道美食上榜.例如：“练市羊肉”、“吴均汤包”、“鲜菱虾茸”、“南浔定胜糕”. 小红想从以上这4道美食中随机选择1道品尝，则他选中“吴均汤包”的概率为______； 湖州某中学拟从这4道美食中选择2道作为美食节特色菜肴，若用A，B，C，D分别表示“练市羊肉”、“吴均汤包”、“鲜菱虾茸”、“南浔定胜糕”，请用画树状图或列表的方法求出恰好选中“练市羊肉”、“吴均汤包”的概率. 21.本小题8分 随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度.在“综合与实践”活动中，瑶瑶计划借助无人机测量月亮酒店大楼AB的高度，她设计了如下测量方案： 如图，瑶瑶站在离月亮酒店大楼水平距离为40米的广场高地E处，E处高出湖面的距离米，无人机旋停在点C正上方的点D处，测得月亮酒店大楼AB的顶部B处的俯角的正切值是，此时无人机离湖面的高度CD为120米，已知瑶瑶的目高眼睛到地面的距离米. 求月亮酒店大楼AB的高度. 若无人机保持现有高度沿平行于CA的方向，以4米/秒的速度继续向前匀速飞行，求经过12秒时，无人机是否离开瑶瑶的视线FB？请说明理由. 22.本小题10分 小明在综合实践课上折一个等腰直角三角形纸片，，将沿着DE折叠，使得点A落在边BC上的点F，DE和AF交于点 如图1，若点F恰好是BC的中点，他发现，则______. 如图2，当时，求证：，并求出k的值. 当时，，则______ 23.本小题10分 已知二次函数的图象过点，点和点 若点，求二次函数表达式. 当时，二次函数的最大值为m，最小值为n，若，求a的值. 若且，求证： 24.本小题12分 如图1，在中，直径，E是AB上的动点，过点E作交于点C，连结BC，取BC的中点P，连结DP交AB于点M，延长交于点 如图2，连结BD，求证：； 如图3，当点M与圆心O重合时，求线段EM的长度； 在点E的运动过程中，当时，求的面积. 答案和解析 1.【答案】C  【解析】解：A、，y是x的正比例函数，故此选项不符合题意； B、，y是x的一次函数，故此选项不符合题意； C、，y是x的二次函数，故此选项符合题意； D、，y是x的反比例函数，故此选项不符合题意； 故选： 形如、b、c是常数，叫做二次函数，由此判断即可． 本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 2.【答案】A  【解析】解：点A在半径为2cm的圆内， 点A到圆心的距离小于2cm， 故选： 由圆点的半径是2cm，根据点与圆的位置关系的性质，结合点P在圆内，得到点P到圆心的距离的范围，再根据各选项进行判断即可． 本题 考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点在圆上时，点到圆心的距离等于半径；点在圆内时，点到圆心的距离小于半径；点在圆外时，点到圆心的距离大于半径． 3.【答案】B  【解析】解：A、， ， 故A不符合题意； B、， ， 故B符合题意； C、， ， 故C不符合题意； D、， ， 故D不符合题意； 故选： 根据比例的性质进行计算，即可解答． 本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 4.【答案】C  【解析】解：小颖第四次掷硬币时，“正面朝上”与“反面朝上”的可能性的大小均为， 故选： 根据可能性大小求解即可． 本题主要考查可能性的大小，解题的关键是掌握可能性大小的概念． 5.【答案】B  【解析】解：在中，，，， 则， 故选： 根据正弦的定义解答即可． 本题考查的是锐角三角函数的定义，熟记锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦． 6.【答案】C  【解析】解：四边形ABCD内接于， ， ， ， ， ， ， 故选： 根据圆内接四边形的性质求出，根据圆心角、弧、弦的关系得到，再根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 本题考查的是圆内接四边形的性质、圆心角、弧、弦的关系，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 7.【答案】B  【解析】解：， ， 当时，， 即方程的其中一个解是， 故选： 根据，得到，推出当时，，于是得到结论． 本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，把原方程化为是解题的关键． 8.【答案】C  【解析】解：小吴的作法：连接BC，AD， 则，， ∽， ， 点P把线段AB分成1：2的两条线段； 小吴的作法正确； 小王的作法： 连接AM，BN，则，， ∽， ， 点P把线段AB分成1：2的两条线段， 小王的作法正确， 故选： 小吴的作法：连接BC，AD，则，，根据相似三角形的性质得到结论； 小王的作法：连接AM，BN，则，，根据相似三角形的性质得到结论． 本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握网络特点是解题的关键． 9.【答案】D  【解析】解：和均为等腰直角三角形， ，，，， ， ， ∽， ，， ， ， ∽， ， 与的面积比为2：1，即， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ；故选： 利用等腰三角形的性质可证得：，，再利用相似三角形的判定证得∽，再证得∽，利用与的面积比为2：1，推出，进而得出，利用勾股定理可得，即可求得答案． 本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 10.【答案】B  【解析】解：①， ， 二次函数图象与x轴有两个交点， 方程有两个不同的实数根，故正确； ②时，， 二次函数的图象过点， 二次函数的图象过点， 图象的对称轴为直线，故错误； ③当时，二次函数的图象开口向上， 二次函数的图象与x轴负半轴交于和，且，方程的解为，，且， 二次函数的图象与直线交点的横坐标为p、q， 如图， 由图象可知，故c错误； ④若，则二次函数为， 抛物线开口向下． 又图象与x轴有两个交点，，且， 当时， ，故正确． 故选： 利用根的判别式即可判断①；利用二次函数的对称性即可判断②；根据题意画出图象，结合图象即可判断③；若，则二次函数为，可得抛物线开口向下，又图象与x轴有两个交点，，且，从而可得当时，，进而可以判断④． 本题主要考查了二次函数的性质、抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，正比例函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 11.【答案】  【解析】解：盒子里面有黄球2个、红球3个，一共5个， 从盒子里任意摸到1个红球的概率是 故答案为： 盒子里面有黄球2个、红球3个，一共5个，从盒子里任意摸到1个红球的概率即为红球的个数3除以总的个数5即可． 本题主要考查了根据概率公式计算概率，正确进行计算是解题关键． 12.【答案】>  【解析】解：当时，， 当时，， 故答案为： 分别把和代入，求出，，即可求解． 本题考查二次函数的图象上点的特点；能够用代入法求二次函数点的坐标是解题的关键． 13.【答案】  【解析】解：将绕点O逆时针旋转得到， ， ， ， 故答案为： 因为将绕点O逆时针旋转得到，所以旋转角，则，于是得到问题的答案． 此题重点考查翻折变换的性质，正解理解旋转角的概念并且求得是解题的关键． 14.【答案】  【解析】解：在中，，米， ， 米， 在中，，米， 则米， 米， 故答案为： 根据余弦的定义分别求出AO、，计算即可． 本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 15.【答案】  【解析】解：如图3，连接AP，EP， ， 是正三角形， ， 的长为， 阴影部分的周长为， 故答案为： 正五边形的性质，正三角形的判定和性质以及弧长公式进行解答即可． 本题考查正多边形和圆，弧长的计算以及正三角形的判定和性质，掌握正五边形、正三角形的性质以及弧长公式是正确解答的关键． 16.【答案】40  【解析】解：过点T作于点K，过点M作于点N，于点L， 则，， ， ， ≌， ，， ， 四边形MNKP是矩形， ，， 设，则， ，， ∽， ， ， 同理可得：四边形APML是矩形， ， ， 同理可得：∽， ， ， ， ， ， ，， ， 幻方阴影部分的面积， 故答案为： 过点T作于点K，过点M作于点N，于点L，可证得≌，则，，再结合矩形性质得出：，，设，则，再证得∽，∽，得出，，根据题意建立方程求解得出，即可求得答案． 本题考查了矩形和正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，添加辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题关键． 17.【答案】解：原式   【解析】利用特殊锐角三角函数值及有理数的乘方法则计算即可． 本题考查特殊锐角三角函数值，熟练掌握其特殊值是解题的关键． 18.【答案】解：抛物线的顶点坐标是， 设二次函数的解析式为， 二次函数的图象经过， ， 解得， 这个二次函数的表达式为：； 点是在这条抛物线的图象上，理由： 当时，， 点是在这条抛物线的图象上．  【解析】由抛物线的顶点坐标是，可设二次函数的解析式为，再把代入解析式求出a即可； 当时求出y的值即可判断． 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解，这是解答本题的关键． 19.【答案】解：， ， 扇形AOB的面积为； ， ，   【解析】根据圆周角定理以及扇形面积的计算方法进行计算即可； 根据圆周角定理进行计算即可． 本题考查圆周角定理，扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法以及圆周角定理是正确解答的关键． 20.【答案】  【解析】解：小红想从以上这4道美食中随机选择1道品尝，则他选中“吴均汤包”的概率为， 故答案为：； 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好选中“练市羊肉”、“吴均汤包”的共2种， 恰好选中“练市羊肉”、“吴均汤包”的概率为 利用概率公式可得答案． 画树状图可得出所有等可能的结果数以及恰好选中“练市羊肉”、“吴均汤包”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 本题考查了列表法与树状图法：运用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率． 21.【答案】解：延长AB交过D的水平线于N， 由题意得：四边形ACDN为矩形， 米，米， 则米， 米． 无人机没有离开瑶瑶的视线； 过F作于M，延长FB交DN的延长线于G， 则米，，米， ∽， ，即：， 解得：， 米， ， 无人机没有离开瑶瑶的视线．  【解析】根据锐角三角函数的定义求解； 根据三角形相似的性质求解． 本题考查了解直角三角形-仰角和俯角，掌握三角函数的定义和相似三角形的性质是解题的关键． 22.【答案】1    【解析】解：，F是BC的中点， ，， 沿着DE折叠，使得点A落在边BC上的点F， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：1； 证明：如图1， 作于G，作于H，设AF、DE交于点O， ， ，， ，四边形AGFH是矩形， ，， ， 将沿着DE折叠，使得点A落在边BC上的点F， ， ， ， ， ， ， ， ； 解：如图1， 由知：， 故答案为： 可推出，，进而得出结果； 作于G，作于H，设AF、DE交于点O，可推出，从而得出的值，可证得，从而得出，进一步得出结论； 由的过程得出结果． 本题考查了直角三角形的性质，矩形的判定和性质，锐角三角函数的定义等知识，解决问题的关键是作辅助线，转化线段比． 23.【答案】解：设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， 抛物线解析式为， 即； 解：抛物线解析式为， 即， 抛物线的对称轴为直线， 当时，y有最值， 当时，时，；，， ， ， 解得； 当时，时，；，， ， ， 解得； 综上所述，a的值为2或； 证明：，， ， ，， ， 即  【解析】设交点式，然后把C点坐标代入求出a即可； 设交点式，再利用二次函数的性质得到对称轴为直线，当时，y有最值，当时，时，；，；当时，时，；，，然后分别利用得到a的方程，从而可确定对应的a的值； 由于，再利用配方法得到，然后根据非负数的性质得到结论． 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质． 24.【答案】证明：是直径，且， 平分CD， 是CD的垂直平分线， ； 解：连接BD，连接AC， 当点M与圆心O重合时，DN是直径， 是BC中点， ， 垂直平分BC， ， 由知， ， 是等边三角形， ， ， 是直径， ， 在中，，， ， 在中，， ， ； 如图，连接BD，连接AD， 由知E是CD中点， 是BC中点， 和DP是的中线，即点M是重心， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 直径， ， ， ， 即， 设，则，， ， 解得， ，   【解析】由垂径定理很容易得证； 易证，所以是等边三角形，从而利用特殊角解直角三角形即可得解； 由中点可知点M是重心，继而得到，再根据题干可证是等腰直角三角形，最后设参求解即可． 本题主要考查了垂径定理、等边三角形的判定和性质、解直角三角形等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$