北京中学2025-2026学年高二直升第一学期10月检测数学高二直升数学试题

2025-2026学年度第一学期10月份检测 （高二直升数学） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，，那么 A. B. C. D. 2. 已知，则下列说法一定正确的是（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知集合，则为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则的最小值是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 6. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 7. 若命题“”为假命题，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则下列判断错误的是（ ） A. B. C. D. 9. 《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成为了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.如图所示的图形，在AB上取一点，使得，，过点作交圆周于D，连接OD.作交OD于.则下列不等式可以表示的是（ ） A. B. C. D. 10. 若集合A的所有子集中，任意子集的所有元素和均不相同，称A为互斥集．若，且A为互斥集，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每题5分，共25分．） 11. 若对任意，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为___________． 12. 关于的不等式的解集为___________． 13. 能够说明“设是任意实数,若,则”是假命题的一组整数的值依次为__________. 14. 已知是集合的非空子集，且当时，有．记满足条件的集合的个数为，则__________；__________． 15. 两个数互素是指两个正整数之间除了1之外没有其他公约数．欧拉函数（）的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互素的正整数的个数，例如，． 关于欧拉函数给出下面四个结论： ①； ②，恒有； ③若m，n（）都是素数，则； ④若（），其中为素数，则． （注：素数是指除了1和它本身以外不再有其他因数，且大于1的正整数．） 则所有正确结论的序号为___________． 三、解答题（本题共6小题，共85分．解答应写出必要的文字说明，演算步骤或证明过程．） 16. 已知实数． （1）若，则的取值范围； （2）若，求的取值范围． 17. 已知关于不等式的解集，集合． （1）求实数的值； （2）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求实数的取值范围． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分. 18. 已知函数． （1）若，且，求的最小值； （2）若，解关于的不等式． 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求函数的单调区间； （3）当时，恒成立，求的取值范围. 20. 已知椭圆的离心率为为椭圆的左、右顶点，为椭圆的上顶点，原点到直线的距离为． （1）求椭圆的方程； （2）为椭圆上一点，直线与直线交于点，直线与轴交于点，设直线，的斜率分别为，已知，求 21. 对于数列，定义“变换”：将数列变换成数列，其中，且，这种“变换”记作.继续对数列进行“变换”，得到数列，依此类推，当得到的数列各项均为时变换结束． （1）试问和经过不断的“变换”能否结束？若能，请依次写出经过“变换”得到的各数列；若不能，说明理由； （2）求经过有限次“变换”后能够结束的充要条件； （3）证明：一定能经过有限次“变换”后结束． 2025-2026学年度第一学期10月份检测 （高二直升数学） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一项是符合题目要求的．） 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】A 【9题答案】 【答案】A 【10题答案】 【答案】C 二、填空题（本题共5小题，每题5分，共25分．） 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 ①. 3； ②. ##. 【15题答案】 【答案】①③④ 三、解答题（本题共6小题，共85分．解答应写出必要的文字说明，演算步骤或证明过程．） 【16题答案】 【答案】（1）； （2）. 【17题答案】 【答案】（1） （2） 选择条件①，. 选择条件②，. 【18题答案】 【答案】（1） （2） 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【19题答案】 【答案】（1）； （2）的单增区间为，单减区间为； （3） 【20题答案】 【答案】（1）； （2）2. 【21题答案】 【答案】（1）数列不能结束，各数列依次为；；；；；；…．从而以下重复出现，不会出现所有项均为的情形． 数列能结束，各数列依次为；；；． （2）． （3）先证明引理：“数列的最大项一定不大于数列的最大项，其中”． 证明：记数列中最大项为，则． 令，，其中． 因为， 所以， 故，证毕． 现将数列分为两类． 第一类是没有为的项，或者为的项与最大项不相邻（规定首项与末项相邻），此时由引理可知，． 第二类是含有为的项，且与最大项相邻，此时． 下面证明第二类数列经过有限次“变换”，一定可以得到第一类数列． 不妨令数列的第一项为，第二项最大()．（其它情形同理） ①当数列中只有一项为时， 若()，则，此数列各项均不为或含有项但与最大项不相邻，为第一类数列； 若，则；此数列各项均不为或含有项但与最大项不相邻，为第一类数列； 若()，则，此数列各项均不为，为第一类数列； 若，则；；， 此数列各项均不为，为第一类数列． ②当数列中有两项为时，若()，则，此数列各项均不为，为第一类数列； 若()，则，，此数列各项均不为或含有项但与最大项不相邻，为第一类数列． ③当数列中有三项为时，只能是，则， ，，此数列各项均不为，为第一类数列． 总之，第二类数列至多经过次“变换”，就会得到第一类数列，即至多连续经历次“变换”，数列的最大项又开始减少． 又因为各数列的最大项是非负整数， 故经过有限次“变换”后，数列的最大项一定会为，此时数列的各项均为，从而结束． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $