6.4.1 平面几何中的向量方法、6.4.2 向量在物理中的应用举例 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第六章 平面向量及其应用 § 6.4.1 平面几何中的向量方法 § 6.4.2 向量在物理中的应用举例 复习引入 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如长度、夹角、平行、垂直等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来， 因此平面几何中的许多问题都可以用向量运算的方法加以解决. 下面通过两个具体实例，说明向量方法在平面几何中的应用. 向量垂直 向量模的公式 向量的夹角公式 向量平行 知识讲解 例1 如图示，DE是∆ABC的中位线，用向量方法证明： A B D C E 图6.4-1 A B D C E 图6.4-2 F 证：延长DE至点F,使DE=EF,连结CF 问题1：用初中的方法如何证明？ ∵E为AC中点，∴AE=EC ∴BC=DF=2DE,且DE∥BC ∴四边形DBCF为平行四边形 又∵AD=BD,∴BD=CF ∴AB∥CF,即BD∥CF ∴AD=CF,∠ADE=∠F ∴△AED≌△CEF(SAS) 又∵DE=EF,∠AED=∠CEF 问题2：如何利用向量证明？ 例1 如图示，DE是∆ABC的中位线，用向量方法证明： A B D C E 图6.4-1 A B D C E 图6.4-2 知识讲解 于是DE//BC， 解：取 为基底，因为DE是△ABC的中位线 所以 转 化 建立平面几何与向量的关系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题 通过向量运算研究几何元素之间的关系 把运算结果“翻译”成几何关系 运 算 翻 译 2.你能总结一下利用向量法解决平面几何问题的基本思路吗？ 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： 例2 如图示，已知平行四边形ABCD，你能发现对角线AC和BD的长度与两条邻边AB和AD的长度之间的关系吗？ 知识讲解 解：第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中的 几何元素，将平面几何问题转化为向量问题： 如图，取为基底，设，， 则，. 第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系： ，. 上面两式相加，得. 第三步，把运算结果“翻译”成几何关系：. ★结论：平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和。 练习 如图所示，已知△ABC 中，AB=AC，求证：∠B=∠C. 1.证明: 等腰三角形的两个底角相等. 练习 2. 如图示，正方形ABCD的边长为a，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于点M，求∠EMF的余弦值. x y 练习 3. 如图示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N. 设AB=mAM，AC=nAN，求m+n的值. 6.4 平面向量的应用 &6.4.2 向量在物理中的应用举例 高一（10）班和高一（9）的同学在草地进行拔河比赛，身为高一（10）班体育委员的你，将会如何指导同学们的具体比赛，让大家的劲使往一处呢？ 该朝什么方向使劲啊？ 创设情境 首先，选体重大的同学，尽量穿抓地鞋。其次，体育委员应该让所有同学的拉力方向保持沿拔河绳的同一直线、指向我方队伍后方，这样大家的力才能形成合力，避免因方向分散导致力量抵消。 例题分析 分析：上述问题可以抽象为如图所示的数学模型，只要分析清楚F1、G、θ三者之间的关系，就可以得到问题的数学解释 为研究方便，不妨设F1、 F2大小相等 例3 在日常生活中，我们有这样的经验：两个人共提一个旅行包，两个 拉力夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种现象吗？ 例3 在日常生活中，我们有这样的经验：两个人共提一个旅行包，两个 拉力夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种现象吗？ 例题分析 (1)：当θ为何值时，||最小？最小值是多少？ 探究 (2)：||能等于||吗？为什么？ （1）要使 最小，只需 最大，此时=1， 即。 （2）要使 ， 只需 即 例4 如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行.已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，那么当航程最短时，这艘船行驶完全程需要多长时间(精确到)？ 解：设点是河对岸一点，与河岸垂直，那么当这艘船 实际沿着方向行驶时，船的航程最短. 如图，设，则 此时，船的航行时间 所以，当航程最短时，这艘船行驶完全程需要. 例题分析 练习 简析： 练习 简析： 练习 简析： $